Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах

Подождите немного. Документ загружается.

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций

(рис.2.52, 2.53). Горизонтальный след плоскости

П1

и фронтальный след плоскости

П2

на ортогональном

чертеже совпадают и перпендикулярны оси ОХ. Отрезок АВ, принадлежащий плоскости, проецируется на

профильную плоскость проекций в натуральную величину, его горизонтальная проекция совпадает с

горизонтальным следом плоскости, а фронтальная проекция отрезка – с фронтальным следом плоскости.

АВ ∈

||П

→

П1

⊥ ОХ,

П2

⊥ ОХ ∧ А

∈

П1

, А

∈

П2

. А

= |АВ|.

Задача 2.25

Через точку A провести горизонтально

проецирующую плоскость, наклоненную к П

под

углом 135

Задача 2.26

Через отрезок AB провести фронтально

проецирующую плоскость. Плоскость задать

следами и треугольником.

Рис. 2. 48

Рис. 2.49

Задача 2.27

Через отрезок AB провести профильно-

проецирующую плоскость. Плоскость задать

следами.

Задача 2.28

Задан фронтальный след плоскости a и точка A,

принадлежащая этой плоскости. Построить

горизонтальный след плоскости a.

Рис. 2.50

Рис. 2.51

2.7. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные (особые) линии

плоскости

Точка в плоскости выбирается из условия, что она находится на прямой линии этой плоскости.

Прямая линия принадлежит плоскости при условии, если она проходит: 1) через две точки плоскости; 2)

через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости.

К главным линиям плоскости относят линии уровня плоскости, параллельные плоскостям проекций, и

линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций.

Горизонталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной

плоскости проекций П

Фронталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости

проекции П

Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций П

(линия ската) –

прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости.

Линия наибольшего наклона плоскости к фронтальной проекции П

– прямая, принадлежащая

плоскости и перпендикулярная фронтали плоскости.

Рис. 2.52 Рис. 2.53

На рис. 2.52 плоскость

задана пересекающимися прямыми АВ и ВС:

(АВ

∩

ВС).Точки А и К

расположены на прямых, которыми задается плоскость

: А ∈ АВ

∈

⇒А

∈

, К∈ВС

∈ ⇒К

∈

Прямая АК принадлежит плоскости

: АК

∈

.Через точку С можно провести прямую CD,

параллельную АВ. Эта прямая по условию принадлежит плоскости

(АВ

∩

ВС). СD || АВ

∈

∧

∈ ⇒CD

∈ .

В плоскости

(см. рис. 2.53) общего положения проведены произвольные горизонталь – АВ и линия

ската – DE: АВ

∈ ∧ АВ || П

, DЕ

∈ ∧ DE

⊥

AB.Фронтальная проекция А

горизонтали АВ параллельна

оси ОХ, горизонтальная проекция А

параллельная горизонтальному следу плоскости

П1

|| OX,

П1

|| A

Прямой угол, который линия ската составляет с горизонтальной плоскостью проекций, проецируется

на горизонтальную плоскость проекций П

без искажения. Фронтальная проекция линии ската D

определяется по условию принадлежности плоскости

: D

⊥

∧ D

⊥

П1

На рис. 2.54 в плоскости общего положения

проведены произвольно фронталь – АВ и линия

наибольшего наклона плоскости

к П

– DE:

АВ

∈

∧ АВ||П

, DE

∈

∧DE ⊥ AB.

Горизонтальная проекция А

фронтали АВ

параллельна оси координат ОХ, фронтальная

проекция А

параллельна фронтальному следу

плоскости

П2

|| ОХ, А

П2

Прямой угол между фронталью и линией

наибольшего наклона плоскости

к П

проецируется без искажения на фронтальную

плоскость проекций П

. Горизонтальная проекция

линии наибольшего наклона D

строится как

недостающая проекция из условия принадлежности

плоскости

⊥

∧

⊥

П2

Рис. 2.54

Задача 2.35

Построить проекции равнобедренного треугольника

ABC с основанием AB и вершиной C, расположенной в

и удаленной от П

на 10 мм.

