Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная геометрия в примерах и задачах

Подождите немного. Документ загружается.

3.3. Прямые линии и плоскости, параллельные плоскости

Прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости имеется прямая, параллельная ей.

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости

праллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

У параллельных плоскостей параллельны одноименные главные их линии.

Пример 3.3

Через точку A провести отрезок прямой DE, параллельный горизонтали

Δ ABC.

Из вершины A в плоскости треугольника ABC

проведем горизонталь (A – 1).

Фронтальная проекция отрезка D

параллельна оси OX.

Горизонтальная проекция отрезка D

параллельна горизонтальной проекции горизонтали

– 1

Рис. 3.8

Пример 3.4

Через точку A провести плоскость

, параллельную плоскости

, заданной следами.

Рис. 3.9

Чтобы построить плоскость

, содержащую точку А и параллельную плоскости

через точку A

проведем одну из главных линий плоскости

, например, горизонталь AN, параллельнуюплоскости

‖

П1

, A

‖OX. Через фронтальный следгоризонтали, точку N, проходит фронтальный след

плоскости

П2

‖

П2

. Горизонтальный след

П1

‖

П1

проходит черезточку схода следов

Задача 3.6

Параллельна ли прямая AB плоскости

заданной параллельными прямыми

(CD

EF)?

Задача 3.7

Через точку K провести прямую, параллельную

фронтально проецирующей плоскости

плоскости

, заданной прямой AB и точкой C.

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Задача 3.8

Через заданные прямые AB и CE провести

параллельные плоскости. Одну плоскость задать

равнобедренным треугольником (

другую – пересекающимися прямыми.

Задача 3.9

Через заданные прямые AB и CD провести

параллельные плоскости. Плоскости задать

следами.

Рис. 3.12 Рис. 3.13

3.4. Прямые линии и плоскости, перпендикулярные плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум

пересекающимся прямым этой плоскости.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую,

перпендикулярную другой плоскости.

Чтобы построить проекции прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо воспользоваться

теоремой о проекциях прямого угла. Прямая перпендикулярна плоскости, если её проекции

перпендикулярны одноимённым проекциям горизонтали и фронтали плоскости

Пример 3.5

Пример 3.6

Восставить перпендикуляр к плоскости

в данной её точке K.

Через точку D провести плоскость

перпендикулярную плоскости DABC.

Плоскость задать пересекающимися прямыми

DE и DF.

Рис. 3.14 Рис. 3.15

В плоскости α проведём горизонталь AB и

фронталь CD. Проекции перпендикуляра к

плоскости составляют прямые углы с

одноименными проекциями горизонтали и

фронтали плоскости α

⊥A

, K

⊥C

Прямая KN перпендикулярна любым прямым

этой плоскости.

В плоскости треугольника ABC проведем

горизонталь (A – 1) и фронталь (С – 2).

Отрезок DF произвольной длины построен

перпендикулярно плоскости треугольника ABC,

поскольку D

⊥ A

, D

⊥ C

Отрезок DE плоскости β имеет произвольные

направление и длину.

Задача 3.10

Через прямую MN провести плоскость,

перпендикулярную плоскости

ΔABC. Плоскость

задать следами.

Задача 3.11

Найти на прямой AB точку, отстающую от

плоскости

25 мм.

Рис. 3.16

Рис. 3. 17

Задача 3.12

Провести через точку C плоскость

перпендикулярную отрезку прямой AB.

Плоскость задать сдедами.

Задача 3.13

Из точки пересечения отрезка прямой AB с

плоскостью биссектора первой четверти

восставить перпендикуляр к заданной

плоскости длиной 20 мм.

Рис. 3. 18 Рис. 3. 19

Задача 3.14

Из точки M провести горизонтально

проецирующую плоскость, перпендикулярную

стороне AB

ΔABC.Плоскость задать следами.

Построить проекции линии пересечения

плоскостей. Определить видимомть.

Задача 3.15

Через прямую MN провести плоскость,

перпендикулярную плоскости

Δ ABC. Плоскость

задать следами.

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Задача 3.16

Провести горизонтально проецирующую

плоскость

, перпендикулярную плоскости

ABC

и отстающую от точки E на 20 мм. Плоскость

задать следами.

Задача 3.17

Через точку E провести плоскость,

перпендикулярную плоскости

(AB

CD). Плскость

задать следами.

Рис. 3.22 Рис. 3.23

3.5. Изображение многогранников

Пример 3.7

Построить проекции прямой призмы высотой 45 мм, стоящей на плоскости

. Основание призмы

– равнобедренный треугольник ABC с основанием AB‖П

и равным 40 мм. Высота CD = 25 мм.

