Презентация - Булгаков Н.Ф. Основы теории надежности и диагностики АТС
Подождите немного. Документ загружается.
Приоценкерассеянияслучайнойвеличинывокругматематического
ожиданияиспользуется - среднееквадратическое
отклонение, равноеквадратномукорнюиздисперсии.
σ( ) ( )X DX=
Дляоценкиразбросаслучайнойвеличиныотматематическогоожидания
являетсякоэффициентвариации, определяемыйкакотношениесреднего
квадратическогоотклоненияксреднемузначениислучайнойвеличины:
V
X
X
cp
=
σ
(
)
Коэффициентвариациинеимеетразмерности, поэтомупозволяет
сравниватьразличныепоприродеслучайныевеличины, оценивать
закономерностиихраспределения.
2.1.6. Функция распределения
Важнойхарактеристикойслучайныхвеличин, какдискретных, такине
прерывных, являетсяфункцияраспределенияихвероятностей. Она
применяетсякакобщийспособзаданияслучайныхвеличин, таккакво
многихслучаяхнеудаетсяопределитьвсеихвозможныезначенияи
соответствующиевероятности. Длянепрерывныхслучайныхвеличинэто
принципиальноневозможно. Поэтомузаконраспределенияслучайной
величинывобщемслучаезадаетсяспомощьюфункциираспределения
еевероятности.
Функциейраспределениявероятностейслучайнойвеличиныназывают
функцию F(x), равнуювероятноститого, чтослучайнаявеличина Х в
результатеиспытанияприметзначение, меньшее х:
F(x) = P(X<x).
График функции распределения: а - непрерывной случайной
величины; б - дискретной случайной величины
2.1.7. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины.
Непрерывнаяслучайнаявеличина, вотличиеотдискретной, может
задаватьсянетолькофункциейраспределениявероятностей, ноиее
первойпроизводной, котораяназываетсяплотностьюраспределения:
fl
Fl
l
()
()
=
∂
∂
Плотностьраспределениянеприменимадляописаниядискретной
случайнойвеличины, таккакихфункцияраспределенияимеетразрывы
инедифференцируется.
Плотность распределения замен
двигателя ЗИЛ-375ЯГ
2.1.8. Числовыехарактеристикинепрерывныхслучайныхвеличин
Математическоеожиданиенепрерывнойслучайнойвеличины L, возможные
значениякоторойпринадлежатотрезку [L1, L2], равенопределенному
интегралу:
М(l) =
lfl l
L
L
()∂
1
2
∫
.
Дисперсия непрерывной случайной величины L, возможные значения
которой принадлежат отрезку [L1, L2], равен определенному интегралу:
∫
−=
2
1
)()]([)(
2
L
L
llflMlLD ∂
Среднееквадратическоеотклонениеикоэффициентвариации
вычисляетсятакже, какидлядискретныхслучайныхвеличин.
Тема 2.2. Законыраспределениянепрерывныхслучайныхвеличин.
Характеристикиотказа, такие, какнаработкадоотказа, являются
непрерывнымислучайнымивеличинами. Втеориитехнической
эксплуатацииавтомобилейприменяютсяследующиезаконыраспределения
вероятностейнепрерывныхслучайныхвеличин: нормальный;
логарифмически-нормальный; экспоненциальный; законВейбулла-Гнеденко;
гамма-распределениеидр.
2.2.1. Нормальныйзакон.
Нормальным (распределениемГаусса) называетсяраспределение
вероятностейнепрерывнойслучайнойвеличины, еслиееплотность
описываетсяпоформуле
fl e
a
()
( )
=
−
−
1
2
1
2
2
2
σ π
σ
Функцияраспределениянормальногозаконавыражаетсяформулой
Fl e t
a
l
()
( )
=
−
−
−
∞
∫
1
2
1
2
2
2
σ π
∂
σ
Нормальныйзаконимеетдвапараметра: а и σ. Параметр а равен
математическомуожиданию M(L), апараметр σ - среднемуквадратическому
отклонениюслучайнойвеличины σ(L).
