Пенроуз Р., Шимони А., Картрайт Н., Хокинг С. Большое, малое и человеческий разум

Подождите немного. Документ загружается.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

П ен ро уз Р., Ш и м о н и А ., К ар трай т Н ., Х о ки н г С . Б ольш о е, м ал ое и чел овеч ески й р азум / П ер . с англ . — М .:

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

соверш енн о таким ж е м еханизм ом м орская толщ а н а обращ енной к Л ун е п оверхн ости Зем ли

при тягивается Л ун ой чуть сильн ее, чем н а обратной стороне, в результате чего вдоль м орской

поверхности дваж ды в день пробегает вы сокая при ли вная водн а.

Г равитаци он ны й эф ф ект по Э й нш тейн у п редставляет собой просто другую ф орм у оп исан ного

при ли вн ого эф ф екта. О н определяется, как уж е отм ечалось, кри визной В ейля, т. е. составляю щ ей

С ... вы п исан н ого вы ш е уравнен ия. Э та часть тензора криви зны соответствует п роц ессам с

«сохранением объем а» (т. е. объем элли п соида, образовавш егося в результате деф орм ац ии сф еры

из частиц, долж ен в точн ости равняться объем у и сходной сф еры ).

В торая составляю щ ая, назы ваем ая кривизной Р иччи, относи тся к эф ф ектам , связанны м с

«сокращ ен ием объем а». Н ап ри м ер, если Зем ля будет окруж ена сф ери ческим облаком части ц (как

показан о н а рис. 1.13, б), то объем сф еры с течен и ем врем ени долж ен н есколько ум ен ьш иться,

поскольку все частиц ы п ритягиваю тся «внутрь». С теп ень такого сокращ ени я объем а и

опи сы вается составляю щ ей R'. В соответствии с эй нш тей н овской теори ей эта кри ви зна

определяется количеством вещ ества в бли ж айш ем окруж ении дан н ой точки . И ны м и словам и,

определи в правильны м образом п лотность вещ ества в н екоторой точке п ространства, м ы м ож ем

найти и величин у н ап равлен н ого

«вн утрь» ускорен и я. П ри таком подходе теори я Э йн ш тей н а п олн остью совп адает с

нью тоновской теори ей тяготен ия.

И м ен н о так Э й нш тейн и сф орм улировал свою теори ю гравитаци и — он вы рази л тяготен ие

посредством п ри ливн ы х эф ф ектов, являю щ ихся м ерой локальн ого и скри влени я п ространства-

врем ен и . П редставлен и е об искривлен ии четы рехм ерного простран ства-врем ени является

важ нейш им в теори и отн осительности . Я н апом ню вам ри с. 1.11, где схем ати чески бы ли показаны

м ировы е лин ии частиц и и х и скаж ени я. Т еори я Э й н ш тейна представляет собой чи сто

геом етри ческую схем у для четы рехм ерн ого простран ства-врем ен и , п ри чем ее м атем ати ческая

ф орм ули ровка отли чается удиви тельной красотой.

И стори я откры ти я общ ей теори и относи тельности является весьм а поучи тельной и и нтересн ой.

Э й нш тейн п олн остью сф орм ули ровал ее в 1915 г., исходя н е из эксп ерим ен тальны х н аблю ден и й , а

лиш ь из некоторы х эстети ческих, геом етрических и ф изических при нц и пов и п ри страсти й.

О сновой теори и стали п рин ци п экви вален тн ости Г али лея (п рим ером дей стви я которого м огут

служ и ть оп исан ны е вы ш е эксп ерим енты с бросан и ем кам ней разли чн ого веса, ри с. 1.12) и общ ие

идеи н еевкли довой геом етрии , естествен ны м образом и сп ользуем ы е для оп исан ия пространства-

врем ени . О б эксперим ен тальны х доказательствах теории вн ачале ни кто не задум ы вался, одн ако

после ее окон чательн ой ф орм улировки бы ло предлож ено три разны х варианта проверки . П ервы й

из ни х связан с известн ой астрон ом ической задачей (проблем а см ещ ен и я перигели я М еркури я),

которую н икак н е удавалось реш ить в рам ках классической м еханики Н ью тон а. О бщ ая теори я

отн осительности п озволи ла соверш енн о точн о п редсказать вели чи ну этого см ещ ен и я. Д алее, из

теории следовало, что траектори я световы х лучей долж на искри вляться п ри прохож дени и через

м ощ н ы е гравитаци он н ы е п оля (н апри м ер, вбли зи С олнц а). Д ля п роверки этой ги потезы в 1919 г.

