Пенроуз Р., Шимони А., Картрайт Н., Хокинг С. Большое, малое и человеческий разум

Подождите немного. Документ загружается.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

П ен ро уз Р., Ш и м о н и А ., К ар трай т Н ., Х о ки н г С . Б ольш о е, м ал ое и чел овеч ески й р азум / П ер . с англ . — М .:

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

см ы сле м ы м ож ем говори ть о таком п орож дении , однако стрелки на рис. 3.3 означаю т ли ш ь то,

что м еж ду эти м и м ирам и сущ ествую т н екоторы е связи.

Г ораздо важ н ее, что н а ри с. 3.3 п редставлен ы три м ои х собствен ны х предрассудка или

предубеж дения. П ервы й из них заклю чается в том , что весь ф изи ческий м и р в прин ц и п е м ож ет

бы ть оп и сан м атем атически. Я н е утверж даю , что лю бая м атем атика оп исы вает каки е-то

ф изи ческие п роцессы , а всего ли ш ь дум аю , что п равильн о вы бранн ы е разделы м атем атики

позволяю т очен ь точн о оп исы вать ф изические явления, т. е. ф изический м ир ведет себя в

соответствии с закон ам и м атем атики. Т аки м образом , н екоторая м алая часть платон овского м ира

идей заклю чает в себе закон ы ф изического м ира. Т очно так ж е я н е утверж даю , что все в

ф изи ческом м ире обладает какой -то м ен тальностью , а скорее предполагаю , что все сущ ествую щ и е

м ы слительн ы е объекты основан ы н а каки х -то ф и зически х сущ ностях. Э то утверж дение м ож н о

назвать м оим вторы м предубеж дени ем . И н акон ец, третье предубеж дени е состоит в том , что н аш е

воспри яти е м атем ати ки (п о край н ей м ере, в п ри н ц и пе) связано

100

Р и с. 3.4.

с тем , что н аш е сознание в оп ределен ном см ы сле сп особн о восп ри ни м ать каки е-то отдельны е

объекты в м и ре п латон овски х и дей. Я сознаю , что у некоторы х лю дей п оследнее утверж ден и е

м ож ет вы звать н едоум ен ие и ли раздраж ен и е, одн ако все три вы сказанн ы х предполож ения

требую т обсуж ден и я и разм ы ш лен и я. К стати , только н арисовав эту ди аграм м у, я осозн ал, что она

отраж ает м ои собственны е п редубеж дени я. Я ещ е вернусь к этим вопросам в кон ц е главы .

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

П озвольте м н е начать с некоторы х общ их соображ ени й о человеческом со зна нии. П реж де всего

м ы долж н ы реш и ть, следует ли н ам и скать для этого явлен и я каки е-то научн ы е объясн ения? Я н е

только убеж ден, что это необходи м о, н о и весьм а серьезн о отнош усь к стрелке, связы ваю щ ей

ф изи ческий и м ы сленны й м и ры . И ны м и словам и, м ы обязан ы п онять м ы сленн ы й м ир н а основе

ф изи ческого.

Н а ри с. 3.4 я п оп ы тался вы делить и обобщ ить некоторы е характери стики этих двух м иров. С

правой стороны отм ечен о, что ф и зический м ир воспри ни м ается нам и как нечто п одчин яю щ ееся

точны м м атем атическим и ф изическим закон ам (я об этом довольно м ного говорил в п ервы х двух

главах кни ги). С лева м ы им еем сознание, п рин адлеж ащ ее м ы сленном у м иру, и связанны е с ним

пон яти я ти п а «душ а», «н астроен и е», «рели гиозн ость» и т. п .,

101

часто употребляем ы е бесси стем н о. В наш и дн и лю ди п редп очи таю т давать всем у научны е

объяснен и я и , более того, п олагаю т, что лю бое н аучн ое описан и е м ож н о в п ри н ц и пе каким -то

образом вн ести в ком п ью тер (т. е. считаю т, что если м атем ати ческое опи сани е чего -то сущ ествует,

то он о м ож ет бы ть запи сано в п ам ять Э В М ). О п роверж ени ю им ен н о этого утверж ден и я и

посвящ ен а в основн ом дан н ая глава (при этом я п о -преж нем у остаю сь сторонн и ком так

назы ваем ого ф изикали зм а).

В качестве характеристи к ф и зически х закон ов я вы пи сал в п равой части рис. 3.4 некоторы е

терм ины (предсказуем ость и вы чи сли м ость), возм ож ность и сп ользован и я которы х н апрям ую

зави сит от того, опи сы вается ли окруж аю щ и й нас м и р д ет ерм инист ическим и ф изическим и

законам и и м ож ем ли м ы пользоваться ком пью терам и для м одели рован и я действия этих законов.

С ущ ествует точка зрени я, что для объектов м ы сленн ого м ира (напри м ер, для п еречи слен н ы х слева

пон яти й эм оции , чувст во прекрасного, т ворчест во, вдохн о вени е, и скусст во) п очти н евозм ож н о

получи ть оп и сан ия, п ри годны е для расчета. С другой сторон ы , сущ ествует и н екоторы й «научн ы й

экстрем изм », сторонн ики которого при держ и ваю тся п ри м ерно следую щ ей точки зрени я: «В се м ы

всего ли ш ь ком пью теры ; просто м ы ещ е не знаем , как прави льно оп исы вать н екоторы е вещ и,

одн ако если бы нам бы ли известны н еобходим ы е п равила вы числен и я, то м ы см огли бы опи сать и

все м ы слен н ы е явлени я, п еречисленны е в левой части ри с. 3.4». Д ля оп и сан и я м ы сленн ы х

процессов часто использую тся терм ин ы п оявление и ли во зникно вение (эм ердж ентность), н о

сторон ни ки вы чи слительного п одхода полагаю т, что свой ство возника т ь тож е м ож ет бы ть

получено в результате п рави льн о и спользуем ы х вы числительны х оп ерац ий .

