Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах

Подождите немного. Документ загружается.

Задача 2.5

Построить проекции горизонтали длиной 30 мм,

проходящей через точку A и составляющую с

плоскостью П

угол

= 30

; построить проекции

фронтали длиной 35 м, проходящей через точку С и

составляющую с П

, угол

= 45

Задача 2.6

На прямой AB, отложить отрезок AC длиной 15 мм.

Рис. 2.13

Рис. 2.14

Задача 2.7

Через середину отрезка AB провести профильную

прямую под углом 30

к плоскости проекций П

Задача 2.8

Построить проекции отрезка горизонтальной прямой

AB длиной 50 мм, концы которого расположены на

параллельных прямых m и n.

Рис. 2.15

Рис. 2.16

2.3. Длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций. Способ

прямоугольного треугольника. Построение отрезка прямой по заданным

условиям

Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника,

одним катетом которого является проекция отрезка на любую плоскость проекций, а другим –– разность

расстояний концов отрезка от той же плоскости проекций.

Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен натуральной величине угла наклона отрезка к той

плоскости проекций, на которой выполнены построения.

Пример 2.2

Определить натуральную величину отрезка

АВ и углы его наклона к плоскостям проекций.

Пример 2.3

Построить проекции отрезка заданной

длины

с заданными углами

. X

, Z

Рис. 2.17 Рис. 2.18

На горизонтальной проекции А

так же, как и на

катете, строим прямоугольный треугольник.

Второй катет этого треугольника равен разности

удалений концов отрезка от горизонтальной плоско-

сти проекций П

Получим прямоугольный треугольник А

B*:

В*=|AB|, А

^А

В*=АВ ^ П

= ϕ.

Для определения угла наклона отрезка к фрон-

тальной плоскости проекций на фронтальной проек-

ции отрезка А

, как на катете, строим прямоуголь-

ный треугольник, второй катет которого равен разно-

сти расстояний концов отрезка от фронтальной плоско-

сти проекций. Построен прямоугольный треугольник

A*.

А* = |AB|, А

^ А*В

= AB ^ П

= ψ.

Координаты, определяющие разность удалений

концов отрезка, могут иметь разные знаки; в этом

случае надо иметь в виду алгебраическую разность.

На свободном поле чертежа построим

окружность диаметром |АВ|. Принимаем диаметр

за гипотенузу прямоугольных треугольников с

углами ϕ и ψ между гипотенузами и катетами.

В одном треугольнике Δ (с углом ϕ = АВ^П

)

катет против угла ϕ выражает разность удалений

концов отрезка АВ от П

––

, второй катет ––

В другом треугольнике (с углом ψ = АВ^П

) катет,

противолежащий углу ψ, выражает разность удалений

концов отрезка АВ от П

–– ΔУ

AВ

, второй катет ––

фронтальную проекцию отрезка А

Для построения комплексного чертежа отрезка

отложим по линии проекционной связи А

отА

вниз

> Z

) отрезок, равный Δ Z

, и проведем прямую,

параллельную оси ОХ. Таким образом, графически

определим Z

. Из точки A

проведем дугу радиусом

R = А

. В пересечении получаем точку В

Для построения В

откладываем на линии проекционной связи А

от точки А

вверх (Y

> Y

) отрезок,

равный

AВ

, проводим прямую, параллельную оси ОХ, и находим на ней точку В

Проекция А

должна получиться равной катету вспомогательного треугольника с углом ϕ.

При решении конкретной задачи с заданными числовыми значениями следует проверить условие:

каждый из углов ϕ и ψ должен быть острым; сумма этих углов должна быть или меньше 90

(для прямой общего

положения), или равна 90

(для профильной прямой).

Задача 2.9

Определить расстояние от точки C до отрезка

прямой AB.

Задача 2.10

Построить проекции отрезка AC длиной 40 мм,

расположенного на отрезке прямой AB.

Рис. 2.19 Рис. 2.20

Задача 2.11

На отрезке прямой AB отложить отрезок AC

длиной 15 мм.