под руководством А ртура Э дди нгтона бы ла органи зована астроном ическая экспедиц ия для

наблю ден и я полного солнечного затм ени я. Р езультаты , получен ны е этой зн ам ени той экспедиц и ей ,

соответствовали п редсказан иям эй нш тей н овской теории (ри с. 1.14, а). И наконец, третья п роверка

бы ла связан а с предсказан ием зам едления хода часов в гравитаци он ном поле (часы у п оверхн ости

Зем ли долж ны и дти чуть м едленнее, чем часы н а верш ине баш н и), что н еодн ократн о п роверялось

в эксперим ентах. С ледует отм етить, что все эти проверки н е оказали сь достаточно вески м и (из-за

того, что наблю даем ы е эф ф екты всегда

Р и с. 1.14.

а — п рям ы е и зм ерен и я воздействи я гравитаци он ного п оля на п рохож ден и е световы х лучей в

соответствии с общ ей теори ей относительности . И зображ ен и е удаленн ы х звезд и скаж ается из-за

вейлевского и скри влени я п ространства-врем ен и, при водящ его к искривлен ию траектори й

световы х лучей в гравитаци онн ом п оле С олн ца. К руглы е и зображ ен и я звезд п ри этом

превращ аю тся в элли п сы ; б — и спользование эй н ш тей н овского эф ф екта и скри влени я световы х

лучей в качестве п рактического п рием а астроном ических наблю дений . М ассу галактики, леж ащ ей

на пути светового луча, м ож н о оценить п о степен и искаж ения и зображ ени я удален ного квазара.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

очень слабы ), а такж е м огут бы ть достаточно убедительно объяснен ы в рам ках други х теори й .

О тнош ен ие к теории относительности резко и зм ени лось в 1993 г., когда Х ульзе и Т ейлор

получи ли Н обелевскую прем ию за и скл ю чи тельно и н тересны е астроном ически е н аблю ден ия,

отн осящ и еся к двой н ом у п ульсару PSR 1913+ 16. Э тот астроном и ческий объект (ри с. 1.15, а )

состоит и з двух нейтронны х звезд со столь больш ой п лотностью , что м асса каж дой и з н и х

при м ерно равна м ассе н аш его С олнц а, хотя их ради ус составляет всего лиш ь несколько

ки лом етров! Н ей тронн ы е звезды вращ аю тся

Р и с. 1.15.

а — схем атическое изображ ени е двойн ого пульсара PSR 1913+ 16. О дна из н ейтронн ы х звезд

является источн иком н ап равленного ради ои злучени я, и сп ускаем ого вд оль оси м агни тн ого дип оля

(которая, кстати , не совпадает с осью вращ ен ия нейтрон ной звезды ). О тчетливы е и м пульсы

регистрирую тся в те м ом енты врем ени , когда узки й луч излучени я попадает в поле зрени я

наблю дателя. Х арактери стики двойн ой нейтронн ой звезды , оп ределяем ы е точной регистрацией

си гн алов, совпадаю т с тем и, которы е п редсказы вает общ ая теория отн осительности; б— сравнени е

эксп ерим ен тально изм еренн ы х зн ачен и й изм ен ения ф азы си гн алов излучен ия пульсара PSR

1913+ 16 с теоретически м и расчетам и, осн ованн ы м и на учете гравитаци он н ого излучен и я двой ной

нейтронн ой звезды (сплош ная кри вая).

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

вокруг общ его центра тяж ести по очень вы тянуты м элли п тическим орби там . О дн а и з звезд

обладает си льнейш им м агн итны м полем , благодаря чем у является источн и ком настолько

ин тенсивн ого и злучени я, что н а Зем ле (т. е. на расстояни и 30 О О О световы х лет) он о п рекрасн о

регистрируется в ви де сери и четко оп ределенн ы х и м пульсов. Э то позволи ло п ровести

разнообразны е и тщ ательны е изм ерен и я, в частн ости , парам етры орби т обеи х нейтронн ы х зв езд

удалось зам ерить с очен ь вы сокой точн остью и провери ть поп равки , связан н ы е с учетом общ ей

теории относи тельности .

