Презентация - Семенкин Е.С. Методы оптимизации
Подождите немного. Документ загружается.
Уравнение Эйлера в квадратурах
РассмотримуравнениеЭйлера:
.
1) Положим, чтофункция F несодержит у, т.е.
.
УравнениеЭйлерапринимаетвид:
иимееточевидныйпервыйинтеграл (дифференциальноеуравнение
первогопорядка, зависящееот х, у').
2) Если F несодержит х, т.е. , тонетруднопроверить, чтоимеетсяинтеграл:
Действительно:
0=
′
−
′
′
yy
F
dx
d
F
)
,
(
y
x
F
F
′
=
0=
′
y
F
dx
d
CyxF
y
=
′
′
),(
)
,
(
y
y
F
F
′
=
.'
'
CFyF
y
=
−
).'('
''')'(
'''
''
2
''''
yyyyy
yyyyyyyy
FyFyFy
yyFyFyFyFyFFyF
dx
d
−+
′′
−=
=
′′
−−
′′
−
′′
+=−
Поскольку F несодержит x, множительпри -у' являетсялевойчастьюуравнения
Эйлера
,
т.е. равеннулю, и, следовательно, всилуэтогоуравнения:
т. е. мыимеемдействительноинтеграл.
3) Если F несодержит y', т.е. F=F(x,y), тоуравнениеЭйлерапринимаетвид:
,
т. е. мыимеемнедифференциальное, аконечноеуравнение. Егорешениене
содержит произвольных постоянных и, следовательно, удовлетворяет граничным
условиямтольковисключительныхслучаях.
4) Пусть F несодержит х и у, т.е. F(x,y,y')=F(y'). ТогдавуравненииЭйлера
0),,(),,(),,(),,(
=
′
′
′
′
′
−
′
′
′
′
−
′
′
′
−
′
′
′′′′
yyyxFyyyxFyyxFyyxF
yyyyyxy
0)'(
'
=−
y
FyF
dx
d
0),(
=
yxF
y
,0
2
=
∂∂
∂
yy
F
,0
'
2
=
∂∂
∂
xy
F
.0=
∂
∂
y
F
0
=
′
′′
yF
yy
Обобщения простейшей задачи вариационногоисчисления
Задача на экстремум функционала, зависящего от производных высших порядков.
Рассмотримфункционалвида:
, (23)
гдефункция имеетнепрерывныечастныепроизводныевплотьдо
(n+1)-гопорядкаповсемаргументам, а .
∫
′′′
=
b
a
n
dxyyyyxFxyJ ),...,,,,()]([
)(
),...,,,,(
)(n
yyyyxF
′
′
′
];[)( baCxy
n
∈
Граничныеусловиявэтойзадачеимеютвид
, ,…, ,
(24)
, ,…, .
Необходимоеусловие 1.
Длятогочтобыфункционал (23) достигалнафункции локального
экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера-
Пуассона
. (25)
Подобно случаю простейшей задачи вариационного исчисления, решения
уравнения
(
25
),
удовлетворяющие
граничным
условиям
(
24
),
являются
кривыми
0
)( yay
=
0
)( yay
′
=
′
)(
0
)(
)(
nn
yay
=
1
)( yby
=
1
)( yby
′
=
′
)(
1
)(
)(
nn
yby
=
];[)( baCxy
n
∈
0)1(...
)(
2
2
=−+−+−
′′′
n
y
n
n
n
yyy
F
dx
d
F
dx
d
F
dx
d
F
})(,...,)(,)(,...,)(|];[)({
)(
1
)(
1
)(
0
)(
0
nnnn
n
ybyybyyayyaybaCxyG
=
=
=
=
∈
=
Рассмотримфункционалвида
(26)
сграничнымиусловиями
, , , (27)
Вариацияфункционала (26) имеетвид
(28)
Применяянеобходимоеусловиеэкстремума (18) ирассуждая, какпривыводе (21)
(причемпоследнееслагаемоев(26) придетсяинтегрироватьпочастямдвараза),
приходимксоответствующемууравнениюЭйлера
.