Задача 2.12

Построить проекции прямоугольного равнобедренного

треугольника ABК, катет которого BК расположен на

отрезке прямой CD.

Рис. 2.21 Рис. 2.22

Задача 2.13

Построить проекции сферы (центр в точке C),

касающейся прямой MN.

Задача 2.14

Построить проекции сферы (центр в точке C),

касающейся прямой MN.

Рис. 2. 23

Рис. 2.24

Задача 2.15

Построить проекции квадрата ABCD с диагональю

BD на отрезке прямой MN.

Задача 2.16

Построить проекции квадрата ABCD со стороной BC на

отрезке прямой MN.

Рис. 2.25 Рис. 2.26

2.4. Взаимное положение прямых

Пересекающиеся прямые –– это прямые, имеющие общую точку.

На рис. 2 27 прямые k и l пересекаются в точке А. Одноименные проекции этих прямых пересекаются, и

точки их пересечения являются проекциями одной точки пространства, т. е. принадлежат одной линии

проекционной связи:

∩ l

= A

, k

∩ l

= А

, А (А

) = k ∩ l.

Параллельные прямые – это прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

На рис. 2.28 прямые m и n параллельны, одноименные проекции отрезков двух параллельных

прямых параллельны:

‖n

∧ m

‖ n

По параллельности одноименных проекций двух профильных прямых нельзя утверждать, что прямые в

пространстве параллельны. Взаимное расположение профильных прямых можно установить только по профильным

проекциям этих прямых.

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Рис. 2.29

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой.

Если пересекающиеся и параллельные прямые принадлежат одной плоскости, то скрещивающиеся

прямые находятся в различных плоскостях.

Проекции скрещивающихся в пространстве прямых в зависимости от расположения относительно

плоскостей проекций могут пересекаться или быть параллельны.

На рис. 2.29 прямые m и n являются скрещивающимися. В точке пересечения горизонтальных проекций

и n

расположены проекции А

и В

двух конкурирующих точек А

∈

n и B

∈

m. Точки А и В, расположенные на

одном горизонтально проецирующем луче, конкурируют относительно горизонтальной плоскости проекций П

Видимой точкой является та, которая расположена дальше от плоскости проекций – точка A, Z

Фронтальные проекции m

и n

скрещивающихся прямых m и n пересекаются в точке C

≡D

, С

∈

Точки С и D принадлежат одному фронтально проецирующему лучу и конкурируют относительно

фронтальной плоскости проекций П

. Видимой на фронтальной проекции является точка С, расположенная дальше

от П

, Y

> Y

Задача 2.17

Провести через точку A прямую, пересекающую

прямые m и n.

Задача 2.18

Пересечь отрезки прямых AB и CD профильно-

проецирующей прямой.

Рис. 2. 30

Рис. 2.31

Задача 2.19

Построить проекции параллелограмма ABCD.

Задача 2.20

Провести фронтально проецирующую прямую,

пересекающую две скрещивающиеся прямые AB и m.

Рис. 2. 32

Рис. 2.33

П2

П1

2.5. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости

Плоскость может быть задана (рис. 2.34):

• тремя точками

(А, В, С);

• прямой и точкой вне прямой

(АВ, С);

двумя пересекающимися прямыми

(АВ

∩

АС);

• двумя параллельными прямыми

(АВ||АС); плоской фигурой

(ΔАВС);

• следами

п1

п2

–

линиями

пересечения плоскости

с плоскостями

проекций П

и П

Всегда можно перейти от одного способа

задания плоскости к другому способу ее

задания.

Рис. 2. 34

На (рис. 2.35) показано построение

следов плоскости

(AB ∩ BC).

Для построения горизонтального следа

П1

плоскости

достаточно определить

горизонтальные следы любых двух прямых

этой плоскости. Точки M и K – горизонтальные

следы отрезков прямых АВ и ВС.

АВ ∩ П

= М, ВС ∩ П

= K.