Д алее я долж ен особо подчеркнуть, что в общ ей теори и относи тельности сущ ествует и

соверш енн о сп ециф и чески й эф ф ект, отсутствую щ ий в нью тон о вской теори и тяготени я и

заклю чаю щ ий ся в том , что вращ аю щ иеся относительно друг друга объекты излучаю т эн ерги ю в

виде гравитаци он ны х волн. Э ти волны похож и на световы е, н о в отличи е от последн их

представляю т собой н е колебания электром агни тн ого поля, а возм ущ ен ия, и ли «рябь»,

простран ства-врем ени . И зм ерен н ая скорость п отери эн ергии упом ян утой двой ной н ейтронн ой

звезды с вы сокой точностью совп ала с теорети чески м и расчетам и , п роведенн ы м и в рам ках общ ей

теории отн осительности . Н а ри с. 1.15, б п редставлены результаты изм ерен и я см ещ ени я орби т за

20-летний пери од наблю ден ий . В ы сокая н адеж ность регистрации излучаем ы х си гн алов и

дли тельность и зм ерени й п озволи ли довести точность расчета п арам етров орбит до10

-14

, что делает

общ ую теорию относительности сам ой точн ой и п роверяем ой областью соврем енн ой н ауки.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

П роцесс создания и п роверки общ ей теори ей относительности содерж и т, безусловн о, и важ ны й

м оральн ы й м отив, связанн ы й с тем , что Э йн ш тейн потрати л на создание теори и м н оги е годы ,

практически н е обращ ая вн и м ан и я на п роблем ы ее эксперим ен тальной п роверки . С ущ ествует

общ ераспростран енное м нени е, что ф и зики и щ ут образы , и ли «паттерны », получаем ы х в

эксп ерим ен те результатов и ставят своей ц елью создани е красивы х теори й , п озволяю щ их оп и сать

эти результаты . С читается, что и м ен но поэтом у ф изики и м атем ати ки п редпочитаю т «держ аться

вм есте». О дн ако в случае с общ ей теорией отн осительности ситуац и я вы глядит соверш ен н о и ной .

В н е всякой связи с эксперим ен тальны м и результатам и бы ла разработана весьм а и зящ ная и

элеган тн ая м атем атическая теория, относящ аяся к осн овам ф изи ки. П роблем а заклю чается как раз

в том , что эта п рекрасн ая м атем атическая структура п росто сущ ествует в П рироде и п ри сутствует

в п ространстве, а н е является чем -то привн есенны м , «навязан н ы м » П рироде и звн е. О дн а и з

важ нейш их идей этой главы состои т в том , что Э йнш тейн вы явил в м ире нечто, уж е

содерж авш ееся в н ем . П ри этом обнаруж енны е и м структуры вовсе не относятся к

незначительн ы м или м аловаж ны м разделам ф изики , а связан ы с н аиболее ф ун дам ен тальн ы м и

законам и П ри роды и свойствам и простран ства-врем ени.

С казанн ое возвращ ает н ас к н ачалу кни ги и рис. 1.3, связы ваю щ ем у м ир м атем атики с м иром

ф изи ческих явлен и й. В общ ей теории относи тельности м ы сталкиваем ся со структурой , которая

реально определяет с и склю чительн ой точностью поведени е ф и зи ческого м ира. П ри этом теори я,

опи сы ваю щ ая ф ун дам ентальны е свойства н аш его м ира, бы ла п олучена вовсе не в результате

дли тельны х наблю ден и й за п оведени ем П рироды (разум еется, сказан н ое н е озн ачает, что я

отриц аю очевидн ую ц ен н ость таких наблю ден и й ). К онечно, осн овны м критери ем н аучн ой теории

является н е убеди тельн ость доводов, а соответствие ф актам . В дан н ом случае м ы и м еем дело

им ен н о с теори ей, которая прекрасно согласуется с эксп ерим ен тальны м и данны м и. Т очность

теории относительности по край н ей м ере вдвое (как м атем атик я п одразум еваю п од точностью

число знаков после зап ятой п ри надеж ном расчете) вы ш е точн ости класси ческой м ехан ики , т. е. ее

расчеты справедли вы до 10

-14

, в то врем я как точн ость нью тон овской м ехан и ки составляет

лиш ь10

-7

. Т акое «возрастани е» точности н аблю далось в классической м ехани ке за период от

сем надцатого века (Н ью тон знал,

что точн ость его расчетов составляет 10

-3

) до наш их дн ей (она доведена, как я уж е говори л,

до10

-7

Р азум еется, гип отеза Э йн ш тейна представляет собой н екую ф изи ческую теори ю , и для н ас

очень важ н о установи ть ее связь со структурой реального м и ра. Я обещ ал, что н е буду вдаваться в

подробности и делать и злож ени е «ботан ически м », одн ако в данн ом случае речь и дет о теори и

един ственной известн ой нам В селенн ой (как о ц елостном объекте), так что я м огу углубиться в

рассуж ден ия, н е оп асаясь обви н ени й в и злиш ней болтливости. Т еория Э й н ш тейна п редлагает нам

