Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах

Подождите немного. Документ загружается.

Пример 4.1

Перевести отрезок прямой АВ общего положения в проецирующее.

Первая замена плоскостей проекций.

Перейдем от системы плоскостей П

⊥П

к системе

⊥П

, заменив П

на П

так, чтобы АВ||П

Новая ось

проведена параллельно проекции А

, при этом

‖АВ. Из А

и В

перпендикулярно Х

проведем

линии проекционной связи, на них отложим отрезки,

равные Z

и Z

. Получим новую проекцию, равную

натуральной величине отрезка А

=|АВ|.

Вторая замена плоскостей проекций.

Плоскость П

заменяем на П

так, чтобы отрезок АВ

стал проецирующим: АВ⊥П

. Для этого проведем

новую ось Х

перпендикулярно А

и на линии

проекционной связи, являющейся продолжением

проекции отрезка А

, отложим отрезки, равные

расстояниям от заменяемых проекций А

и В

до

заменяемой оси координат Х

. Так как эти отрезки

равны, то получаем одну точку А

=В

, являющуюся

проекцией отрезка AВ на плоскость П

Рис. 4.3

Пример 4.2

Найти натуральную величину треугольника ABC и угол наклона его плоскости к горизонтальной

плоскости проекций П

Рис. 4.4

Выберем новую плоскость проекций П

, перпендикулярную плоскости треугольника ABC, а на

комплексном чертеже – перпендикулярную горизонтали АК плоскости треугольника: П

⊥ ΔАВС, П

⊥ АК,

АК ∈ΔАВС, АК || П

Проводим новую ось координат Х

перпендикулярно А

: Х

⊥ А

.Имеем систему взаимно

перпендикулярных плоскостей П

⊥ П

. Плоскость треугольника ABC по отношению к плоскости П

будет

проецирующей. Проводим линии проекционной связи от точек А

, В

, С

и откладываем координаты Z вершин

треугольника от новой оси Х

, получаем проекции точек А

, В

, С

. Проекция треугольника ABC на П

– прямая

, составляющая с осью Х

угол, равный натуральной величине угла между плоскостью треугольника и П

– угол

Чтобы найти натуральную величину треугольника вместо плоскости П

вводим новую плоскость П

параллельную плоскости треугольника. Параллельно вырожденной проекции треугольника С

проводим новую

ось Х

. На линиях проекционной связи отложим от новой оси отрезки, равные расстояниям от заменяемых

проекций вершин A

до заменяемой оси Х

– натуральная величина треугольника.

Задача 4.1

Найти расстояние между параллельными прямыми АВ и CD.

Рис. 4.5

Задача 4.2

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.

Рис. 4.6

Задача 4.3

Найти расстояние от точки А до плоскости

Рис. 4.7

Задача 4.4

Найти точку M, принадлежащую треугольнику ABC, расположенную на расстоянии 10 мм от сторон АB и

BC.

Рис. 4.8

4.2 Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельным перемещением в пространстве называется такое перемещение, при котором все

точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях без изменения вида и

размеров этой фигуры.

При перемещении величины проекций не изменяются, следовательно, сохраняется угол наклона

геометрической фигуры (прямых, плоскостей) к данной плоскости проекций.

Пример 4.3

Прямую общего положения АВ преобразовать во фронталь и определить ее натуральную

величину и угол наклона к горизонтальной плоскости проекций П

Перемещением переводим отрезок прямой AB

В положение, параллельное фронтальной плоскости

проекций П

. Для этого в произвольном месте

чертежа горизонтальную проекцию А

отрезка AB

располагаем горизонтально, параллельно оси

координат ОХ;

‖OX, А*

В*

=А

Точки A и B отрезка перемещаются

соответственно в горизонтальных плоскостях αиβ:

А∈α ∧ α || П

, В ∈ β ∧ β || П

Фронтальные проекции A

и B

точек A и B

перемещаются по

П2

= const, Z

= const).

Фронтальные проекции A*

и B*

смещенных точек

A* и B* находятся в проекционной связи с

проекциями A*

и B*

– новая фронтальная проекция отрезка

AB: A*

= | AB|.

Угол наклона A*

к оси OX является

натуральной величиной угла наклона отрезка AB к

плоскости проекций П

: A*

^OX = AB ^ П

Рис. 4.8

Пример 4.4

Определить натуральную величину треугольника ABC и угол его наклона к плоскости проекций П

Рис. 4.9

Задача решается двумя последовательными перемещениями. Первым перемещением треугольник

ABC приводится в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций П

. Вторым

перемещением этот треугольник приводится в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций П

Для этого в плоскости треугольника ABC проводим фронталь ВК. Перемещаем фронталь ВК в

положение горизонтально проецирующей прямой: ВК ⊥ П

. При этом плоскость треугольника станет

горизонтально проецирующей плоскостью. На чертеже проводим следующие построения. Фронтальную

проекцию В

располагаем перпендикулярно оси координат ОХ. Величина фронтальной проекции

треугольника при этом не меняется. Строим фронтальную проекцию треугольника А*

В*

С*

, учитывая

равенство сторон:

= A*

, А

= A*

С*

, В

= В*

С*

Горизонтальной проекцией А

треугольника в новом положении является отрезок прямой А*

, угол

наклона которого к оси ОХ является натуральной величиной угла наклона плоскости треугольника к плоскости

– угол

Чтобы получить натуральную величину треугольника, переместим вырожденную горизонтальную

проекцию треугольника (прямая А*

С*

,) на свободное место чертежа в положение, параллельное оси ОХ.