Прямая МК является горизонтальным

следом

п1

плоскости

, поскольку определяет

линию пересечения плоскости

с П

Следы плоскости пересекаются друг с

другом в точках, лежащих на осях координат.

Фронтальный след

п2

плоскости

определяется точкой N – фронтальным

следом ВС (ВС ∩ П

= N) и точкой

– точкой

схода следов плоскости

на оси ОХ

Рис. 2.35

Задача 2.21

Определить, принадлежат ли точки A, B, C, D одной

плоскости?

Задача 2.22

Построить горизонтальную проекцию плоского

пятиугольника ABCDE.

Рис. 2.36

Рис. 2.37

Задача 2.23

Построить следы плоскости, заданной прямой AB и

точкой C.

Задача 2.24

Построить следы плоскости, заданной двумя

пересекающимися прямыми AB и CD.

Рис. 2.38 Рис. 2.39

2.6. Плоскости общего и частного положения

Плоскости, не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций, называются плоскостями общего

положения.

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций.

Рис. 2.40 Рис. 2.41

На рис. 2.46 плоскость

⊥ П

– горизонтально-проецирующая плоскость – составляет с фронтальной

плоскостью проекций П

угол

. Точка А, принадлежащая плоскости, имеет горизонтальную проекцию А

на

горизонтальном следе плоскости. Угол между

П1

^ ОХ равен натуральной величине угла между плоскостью

и П

А∈

⊥ П

→ А

∈

П1

, Ѱ=

^ П

П1

^ОХ.

На рис. 2.47 плоскость

⊥ П

– фронтально-проецирующая плоскость –- составляет с горизонтальной

плоскостью проекций П

угол

. Фронтальная проекция А

отрезка АВ, расположенного в плоскости

совпадает с фронтальным следом плоскости. Угол между

П2

^ OХ равен натуральной величине угла

между горизонтальной плоскостью проекций П. и плоскостью

АВ∈

⊥ П

∧ А

∈

П2

∧П

П2

∧ OX

На рис. 2.48 плоскость

⊥ П

– профильно-проецирующая плоскость и составляет с

фронтальной плоскостью проекций угол

. Профильная проекция А

треугольника ABC, принадлежащего

плоскости, совладает с профильным следом

П3

плоскости

Рис. 2.42 Рис. 2.43

Плоскость

параллельна оси координат ОХ. Горизонтальный и фронтальный следы

плоскости параллельны оси координат ОХ. Угол между профильным следом

П3

и осью

координат OY равен натуральной величине угла между плоскостью

и плоскостью проекций П

–

. Угол между профильным следом

пз

и осью координат OZ равен натуральной величине

угла между плоскостью a и плоскостью проекций П

–

Δ АВС∈

⊥ П

→ А

∈

П3

∧

П1

||ОХ,

П2

|| ОХ,

∧ П

пз

∧OY,

∧П

пз

∧OZ.

На рис. 2.49 плоскость

⊥

и проходит через ось координат ОХ. Горизонтальный след

П1

и фронтальный след

П2

плоскости совпадают с осью ОХ,

П1

≡

П2

= ОХ.

Профильно-проецирующая плоскость, проходящая через ось координат ОХ и составляющая

равные углы с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, называется биссекторной

плоскостью (рис. 2.49).

⊥ П

П1

≡

П2

= ОХ ∧

∧П

Плоскости уровня - плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости

проекции (рис. 2.50). Фронтальный след

пз

параллелен оси координат ОХ. Фронтальная

проекция A

точки А, расположенной в плоскости, совпадает с фронтальным следом

П2

А∈

∧

||П

1 →

П2

||OX ∧ A

∈

П2

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости

проекций (рис.2.51). Горизонтальный след

П1

параллелен оси координат ОХ, Треугольник ABC,

принадлежащий плоскости

, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную

величину, его горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом плоскости

П1

Δ AВС ∈

||П

→

П1

||OX∧A

∈

П1

, A

= |

ABC|.

Рис. 2.44 Рис. 2.45

Рис. 2.46

Рис. 2.47