Презентация - Семенкин Е.С. Методы оптимизации
Подождите немного. Документ загружается.
Принципмаксимумаоказываетсячастоболееплодотворным, поскольку
он, посуществу, разбиваетрешениеуравненияБеллмананадвашага: на
первом шаге оптимальные управления определяются как функции
сопряженных переменных, а на втором сопряженные переменные
определяютсякакфункциивремени. Первыйшагобычноневызывает
затруднений; ончастопозволяетувидетьсвойстварешения, аэтоможет
подсказатьиспособрешениязадачи. Второйшагоказываетсяболее
трудным, таккакприходитсярешатьдвухточечнуюграничнуюзадачу. С
другойстороны, вдинамическомпрограммированииобаэтишагатребуется
осуществитьодновременно, решаяуравнениеБеллмана. Поэтомупри
аналитическом решении подход принципа максимума обычно более
полезен, чем подход динамического программирования. Однако при
численном решении оба метода приводят к сходным компьютерным
программамиктемжепроблемам, связаннымсобъемомпамятиЭВМ
("проклятьеразмерности"), посколькувдинамическомпрограммировании
требуетсянайтиприближенноерешениенелинейногодифференциального
уравнениявчастныхпроизводных, аметодпринципамаксимуматребует
определенияприближенногорешениядвухточечнойграничнойзадачи.
Вторымнаправлениемвтеориирешениязадачуправленияявляется принцип
максимума. Этометодвотличиеотклассическоговариационногоисчисленияпозволяет
решатьзадачиуправления, вкоторыхнауправляющиепараметрыналоженывесьма
общиеограничения, хотяобычнозаранеепредопределяетсярядсвойстврешения.
Благодаряэтомупринципмаксимумаявляетсяосновнымматематическимприемом,
используемымприрасчетеоптимальногоуправлениявомногихважныхзадачах
математики, техникииуправления.
Принципмаксимумаприменяетсякобщейзадачеуправления, имеющейвид
(1)
Здесь I(
…
), F(
..
) и f(
…
)–заданныенепрерывнодифференцируемыефункции, t
0
, x
0
– фиксированныепараметры, t
1
или x
1
– фиксированныепараметры (либоспомощью
уравнения T(x, t)=0 определяетсяконченаяповерхность). Траекторияуправления {u(t)}
должнапринадлежатьфиксированномумножествууправлений U, причем u(t)–
кусочно-непрерывнаяфункциявремени, значениякоторойдолжныпринадлежать
некоторому фиксированному множеству Ω, являющемуся непустым компактным
подмножествомпространства E
r
.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА
,) t,F(x),,(max
11
)}({
1
0
+=
∫
dttIJ
t
t
tu
ux
.{u(t)} , x ) x(t, x ) x(t t),u, f(x,
1100
U
∈
=
=
=
x
&
Классификация задач
оптимального управления динамическими системами
Запишемформулировкузадачиоптимальногоуправления.
Дана система, объект, процесс. Система описывается дифференциальным
уравнением:
,
где x – векторфазовыхкоординат, u – векторуправления, t – время.
Навектора x и u наложеныограничения x∈ X, u∈U.
Системарассматриваетсянаинтервале t∈[0,T].
Требуется определить вектор–функции u(t), x(t) доставляющие минимум
функционалу J=J(x,u) припереводеизначальногосостояния (x(0),0) вконечное
состояние (x(T),T).
Задачи оптимального управления классифицируются по способу задания
функционала, поспособузаданияограниченийвдольтраекторииипоспособузадания
),,( tf
dt
d
ux
x
=
Способы задания функционала
Интегральныйфункционал.
F – дифференцируемаяфункциясвоихаргументов.
Приотсутствииограниченийна x и u задачаназываетсязадачейЛагранжаи
являетсяклассическойзадачейвариационногоисчисления. Вкачествепримераможно
рассмотретьагрегат, которыйдолжендатьмаксимальноеколичествопродукции. При
этомфункция F (x, u, t) имеетсмыслмгновеннойпроизводительности, аинтеграл –
полнуювыработкупродукции.
ЗадачаМайера.
Минимизируетсяфункционал
J(x, u)=Φ[x(T), T].
Например, задачаодостижениинаибольшейдальностиракетой.
ФормальнозадачаМайераявляетсяболееобщей, чемзадачаЛагранжа. Любая
задачаЛагранжаможетрассматриватьсякакчастныйслучайзадачиМайера.
Действительно, достаточноввестиновуюскалярнуюпеременную
x
n+1
=F(x, u, t),
–
новый фазовый вектор
∫
=
T
dttuxFuxJ
0
,),,(),(
),(
1+
=
n
TT
xxx
),( Fff
T
=
),,( tuxfx =
&
)(),(
~
1
TxuxJ
n+
=
ЗадачаБольца. Функционалсмешанноготипа.
Можноусмотреть, чтозадачаБольцатакжеможетбытьсведенакзадачеМайера.
Задачанабыстродействие.
Этимтерминомобъединяютсязадачи, вкоторыхфункционаломявляется
время, т.е. требуетсяперевестисистемуизодногосостояниявдругоеза
минимальноевремя.
Способызаданияограничений
а) ограничениятольконауправление.
Например,
u(t)∈U или |u(t)|≤α(t).
При наличии ограничений на управление классические методы
оказываютсянепригодными.
б) ограничениянафазовыепеременные.
Например,
0
(,)(,,)[(0),(),].
