Попов В.А. Математические методы моделирования физических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
81
√
∫
√
∫
∫
∫
∫
(
∫
)
Функция
∫
называется сверткой функций
и
и обозначается
. С уче-
том введенного понятия свертки имеем
√
∫
√
Отсюда видно, что преобразование Фурье свертки функций
и
равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций,
умноженному на
√
.
Таблица основных свойств и формул преобразования Фурье приведена
в приложении.
3.7 Преобразование Фурье-Бесселя
Пусть имеем действительную функцию
, абсолютная величина
|
|
которой интегрируема на интервале , т.е.
∫
|
|
тогда функция
∫
называется преобразованием Ганкеля порядка mфункции
. Здесь
– функция Бесселя порядка . Соответствующее преобразо-
вание
∫
называется обратным преобразованием Ганкеля порядка m. С интеграль-
ным преобразованием Ганкеля тесно связаны преобразования Фурье-
Бесселя при m, достигающих целых и полуцелых значений:
82
∫
∫
∫
√
∫
√
В частности заметим, что последняя пара формул преобразования Фурье-
Бесселя при сводится к синус-преобразованию Фурье.
83
4 Интегральные уравнения
4.1 Решение некоторых задач математической физики методом
интегральных уравнений
1. Равновесие нагруженной струны. Рассмотрим струну длиной , кото-
рая может свободно изгибаться, но оказывать сопротивление растяжению,
пропорциональное величине этого растяжения. Пусть концы жестко закреп-
лены в точках и . Тогда в положении равновесия струна совпадает
с отрезком оси , . Предположим, что в точке
к струне при-
ложена вертикальная сила
. Под действием этой силы струна отклонится от
положения равновесия и примет форму ломаной, изображенной на рисунке.
Зададим величину отклонения струны в точке
под действием силы
,
приложенной в этой точке. Если сила
мала по сравнению с натяжением
ненагруженной струны
, то горизонтальную проекцию силы натяжения
можно считать равной
. Тогда из условия равновесия струны получим ра-
венство:
откуда
Пусть теперь
– прогиб струны в некоторой точке под действием силы
. тогда
где
{
при
при
Из последней формулы видно, что
.
Предположим теперь, что на струну действует сила, распределенная по
ней непрерывно, с линейной плотностью силы
. Если эта сила мала, то
деформация зависит от силы линейно, а форма нагруженной струны описы-
вается функцией
84
∫
Эта формула позволяет найти форму, которую примет струна под действием
нагрузки, непрерывно распределенной по ней с линейной плотностью силы
при
.
Заметим, что можно сформулировать и обратную задачу: найти такое
распределение нагрузки
, при котором струна примет заданную
форму
. В этом случае необходимо решать уравнение, которое содержит
неизвестную функцию
под знаком интеграла. Полученное уравнение
(4.1.1) называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода.
2. Вынужденные колебания струны. Рассмотрим струну с закрепленны-
ми концами длиной , которая может совершать колебания. Пусть
–
смещение точки струны с абсциссой
в момент времени ; – линейная
плотность струны. Тогда на каждый элемент струны единичной длины дей-
ствует сила
равная силе внешнего воздействия и силе инерции. Подставляя это выраже-
ние в (4.1.1), получим интегральное уравнение
∫
которое необходимо решать для каждого значения времени . В нем
∫
Предположим, что струна совершает вынужденные гармонические колебания
под действием внешней силы
с фиксированной ча-
стотой и амплитудой
, зависящей только от
так, что точки струны
будут испытывать гармонические колебания
. Тогда
амплитуда смещения точек струны будет иметь вид
∫
где
{
при
при
∫
Полученное уравнение (4.1.2) называется неоднородным интегральным
уравнением Фредгольма второго рода.
85
3. Сведение дифференциальных уравнений к интегральным уравне-
ниям. Рассмотрим в качестве примера уравнение второго порядка
Пусть
, где . Тогда решение уравнения
с начальными условиями
,
можно представить в виде
(
)
(
)
∫
(
)
Поэтому нахождение решения исходного дифференциального уравнения
сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода:
∫
(
)
(
)
(
)
с теми же начальными условиями. Сформулируем определения:
Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция вхо-
дит в уравнение под знаком интеграла.
Интегральное уравнение вида
∫
[
]
называется интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода, а инте-
гральное уравнение вида
∫
[
]
называется интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода, где –
заданная непрерывная функция от и , называемая ядром,
– заданная
функция,
– искомая функция, – параметр. Если
, то инте-
гральное уравнение Фредгольма 2-го рода называется однородным.
Интегральное уравнение вида
∫
называется интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода, а интеграль-
ное уравнение вида
∫
называется интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода, где –
заданная непрерывная функция от и , называемая ядром,
– заданная
функция,
– искомая функция, – параметр.
86
4.2 Задача Штурма-Лиувилля
Рассмотренная в параграфе 1.18 задача на собственные значения и соб-
ственные функции является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля.
Обобщим эту задачу и сформулируем ее как первую краевую задачу на соб-
ственные значения и собственные функции для оператора Штурма-
Лиувилля:
Здесь – оператор, действие которого на искомую функцию
, имеет вид
(
)
а функции , , удовлетворяют следующим условиям: –
непрерывно дифференцируемая функция, и –функции, непрерыв-
ные на [ ], причем
, , а при [ ].
Докажем, что оператор L является симметрическим на подпространстве
дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих одно-
родным граничным условиям первого рода. Из этого результата сразу следу-
ет, что при изучении задачи Штурма-Лиувилля достаточно ограничиться
лишь вещественными значениями . Возьмем произвольные дважды непре-
рывно дифференцируемые функции и , удовлетворяющие гранич-
ным условиям . Покажем, что для скалярного
произведения справедливо равенство .
∫
(
)
|
∫
(
)
|
∫
(
)
Рассмотрим теперь краевую задачу
позволяющую представить заданную функцию
как результат действия
линейной операции над неизвестной функцией
, удовлетворяющей за-
данным краевым условиям
. Если можно записать соответ-
ствующую обратную операцию в форме линейного интегрального преобра-
зования
∫