Т ак чем ж е является сознание? Р азум еется, я н е знаю , как оп редели ть сознан и е, и даж е не

считаю , что стоит пы таться н айти такое определен и е (п оскольку м ы н е п он им аем , что оно

означает). Я уверен , что м ож но н ай ти ф изически обоснован ную конц епци ю , одн ако дум аю , что

лю бое оп ределени е окаж ется н еверны м . П оэтом у вм есто оп ределени я я п оп ы таю сь дать вам

опи сан и е сознания, насколько это возм ож но. П ри этом м не каж ется, что сущ ествую т, по край н ей

м ере, два аспекта сознания. С одной сторон ы , им еется п а ссивное проявлен и е сознани я,

вклю чаю щ ее осознание или восприят и е (awareness). Я вклю чаю в эту категори ю наш у

сп особн ость воспри н и м ать цвет и гарм онию соотн ош ен ий , способн ость запом ин ать и т. п. С

другой сторон ы , сущ ествую т и а кт ивны е проявлен и я созн ания, вклю чаю -

102

щ ие в себя пон яти я тип а свободы воли , ц елен аправленности действи й и т. п . И спользование

столь разли чн ы х терм инов отраж ает м ногообразие и слож ность п он яти й, связан ны х с сознани ем .

О днако я хочу обрати ть ваш е вни м ан ие н а ещ е оди н весьм а специ ф ический асп ект сознан и я,

отли чн ы й от уп ом януты х вы ш е акти вны х и п ассивн ы х проявлени й (н о, возм ож но, являю щ ийся

чем -то п ром еж уточны м , леж ащ им м еж ду активн ой и пассивн ой деятельн остью ). Я говорю о

поним ании (understanding), для которого в англий ском язы ке есть ещ е понятие insight, которое

каж ется более глубоким и содерж ательн ы м , поскольку вклю чает в себя представлени е о

прони цательности, ин туити вн ом постиж ен и и исти ны , озарени и , м гновенн ом восп ри яти и и т. д. В

некоторы х си туац и ях и сп ользую тся ещ е и терм ины осознани е и и нт еллект уальност ь (awareness,

intelligence), которы е м не н е очен ь понятн ы . Р азум еется, вы вп раве спроси ть, зачем я говорю о

пон яти ях, реальны й см ы сл которы х м не неизвестен? Д ело в том , что я — м атем атик, а м атем атики

обы чн о н е п рин и м аю т в расчет такие возраж ен и я. И м вовсе н е требую тся точн ы е оп ределен и я

объектов, с которы м и они оперирую т, а достаточн о знать ли ш ь что -то отн осительно взаим освязи

эти х объектов. М н е представляется довольно важ н ы м тот ф акт, что и н теллектуальн ость является

чем -то, требую щ им объясн ения и пони м ан ия. М н е каж ется неразум ны м и сп ользовани е этого

терм ина в контексте, где н ет п редставлен и я о «п он им ан и и ». В прочем , терм ин «п он им ание» такж е

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

вы гляди т м алоосм ы слен н ы м вн е какого-ли бо «воспри ятия», так как пони м ан ие м ож н о отнести к

каком у-то ти п у воспри яти я. В се сказанн ое п росто означает, что и н теллектуальн ость требует

осознан ия. И хотя я н е м огу оп редели ть эти терм ин ы , я м огу утверж дать наличи е некоторы х

отн ош ени й и ли связей м еж ду н им и.

С ущ ествую т разли чн ы е точки зрен и я на отн ош ен ия м еж ду п роц ессам и сознательн ого

м ы ш лени я и сп особн остью к вы числениям . Ч еты ре основн ы х подхода к этой п роблем е (которы е я

' обозначил через А , В , С и D) п еречи слен ы в табл. 3.1.

В первом п одходе (А ), которы й и н огда н азы ваю т си льны м п р инципом и скусст венн о го

инт еллект а и ли (вы числительны м ) ф ункц ионализм ом , п ри н ято считать, что всякое м ы ш лени е

своди тся п росто к некоторы м вы числительны м операц и ям и, следовательно, правильн о вы полн яя

таки е вы числен ия, м ы п олучи м в качестве результата способн ость к осознани ю и восп ри яти ю .

В соответствии со второй точкой зрени я (В ) м ож но (п о край н ей м ере, в прин ци п е)

м одели ровать ту часть работы м озга, ко -

103

Т абл и ц а 3.1

В сякое м ы ш лен ие есть п росто некоторы й вы числительны й

процесс; в частн ости , чувство осознан н ого восп ри ятия

такж е возни кает в результате осущ ествлени я

соответствую щ их вы числительны х оп ерац ий

С ознание является лиш ь одн ой из характерн ы х

особен н остей ф и зической деятельн ости м озга. К ак и лю бая

другая ф и зическая деятельн ость, сознани е м ож ет

м одели роваться вы числительны м и операц и ям и, но такое

м одели рован и е н е является, строго говоря, сам им созн ан и ем

С ознание вы зы вается определен н ы м и ф изи ческим и

действи ям и м озга, одн ако эти дей стви я прин ци пи ально

нельзя вы чи слительн о м одели ровать правильны м образом

С ознание не м ож ет бы ть объяснено с использовани ем

каких-ли бо ф и зически х, вы числительны х и ли други х

научн ы х м етодов и ли пон яти й

торая отн осится к восп ри яти ю . Р азн иц а м еж ду подходам и А и В заклю чается в том , что во

втором случае речь и дет ли ш ь о части чн ом п ростом м оделировани и н екоторы х проц ессов в м озгу,

а н е о реальн ы х чувствах и реальном воспри яти и (эти п он яти я в п одходе B м огут бы ть соотн есены

с ф изи ческим строени ем м ы слящ его объекта). Т аким образом , как бы п ри ни м ается, что м озг

создан и з н ейрон ов и сам м ож ет осознавать п роц есс воспри яти я, а м оделирование этого п роцесса

исклю чает им ен н о процесс осознани я м озгом своей деятельности . Н асколько я м огу судить, эту

точку зрения акти вн о развивал и поддерж ивал в своих работах Д ж он С ирл.