Плоскость треугольника станет плоскостью уровня. Фронтальные проекции точек при этом перемещаются

параллельно оси ОХ (сохраняется неизменной координата Z точек). На фронтальной проекции имеем

натуральную величину плоскости треугольника ABC:

А**

В**

С**

= | Δ АВС|.

Задача 4.4

Определить натуральную величину треугольника ABC и угол его наклона к горизонтальной плоскости

проекций П

Рис. 4.10

Задача 4.5

Найти натуральную величину отрезка прямой АВ и угол наклона отрезка к фронтальной плоскости

проекций П

Рис. 4.11

Задача 4.6

Найти расстояние от точки С до стороны АВ треугольника ABC.

Рис. 4.12

Задача 4.7

Определить центр описанной около треугольника ABC окружности.

Рис. 4.13

Задача 4.8

В треугольнике ABC найти точку М, удаленную от сторон АВ и ВС на расстояние 15 мм.

Рис.4.14

4.3. Вращение вокруг проецирующих прямых

Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения. В способе

плоскопараллельного перемещения точка описывает некоторую плоскую кривую, параллельную плоскости

проекций, а при вращении вокруг проецирующих прямых точка описывает дугу окружности, плоскость

которой также параллельна плоскости проекций.

При повороте точки А вокруг

горизонтально проецирующей оси I⊥П

, на

угол ϕ против часовой стрелки (рис.4.15) точка А

перемещается в плоскости

⊥I ∧

‖П

по

окружности радиуса R

. Горизонтальная

проекция точки А

описывает дугу А

окружности радиуса R

с центральным углом

Фронтальная проекция точки А

движется по

прямой, параллельной оси координат OX

=const). Зная новое положение А*

определяем ее фронтальную проекцию А*

На рис. 4,16 показан поворот точки В

вокруг фронтально проецирующей оси на угол

против часовой стрелки:

I ⊥П

, В∈

⊥I ∧

||П

, R

, Y

=const.

Рис. 4.15 Рис. 4.16

Пример 4.5

Точку А повернуть вокруг горизонтально проецирующей оси до совмещения c плоскостью, заданной

пересекающимися прямыми BD и CD -

(BD∩CD) (рис. 4.17).

При вращении вокруг горизонтально проецирующей оси точка А движется по окружности в плоскости

⊥I ∧

||П

.Центром вращения является точка O =

∩ l, радиус вращения – R

Новые положения точек А *и А** определяются на пересечении дуги окружности и горизонтали, по

которой пересекаются плоскости

Вращение прямой вокруг оси, пересекающей эту прямую, сводится к вращению какой-либо одной ее

точки, поскольку точка пересечения прямой с осью вращения остается неподвижной.

На рис. 4.18 отрезок AB общего положения вращением

вокруг оси I

⊥

∧ B

∈

I приведен в положение,

параллельное фронтальной плоскости проекций П

⎜⎜П

, A*

=⎮AB⎮.

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Если ось вращения не пересекает прямую, то вращение осуществляется путем поворота двух точек

прямой на один и тот же угол и в одном и том же направлении

Пример 4.6

Отрезок АВ прямой общего положения

повернуть вокруг фронтально проецирующей

оси в положение горизонтали.

Проекция вращаемого отрезка на плоскость,

которой перпендикулярна ось вращения, не

изменяется. Поэтому можно вращать одну точку.

Удобно вращать точку S

– основание

перпендикуляра, опущенного из точки I

на

фронтальную проекцию прямой А

. I

–

фронтальная проекция оси вращения I

⊥

Когда радиус вращения I

⊥ OX, прямая AB

II П

∧ A*

= I AB I.

Рис. 4.19

Вращение плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, осуществляется путем

вращения на один и тот же угол и в одном и том же направлении трех точек и прямых, которыми задана

плоскость.

Пример 4.7.

Определить угол наклона ϕ плоскости DABC общего положения к горизонтальной

плоскости проекций П

Плоскость

АВС перпендикулярна

фронтальной плоскости проекций П

, если

горизонталь треугольника перпендикулярна

фронтальной плоскости проекций.

Проводим в плоскости треугольника ABC

горизонталь АК и вращаем треугольник вокруг

горизонтально проецирующей оси А ∈ I⊥П

. В этом

случае угол наклона плоскости DАВС к

горизонтальной плоскости проекций П

остается

постоянным

=const, а угол наклона к П

меняется.

Повернем треугольник ABC так, чтобы

горизонталь АК заняла положение,

перпендикулярное оси координат ОХ:

АК∈DАВС^АК‖П

,А

⊥ОХ.

Горизонтальная проекция треугольника,

переместившись на тот же угол, что и проекция А

горизонтали АК, займет положение А

Фронтальные проекции В

и С

перемещаются по

горизонтальным прямым – фронтальным следам

П2

плоскостей движения точек В и С,

=const, Z

=const. B

и С

определяем по линиям

проекционной связи на соответствующих следах

плоскостей

. Соединив B*

С*

, получаем

прямую, в которую выродился Δ ABC после

поворота.

Рис. 4.20