∫
′′
=
b
a
dxyyyxFyI ),',,(}{
a
yay
=
)(
a
yay
′
=
′
)(
b
yby
=
)(
b
yby
′
=
′
)(
∫
′′′
+
′
+
′
=
′′′
b
a
yyy
dxyFyFyFI )'( δδδδ
0
2
2
=
′
+
′
−
′
′′′
yyy
F
dx
d
F
dx
d
F
Функционалможетзависетьнеотодной, аотнесколькихфункцийодного
переменного. Такбудет, вчастности, втакихзадачахнаэкстремум, гдеискомой
являетсянеплоская, апространственнаялиния; впрочем, такиезадачивозникаюти
независимоотихгеометрическогоистолкования.
Пустьфункционалимеетвид:
, (29)
гдефункция F(
...
) имеетнепрерывныечастныепроизводныедовторогопорядка
включительноповсемсвоимаргументами ,k=1,…, n.
∫
′′
=
b
a
nnn
dxxyxyxyxyxFxyxyJ ))(),...,(),(),...,(,()](),...,([
111
];[)(
1
baCxy
k
∈
Граничныеусловиявэтойзадачеимеютвид
(30)
Необходимоеусловие 2.
Длятогочтобынаборфункций у
1
(х), ..., у
n
(х)∈C
1
[a;b] доставлялслабыйэкстремум
функционалу (29), необходимо, чтобы эти функции удовлетворяли системе
дифференциальныхуравненийЭйлера
,
k
=
1
,
…
,
n
.
(
31
)
.,...,1,)(,)(
)1()0(
nkybyyay
kkkk
=
=
=
0=−
′
kk
yy
F
dx
d
F
Функционалы от нескольких функций.
Рассмотрим, например, функционал
, (32)
зависящийотдвухфункций y
1
(x), y
2
(x), заданныхпри a ≤ x ≤ b, причемникакой
связимеждуэтимифункцияминепредполагается. Однуизнихможнозафиксировать, а
другуюпроизвольноварьировать. Фиксируя y
2
(x) иварьируя y
1
(x), мыполучаем
частнуювариацию , аналогичнуючастномудифференциалу,
.
Аналогичновыражаетсячастнаявариацияпо y
2
.
Еслиставитсязадачаобэкстремумефункционала (32) припростейшихграничных
условиях
y
1
(a)=y
1a
, y
1
(b)=y
1b
, y
2
(a)=y
2a
, y
2
(b)=y
2b
, (33)
Тодляфункций , , реализующихэкстремум, обечастныевариации
необходимодолжныравнятьсянулю. Рассуждаяаналогичнослучаюсоднойфункцией,
мыприходимксистемеуравненийЭйлера
,
.
(
34
)
∫
′′
=
b
a
dxyyyyxFyyI ),,,,(},{
221121
I
y
1
δ
∫
′′
+
′
=
′
b
a
yyy
dxyFyFyyyI )(},,{
11121
111
δδδδ
∫
′′
+
′
=
′
b
a
yyy
dxyFyFyyyI )(},,{
22221
222
δδδδ
)(
1
xy
)(
2
xy
0
11
=
′
−
′
′
yy
F
dx
d
F
0
22
=
′
−
′
′
yy
F
dx
d
F
. Граничноеусловиесостоитвтом, чтозначениефункции z(x, y) заданона
контуре (Г) области (G), т.е.
z
M∈(Г)
=ϕ(M)(задано, M=(x, y)) (*)
Аналогично рассматриваются функционалы, зависящие от большего числа
функций, атакжефункционалы, зависящиеотнесколькихфункцийивыражающиеся
черезпроизводныеболеевысокогопорядка.
Запишите самостоятельно необходимые условия экстремалей функционала,
зависящегоотпроизводныхтретьегопорядкатрехфункций.
Функционалыотфункцийнесколькихпеременных
Функционал можетзависетьотфункциинесколькихпеременных. Будемдля
определенностирассматриватьфункции z(x,y) двухнезависимыхпеременных, заданных
внекоторойобласти (G) плоскости (x, y), т.е. при (x, y)∈(G). Тогдафункционалимеет
вид:
,
аеговариацияравна
,
где p и q – стандартныесокращенныеобозначениядля и , а ,
∫
∂
∂
∂
∂
=
)(
),,,,(}{
G
dG
y
z
x
z
zyxFzI
∫
+
+
=
)(
'''
)(};{
G
qpz
dGqFpFzFzzI
δ
δ
δ
δ
δ
x
z
∂
∂
y
z
∂
∂
x
z
x
z
∂
∂
=
∂
∂
)(
δ
δ
y
z
y
z
∂
∂
=
∂
∂
)(
δ
δ
Геометрическиэтоозначает, чтосравниваютсямеждусобойвсевозможные
поверхности, имеющиеуравнениевида z=z(x,y) и "натянутые" наодинитотжеконтур
(Г).