С ам я п ри держ и ваю сь точки зрен и я С , в соответствии с которой (как и в В ) воспри яти е и

сознан и е в какой -то степ ени связаны с ф изи ческой акти вностью м озга (т. е. с каки м и -то

ф изи ческим и процессам и), одн ако (что очень сущ ественно для п одхода С !) эти п ро ц ессы н е м огут

бы ть см оделирован ы н и какой вы числительной проц едурой . Я хочу сказать, что соответствую щ и е

ф изи ческие процессы в м озгу прин ци пи ально н е поддаю тся м одели рованию .

И н акон ец, всегда сущ ествую т сторон ни ки п одхода D, которы е уверен ы , что ош ибкой является

сам а п оп ы тка научн ого опи сани я этих процессов и , возм ож н о, восп ри яти е и сознание вообщ е не

м огут бы ть объяснен ы с научн ой точки зрен и я.

В ы ш е я уж е говори л, что личн о являю сь убеж денн ы м сторонн иком п одхода С , однако долж ен

сразу п ояснить, что он

104

им еет м ного вари ан тов, из которы х следует п реж де всего вы дели ть так н азы ваем ы е слабое и

си л ьн ое С -утверж ден и е. С л абое С -утвер ж ден и е п одразум евает, что ран о или поздно п роблем а

будет и зучена достаточн о подробн о, в результате чего в задаче удастся вы явить те тип ы действи й ,

которы е сейчас находятся вн е, «п о ту сторону» вы чи слен ий . Г оворя об областях «вн е

м одели рован и я», м не следует н есколько уточн и ть свою м ы сль, что я попы таю сь сейчас сделать.

С огласн о сл абом у С -утверж ден и ю все «невы чи сли м ы е» операции м огут б ы ть найден ы в

пределах и звестн ы х ф изических законов. С и л ьн ое С -утверж ден и е гласи т, что преп ятстви ем

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

является сущ ествован ие н епознанн ы х ф изических закон ов, т. е. наш е пон и м ание ф изики пока

просто-напросто не соответствует слож ности, требуем ой для оп исан ия п роц ессов сознан и я. Я

полн остью согласен с такой оценкой и в гл. 2 уж е удели л м ного вни м ан ия им ен н о н еполн оте

сущ ествую щ ей ф и зической картин ы м ира (в этой связи я реком ен дую читателю ещ е раз взглянуть

на ри с. 2.17). К ороче говоря, си л ьн ое С -утвер ж ден и е связы вает невозм ож н ость объясн ения

при роды сознан и я с н едостаточн ы м уровнем науки и п озволяет нам надеяться, что эту проблем у

удастся реш ить в будущ ем .

П оскольку я уп ом янул ри с. 2.17, позвольте вернуться к н ем у и дать н екоторы е дополн и тельны е

пояснения. В частности, я бы хотел обсуди ть и спользуем ы й на ри сунке терм ин вы числим ост ь. Н а

кван товом уровн е рассм отрения все ф изи ческие п роцессы вы глядят полностью вы числим ы м и .

П охож е, что вы числим ость сохран яется и н а класси ческом уровне, хотя здесь у н ас, конечно,

м огут возникнуть техн ически е проблем ы , связанны е с переходом от ди скретн ы х си стем к

непреры вны м . Э ти п роблем ы каж утся м не н епри нц и п и альн ы м и, и я н е буду их рассм атривать,

хотя сторонн и кам сл абого С -утвер ж ден и я следовало бы вним ательно и зучить возн икаю щ и е п ри

таком переходе н еоп ределен ности , поскольку в ни х м ож ет обнаруж и ться то, что н евозм ож н о

опи сать и объясни ть в рам ках вы числительны х п одходов и п он яти й.

Д ля перехода от квантового уровн я к классическом у обы чно и спользуется п роц едура,

обозначен н ая м ною R, которая является полностью вероятн остны м действи ем , вследстви е чего м ы

долж ны каки м -то образом объедин ить вы числим ость со случайностью и п роизвольностью . Я

соби раю сь дальш е п родем онстри ровать, что весь этот подход недостаточн о обосн ован, и для

объедин ени я указан ны х уровн ей рассм отрен ия нам нуж на соверш енн о другая, н овая теори я,

которая долж н а бы ть «н евы чи с-

105

лительной ». И м енн о п оэтом у п оздн ее я ещ е вернусь к проблем е оп ределени я вы числим ости.

Т аки м образом , м оя верси я си л ьн ого С -утвер ж ден и я вы гляди т следую щ им образом : м ы

долж ны искать в ф и зике «н евы чи слим ость», п озволяю щ ую связать квантовы й и классически й

уровни оп исан ия. К онечн о, такая п остан овка воп роса представляется чрезвы чай н о слож ной и

трудн ой, ведь я говорю о н еобходи м ости п остроени я не просто н овой ф и зи ки, а ф изики,

отн осящ ейся к опи сани ю работы м озга.

