Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах

Подождите немного. Документ загружается.

Федеральное агентство по образованию

Уральский государственный технический университет–УПИ

Н.Х. Понетаева, Н.В. Патрушева

Начертательная геометрия

в примерах и задачах

Учебное пособие

Научный редактор доц., канд. техн. наук Н.Х. Понетаева

Печатается по решению редакционно-издательского

Совета УГТУ УПИ от 18. 01.2007

УГТУ–УПИ

2008

УДК 515.0 (075.8)

ББК 22.151.3

П56

Рецензенты: кафедра начертательной геометрии и машиностроительного черчения

Уральского государственного лесотехнического университета проф., докт. техн. наук,

зав. кафедрой, заслуженный изобретатель РФ Н.Н. Черемных; доц., канд. техн. наук

Ю.А. Савельев.

Авторы: Н.Х. Понетаева, Н.В. Патрушева

Понетаева Н.Х.

П 56 Начертательная геометрия в примерах и задачах: учебное пособие/Н.Х.

Понетаева, Н.В. Патрушева. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2008, 108 с.

ISBN

В учебном пособии в каждом разделе приведены основные теоретические положе-

ния начертательной геометрии, рассмотрены решения типовых примеров с подробными

пояснениями и подобраны задачи для самостоятельного решения студентами.

Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей и всех форм

обучения, изучающих начертательную геометрию.

Библиогр.: 5 назв. Рис. 241

УДК515.0 (075.8)

ББК 22.151.3

ISBN © Уральский государственный

технический университет–УПИ, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Метод проецирования 5

1.1. Центральное, параллельное и ортогональное проецирование 5

1.2. Инвариантные свойства параллельного проецирования 5

2. Задание точки, отрезка прямой, плоскости на комплексном чертеже 7

2.1. Ортогональные проекции точки 7

2.2. Прямые частного и общего положения. Следы прямой 8

2.3. Длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций. Способ

прямоугольного треугольника. Построение отрезка прямой

по заданным условиям 12

2.4. Взаимное положение прямых 15

2.5. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости 17

2.6. Плоскости частного и общего положения 19

2.7. Принадлежность точки и прямой плоскости.

Главные (особые) линии плоскости 22

3. Позиционные задачи. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей 45

3.1. Пересечение прямой линии и плоскости 45

3.2. Пересечение плоскостей 46

3.3. Прямые линии и плоскости, параллельные плоскости 48

3.4. Прямые линии и плоскости, перпендикулярные плоскости 50

3.5. Изображение многогранников 53

4. Способы преобразования проекций 57

4.1 Замена плоскостей проекций 57

4.2. Плоскопараллельное перемещение 62

4.3. Вращение вокруг проецирующих прямых 66

4.4. Вращение вокруг прямых уровня. Совмещение 70

5. Поверхности 78

5.1. Поверхности вращения. Принадлежность точки поверхности 78

5.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью 80

5.3. Пересечение прямой линии с поверхностью 88

6. Взаимное пересечение поверхностей 95

6.1. Способы построения линии пересечения поверхностей 95

6.2. Способ вспомогательных секущих плоскостей 95

6.3. Способ вспомогательных секущих поверхностей 100

6.3.1. Способ концентрических сфер 100

6.3.2. Способ эксцентрических сфер 104

6.3.3. Способ вспомогательных концентрических цилиндров 107

6.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка 108

6.4.1. Теорема Г. Монжа 109

6.4.2. Цилиндры с параллельными осями 111

6.4.3. Конусы с общей вершиной 111

7. Развертки поверхностей 113

8. Плоскость, касательная к поверхности 120

9. Комплексные задачи 123

Библиографический список 130

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. Точки в пространстве – А, В, С..., 1, 2, 3...

2. Прямые и кривые линии в пространстве –- а, b, с...

3. Плоскости –

...

4. Поверхности – Φ, ,Σ Ω. . .

5. Углы –-

. . .

6. Прямой угол – 

7. Плоскости проекций – П: горизонтальная плоскость проекций – П

фронтальная плоскость проекций – П

профильная плоскость проекций – П

дополнительные плоскости проекций - П

, П

…

8. Центр проецирования – S.

9. Направление проецирования – s

10. Оси координат – X, Y, Z.

11. Проекции точек, прямых, плоскостей, поверхностей

на плоскости П

– А

,В

,С

,а

, c

,Φ

,

,Σ

,Ω

…

на плоскости П

– А

..., a

... ,

…, Φ

…

на плоскости П

– А

,..., а

...,

..., Φ

...