Рис. 3.24

1. В плоскости строим основание призмы –

ABC.

На горизонтали A-1 откладываем A

= IABI = 40мм. A

‖

П1

, A

‖ OX. Высота треугольника CD

принадлежит линии ската D–2 плоскости

. Горизонтальная проекция C

вершины С определяется с

помощью вспомогательного прямоугольного треугольника D

2*.

2. Cтроим боковые ребра призмы. Через точку A проводим орезок AK, перпендикулярный плоскости

⊥

П1

, A

⊥

П2

Точка K выбрана произвольно на данном направлении перпендикуляра к плоскости.

Определяем натуральную величину отрезка AK методом прямоугольного вспомогательного

треугольника и на направлении его гипотенузы откладываем высоту призмы H = 45 мм и строим проекции

точки A* верхнего основания призмы. Ребра BB* и CC* параллельны и равны ребру AA*.

Видимость призмы на плоскостях проекций определяется по правилам:

• Контур проекций

многогранника всегда видимый.

• Если внутри контура проекции пересекаются две прямые, то одна из них видима, а другая

нет.

• Если внутри контура проекции пересекаются три линии и одна из них видима, то и две

остальные видимы и наоборот.

• Видимость прямых определяется по конкурирующим точкам.

Задача 3.18

Построить проекции прямой призмы с основанием ABC, если дано ребро AA*. Стороны основания:

AC‖П

и равна 40 мм, AB‖П

и равна 30 мм.Определить видимость призмы.

Рис. 3.25

Задача 3.19

Построить проекции пирамиды с основанием ABC. Высота проходит через центр тяжести и равна

40 мм. Определить видимость.

Рис. 3. 26

Задача 3.20

Построить проекции куба с основанием в плоскости

. Сторона AB

и равна 30мм. Определить

видимость куба.

Рис. 3.27

Задача 3.21

Построить проекции прямой призмы высотой 40 мм, зная проекции ее нижнего основания.

Определить видимость призмы.

Рис. 3. 28

Для самостоятельной работы

4. Способы преобразования проекций

Рассматривают два способа преобразования:

1. Способ замены плоскостей проекций.

2. Способ вращения. Вращение выполняют:

- без указания осей (способ плоскопараллельного перемещения);

- вокруг проецирующих прямых;

- вокруг горизонтали или фронтали плоскости;

- вокруг следа плоскости (способ совмещения).

При решении задач способом замены плоскостей проекций положение геометрических объектов не

изменяется. Изменяется положение плоскостей проекций, чтобы при новых условиях проецирования эти

геометрические объекты имели бы частное положение. Направление проецирования или остается

ортогональным, или изменяется.

При решении задач способом перемещения (вращения) положение плоскостей проекций и

направление проецирования не изменяются. Геометрические объекты перемещаются в пространстве до

принятия частного положения по отношению к данной системе плоскостей проекций.

4.1. Замена плоскостей проекций

Сущность способа заключается в следующем:

1. Положение геометрического объекта не меняется по отношению к старой системе плоскостей

проекций.

2. Новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций выбирается так, чтобы

рассматриваемый геометрический объект оказался бы в частном положении по отношению к одной из

плоскостей новой системы; 3. Направление проецирования сохраняется ортогональным.

На рис. 4. 1 и рис. 4. 2 показана схема построения новых (дополнительных) проекций точек А и В.

В системе плоскостей проекций П

⊥ П

заданы точки A (A

) и B (B

). Введены новые плоскости:

⊥ П

и П

⊥ П

Замена фронтальной плоскости проекций

Расстояние от точки A до плоскости П

при замене

не меняется: Z

=const, A

=const. Проекция A

точки А

на плоскость П

находится на линии проекционной

связи, перпендикулярной дополнительной оси Х

, на

расстоянии Z

от нее, равном расстоянию отточки А до

плоскости проекций П

. Z

определяется из основного

чертежа как расстояние от проекции A

до оси Х

Рис. 4.1

Замена горизонтальной плоскости проекций

Расстояние от точки B до неизменной плоскости

проекций П

не изменяется: Y

=const, B

=const.

Проекция В

точки В на плоскость П

находится на

линии проекционной связи, перпендикулярной новой

оси координат Х

, на расстоянии Y

от нее.

Замена одной из плоскостей проекций не всегда

приводит к решению задачи. Иногда приходится

заменять две и более плоскостей проекций.

Рис. 4.2