П реж де всего давайте подум аем о том , насколько вообщ е правдоподобно и ли вероятн о

сущ ествовани е чего-то невы числим ого в наш ем пон и м ан и и . П озвольте м не привести в качестве

при м ера очень п ростую и си м пати чну ю ш ахм атную задачу. В ы знаете, что ком пью теры уж е

неплохо и граю т в ш ахм аты . О дн ако сам ы й м ощ ны й соврем ен н ы й ш ахм атны й ком пью тер

«Д ип С от», реш ая п ри веденную на рис. 3.5 задачу, начин ает делать очень глупы е ходы . Л егко

видеть, что в этой п озиц и и черн ы е и м ею т огром ное м атери альное п реим ущ ество (две ли ш ни е

ладьи и слона), которое, однако, не и м еет н икакого значен и я для и схода парти и , п оскольку белы е

пеш ки «н ам ертво» блокирую т черны е ф и гуры . П ока белы й король спокой н о «броди т» за барьером

из свои х п еш ек, белы е п росто н е м огут прои грать. О днако ком пью тер «Д и п С от» первы м ж е ходом

за белы х взял черную ладью , после чего п олож ение белы х стало безнадеж ны м . П ричин а, кон ечно,

состоит в том , что ком пью тер зап рограм м ирован на действие (ход за ходом ) до некоторой

глубин ы расчета, п осле чего он вновь начи н ает счи тать пеш ки и т. п . В прин ци пе п ри веденны й

при м ер н е очень удачен , так как если бы ком пью тер м ог считать н а очен ь м н ого ходов вп еред, он

не ош ибся бы (в кон це конц ов, ш ахм аты относятся им ен н о к «вы чи слим ы м » и грам ). О дн ако

зам етьте, что человек-ш ахм ати ст п рактически сразу ви дит барьер из п еш ек, пон им ает его

непрон и цаем ость и значен ие, п осле чего легко находи т стратегию и гры . К ом пью тер н е обладает

таки м общ им «п они м ан и ем » и начин ает п росто рассчиты вать ход за ходом . Э тот п ри м ер

дем он стрирует огром ную разниц у м еж ду п росты м вы числен и ем и способн остью к пон и м анию .

Р азум еется, вы м ож ете обучить Э В М и спользовани ю п еш ечн ого барьера, но проблем а им еет

более слож н ы й и глубокий характер. В ещ е одн ом ш ахм атн ом при м ере (ри с. 3.6) бел ы м следует

поставить слона н а b4 и, используя его вм есто пеш ки, вновь создать непреодоли м ы й пеш ечн ы й

барьер (вм есто весьм а за-

106

Р и с. 3.5. Б ел ы е н ач и н аю т и доби ваю тся н и ч ьей .

Ч еловек легко реш ает эту задачу, н о ком пью тер «Д и пС от» первы м ж е ходом бьет ладью

черны х! (задача В ильям а Х арстон а из статьи Д ж ей н С ерм ор и Д эви да Н орвуда в ж урнале New

Scientist, № 1889, с. 23, 1993).

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

м ан чивого, н о безнадеж ного взяти я черной ладьи на а5). Задача очень п охож а н а п реды дущ ую ,

но ком пью тер (даж е если он ум еет создавать п еш ечны й барьер) опять начин ает ош ибаться,

поскольку эта задача требует значи тельно более вы сокого уровня пон им ания. В ы м ож ете

возразить, что при ж елани и в програм м у м ож но ввести все уровн и пони м ан ия, и вы бы ли бы

правы , если бы рассм отрен и е относилось только к ш ахм атн ы м задачам . П овторю , что ш ахм аты

отн осятся к «вы числим ы м » и грам , п оэтом у при достаточно м ощ ном ком пью тере и хорош ей

програм м е м ож но (по край ней м ере, в п ри н ц и пе) рассчитать до кон ца все вероятности . П ока это

ни ком у не удалось п роделать, одн ако н ас устрои т и п ри н ци п иальная возм ож ность получения

такого реш ен ия в будущ ем . Т ем не м енее я надею сь, вы почувствовали , что в терм ин е

«пон и м ан и е» содерж и тся н ечто, н е сводящ ееся к прям ом у расчету. С оверш енн о оп ределенн о

м ож но сказать, что человечески й п одход к реш ени ю даж е таких п росты х ш ахм атн ы х задач

сущ ественно отли чается от ком п ью терного.

М ож н о ли п ри вести ещ е более сильн ы е доводы в пользу того, что н аш е пони м ан ие содерж и т в

себе н ечто больш ее, чем н абор вы числительны х оп ерац ий ? М не н е хочется тратить сли ш ком

м ного врем ен и н а доказательство этого утверж дени я, однако это настолько важ но для всей м оей

конц епци и, что я

107

Р и с. 3.6. Б ел ы е н ач и н аю т и доби ваю тся н и ч ьей .

Ч еловек легко реш ает и эту задачу, а ш ахм атн ы й ком пью тер вн овь ош ибается и п ервы м ходо м

бьет слоном черную ладью (тест Т ью рин га, рассм атри ваем ы й в ц итирован ной статье В ильям а

Х арстона и Д эвида Н орвуда).

при веду ещ е в качестве п рим ера н есколько чисто м атем ати чески х задач. Ч и тателю ,

заи нтересовавш ем уся п роблем ой связи м ы ш лени я и вы чи сли тельны х оп ерац ий , я реком ендую

прочи тать м ою кн игу «Т ен и разум а», где первы е 200 страни ц п освящ ен ы детальном у и

всесторон н ем у обзору аргум ен таци и сторон в м ногочислен ны х дискуссиях п о этом у поводу.

Д авай те поговорим о вы числениях чуть подробнее. В ы числени ям и я н азы ваю то, что делаю т

вы числительн ы е м аш ин ы . Р еальн ы е ком пью теры им ею т огран ичен н ую п ам ять, н о я буду

рассм атри вать работу идеального ком пью тера (так н азы ваем ой м аш ины Т ью ринга), которы й

отли чается от обы чны х ком пью теров н еограничен ны м объем ом п ам яти и сп особн остью

осущ ествлять соверш енн о безош ибочны е вы числен и я сколь угодн о долго, практи чески вечно.

Р ассм отри м кон кретн ую вы чи сли тельную задачу, связанную с ариф м етическим и и логи ческим и

операциям и:

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

• Н а йт и число , не п р ед ст авим ое сум м ой т рех квад рат ны х чисел.