Задача 2.36

Построить следы плоскости, заданной линией

ската AB.

Рис. 2.55

Рис. 2.56

Задача 2.37

Дана фронтальная проекция треугольника ABC,

расположенного в плоскости

n). Построить

горизонтальную проекцию треугольника.

Задача 2.38

Построить в плоскости треугольника ABC точку K,

удаленную от П

на 25 мм. от П

– 25 мм.

Рис. 2.57 Рис. 2.58

Пример 2.4

Построить проекции прямоугольного треугольника ABC, принадлежащего плоскости

. Катет

АВ расположен на горизонтали плоскости и равен 20 мм, катет ВС равен 30 мм (рис. 2.59).

Рис. 2.59

Даны:

(

П1

П2

) ∧ А (А

,А

)

∈

Проведем проекции горизонтали

плоскости

через одноименные проекции

точки А: А

|| ОХ, A

П1

. На

горизонтали откладываем размер катета

|AB| = A

= 20, A

– фронтальная

проекция катета АВ.

Строим направление второго катета

(B –2)_LAB ^В

1ДВ

Определяем натуральную величину

отрезка (В – 2) с помощью

вспомогательного прямоугольного

треугольника

2*, (2

2*) =

-2*) – натуральная величина

отрезка (В-2).

Откладываем на отрезке (В

– 2*)

натуральную величину катета

треугольника |ВС|=30. Отрезок В

C* –

натуральная величина ВС.

Строим горизонтальную проекцию С

точки С на прямой В

По линии

проекционной связи получаем

фронтальную проекцию точки С

, – горизонтальная проекция

треугольника ABC, принадлежащего

плоскости

, А

– фронтальная

проекция треугольника.

Пример 2.5

Построить проекции окружности с центром в точке О, принадлежащей плоскости

(рис. 2.60).

На горизонтальной плоскости

проекций П

большая ось эллипса А

совпадает с направлением горизонтали

плоскости

и равна диаметру

окружности. На фронтальной плоскости

проекций П

большая ось эллипса C

совпадает с направлением фронтали

плоскости и равна диаметру окружности.

Недостающие проекции АВ и CD

определяются из условия принадлежности

горизонтали и фронтали плоскости.

Для построения малых осей эллипсов

проводим прямые, перпендикулярные

соответствующим проекциям линий уровня

плоскости окружности.

Эллипс на П

определен большой

осью А

, и направлением малой оси –

точками О

и 1

.Этих условий достаточно

для графического определения малой оси

эллипса с помощью вспомогательного

прямоугольного треугольника О

(аналогично примеру 2.4), в котором катет

-1

O- 1

, второй катет 0

гипотенуза – 0

1* – натуральная величина

отрезка (0-1).

K* = |R|, O

= 1/2 малой оси

эллипса на горизонтальной плоскости

проекций П

Аналогично строится фронтальная

проекция эллипса.

Рис. 2.60

Задача 2.39

В плоскости

построить равнобедренный

ABC,

основание которого AB равно 30 мм и расположено на

горизонтали плоскости

. Высота треугольника CD

равна 25 мм.

Задача 2.40

В плоскости

построить квадрат ABCD, сторона

которого AB равна 25 мм и принадлежит фронтали

плоскости

Рис. 2.61 Рис. 2. 62

Задача 2.41

В плоскости

построить окружность диаметром

40 мм. с центром в точке О.

Задача 2.42

В плоскости

построить квадрат ABCD. Плоскость

– горизонтально проецирующая. Точка О – точка

пересечения диагоналей квадрата. Диагональ AC

⊥

и равна 40 мм.

Рис. 2.63

Рис. 2. 64

Задача 2.43

В плоскости

построить окружность диаметром 30

мм. с центром в точке О. Плоскость

–

фронтально проецирующая.

Задача 2.44

В плоскости

построить окружность диаметром 40

мм. с центром в точке О.

