Презентация - Семенкин Е.С. Методы оптимизации
Подождите немного. Документ загружается.
3. Еслиотрезок t
0
≤t≤t
1
можноразбитьточкамиделениянаконечноечислочастичных
отрезков, накаждомизкоторыхуправление u(t) допустимо, тоэтоуправление
допустимоинавсемотрезке t
0
≤t≤t
1
. Допустимоеуправление, рассматриваемоена
частичном отрезке, также является допустимым. Управление, получающееся из
допустимогоуправления u(t), t
0
≤t≤t
1
, сдвигомвремени (т. е. управление u
1
(t)=u(t—α),
t
0
+α<t<t
1
+ α), такжеявляетсядопустимым.
Вкачествеклассадопустимыхуправленийможновзять, например, классвсех
измеримыхограниченныхуправлений. Другимпримеромможетслужитьмножество
всехкусочно-непрерывныхуправлений (т.е. такихуправлений u=u(t), каждоеиз
которыхнепрерывнодлявсехрассматриваемых t, заисключениемлишьконечного
числамоментоввремени, гдефункция u(t) можеттерпетьразрывыпервогорода). Этот
классдопустимыхуправлений, по-видимому, наиболееинтересендлятехнических
применений развиваемой здесь теории; такие управления соответствуют
предположениюо«безынерционности» рулей. Можнотакжерассматриватьклассвсех
кусочно-постоянныхуправлений, класскусочно-линейныхуправленийит.п.В
дальнейшемкласс D допустимыхуправленийпредполагаетсяфиксированным.
Эффективнымсредствомисследованиязадачоптимальногоуправленияявляется
принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие
оптимальностивтакихзадачах.
Рассмотримзадачуоптимальногоуправления, являющуюсячастнымслучаем
задачи, сформулированнойвыше
(1)
где
(2)
Приэтомпредполагается, чтомоменты фиксированы, т.е. рассматривается
задачасзакрепленнымвременем; множество U независитотвремени, фазовые
ограниченияотсутствуют.
Положим
Принцип максимума Понтрягина
min))(()),(),((
0
→
Φ
+
∫
txdtttutxf
TttUtuStxStx
t
t
u
t
x
f
t
x
≤≤∈∈∈
=
′
000
,)(,)(,)(
),
),
(
),
(
(
)
(
{
}
00
,...,1,0)(: mixgxS
i
n
=
=
ℜ
∈
=
{
}
mmixgxS
i
n
,...,1,0)(:
0
+
=
=
ℜ
∈
=
Tt ,
0
∑
=
=
n
i
ii
tuxftuxH
0
),,(),,,( ψψ
0
ψ
))(),...,(()(
1
ttt
n
ϕ
ϕ
ψ
=
Системалинейныхдифференциальныхуравнений
относительно переменных называется сопряженной системой,
соответствующейуправлению u итраектории x. Здесь
Вболееподробнойпокоординатнойзаписисопряженнаясистемапринимаетвид
(3)
Система (3) имеетприлюбыхначальныхусловияхединственноерешение ,
определенноеинепрерывноенавсемотрезке .
Следующаятеоремавыражаетнеобходимыеусловияоптимальностивзадаче (1).
x
H
′
−
=
′
ψ
)(),...,(
1
tt
n
ϕ
ϕ
),...,(
1 n
x
x
H
x
H
H
∂
∂
∂
∂
=
′
.,...,1)),(,,),(),(()(
0
nitttutxH
x
t
i
i
=
∂
∂
−=
′
ψψ
ψ
ψ
],[
0
Tt
Теорема (принцип максимума Понтрягина)
Пустьфункции и имеютчастныепроизводныепопеременным
и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов
. Предположим, что (u, x) – решение задачи (1). Тогда существует решение
сопряженнойсистемы (3), соответствующейуправлению u итраектории x, иконстанта
такие, что при , ивыполняютсяследующиеусловия:
n
fff ,...,,
10
m
gg ,...,,
1
Φ
n
xx ,...,
1
],[,,
0
TttUux
n
∈
∈
ℜ
∈
ψ
0
0
≤
ψ
)(
0
tψψ +
],[
0
Ttt
∈
а)(условиемаксимума)
функцияГамильтона , достигаетмаксимумапо при
v = u(t), т. е.
(4)
б)(условиетрансверсальностиналевомконцетраектории)
существуютчисла , такие, что
(5)
в)(условиетрансверсальностинаправомконцетраектории)
существуютчисла , такие, что
(6)
Центральнымвтеоремеявляетсяусловиемаксимума –(4).
Еслиотказатьсяотпредположенияотом, чтоконечныймоментвремени T
фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия
трансверсальностинаправомконцетраектории. Условие (6) необходимозаменить
условием
],[
0
Ttt
∈
∀
),,,,(
0
ψ
ψ
tuxH
U
v
∈
),,),(),((max),,),(),((
00
ψ
ψ
ψ
ψ
ttvtxHttutxH
=
0
,...,
1 m
λ
λ
∑
=
′
=
0
1
0
))(()(
m
i
ii
txgt λ
ψ
mm
λ
λ
,...,
1
0
+
∑
+=
′
=Φ
′
−
m
mi
ii
Txgtxt
1
0
))(())(()( λψ
ψ
∑
∂
∂
=Φ
∂
∂
− )),(()),(()(
0
TTxg
x
TTx
x
T
ii
λψ
ψ
∑
∂
∂
=Φ
∂
∂
− )),(()),(())(,,),(),((
00
TTxg
t
TTx
t
TTTuTxH
ii
λψψψ
Примеры задач оптимального управления
Приведемнекоторыезадачиоптимальногоуправления, которые, благодаряих
типичности, часто встречаются во многих учебниках по теории оптимальных
процессов. Этизадачиотносятсякразличнымобластямчеловеческойдеятельности:
технике, экономике, экологииидр. Новтожевремяониявляются "учебными" и
служат, восновном, дляиллюстрациинекоторыхтеоретическихположений. Очевидно,
задачиимодели, представляющиенепосредственныйпрактическийинтерес, должны
бытьболееподробными, глубокимиисложными. Учебныезадачи - этопервое
приближениекреальнымпрактическимзадачам, ихупрощенныйаналог.