П од числом я подразум еваю нат уральное число (тип а 0, 1,2, 3, 4, 5,...), а под «квадратн ы м

числом » — квадраты н атуральны х чисел (тип а О

, I

, 2

, З

, 4

, 5

, ...). Я покаж у вам сразу, как

реш ается эта задача. М етод м ож ет п оказаться очень просты м и даж е п рим и тивн ы м , но он как раз

дает н еплохое п редставлен ие о сущ н ости

108

того, что м ы п одразум еваем под вы чи слен иям и. Н ачнем с н уля и п роверим , является ли он

сум м ой трех квадратны х чи сел, для чего п росто рассм отри м квадраты всех тех чи сел, которы е

м ен ьш е и ли равны н улю . Е стествен но, м ы и м еем ли ш ь одн о такое квадратн ое чи сло, а и м ен н о О

в результате чего м ож ем записать

0 = 0

+ 0

т. е. О действи тельно м ож н о п редставить в виде сум м ы трех квадратов. П ерейдем затем к

един и ц е и вы п и ш ем все возм ож ны е ком би н ац ии чи сел, равны х и ли м ен ьш е 1, в результате чего

получи м

1 = 0

+ 0

+ 1

В табл. 3.2 я вы п исал результаты всех этих скучны х и утом ительны х операц и й до числа 7,

которое (как легко ви деть и з табли ц ы , где п росто п еречи слен ы все ком бин ац и и) н ельзя зап и сать в

виде сум м ы трех квадратов. Т аким образом , чи сло 7 является ответом для наш ей задачи — оно

представляет собой н аим ен ьш ее число, которое нельзя п редставить в виде сум м ы трех квадратов.

Э тот п рим ер довольно типи чен для вы числительн ого м етода реш ения п росто й п о ф орм ули ровке

задачи .

М ы м ож ем считать, что н ам н есколько п овезло с задачей , п оскольку вы числения п ривели к

ответу довольно бы стро, однако ясно, что в други х задачах расчет м ож ет заним ать очен ь м ного

врем ен и или даж е продолж аться до бесконечн ости. Н апр им ер, п редполож и м , что я несколько

изм ен и л услови я и нам н еобходи м о:

• Н а йт и число , не являю щ ееся сум м ой чет ы рех квад рат н ы х чисел.

Е щ е в XVIII веке знам ени ты й м атем атик Л агран ж доказал теорем у о том , что каж дое число

м ож ет бы ть зап и сан о в виде сум м ы квадратов четы рех чи сел. П оэтом у если вы н ачнете п ои ск

нуж ного чи сла п о п редлож енном у вы ш е м етоду, то ваш ком пью тер будет бестолково «тарахтеть»

целую вечность, но так и не найдет ответа. Э то п рим ер задачи , реш ени е которой просты м

вы числен и ем м ож ет п родолж аться бесконечно.

Д оказательство теорем ы Л агранж а довольно слож н о, п оэтом у я п ри веду гораздо более

доступ н ы й и легкий п ри м ер. П редп олож и м , что м ы хотим :

• Н а йт и н ечет ное число, п редст ави м ое в ви де сум м ы двух ч ет н ы х чи сел.

109

Т абл и ц а 3.2

К ом пью тер м ож ет искать такое чи сло вечность, хотя м ы с вам и прекрасн о знаем , что сум м а

двух четн ы х чи сел всегда дает четное число. Н о вот вам при м ер гораздо более слож н ой задачи :

• Н а йт и чет ное число больш е 2, не являю щ ееся сум м ой двух п р ост ы х чи сел.

К ак вы считаете, справится ли когда-ни будь ком пью тер с эти м расчетом ? В ообщ е-то считается,

что эта задача (н азы ваем ая проблем ой Г ольдбаха) н е им еет реш ени я, н о он а столь слож на, что у

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

м атем ати ков нет един ого м нения об ее и сти н н ости. Я н арочн о п одобрал три задачи разной

степ ен и слож н ости (очень п ростую , достаточн о слож н ую и настолько слож ную , что ни кто не

знает ее ответа), чтобы сф орм улировать следую щ и й вопрос:

• П ользую т ся ли м ат ем ат ики неко т оры м алгорит м ом вы числени й (давай т е обо значим его

через А ), кот оры й п о зво ляет и м убед ит ься, ч т о некий вари ант вы числени й будет прод олж ат ься

бесконечно до лго?

Н апри м ер, п одум ай те, сработало ли в м озгу Л агран ж а н ечто п охож ее на ком п ью терн ую

програм м у, п реж де чем он п ри ш ел в конечном счете к заклю чен ию о возм ож ности представлен и я

каж дого чи сла сум м ой квадратов четы рех чи сел? Д ля ответа на

110

этот вопрос вовсе не н адо п редставлять себя Л агранж ем , достаточн о п росто проследи ть за

ходом его рассуж дени й. Зам етьте, что м ен я соверш енн о н е интересует проблем а ори ги нальности

м ы сли, я хочу ли ш ь рассм отреть про блем у сам ого процесса познания, вследствие чего и

использовал в ф орм улировке воп роса слово «убедиться» (п одразум евая возни кн овени е и ли

создан и е какого-то п он им ан и я).

В н ауке вообщ е (а в логи ке, в частности ) утверж дени я о том , что некоторы е вы чи слен ия

являю тся бескон ечны м и, носят н азвани е П1-вы сказы ваний. Д авай те рассм отри м такие

вы сказы вани я н есколько п одробнее, так как я соби раю сь доказать, что указанн ого вы ш е

алгори тм а А не сущ ествует.

Я н ачну доказательство с некоторого обобщ ен и я рассм отрен ны х вы ш е задач , а им ен но

поп ы таю сь вы яви ть зависим ость связанн ы х с и х реш ени ем вы числен и й от чи сел п н атуральн ого

ряда. П усть, напри м ер, н ам н еобходим о:

• Н а йт и н а т уральное число, не являю щ ееся сум м ой п квад рат ны х чисел.