три тип а стандартной м одели разви тия м и ра (ри с. 1.16) в зависим ости от того, какова вели чи н а

одн ого из главны х парам етров теори и , обозначен ного буквой к. В различн ы х работах по

косм ологии часто используется так н азы ваем ая косм ологическая постоянн ая, н о я н е буду ее

упом инать, поскольку сам Э йнш тейн считал своей основной ош ибкой им ен н о введен ие этой

постоян ной в уравнени я общ ей теории отн осительн ости . Е сли ж е ж и знь когда-ни будь застави т

ф изи ков вернуться к этой п остоянн ой, н ам п ри дется это вы терпеть.

П олагая косм ологи ческую п остоянн ую равной н улю , м ы получаем для трех разли чн ы х

значен ий п арам етра к (к = +1, 0, — 1) три разли чн ы е м одели В селенной (см . рис. 1.16). Р азум еется,

бы ло бы прави льнее учи ты вать такж е возраст и м асш таб В селенной (для этого н еобходи м о

пользоваться н епреры вны м , а н е ди скретн ы м п арам етром к), одн ако м ы ограничим ся лиш ь этим и

трем я м оделям и, п оскольку и х м ож но легко связать с кри ви зной п ространственн ы х сечен и й

В селен н ой. Е сли сечени я являю тся плоски м и , то этом у соответствует н улевая криви зна и значен ие

парам етра к = 0 (ри с. 1.16, а ). Е сли ж е сечен и я им ею т полож и тельную кри ви зну, то В селенн ая

является зам кнутой и, следовательно, к = + 1 (рис. 1.16, б). В этих м оделях В селенная и м еет

си н гулярн ое исходное состояние, знам еную щ ее ее рож дени е (зн ам ен иты й Б ольш ой В зры в). П ри

к= + 1 В селенная после рож дени я расш иряется (и н огда говорят «раздувается») до н екоторого

м акси м альн ого разм ера, п осле чего начин ает сж им аться и «схлоп ы вается» в м ом ен т Б ольш ого

С ж атия. П ри к = — 1 расш ирен ие В селенной будет продолж аться вечно (рис. 1.16, в), а случай к =

0 является п ром еж уточны м м еж ду двум я указанн ы м и. Н а ри с. 1.16, г схем атически показан а

зави сим ость радиуса В селенн ой от врем ени , где под ради усом п он им ается неки й характерны й

разм ер. О н м ож ет бы ть задан ли ш ь п ри к = + 1, а в двух остальны х случаях В селенная просто

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

бесконечн о расш иряется.

Р и с. 1.16.

а— п ространственно-врем ен н ая карти на расш иряю щ ейся В селен н ой с евклидовы м и

простран ствен н ы м и сечен и ям и (на рисун ке указан ы ли ш ь два изм ерен ия), k = 0; б —

простран ствен н о-врем енн ая карти на расш иряю щ ей ся (а затем сж им аю щ ейся) В селен ной со

сф ери чески м и простран ственны м и сечени ям и, k — + 1; в — п ростран ственно-врем енная карти н а

расш иряю щ ейся В селенн ой с п ространственн ы м и сечени ям и, опи сы ваем ы м и геом етрией

Л обачевского, k = — 1; г - ди н ам ика развития трех указан н ы х тип ов м одели Ф ри дм ан а.

М н е хочется подробнее рассм отреть случай с к = — 1 (которы й, кстати сказать, трудн ее всего

согласовать с общ ей карти ной), п редставляю щ ий и нтерес по двум важ н ы м причи н ам . В о -первы х,

эта м одель н аиболее удобн а, если вы хотите трактовать результаты н аблю ден ий по и х и стин н ом у,

«ном и нальном у» значению . Д ело в том , что в общ ей теории относительности искри влени е

простран ства обусловлено сум м арны м коли чеством вещ ества во В селенн ой , а этого коли чества,

по соврем енны м данны м , явн о н едостаточн о для создани я В селен ной с зам кнутой геом етрией

(разум еется, м ож ет оказаться и так, что В селенн ая содерж ит больш ое коли чество так н азы ваем ой

скры той , и ли тем ной, м ассы , которую м ы ещ е просто не успели обн аруж и ть, и тогда будет

сп раведлива какая-то другая м одель, однако, скорее всего, наш а В селенная не и м еет столь

больш ой м ассы и опи сы вается парам етром к = — 1). В торая при чи н а м оего и нтереса к этой

м одели связан а с ее исклю чи тельной красотой и элегантн остью .