12. Обозначение плоскостей, заданных следами:

горизонтальный след –

п1

фронтальный след –

п2

профильный след –

п3

точки схода следов: на оси Х –

, на оси Y –

13. (АВ) – прямая, проходящая через точки А и В

14. | АВ | – расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ)

15. ≡ – совпадение, тождество

16. ‖– параллельность

17. ⊥ – перпендикулярность

18. → – отображение

19.  – принадлежность, например, А ∈ a – точка А принадлежит прямой а.

20. ∩ – пересечение множеств: например, А = а ∩

– прямая а пересекается с плоскостью

в точке А

21. ∧ – конъюнкция, соответствует союзу «и»

22. ∨ – дизъюнкция, соответствует союзу «или»

1. Метод проецирования

1.1. Центральное, параллельное и ортогональное проецирование

Метод проецирования применяется для изображения геометрического объекта на плоскости.

Изображение получается при пересечении проецирующих лучей с плоскостью.

Рис.1.1 Рис.1.2

Центральное проецирование (рис. 1.1). Проецирующие лучи проводятся из одной точки S – центра

проекций. П

– плоскость проекций, точки A, B, C, D – точки пространства, D ∈ П

; A

, B

, C

, D

–

центральные проекции точек A, B, C, D на плоскость проекций П

; SA, SB, … – проецирующие лучи; D

≡

Аппарат центрального проецирования – плоскость П

и центр проецирования S.

Параллельное проецирование (рис. 1.2). Проецирующие лучи параллельны направлению

проецирования s. П1 – плоскость проекций; точки A, B, C, D, E – точки пространства, D ∈ П

; A

, B

, C

, D

, E

– параллельные проекции точек A, B, C, D, E на плоскость проекций П

;

≡

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций параллельное

проецирование разделяют на косоугольное и прямоугольное (ортогональное).

Выводы:

1. Каждой точке пространства соответствует одна единственная проекция на плоскость П

2. Одна проекция точки не определяет положения точки в пространстве.

1.2. Инвариантные свойства параллельного проецирования

При параллельном проецировании метрические характеристики геометрических объектов нарушаются.

В общем случае происходит искажение линейных и угловых величин. Сохраняются следующие свойства:

1. Проекция точки на плоскость есть точка A → А 1.

2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая, за исключением прямой, направление которой

совпадает с направлением проецирования (рис. 1.3) m → m

, n ‖S /\ n → N

Рис. 1.3

Рис. 1.4

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.3),

∈

m → A1

∈

m1.

4. Если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится

проекцией точки же отношении (рис. 1.3), В

∈

АС → АВ : ВС = А1В1 : В1С1.

5. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в том же

отношении, как и длины проецируемых отрезков (рис 1.4), АB || CD → А1B1 II C1D1; AB : CD=A1B1 :

C1D1.

6. Проекции пересекающихся прямых пересекаются. Точка пересечения проекций двух

пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения прямых (рис. 1.5), K = AB ∩CD →

А1B1∩C1D1 ∧ K → K1.

Рис.1.5 Рис. 1.6

7. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его

сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рис. 1.6), АВ ⊥ ВС; AВ || П

AB не⊥ П

→ А

⊥ B

8. Проекции двух скрещивающихся прямых в зависимости от направления проецирования могут или

пересекаться, или быть параллельными (рис. 1.7, 1.8).

Рис. 1.7 Рис. 1.8

9. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения,

Δ АВС || П

→ Δ A

= IΔ ABCI.

10. При параллельном перемещении фигуры или плоскости проекций изображение фигуры на этой

плоскости не изменяется.

2. Задание точки, отрезка прямой, плоскости

на комплексном чертеже

2.1. Ортогональные проекции точки

Положение точки в пространстве рассматривается относительно взаимно перпендикулярных

плоскостей проекций П

⊥ П

(рис. 2.1), которые пересекаются по осям OX

⊥

OZ.

Расстояния от точки до плоскостей проекций называются координатами точки –– X, Y, Z.

X –– удаление от П

, Y –– от П

, Z –– от П

. А (X, Y, Z).

На комплексном чертеже две проекции точки А : А

и А

, A

и А

, А

и A

лежат на одном перпендикуляре к

соответствующей оси координат, проходящем через точки А

, А

, A

Две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

По двум проекциям точки можно построить ее третью проекцию.