Н ам уж е известн о, что для п = 3 ответ м ож ет бы ть п олучен очен ь бы стро, а для чисел п >4

вы числительн ы е оп ерац и и н и когда не закон чатся (в соответствии с теорем ой Л агран ж а).

П оп робуем далее реш ить следую щ ую задачу:

• Н а йт и н ечет ное число, являю щ ееся сум м ой п чет ны х чисел.

В этом случае н ам н ет даж е н еобход им ости говори ть о зависим ости от п , п оскольку для лю бы х

п вы чи слен и я н икогда н е закон чатся. Н аконец, в качестве обобщ ен и я п роблем ы Г ольдбаха я

предлагаю задачу следую щ его вида:

• Н а йт и чет ное число больш е 2, не являю щ ееся сум м ой п прост ы х чи сел.

Е сли утверж дение Г ольдбаха верно, то вы числен и я будут длиться бескон ечно для всех п (кром е

0 и 1). В некотором см ы сле доказательство даж е уп рощ ается с ростом п. Я действительно верю ,

что сущ ествует достаточно больш ое число п, для которого вы числен ия «п родолж аю тся вечн о».

В аж н ей ш ей характеристи кой вы чи слен и й такого ти п а является их зави сим ость от чисел

натурального ряда п, и им ен но это обстоятельство стало центральны м м ом ен том для так

назы ваем ой т еорем ы Г ѐд еля о н еп олн оте (в А н глии ее ин огда н азы ваю т догад -

111

кой и ли конъектурой Г ѐделя). Я буду рассм атривать ее в ф орм ули ровке, п редлож енн ой А лан ом

Т ью ри нгом , одн ако н езн ачительн о и зм ен ю ход его рассуж дений . Е сли вы н е лю бите

м атем ати чески е вы кладки, то м ож ете п росто п роп устить этот кусок текста. П олучаем ы й результат

очен ь важ ен, н о особенно ин тересно то, что доказательство вовсе не является слож н ы м — он о

всего лиш ь п оразительно и даж е вы зы вает н едоум ение!

В ы чи слен и я, связан ны е с конкретны м числом п, соверш енн о стандартн ы и п ри вы чн ы для

больш ин ства ком п ью терны х п рограм м . В ы м ож ете, напри м ер, просто взять н абор програм м ,

пронум еровать и х в соответствии с текущ им ном ером (обозначив его через р), а затем запустить

ком пью тер, залож ив в н его этот п орядковы й н ом ер. К ом пью тер н ачнет добросовестн о

«тарахтеть», п оследовательн о осущ ествляя вы числен ия с чи слом п в соответствии с р-й

програм м ой . В ам н еобходи м о лиш ь зап исать п орядковы й н ом ер р в ви де ни ж н его ин декса сп рава,

и тогда набор п рограм м (или вы чи слен и й), связан ны х с числом п , п ри м ет п ростой и ясны й ви д

П редп олож и м , что этот н абор содерж ит все возм ож ны е вы числен ия С

(п) и что м ы м ож ем

найти какой -то эф ф екти вн ы й м етод уп орядочения этих ком пью терны х програм м , так что и ндекс р

означает р-ю п о порядку п рограм м у вы числен и й в соответстви и с некоторы м правилом ,

вследствие чего С

(п) будет озн ачать р-ю п рограм м у, п ри м енен н ую к чи слу п.

П редп олож и м далее, что м ы им еем какую -то вы числительную (т. е. алгори тм и ческую )

процедуру А , отн осящ ую ся к паре чи сел (р, п), осущ ествлени е которой дает очевидн ое и

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

убедительное доказательство того, что работа програм м ы С

{п) ещ е н е закончена. П ри этом вовсе

не требуется, чтобы алгоритм А (р, п ) работал постоянн о, т. е. если вы числен ие С

(п) является

бесконечн ы м , то это не значит, что характеризую щ ий его алгоритм А (р , п) тож е будет

вы полн яться за бесконечное врем я. Н о я подчеркиваю , что алгоритм А (в соответствии с уж е

отм ечен ны м и свой ствам и ком пью тера) срабаты вает без ош ибок, т. е. если операц и я А (р, п) н е

заверш ен а, то это такж е означает, что вы числени е С

(п) не закон чено. А теперь п редставим себе,

что каки е-то м атем атики, исходя из соображ ен и й ти п а оп и санного алгори тм а А , сф орм ули ровали

(или п росто п овторили ) в строгом м атем атическом виде н екоторое утверж ден и е (напри м ер, П 1 -

утверж дение). П редполож и м такж е, что они знаю т о сущ ествовании

112

операции А и уверены в ее н адеж ности и обоснованн ости. П редставим себе далее, что

процедура А вклю чает в себя все операции , доступ н ы е м атем ати кам для того, чтобы убедить

последни х в бесконечном характере вы числен и й. П роцедура А начи нается с отбора програм м ы ,

им ею щ ей и н декс р, а затем н атурального чи сла п , к котором у отн осится данная п рограм м а. Д алее,

если вы числительн ая оп ерац ия А (р, п) закончена, то это озн ачает, что вы чи сление С

(п) н е

заверш ен о, т. е.

Е сли операция А (р, п) заверш ена, т о вы числение С

(п) не закончено. (1)

С обственн о говоря, в этом и заклю чается роль проц едуры А — он а долж н а давать

неопроверж им ы е доказательства того, что определенн ы е вы числен и я не окончены .

П редп олож и м далее, что р = п, в результате чего возни кает хорош о известн ая и довольно

забавн ая си туация, известн ая под названием диагонализации К ант ора (кстати, ее использовани е

м атем ати чески соверш енн о обосн ован н о), после которой м ы вдруг приходи м к следую щ ем у

вы воду:

Е сли оп ер ац ия А (п, п ) завер ш ена, т о вы числение С

(п) не закончено.