Н а что похож и вселенн ы е с парам етром k = - 1? И х п ростран ствен ны е сечения оп и сы ваю тся так

назы ваем ой ги перболи ческой геом етрией (геом етрией Л обачевского), прекрасн ой и ллю страц и ей

которой м ож ет служ ить одн а и з карти н М ори са Э ш ера (ри с. 1.17). Э ш ер нарисовал ц елую серию

гравю р, озаглавленную «П редельн ы е окруж ности», одна и з которы х и показана н а ри сунке. К ак

вы ви дите, худож ни ку п редставляется, что В селен н ая полна ангелов и чертей! Д ля н аш его

рассм отрен и я гораздо важ н ее то, что вся карти н а как бы вы гнута по отн ош ени ю к краям

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

предельной окруж н ости, и это и скри влен ие связан о им ен но с поп ы ткой худож ни ка изобразить

ги п ерболи ческое простран ство на плоском ли сте бум аги , и ны м и словам и — в п ри вы чном

евкли довом пространстве. С ледует осознать, что если бы м ы ж или в этой В селенн ой , то ф орм а и

разм еры всех чертей бы ли бы оди наковы н езави сим о от того, поп али бы м ы в центр или на край

карти н ы . Г равю ра дает некоторое п редставлен и е о том , что п рои сходи т в п ространстве

Л обачевского, и о тех особенн остях, которы е возни каю т п ри соответствую щ ем и скаж ен и и

простран ства.

Г еом етрия Л обачевского м ож ет п оказаться странной и н еож иданной , н о есл и вдум аться, то

при вы чн ая н ам евклидова геом етрия — тож е соверш енн о зам ечательн ая вещ ь, хотя бы потом у,

что она дает н ам п рекрасн ы е образцы взаим одействи я ф изики и м атем атики . К огда-то древни е

греки рассм атривали ее н е как раздел м атем ати ки, а как опи сани е окруж аю щ его м ира.

Р и с. 1.17. М . Э ш ер . «П редел ьн ая ок руж н ость 4» (п редставл ен и е геом етр и и

Л обачевск ого).

Г еом етрия действительн о оп исы вает м ир с п орази тельной точн остью . Я говорю об очень

вы сокой , но н е абсолю тн ой точн ости, п оскольку, как м ы уж е ви дел и , теори я Э йнш тейн а доказала

позднее, что наш м ир в оп ределенн ы х условиях м ож ет бы ть «искривлен ». В оп рос о возм ож ности

сущ ествовани я други х геом етрий всегда волновал учен ы х. Э та очень старая п роблем а и звестна

под н азвани ем пят ого п о ст ула т а Е вклид а и своди тся к справедли вости утверж дени я о том , что

через точку н а п лоскости , леж ащ ую вн е задан н ой п рям ой , м ож но провести только одн у п рям ую ,

параллельную дан ной. Д олгое врем я считалось, что это утверж дение м ож но доказать, используя

други е, более очевидн ы е теорем ы и полож ения евклидовой геом етри и , однако позднее

вы ясн илось, что такое доказательство невозм ож н о, вследствие чего и возн икло представлен и е о

неевкли довой геом етрии .

В такой геом етрии сум м а углов треугольн и ка н е равна 180°. Н а п ервы й взгляд каж ется, что это

условие значительно услож няет рассм отрен и е, п оскольку м ы привы кли к том у, что в евкли довой

геом етри и сум м а углов лю бого треугольни ка всегда со -

Р и с. 1.18. а — тр еугол ьн и к в евк л и довом п ростран стве; б — треугол ьн и к в

п р остр ан стве Л обачевск ого.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

ставляет им ен но 180° (рис. 1.18, а). О днако в н еевкли довой геом етрии разность м еж ду сум м ой

углов треугольни ка и 180° п ропорци ональна п лощ ади треугольн и ка, т. е. н еож идан но вы ясн яется,

что площ адь треугольника слож н ее оп исать и м ен но в евкли довой геом етри и , где она задается

слож ны м уравн ени ем для всех углов и дли н сторон треугольни ка. В неевкли довой геом етрии

площ адь треугольни ка определяется зам ечательно простой ф орм улой Л ам берта (рис. 1.18, б).

П орази тельно, н о Л ам берт вы вел свою ф орм улу до откры тия н еевклидовой геом етрии !

О чень важ ную роль в геом етрии играю т так н азы ваем ы е действи тельны е (вещ ественны е)

числа, абсолю тн о необходи м ы е для построени й евкли довой геом етрии . Т акие чи сла ввел

древнегреческий м атем атик Е вдокс в 4 веке до н.э., и он и до сих п ор сохран яю т сво е зн ачен и е для

создан и я ф изической картин ы м и ра. П озднее м ы будем говорить и о ком плексны х числах, н о

последни е такж е осн ован ы на п редставлен и и о вещ ествен н ы х чи слах.