T
JxuFxutdtxxTT
=+Φ
∫
0),(
=
uxP
j
0),(
≤
uxP
j
в) совместныеограничениянауправлениеифазовыепеременные.
Бываютслучаи, когдаограничениенауправлениеифазовыекоординатынемогут
бытьразделены (вэкономике).
Здесьтакжеограничениятипаравенств:
, j=1, …, k≤n+m
инеравенств:
, j=1, …, k≤n+m
г) изопериметрическаязадача (задачасинтегральнымиограничениями)
где φ
j
– скалярныефункции,
L
j
– числа.
Классизопериметрическихзадачиграетбольшуюроль, каквтехнике, такив
экономике, когдазадансуммарныйобъемнекоторогоресурса, которыммывправе
распоряжаться.
ИзопериметрическаязадачаможетбытьсведенакзадачеЛагранжаилиМайера
увеличением
размерности
фазового
вектора
x
0),(
=
uxP
j
0),(
≤
uxP
j
∫
=
T
jj
Ldttux
0
),,(φ
Способызаданиякраевыхусловий.
а) задачасфиксированнымиконцами, когда х(0) и х(T) заданы. Вданномслучае
задачиподразделяютсяназадачисфиксированныминефиксированнымвременем.
б) задачасосвободнымконцом, когда х(0) или х(T) незадано. Здесьтакжезадачис
фиксированныминефиксированнымвременем.
в) задачасподвижнымиконцами, Тфиксировано, а х(0) и х(T) лежатнанекоторых
гиперповерхностях:
η
l
[x(0)]=0, j=1, …, p,
где .
,0)]([ =ℵ Tx
j
n
s
s
l
n
p
≤
=
≤
,
,...,
1
,
Задачи с дискретным временем.
Стакимизадачамимысталкиваемся, когдаосуществляемдискретизациюзадачи,
т.е. заменяем дифференциальное уравнение конечно-разностным. Кроме того,
существует обширный класс задач в технике и экономике, которые являются
дискретнымипосуществу. Поэтомубудемтакжерассматриватьсистемы, описываемые
конечно-разностнымиуравнениями
∆x
n
=f
n
(x
n
, u
n
), n=0, …, N.
Функционалдлятакихзадачбудетиметьвид:
– задачаЛагранжа,
J(x, u)=Ф(x
N
)–задачаМайера,
– задачаБольца.
Например, изопериметрическиеограничениязаписываютсяввиде:
∑
=
∆=
n
i
iii
tuxFuxJ
0
),(),(
0
(,)(,)()
n
iiin
i
JxuFxutx
=
=∆+Φ
∑
∑
=
=
n
j
i
jj
i
j
Lux
1
),(ψ
Допустимые управления
Мыбудемрассматриватьповедениеобъекта, состояниекотороговкаждый
моментвременихарактеризуется n переменными х
1
, х
2
, …, х
n
(например, координатами
искоростями).
Векторноепространство X векторнойпеременной х={х
1
, х
2
,…, х
n
} является
фазовымпространствомрассматриваемогообъекта.
Поведение (движение) объектазаключается (сматематическойточкизрения) в
том, чтопеременные х
1
, х
2
, …, х
n
меняютсястечениемвремени. Предполагается, что
движениемобъектаможно управлять, т. е. чтообъектснабженнекоторыми «рулями»,
отположениякоторыхзависитдвижениеобъекта. Положения «рулей» характеризуются
точкой u некоторойобластиуправления U, котораяможетбытьлюбымтопологическим
хаусдорфовым пространством. В приложениях важен случай, когда U является
замкнутойобластьюнекоторого r – мерногоевклидовапространства Е; вэтомслучае
заданиеточки u=(u
1
, u
2
,…, u
r
)∈U равносильнозаданиюсистемычисловыхпараметров
u
1
,u
2
,…,u
r
.
Каждуюфункцию u=u(t), определеннуюнанекоторомотрезке t
0
≤ t≤ t
1
времени t и
принимающуюзначениявпространстве U, мыбудемназывать управлением. В
дальнейшемпредполагается, чтовыбраннекоторыйкласс D управлений; управления,
принадлежащие
этому
классу,
будут
называться
допустимыми
.
Откласса D допустимыхуправленийтребуетсятолько, чтобыонудовлетворял
следующимтремусловиям.
1. Всеуправления u=u(t), принадлежащиеклассу D (т.е. допустимые), должны
быть измеримыми и ограниченными. Управление u=u(t), t
0
≤t≤t
1
, называется измеримым,
еслидлялюбогооткрытогомножества O⊂U множествотехзначений t, длякоторых
u(t)∈O, измеримонаотрезке t ≤t≤t
1
. Управлениеограниченно, еслимножествовсех
точек u(t), t
0
≤ t≤ t
1
, имеетвпространстве U компактноезамыкание.(Если, вчастности,
U естьзамкнутоеподмножествовекторногопространствапеременной u=(u
1
,u
2
,…, u
r
),
тоизмеримостьиограниченностьимеютобычныйсмысл)
2. Если u(t), t
0
≤t≤t
1
, – допустимоеуправлениеиесли v – произвольнаяточка
пространства U,at', t" – такиечисла, что t
0
≤ t'≤t"≤t
1
, тоуправление u
1
(t), t
0
≤t≤t
1
,
определяемоеформулой
′′
>
′
<
′
′
≤
≤
′
=
,, при)(
, при
)(
1
tttttu
tttv
tu