Н о в данном случае А (п , п ) зависит лиш ь от одн ого п арам етра п и, следовательно, п ри надлеж ит

к набору вы чи слительн ы х програм м С

(п) (поскольку этот спи сок п о определен и ю вклю чал в себя

все вы чи слен ия, связан н ы е с еди н ствен н ой п ерем енной п). П редп олож и м , что вы чи слительн ая

програм м а, идентичн ая А (п , п ), им ела ин декс k, т. е.

А (п, п) = С

(п).

П олож и в п = к, м ы тут ж е получаем

А(k, k) = С

(k),

что в сочетан ии с услови ем (1) сразу при водит к заклю чению :

Е сли операция А (k, k) заверш ен а , т о вы числение С

(k) не закончено.

В спом н ив, что А(k, k) совпадает с С

(k), м ы поп адаем в логи ческую ловуш ку. Р аз вы числен ие

(k) заканчи вается, то он о не заканчи вается (следовательн о, он о закан чи вается и т. д.). Л овуш ка

заклю чается в том , что если м ы доверяем ся проверочн ой процедуре А , то долж н ы верить и в то,

что вы числен и е С

(k) не закончен о. О дн ако п ри этом п роцедура А тож е н и как не м ож ет

113

закончиться, т. е. «пон ять» наконец, что вы числен и е С

(k) н е кон чается. П оэтом у

вы числительн ая процедура н и как н е м ож ет зам кнуть ц еп очку м атем атических рассуж дений и

реш и ть, что заданное вы числен ие не заканчи вается, т. е. устан ови ть и сти н у П 1 -утверж ден и я. В

этом суть доводов Г ѐделя— Т ью рин га в той ф орм е, которая н уж н а м не для дальней ш их

рассуж ден ий .

В ы м ож ете п одум ать об общ ем см ы сле этого доказательства. О но ясн о дем он стри рует, что

м атем ати ческое пон и м ан ие и/и ли и нтуиц и я н е м огут бы ть закоди рован ы в виде какого -то

вы числительн ого процесса, в сп раведливо ст и ко т орого м ы м ож ем бы т ь аб со лю т но увер ены .

М н е каж ется, что при веден н ая ф орм улировка н аиболее ясн ы м обр азом оп ределяет сущ ность

подхода Г ѐделя— Т ью ри н га, хотя некоторы е п ри держ и ваю тся другой точки зрен и я. В этой связи

ин тересно всп ом ни ть, что пи сали сам и эти авторы о полученном им и результате. П редлагаю вам

одн у и з оц енок Т ью ри н га:

«Д ругим и словам и, абсолю тн о безупречн о работаю щ ая м аш и н а н е м ож ет обладать

ин теллектом . О б этом сви детельствует ряд теорем , которы е, одн ако, ничего не говорят о том ,

каким уровн ем ин теллекта м ож ет обладать м аш и на, н е п ретендую щ ая н а безош ибочн ость и

безупречность работы ».

Т аки м образом , согласн о Т ью рин гу утверж ден и я теорем ы Г ѐделя— Т ью ри нга совм ести м ы с

идеей о том , что м атем атиков м ож но действи тельно рассм атри вать в качестве ком п ью теров, если

алгори тм и ческие оп ерац и и, вы полн яем ы е им и при вы воде м атем атических и стин , не являю т ся

при н ци пи ально здравы м и , обоснованн ы м и и разум ны м и . М ы м ож ем ограни чи ться рассм отрени ем

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

лиш ь ари ф м етически х утверж дени й, напри м ер, ли ш ь П 1 -вы сказы ван иям и , которы е представляю т

собой ин тересн ы й , но весьм а ограни ченн ы й тип утверж дени й. М не каж ется, что на сам ом д еле

Т ью ри нг верил в то, что человечески й м озг использует алгори тм ы , но эти алгори тм ы являю тся

соверш енн о н ерегулярн ы м и (и м ен но в этом см ы сле они неразум ны ). Т акая ситуац и я

представляется неправдоподобной , поскольку он а н е только обескураж ивает, н о и п росто н е

позволяет п онять, каки м образом м ож но обсуж дать что -то и при ходить к каки м -то вы водам

вообщ е. В лю бом случае точка зрения Т ью рин га н е вн уш ает м не довери я, а в п редлож ен н ой вы ш е

схем е (см . табл. 3.1) его рассуж дени я следует отнести к A-п одходу.

Р ассм отрим далее точку зрени я Г ѐделя, которая в м оей схем е относится к D-подходу. О бращ аю

ваш е вни м ан и е н а то, что п ри

114

рассм отрен и и одн и х и тех ж е проблем Т ью рин г и Г ѐдель п ри ходят к соверш енн о

проти воп олож ны м вы водам . И хотя Г ѐдель не вери т, что м атем ати ческо е вдохн овени е м ож но

свести к каки м -то вы чи сли тельны м оп ерац иям , он н е отказы вается от этой возм ож ности

достаточн о четко и определенн о. О н говори т:

«С другой сторон ы , н а основе всего доказан н ого сохраняется возм ож ность сущ ествования (и ,

м ож ет бы ть, даж е эм п и рического создан и я) м аш ин ы , способной доказы вать теорем ы . В реальной

ж изн и такая м аш ина ст ала бы экви вален том м атем ати ческой и нтуиц ии , одн ако это невозм ож но

дока зат ь аналоги чно том у, как в теори и кон ечны х чи сел н ельзя вы води ть только пр авильны е

теорем ы ».

Э то вы сказы вание явно н ам екает н а сущ ествовани е «лазейки », п озволяю щ ей непосредствен н о

использовать теорем у Г ѐделя— Т ью рин га для оп роверж ен и я идей вы числим ости (или

ф ун кционализм а). Л азейка заклю чается том , что м атем атик м ож ет п ользоваться некоторы м

здравы м и логи чн ы м алгори тм ом , н е будучи п олностью уверен в его разум н ости. Т аким образом ,

Г ѐдель ви дел лазей ку в познават ельно й части алгори тм ов, в то врем я как Т ью рин г вы деляет в

алгори тм ах им ен но их разум ност ь.