Д авай те рассм отрим ещ е одн у гравю ру Э ш ера (ри с. 1.19), которая дем он стрирует особенности

геом етри и Л обачевского да-

Р и с. 1.19. Г равю ра М . К . Э ш ер а «П редел ьн ая ок руж н ость 1».

ж е н агляднее, чем ри с. 1.17 (поскольку на н ей использованы «прям ы е лин и и », которы е всегда

вы глядят более очевидн ы м и). Н а ри сунке п оказан ы дуги окруж н остей , пересекаю щ и е гран и цу п од

прям ы м углом . О битатель м ира с геом етри ей Л обачевского восп ри ни м ал бы п рям ую ли ни ю как

одн у и з эти х дуг, что хорош о ви дн о н а ри с. 1.19, где «по -н астоящ ем у п рям ы м и» являю тся лиш ь

лин ии , проходящ и е через центр окруж н ости, а все остальны е «прям ы е» в действи тельности

представляю т собой изогн уты е дуги . Н екоторы е и з этих «прям ы х» п оказаны на ри с. 1.20, где я

доп олн ительн о вы дели л точку, н е леж ащ ую н а и стин ной прям ой (т. е. н е на диам етре). О битатель

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

м ира Л обачевского м ож ет провести через эту точку две (и даж е больш е) различн ы е ли н ии ,

которы е не будут пересекать диам етр, т. е. в этой геом етри и пяты й постулат Е вкли да безусловн о

не и м еет си лы . Б олее того, изм ери в сум м у углов треугольни ка н а ри сунке, вы м ож ете вы чи сли ть

его п лощ адь. Н адею сь, что даж е эти обры вочн ы е сведен и я даю т возм ож ность п очувствовать

необы чность и очаровани е м и ра с гип ерболи ческой геом етрией.

Я уж е говори л, что м н е очен ь нрави тся ги перболи ческая геом етри я, создан н ая Л обачевским .

О дной и з п ри чи н м оего пристрасти я является и то, что групп ой си м м етрий этого п ростран -

Р и с. 1.20. Н ек отор ы е особен н ости ги п ер бол и ческ ой геом етр и и (простран ства

Л обачевск ого), п оясн яю щ ие п остроен и я гр авю ры «П редел ьн ая ок руж н ость 1».

ства вы ступает уж е знаком ая нам груп па Л орен ца, соответствую щ ая си м м етрии специальной

теории относительности и световы х конусов, и граю щ их в этой теори и столь важ н ую роль. Н а рис.

1.21 световой конус п оказан более подробн о. Я нарочн о убрал одн у из пространствен ны х

координ ат, чтобы п родем онстри ровать вам н аглядн ую трехм ерн ую карти н у. П оказанны й на

рисун ке световой конус опи сы вается п росты м уравнением

-x

- y

= 0.

В такой геом етрии (ее назы ваю т геом етрией М и н ковского) уравнению t

- х

- у

= 0

соответствую т две чаш еобразны е поверхности , расп олож енны е на «еди ни чн ом расстоян ии » от

начала коорди нат («расстоян ию » в геом етри и М и н ковского соответствует реальное врем я, т. е.

врем я, и зм еряем ое в ф и зическом эксперим енте п ри пом ощ и дви ж ущ ихся часов). В п ростран стве

М и нковского эти п оверхн ости служ ат «сф ерам и», и м ож но показать, что вн утрен н яя геом етрия

таки х сф ер является гип ерболи ческой (простран ство Л обачевского). В евклидовой геом етрии вы

м ож ете вращ ать обы чн ую сф еру и н айти групп у сим м етрии , соответствую щ ую таким вращ ени ям .

В случае п оверхностей,

Р и с. 1.21. П р остран ство Л обач евск ого, «вл ож ен н ое» (в ви де ги п ер бол ои дов) в

п р остр ан ство-вр ем я М и н к овск ого.

С тереограф и ческая п роекция п ереводи т его в так н азы ваем ы й диск П уан каре, ограничен н ы й

окруж н остью на плоскости t= 0.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

изображ енны х н а рис. 1.21, групп а си м м етрий п редставляет собой груп пу вращ ени й Л оренца,

которая опи сы вает преобразование пространства и врем ени при вращ ени и , т. е. п ри вращ ени и

един ого п ространства-врем ени вокруг некоторой ф и кси рован ной точки. В таком представлени и

групп а сим м етрий простран ства Л обачевского точно совп адает с груп пой Л оренца.

