Пенроуз Р., Шимони А., Картрайт Н., Хокинг С. Большое, малое и человеческий разум

Подождите немного. Документ загружается.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

П ен ро уз Р., Ш и м о н и А ., К ар трай т Н ., Х о ки н г С . Б ольш о е, м ал ое и чел овеч ески й р азум / П ер . с англ . — М .:

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

продолж ает сохран яться и п орож дает н овы е си нгулярн ости в центрах черны х ды р (ри с. 1.23, в).

Я ещ е раз обращ аю ваш е вни м ан и е н а то, что в стан дартн ы х м оделях Ф ридм ан а сущ ествует

огром ная разн и ц а м еж ду исходн ы м состояни ем и тем состоянием , которое предсказы вается

теорией для отдаленн ого будущ его. Э та особенность м оделей им еет важ ное значен и е, поскольку

она связана с одн им из ф ундам ентальны х законов при роды — вторы м н ачалом терм оди нам ики.

148

Р и с. 1.23.

a — м одель эволю ции зам кн утого м ира с образован и ем черны х ды р в ви де об ъектов разного

ти па, достигш их кон ечного состояния в своем развитии. Л егко сообразить, что в этом случае к

м ом енту гибели м ира (Б ольш ом у С ж ати ю , и ли К оллап су) будет твори ться уж асн ое

«столпотворени е»; б— развертка собы ти й рис. а в ви де н абора отдельн ы х «ф отокадров»; в —

эволю ция В селен ной откры того тин а с образованием черн ы х ды р н а разн ы х этапах разви тия.

Э тот знам ен иты й закон ф изики легко объясн ить н а п ри м ерах и з обы ден н ой ж и зни . К аж ды й из

нас м ож ет п редстави ть и ли вспом ни ть простую ж и тейскую ситуацию , когда бокал п адает со стола

и разби вается, зали вая вин ом ваш лю би м ы й коврик (ри с. 1.24, п оследовательность собы тий слева

направо). П роблем а заклю чается в том , что м ехани ка Н ью тон а не содерж и т н и каки х запретов на

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

протекани е тех ж е процессов в обратном направлен ии , хотя ни кто н и когда н е видел, чтобы

разби ты й бокал и п роли тое вин о соедин или сь сн ова, заполн енны й бокал заскочи л на стол и т. д.

Д ва разны х н аправлен и я врем ени указан ы на рисунке стрелкам и, и я вн овь п овторяю , что по

законам м еханики оба эти направлен и я соверш енн о равн оп равны . Р азниц у м еж ду н им и

устан авливает ли ш ь второе начало терм один ам и ки, в соответстви и с которы м эн троп ия систем ы

со врем ен ем долж н а возрастать. В ели чи н а, которую я назвал эн тропи ей, значительно возрастает,

когда бокал падает и разбивается, вследстви е чего п роц есс и и дет в н ап равлении , указан н ом

верхней стрелкой . Г рубо говоря, эн тропи я есть м ера беспорядка в си стем е. Д ля более глубокого

пон и м ан и я этой идеи н ам необходи м о ввести представлени е о так назы ваем ом ф азово м

прост ранст ве.

Ф азовое простран ство п редставляет собой простран ство с соверш ен но н ем ы слим ы м числом

изм ерени й, п оскольку каж дая его точка оп и сы вает координ аты и и м пульсы всех части ц

рассм атри ваем ой систем ы . Н а ри с. 1.25 я вы брал отдельн ую точку в этом огром н ом пространстве,

и эта точка оп ределяет расп олож ен и е и характер движ ения всех части ц систем ы . П ри изм ен ении

координ ат и им пульсов лю бой и з части ц п олож ен и е систем ы в ф азовом пространстве и зм ени тся.

Э волю ц ию всей систем ы в таком простран стве я и зобрази л н а рисун ке изви листой лин и ей .

Л ом ан ая ли н ия на рисун ке оп и сы вает обы чную эволю ц и ю си стем ы частиц и не связана ни с

каким представлен ием об эн -

Р и с. 1.24. Зак он ы м ехан и к и обрати м ы отн оси тел ьн о вр ем ен и , одн ак о в р еальн ой

ж и зн и собы ти я всегда п ротек аю т в п осл едовател ьн ости сл ева н ап раво (п ок азан н ой н а

ри сун к е), а н е н аоборот.