Горизонтальная проекция точки имеет координаты X и Y, фронтальная проекция –– X и Z, профильная

проекция –– Y, Z.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Пример 2.1

Построить проекции точки A, удаленной от горизонтальной плоскости проекций П

на 30 мм, от

фронтальной плоскости проекций П

–– на 20 мм, от профильной плоскости проекций П

–– на 50 мм

(рис. 2.3).

Точка A имеет координаты X=50, Y=20, Z=30.

A (50,20,30)

На оси координат ОХ отложим влево

(положительное направление) отрезок ОA

= Х = 50.

Через полученную точку A

проведем линию

проекционной связи, перпендикулярную оси ОХ.

=Y=20. Полученная точка А

будет искомой

горизонтальной проекцией точки А.

Для построения фронтальной проекции А

от

точки А

отложим вверх отрезок A

=Z=30.

По двум проекциям точки A

и A

достраиваем

профильную проекцию A

, проводя линии

проекционной связи A

-A

через A

и A

-A

через A

Рис. 2.3

Задача 2.1

Построить три проекции точек:

А(30,20,10),

B(20,0,30),

C(10,30,0),

D(40,0,0)

Задача 2.2

Построить три проекции точек:

А(10,20,-10),

В(20,-20,40),

С(30,-30,-30).

Рис. 2.4 Рис. 2.5

2.2. Прямые общего и частного положения. Следы прямой

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная плоскости проекций, называется прямой общего

положения (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции называются следами прямой. Пересечение

прямой с горизонтальной плоскостью проекций П

называется горизонтальным следом прямой, с

фронтальной плоскостью проекций П

– фронтальным следом прямой.

На рис 2.7 прямая, проходящая через точки А и В, пересекается с горизонтальной и фронтальной

плоскостями проекций: AВ ∩ П

=М, AB ∩ П

=N. Точка М прямой имеет аппликату Z

= 0. След прямой (точка М)

и горизонтальная проекция М

совпадают М ≡ М

, фронтальная проекция M

точки M находится на оси OX. Точка

N прямой имеет ординату Y

= 0. След прямой (точка N) и ее фронтальная проекция N

совпадают N ≡ N

, N

∈ OX.

Рис.2.7

Прямой частного положения называется прямая, параллельная или перпендикулярная плоскостям

проекций.

На рис. 2.8, 2.9 приведены комплексные чертежи прямых, параллельных плоскостям проекций – линий

уровня.

Рис.2.8 Рис.2.9

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П

, называется горизонталью (или

горизонтальной прямой, или горизонтальной линией уровня) и приведена на рис.2.8.

Горизонтальная проекция A

равна натуральной величине отрезка IABI. Угол между А

и осью ОХ равен

натуральной величине угла между горизонталью AB и фронтальной плоскостью проекций П

AB ‖ П

→ A

= IABI, A

^OX = AB^П

= ψ.

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П

, называется фронталью.

CD ‖П

→ C

= |CD|, C

^ OX=CD ^ П

= ϕ.

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П

, называется профильной прямой.

EF ‖ П

→ E

= |EF I, E

^ OY = EF ^ П

= ϕ ,

^ OZ = EF^П

= ψ.

На рис. 2.10 приведен комплексный чертеж прямых,

перпендикулярных плоскостям проекций –

проецирующих прямых.

Прямая, перпендикулярная горизонтальной

плоскости проекций П

, называется горизонтально-

проецирующей прямой, перпендикулярная

фронтальной плоскости проекций П

, – фронтально-

проецирующей, перпендикулярная профильной

плоскости проекций П

, – профильно-

проецирующей.

AB ⊥ П

→ A

≡B

, A

= │AB│^ AB‖П

CD ⊥ П

→ С

≡ D

, C

= │CD │^ CD ‖П

EF⊥П

→E

≡F

, E

= |EFI ^ EF‖П

, EF‖П

Рис. 2.10

Задача 2.3

На прямой, проходящей через точки A и B,

построить точку C, удаленную от П

на 20 мм,

точку D, удаленную от П

на 15 мм, точку M ∈ П

точку N ∈ П

Задача 2.4

Через точку A провести отрезок горизонтально

проецирующей прямой длиной 25 мм, через тоску C

–отрезок фронтально проецирующей прямой

длиной 15 мм.

Рис. 2.11 Рис. 2.12