Н и оди н и з эти х п одходов не каж ется м н е убеди тельн ы м . Т еорем а Г ѐделя— Т ью ри н га всего

лиш ь утверж дает, что если доказана разум ность какой -то алгори тм ической проц едуры (для

доказательства П 1-утверж дений ), то м ож но н ем едленно п олучи ть н екий результат, вы ходящ ий за

рам ки данной п роц едуры . М ы м ож ем сделать это и сам и, используя какую -ли бо другую

алгори тм и ческую п роц едуру (о разум ности которой м ы ни чего н е знаем ). К ром е этого возм ож н о

сущ ествовани е некой обучаю щ ей ся м аш и н ы , которая п ом ож ет н ам в этом пои ске. Э та п роблем а (и

целая куча связан ны х с н ею задач) довольно п одробно рассм атривается в м оей кни ге «Т ени

разум а», и п оэтом у я не буду повторять все доводы и рассуж дени я, а отм ечу только два и з ни х.

Г лавны й воп рос заклю чается в том , каки м образом возн икает этот предполагаем ы й алгори тм ?'

М ож н о п редп олож и ть, что в м озгу человека при этом п рои сходи т нечто п одобн ое естествен н ом у

отбору, в то врем я как в случае робота н овы й алгоритм создается какой -то специальной

структурой, которую м ож но см ело н азвать AI (Artificial Intelligence, искусственн ы й и н теллект). Я

не буду вдаваться в слож ны е рассуж дени я п о этом у п оводу, а ли ш ь приведу вам две просты е

кари катуры из уп ом янутой кни ги .

115

Р и с. 3.7.

Е два ли способн ость к слож н ы м м атем ати ческим п остроениям давала н аш и м далеким предкам

какие-то особы е п реи м ущ ества в п роц ессах естествен ного отбора, однако общ ая способность к

поним анию , безусловн о, способствовала и х вы ж и вани ю .

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

П ервая и з н их (ри с. 3.7) отн осится к связи п он и м ания с естествен н ы м отбором . Л ю бой

первобы тн ы й м атем атик с точки зрени я естественн ого отбора и дарвин овской м еж ви довой борьбы

за сущ ествован ие находи тся в весьм а невы годном п олож ени и (п о сравнению , н апри м ер, с

показан н ы м на рисунке саблезубы м тигром ). О днако н а заднем ф оне картин ки м ож н о видеть

сородичей м атем атика, которы е усп еш н о охотятся на м ам онтов, строят д ом а, вы ращ иваю т каки е-

то злаки и т. п. В се эти оп ерац ии требую т от первобы тны х лю дей развития «пон и м ан ия», н о

зам етьте, что сам м атем ати к в этих действи ях непосредственно н е участвует. Т аким образом ,

качество и уровень «пони м ан ия» м огут сущ ественно вли ять на п роц ессы естествен ного отбора

видов, хотя сам и м атем ати ческие алгори тм ы н е им ею т к этим п роц ессам н и какого п рям ого

отн ош ени я.

Н а другой карикатуре (рис. 3.8), связан н ой с одни м и з сю ж етов кн иги «Т ени разум а», показан

создан н ы й по некотором у п роекту робо т с и скусственн ы м и нтеллектом . С ю ж ет относится к

ди скусси и м еж ду роботом и сп еци али стом п о A I, которая достаточно слож на и заним ает в кн иге

м ного м еста, вследствие чего я не буду ее пересказы вать. В свое врем я м оя точка зрени я на

доводы Г ѐделя— Т ью ри н га бы ла подвергнута ж естокой критике сам ы м и разли чн ы м и лю дьм и, с

сам ы х разн ы х пози ци й и п о сам ы м разны м п ри чи н ам . Д искуссия в кн и ге «Т ени разум а»

116

Р и с. 3.8. И м п ер атор А л ьбер т в к н и ге «Т ен и р азум а» сп ор и т с М атем ати ч еск и

О босн ован н ой К и бер си стем ой .

П ервы е 200 страниц кни ги п освящ ен ы анализу и кри ти ческом у рассм отрению разли чн ы х идей ,

связанн ы х с и сп ользовани ем доводов Г ѐделя— Т ью рин га. Э том у обсуж дению п ри дана ф орм а

ди алога м еж ду AI-экспертом и роботом .

м еж ду AI-эксп ертом и роботом представляет собой м ою поп ы тку обобщ ен ия всех новы х

доводов и возраж ений .

Д авай те верн ем ся к н ачалу обсуж дения. Д оводы сам ого Г ѐделя относятся к кон кретн ы м

утверж дениям отн осительно чисел, н о зам етьте, что Г ѐдель говорит лиш ь о том , что н е сущ ествует

вы числительн ы х п роц едур, которы е п озволяю т опи сы вать свойства нат уральны х чи сел. О дн ако,

несм отря н а отсутстви е вы чи слительны х м етодов и х опи сани я, лю бой ребен ок п рекрасн о

пон и м ает, что представляю т собой такие чи сла. Д ля объясн ения и х сущ ности достаточн о всего

лиш ь показать ребен ку разное число разн ы х объектов (см ., напри м ер, ри с. 3.9), глядя на которы е

лю бой ребенок довольно легко и бы стро п ри ходи т к абстрактн ом у п он им анию сущ ности

натуральны х чи сел. П ри этом н икто не излагает детям теорию и набор вы чи слительны х п равил,

связанн ы х с натуральны м и чи слам и , — дети сразу прекрасно «п он и м аю т» сущ ность идеи

натуральны х чи сел. Я хочу подчеркн уть, что они сп особн ы каки м -то образом входи ть «в кон -

117

Р и с. 3.9. Р ебен ок вп ол н е сп особен восп ри н и м ать м и р абстрак тн ы х п латон овск и х

и дей , р ассм атри вая п р осты е р и сун к и .