Влияние параметров нормального закона на вид кривой плотности
Если L - нормальнораспределеннаяслучайнаявеличинаспараметрами
M(L) = а и S(L) = σ ,
то U - нормированнаяслучайнаявеличинаспараметрами
M(U)=0иS=1.
F u e z
z
u
0
2
1
2
2
()=
−
−
∞
∫
π
∂
f u e
u
0
2
1
2
2
()=
−
π
Если L - непрерывнаяслучайнаявеличина, токвантильюпорядка р
называетсявеличина lр, определяемаяизравенства
F(lp) = p.
Существуют таблицы функции F0(l) и плотности f0(l) нормированного
нормального распределения , у которого а = 0 и σ = 1
Сиспользованиемэтихтаблицприлюбом L находитзначение
функциираспределения, предварительнорассчитывая u поформуле
u
l ML
L
=
−
()
()σ
Квантиль up определяетсяизформулы
p e z e z
z
u
z
u
p p
= = +
−
∞
∫ ∫
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
0
π
∂
π
∂
При заданном значении р выбирается квантиль uр. Затем рассчитывается L
по формуле
l= M(L) ±up ⋅σ(L).
Понятиедоверительнойвероятностисвязаносинтервальнымиоценками
случайныхвеличин. Еслиоцениваетсяслучайнаявеличина L иего
граничныеоценкиравны Lн и Lв, товероятностьтого, что
случайнаявеличина L приметзначениенебольше LвР(L ≤ Lв) = αн
называетсянижнейодностороннейдоверительнойвероятностью, аобласть
значений 0 ≤ L ≤ Lв - нижнимодностороннимдоверительныминтервалом.
Вероятностьтого, чтослучайнаявеличина L приметзначениене
меньше Lн (Р(L ≥ Lн)=αв)называетсяверхнейодносторонней
доверительнойвероятностью, аобластьзначений L ≥ Lн - верхним
одностороннимдоверительныминтервалом. Вероятностьтого, что
случайнаявеличина L приметзначениемежду Lн и Lв илиравноеим
(P(Lн ≤ L ≤ Lв)=α*), называетсядвустороннейдоверительной
вероятностью, аобластьзначений Lн ≤ L ≤ Lв – двусторонним
доверительныминтервалом.
Доверительныеинтервалыоценкипоказателейнадежности
Нормальнораспределеннаяслучайнаявеличина, напримернаработка
наотказ, принимаетзначения, близкиексвоемуматематическому
ожиданию: равное M(L)–свероятностью 0,5; винтервалеот
[M(L)-σдо M(L)+σ]свероятностьюболее 0,62; винтервалеот
[M(L) -2σдо М(L) +2σ]–более 0,95; винтервалаот
[M(L) -3σдо M(L) +3σ]–более 0,97(рис.2.9). Этосвойствонормального
законаиспользуетсядляоценкинормальностинеизвестного
распределения. Чащевсегоприменяетсяправилотрехсигм: если
абсолютнаявеличинамаксимальногоотклонениянеизвестнойслучайной
величиныотматематическогоожиданиянепревосходитутроенного
среднегоквадратическогоотклонениясвероятностьюболее 0,97, то
естьоснованиесчитатьраспределениенормальным.
Правилотрехсигм
2.2.3. Логарифмически-нормальныйзакон
Логарифмически-нормальнымназываетсязаконраспределения
вероятностейслучайнойвеличины, когдаеелогарифмраспределен
понормальномузакону. Плотностьраспределенияописываетсяформулой
ft
пиt
t
e пиt
ta
()
р ,
р .
(ln )
=
≤
>
−
−
0 0
1
2
0
2
2
2
σ π
σ
Логарифмически-нормальныйзаконраспределенияприменяетсяпри
исследованиисобытий, обусловленныхсовместнымдействиемизносаи
старенияматериалов.