Дляполучениянеобходимогоусловияфункционалавданномслучаенадо
воспользоватьсяобщимусловием, азатем, какиранее, произвестиинтегрированиепо
частям. Преобразуяподобнымжеобразомпоследнийчленразложения, приходик
уравнениюЭйлерадляфункционаласфункциямидвухпеременных
.
ЭтоуравнениебыловпервыеполученоМ.В.Остроградскимв1834 г. ипоэтому
называетсятакже уравнениемОстроградского.
Развернутаяформаэтогоуравнениятакова:
.
(Доказатьсамостоятельно).
0
'''
=
∂
∂
−
∂
∂
−
qpz
F
y
F
x
F
02
'''''''''
2
2
''
2
''
2
2
''
=−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
zyqxpzqzpqqpqpp
FFF
y
z
F
x
z
F
y
z
F
yx
z
F
x
z
F
Задачи с подвижными границами
Взадачахвариационногоисчислениясподвижнымиграницамивотличиеотранее
рассмотренныхзадачграничныеусловиянафункцию у(х), х∈[а;b], наконцахотрезка
[a;b]незафиксированы.
Простейшаязадачавариационногоисчислениясподвижнымиграницамисостоитв
определениифункции y(x)∈C
1
[a;b] иточек , х
0
<x
1
длякоторыхфункционал
(35)
достигаетслабогоэкстремумаприусловиях
, (36)
(Здесь , F(x,y,z)-заданныефункциииF(х,у,z) имеетнепрерывные
частныепроизводныедовторогопорядкавключительноповсемаргументам).
Этузадачуможносформулироватьиследующимобразом. Пустьнаплоскости
заданыгладкиекривые и , . Требуетсянайтитакую
гладкуюкривую y=y(x) котораясоединяеткакую-либоточкукривойγ
1
скакой-либо
точкойкривойγ
2
идоставляетслабыйэкстремумфункционалу (35).
Необходимоеусловие 3.
Длятогочтобыфункционал (35) достигалнафункции y(x)∈C
1
[a;b]слабого
экстремума при условиях (36), необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла
уравнениюЭйлера
];[,
10
baxx
∈
∫
=
b
a
dxyyxFxyJ )',,()]([
)()(
000
xxy
ϕ
=
)()(
111
xxy
ϕ
=
];[)(),(
110
baCxx
∈
ϕ
ϕ
)(:
01
xy
ϕ
γ
=
)(:
12
xy
ϕ
γ
=
]
;
[
b
a
x
∈
0
'
=−
yy
F
dx
d
F
0])([
0
0
=
′
−
′
+
=
′
xxy
FyF
ϕ
0])([
1
1
=
′
−
′
+
=
′
xxy
FyF
ϕ
Такимобразом, дляопределенияэкстремалейвпростейшейзадачесподвижными
границаминеобходимонайтиобщеерешение у(х,С
1
,С
2
) уравненияЭйлера, послечего
изусловия (37) иуравнений
(38)
определитьпостоянныеС
1
иС
2
,иконцыотрезка [ ].
Еслинаодномизконцовискомойкривой у(х) заданообычноеграничноеусловие
(у(a) =y
0
или y(b)=y
1
), тоусловиетрансверсальности (37) следуетзаписатьтолькодля
другогоконцакривой.
Частнымслучаемзадачисподвижнымиграницамиявляетсязадача, вкоторой
заданаабсциссаодногоизконцовкривой у(х), например х
2
=b,нограничноеусловие
для x=b отсутствует. Этоозначает, чтограничнаяточка (b, у(b)) кривой у(х) может
перемещаться по вертикальной прямой х=b, и вместо второго условия
трансверсальности (37) следуетзаписать естественноеграничноеусловие
. (39)
Кзадачамвариационногоисчислениясподвижнымиграницамиотноситсяизадача
Больца, состоящаявопределениифункции y(x)∈C
1
[a;b], доставляющейслабый
экстремумфункционалу
, (40)
),(),,(
00210
xCCxy
ϕ
=
)(),,(
11211
xCCxy
ϕ
=
10
;xx
[
]
0
'
=
=bx
y
F
))(),(()',,()]([ byayfdxyyxFxyJ
b
a
+=
∫