Н а ри с. 1.21 для простран ства М и н ковского п оказана такж е стереограф ическая проекц ия,

подобная рассм отрен н ой вы ш е (рис. 1.10, в). В м есто ю ж ного п олю са на рис. 1.21 и спользуется

точка (-1, 0, 0), а точки верхней «чаш и» п роец и рую тся на пл оскость t = 0, которая вы ступ ает

ан алогом экватори альной плоскости на рис. 1.10, в. В се точки после проецирования леж ат внутри

окруж н ости в плоскости t= 0, которую назы ваю т и н огда ди ском П уанкаре. В результате оп ерац и и

в ц елом (которая, кстати , в точности совп адает с худож ествен ны м при ем ом , и сп ользовавш им ся

М .Э ш ером в его гравю рах «П редельн ая окруж н ость») гип ерболи ческая п оверхность (простран ство

Л обачевского) п реобразуется в ди ск П уанкаре. Б олее того, такое п реобразовани е соответствует

главной особенности п роекц ии ри с. 1.10, в — оно сохраняет все углы и окруж ности, придавая

операции геом етри ческое и зящ ество. Я просто восхи щ аю сь всем и этим и совпадени ям и, с

которы м и м атем атики п остоянн о встречаю тся в своих исследован иях!

Н адею сь, что м ой восторг не показался вам чрезм ерн ы м . С ущ ествует ин тересная и н есколько

загадочная п си хологи ческая законом ерность: если результаты исследовани я какой -то

заи нтересовавш ей вас проблем ы (нап ри м ер, геом етри ческой) вы раж аю тся красивой

м атем ати ческой ф орм улой , то это поддерж ивает и нтерес и сследователя и сти м ули рует

дальней ш ую работу (соверш енн о ан алогично результаты , не обладаю щ ие м атем ати чески м

изящ еством , обы чно разочаровы ваю т и обескураж иваю т и сследователя). Г и п ерболической

геом етри и присущ а особая м атем атическая красота, и бы ло бы очень при ятн о (м не лично, п о

край н ей м ере), если бы В селен н ая бы ла п остроена столь м атем атически красиво. Р азум еется, у

м ен я есть очень м н ого других при чи н для веры в такое устрой ство В селенн ой . М н огим н е

нравится идея о гип ерболической , откры той В селенн ой , и они предп очи таю т м одели зам кнуты х

вселенны х (типа показанн ы х н а рис. 1.16, б ), которы е, вп олн е возм ож но, каж утся и м более

при ятн ы м и и ую тн ы м и (разум еется, стои т отм етить, что таки е зам кн уты е вселенн ы е все ещ е

остаю тся весьм а круп ны м и). Д ругие учен ы е предпочитаю т м одели плоского м ира (рис. 1.16, а ),

поскольку среди теорий зарож дени я В селенн ой сущ ествует и так назы ваем ая теори я

раздува ю щ ейся В селенной, п редполагаю щ ая п лоскую геом етри ю м ира. Д олж ен сказать, что я н е

очень доверяю эти м теориям .

О п исан н ы е вы ш е три стандартн ы х типа м оделей В селен ной , и звестн ы е под общ им н азван и ем

м оделей Ф ри д м ана, отли чаю тся и склю чи тельно вы соким уровн ем си м м етрии . В се он и оп исы ваю т

расш ирение, однако В селенная при этом остается соверш енн о однородн ой в лю бой м ом ен т

врем ен и . Э то услови е входи т в структуру м оделей Ф ридм ана и получило специ альное названи е

косм ологического пр инципа . В м оделях Ф ридм ан а свойства В селен ной оди н аковы п о всем

направлен и ям , и похож е, что наш а В селен ная устроена действи тельно по этом у при нц и п у. Е сли

уравнения Э йнш тейн а справедли вы (а вы ш е я говорил о том , что его теори я с вы сокой степ ен ью

точности соответствует наблю даем ы м явлени ям ), то к м оделям Ф ридм ана следует отн оситься

весьм а серьезн о. О тм ети м , что во всех этих м оделях при сутствует н е очень «и зящ н ы й» с точки

зрен ия ф и зики Б ольш ой В зры в (состояни е сверхгорячей В селен н ой с бесконечной п лотн остью и

други м и си нгулярн ы м и парам етрам и , которы е очень

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

Р и с. 1.22. Р езул ьтаты и зм ерен и й сп ек тра к осм и ч еск ого м и к роволн ового ф он ового

и злучен и я

(точки н а ри сунке), п олучен н ы е при п ом ощ и спутн ика С О В Е , п рекрасно совп адаю т с

расчетной кри вой (сп лош ная ли н и я), п олученн ой из «тепловой» теори и Б ольш ого В зры ва.