Рис. 2.65

Рис. 2.66

Для самостоятельной работы

3. Позиционные задачи. Относительное положение прямой

и плоскости, плоскостей

3.1. Пересечение прямой линии и плоскости

Пример 3.1

Найти точку пересечения отрезка прямой MN с плоскостью

ABC. Определить видимость MN.

Для нахождения точки пересечения:

1) через прямую проводим

вспомогательгую фронтально-проецирующую

плоскость

∈

⊥

;

2) определяем линию пересечения этой

плоскости с плоскостью треугольника ABC;

3) точка K находится как точка

пересечения данной прямой MN c линией

пересечения плоскостей α и DABC.

Видимость прямой MN определяется по

правилу конкурирующих точек. Точка

пересечения всегда видима и является

границей видимости.

Горизонтально-проецирующий луч

пересекает MN в точке 3, а сторону AC – в

точке 4. Точка 3 находится дальше от П

, чем

точка 4, следовательно, на П

участок (M

– K

)

виден.

Фронтально проецирующий луч

пересекает MN в точке 5, а сторону BC – в

точке 2. Точка 5 находится от плоскости П

дальше, чем точка 2, поэтому участок (K

– N

)

виден на П

Рис. 3.1

Задача 3.1

Найти проекции точки пересечения прямой MN с

плоскостью,заданной точкой A и отрезком

прямой BC. Определить видимость прямой MN.

Задача 3.2

Найти проекции точки пересечения отрезка

прямой MN с плоскостью треугольника ABC.

Определить видимость прямой MN.

Рис. 3.2 Рис. 3.3

3.2. Пересечение плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, которуюможно построить по двум общим точкам.

Линия пересечения всегда видима на плоскости проекций. Видимость прямых, расположенных в

пересекающихся плоскостях, определяется по конкурирующим точкам.

Пример 3.2

Построить проекции линии пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость

треугольников относительно плоскостей проекций.

Рис. 3.4

Линия пересечения треугольников MN построена поточкам пересечения

сторон AB и AC треугольника

ABC с плоскостью другого треугольника DEF.

Для определения точки M пересечения стороны AB с DABC:

1. через сторону AB провести фронтально проецирующую плоскость α;

2. построить линиюпреесечения этой плосксот с плоскостьютреугольника DEF;

3. точка M находится на пересечении линии (1 – 2) со стороной AB треугольника ABC.

Точка M принадлежит искомой линии пересечения заданных треугольников.

Аналогично определяется точка N с помощью проведения

вспомогательной фронтально

проецирующей плоскости β через сторону AC треугольника ABC.

Видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций. Проведем горизонтально

проецирующий луч, пересекающий стороны AB и DE данных треугольников. Этот луч пересекает DE в точку

5, а сторону AB – в точке 6. Точка 5, принадлежащая DE, дальше отстоит от плоскости проекций П

, чем

точка 6, принадлежащая AB. Cледоательно, сторона DE в П

полностью видима, а сторона AB на участке

– M

) невидима. Этого достаточно для определения видимости на П

остальных сторон треугольников.

Видимость треугольников на фронтальной плоскости проекций. Проведем фронтально

проецирующий луч, пересекающий стороны EF и AC. Точка 4 сторны EF конкурирует с точкой 7 стороны AC.

Точка 4 более удалена от плоскости проекций П

, чем точка 7.Поэтому фронтальная проекция E

полностью видима, а сторона A

на участке (II

– 7

) не видима. Этого достаточно для определения

видимости треугольников во фронтальной влоскости проекций.

Задача 3.3

Через точку M провести фронтально

проецирующую плоскость

под углом

= 60

. Построить проекции линии пересечения

ABC. Определить видимость.

Задача 3.4

Построить проекции линии пересечения DABC и

FDE. Определить видимость

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Задача 3.5

Через точку M провести горизонтально проецирующую плоскость, перпендикулярную стороне AB

треугольника ABC. Построить линию пересечения плоскостей. Определить видимость.

Рис. 3.7