Максимизациядальностиполетааппаратаватмосфере.
Рассматривается летательный аппарат, положение которого описывается
следующимипараметрами: дальностьивысотаполета, величинаиуголнаклонак
горизонту вектора скорости. Роль управлений играют угол атаки и функция,
отвечающаявозможностиизменятьвполетегеометриюкрыльев (т.е. ихэффективную
площадь). Требуется найти такие управляющие функции, которые доставляют
максимумдальностиполета.
Задачаракетодинамикиводнородномполе (задачаобоптимальномвсмысле
расходатопливадвиженииракетывпустоте).
Рассматриваетсяуправляемыйракетныйаппарат, состояниекоторогозадается
координатамивтрехмерномпространстве, векторомскоростиизначениеммассы.
Управлениеосуществляетсявыборомнаправленияиабсолютногозначениятягиракеты.
Требуетсятакуправлятьракетой, чтобывфиксированныймоментвременионадостигла
заданнойточки, имеяопределеннуюскоростьиизрасходовавминимумтоплива (т.е.
имеямаксимальновозможнуюмассу).
Задача о максимальной высоте подъема вертикально взлетающей в
атмосфереракеты-зонда.
Состояниеракетызадаетсязначениямивысоты, скоростиимассы. Задачасостоит
в выборе тяги, которая максимизировала бы высоту подъема при свободной
продолжительностиполета.
Задачаобоптимизациимясозаготовок. Нафермеимеетсястадоскота. Ежегодно
частьстадаотправляетсянамясозаготовки, причемдоходфермызависитотколичества
проданногоскота. Фазовойпеременнойвыступаетколичествоскотанафермевконце
каждогогодапослемясозаготовок, управляющимпараметром - количествопроданного
на мясо скота. Требуется определить, каким образом ферма может получить
максимальныйдоходзанескольколетприопределенномминимумеежегодных
мясозаготовокизаданномзначениипоголовьяскотанаконецплановогопериода.
Оптимальноераспределениересурсов. Некотораязаданнаяначальнаясумма
денегзатрачиваетсянаприобретениеоборудованиядвухтиповАиВ.Спомощьюэтого
оборудованияорганизуетсяпроизводство. Распределяяимеющиесясредствамежду
различными типами оборудования, к концу срока эксплуатации получают
определенный экономический эффект. Затем амортизированное оборудование
реализуют, авырученныесредстваиспользуюткакначальнуюсуммудляследующего
цикла, ит.д.Требуетсянайтитакуюстратегиюраспределениясредствдляпокупки
оборудования типов А и В в каждом цикле, чтобы обеспечить наибольший
экономическийэффектпослефиксированногочислапроизводственно-экономических
циклов.
Распределение температуры в тонком стержне конечной длины с
теплоизолированнымиконцами.
Состояниеобъектаописываетсяфункциейраспределениятемпературыподлине
стержняивовремени, рольуправленияиграетплотностьтепловыхисточников. Задача
состоитвотысканиитакогоуправления, длякоторогораспределениетемпературыкак
можнобыстреедостигаетзаданногосостояния.
Демпфированиеколебанийспутниканакруговойорбите.
Дляориентациивытянутыхспутниковвдольвертикаличастоиспользуется
эффектсобственнойустойчивости, обусловленныйслабымградиентомполятяготения.
Этотэффектприводиткколебаниямприотклоненииотположенияравновесия, которые
требуется погасить с наименьшими затратами топлива, если демпфирование
производитсяспомощьюракетногодвигателя. Вкачествефазовыхпеременныхберутся
уголискоростьотклоненияосиспутникаотносительнотекущегорадиуса-вектора
центрамасснаорбите, управлениемявляетсятягареактивногодвигателя.
Задачаобоптимальномуправлениивозрастнойструктуройпопуляции.
Рассматриваетсянепрерывнаямодельвозрастнойструктурыпопуляции, разделеннойна
двевозрастныегруппы. Управлениезаключаетсявтом, чтовобеихгруппахможет
происходить "пополнение-изъятие", ацельюуправленияявляетсямаксимизациядохода
отурожая, завычетомиздержекнапополнение. Фазовымипеременнымиздесь,
очевидно, являются численности популяций, а саму модель можно трактовать,
например, какпроцессэксплуатациинекотороговодоемапосредствомвыпускамальков
иотловавзрослыхэкземпляроврыбы.
Задачаоптимальногораспределениякапитальныхвложенийвотраслина
заданноминтервалепланирования. Состояниеотраслиописываетсявеличиной
основныхпроизводственныхфондов, количествокоторыхрастетзасчеткапитальных
вложенийиуменьшаетсязасчетфизическогоиморальногоизноса. Капитальные
вложениявотрасльиграютрольуправлений, акритерийоптимальностипроцессов
одновременноучитываетэкономиюкапиталовложений, соднойстороны, иувеличение
основныхпроизводственныхфондовотрасли - сдругой. Этузадачуможнообобщитьна
случайнесколькихотраслей. Тогдараспределениекапитальныхвложенийнужно
осуществитьнетолькововремени, ноимеждуотраслями, которыеявляются
"конкурентами".