трудн о описы вать теоретически ). О дн ако если м ы все ж е см и рим ся с возм ож ностью

сущ ествовани я этого сверхн агретого и сверхплотного ф изического состоян ия, то см ож ем

предсказать разви тие м и ра вплоть до н астоящ его врем ени. О дн о и з важ нейш их предсказани й

такого тип а относится к тепловом у состоянию В селен ной. Т еорети ческий расчет п оказы вает, что в

ней долж н о присутствовать одн ородн ое ф оновое и злучени е, спектр которого долж ен

соответствовать и звестном у в ф изике излучению черного тела. И м ен н о такой ти п косм ической

радиации (п олучи вш ий н азвани е м икроволнового ф онового излучения) бы л откры т П ен зи асом и

В и льсоном в 1965 г., что стало одн ой и з главн ейш их научн ы х сен саци й наш его врем ени . Н а рис.

1.22 представлен а спектральная кри вая этого излучени я (п олучен н ая при п ом ощ и сп утн и ка

С О В Е ), которая с очень вы сокой степенью точн ости совп адает с хорош о и звестны м из учебн иков

сп ектром абсолю тн о черного тела.

Д ля всех специ алистов п о косм ологи и сущ ествовани е этого ф онового излучен и я стало

убедительны м доказательством того, что н аш а В селен ная когда-то находи лась в очень горячем и

плотном состояни и. И злучени е сообщ ает н ам нечто об исходн ом состоянии В селенной и, хотя не

дает п олн ой и н ф орм ации , соверш ен но оп ределенн о свидетельствует о том , что собы ти е ти п а

Б ольш ого В зры ва дей стви тельно когда-то п роизош ло.

Д руги м и словам и , наш а В селен н ая долж на бы ть очен ь похож а на одн у и з м оделей ри с. 1.1 6.

И зм ерени я, п роведен н ы е при пом ощ и спутн ика С О В Е , позволи ли сделать ещ е одн о важ н ое

откры ти е, заклю чаю щ ееся в том , что (хотя обн аруж ен ное косм ическое ф он овое и злучени е

является вы сокоодн ородны м и п рекрасн о оп исы вается м атем атически ) В селен н ая в целом н е

является соверш енн о одн ородн ой. В распределен и и излучени я п о звездн ом у небу остаю тся очен ь

небольш ие, н о вп олн е реальн ы е н еодн ородн ости . Ф актически м ы вы нуж дены п ри знать, что каки е-

то крош ечн ы е неодн ородн ости п ри сутствовали уж е н а сам ой ранней стади и разви ти я В селен н ой, а

сейчас м ы ви ди м ли ш ь и х остатки, которы е ещ е не «расп лы лись» и н е п реврати ли сь в однородное

«загрязнени е». С корее всего, н аш а В селенн ая п охож а н а м одели ри с. 1.23 (для дем онстрац и и

своей непредубеж ден н ости и бесп ристрастности я привож у п ри м еры и откры той , и зам кнутой

В селен н ой).

Р азвити е н еодн ородностей в зам кнутой В селенн ой будет при водить к образован и ю реальн ы х

наблю даем ы х структур (звезд, галакти к и т. д.), п осле чего в результате коллапса звезд, стяги вани я

м асс галактик к ц ентрам и т. п . н ачнут ф орм ироваться черны е ды ры со своим и сингулярн ы м и

центрам и (картин а будет н апом ин ать Б ольш ой В зры в, п ротекаю щ ий в обратн ом п орядке). О днако

в целом си туац и я не столь проста. Д ело в том , что исходн ое состояни е Б ольш ого В зры ва бы ло

при ятн о сим м етри чн ы м и одн ородн ы м , а изображ ен ное на рисун ке конечное состояни е

представляет собой уж асную «см есь», в которой образую щ иеся черны е ды ры сби ваю тся в кучи,

производя нем ы слим ы й бесп орядок в м ом ент Б ольш ого С ж атия (рис. 1.23, а ). Н а рис. 1.23, б

эволю ция такой зам кн утой м одели представлен а в ви де последовательн ости «ф отокадров»,

ф иксирую щ и х ряд собы ти й . В м одели откры той В селенн ой образован и е черн ы х ды р вы гляди т

гораздо естествен нее и «спокой нее» — во В селен ной бы ла и сходная сингулярн ость, которая