тропи и. Д ля введения энтропи и м ы долж н ы н ари совать небольш ие «п узы ри» вокруг областей,

в которы е п оследовательно п оп адает систем а, и объедин ить разли чн ы е состояния, которы е н ельзя

рассм отреть по отдельн ости. В ы раж ен и е «нельзя рассм отреть п о отдельн ости» н есколько тум ан н о

и требует п оясн ений . К онечно, н а сам ом деле все зави сит от того, кто и насколько подробно

рассм атри вает п оведени е систем ы . Э то оди н из тех слож ны х и запутанн ы х вопросов, которы е

раздраж аю т ф изиков-теоретиков, когда речь заходи т об энтроп ии . Д ля н аш его рассм отрени я будет

вполне достаточн о указать, что п од «невозм ож ностью рассм отреть по отдельности» м ы

подразум еваем н екоторое так н азы ваем ое «круп нозерни стое» объедин ен и е групп ы состояни й. Д ля

нахож дени я эн тропи и необходи м о проделать следую щ и е оп ераци и: провести «круп нозерни стое»

объедин ени е групп ы состоян и й (т. е. собрать состояни я в некоторой области ф азового

простран ства и «слепи ть» их в един ое ц елое), оп редели ть объем этой области , взять логариф м от

объем а, а затем ум нож и ть его н а так н азы ваем ую постоян н ую Б ольцм ан а. В торое начало

терм один ам ики устан авливает, что эн троп и я си стем ы п остоян но возрастает. Э то утверж дени е

м ож ет показаться п росты м и даж е глуп оваты м — ф актически постулируется лиш ь то, что если

си стем е, н аходящ ей ся в очень м аленьком «ящ и чке» и ли отсеке, позволить дви гаться произвольно,

то он а будет п еребираться во все более круп н ы е «ящ ики» (что очен ь похож е н а п равду хотя бы

потом у, что больш ие ящ и ки и м ею т огром н ы е разм еры и у попавш ей в н и х систем ы п рактически

нет ш ан сов случайн о «забрести » в м ален ьки й ящ ик). В от, п ож алуй , и все,

Р и с. 1.25. В тор ое н ач ало тер м оди н ам и к и в дей стви и .

С течени ем врем ени точка в ф азовом простран стве п рон и кает в н овы е, п остоянн о

увеличи ваю щ иеся области (или «отсеки») п ространства, в результате чего эн тропи я систем ы

постоян но увеличи вается.

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

что м ож н о сказать по этом у поводу, — систем а, случайн ы м образом блуж даю щ ая п о ф азовом у

простран ству, будет попадать во все более крупн ы е ящ ики и ли объем ы . И м ен н о это постулируется

вторы м закон ом . В прочем , давай те ещ е н ем н ого п одум аем о том , так ли все п росто?

Н а сам ом деле см ы сл второго н ачала зн ачительно ш ире, и сказанное вы ш е разъясняет его ли ш ь

наполовин у. В торое начало утверж дает, что если н ам известно состоян ие систем ы сейчас, то м ы

м ож ем предсказать для н ее наиболее вероятны е состоян ия в будущ ем . О дн ако этот ж е закон

при води т к соверш енн о н еп равильн ы м ответам , как только м ы п ы таем ся п ри дать ем у «обратную

си лу». Д ей ствительно, вернем ся вн овь к при м еру с бокалом н а краю стола. Р азум еется,

сущ ествует м н ого вари антов, в результате которы х бокал м ож ет оказаться в данн ом м есте и в

данны й м ом ент врем ени . П редп олож им , что нас ин тересует, какой из этих вариантов является

наиболее вероятн ы м . П рим ен и в н аш и рассуж дения в обратном п орядке, м ы м ож ем при дти к

вы воду, что осколки бокала и п ятн о н а ковре сам и собой собрались в ц елы й и наполн енны й бокал,

которы й затем «п одпры гн ул» и очутился на столе. О бъясн ение очевидн о неправильн о — гораздо

вероятнее, что бокал постави л на край стола кто-то из при сутствую щ их. Н о при п опы тке п он ять,

почем у этот кто-то п оставил бокал и м ен но здесь, перед нам и возни кнет ц елы й ряд

Р и с. 1.26.

П ри п опы тке объясн ен и я последовательности явлени й н а рис. 1.24 в обратном п орядке м ы

«навязы ваем » систем е возрастани е эн троп и и при обращ ен ии врем ен и , что и п риводи т к

проти воречи ю .

новы х вопросов. У становлен ие п ричи н н о -следствен н ы х связей в лю бом случае будет вы зы вать

все новы е вопросы , вы являть н овы е связи и т. д. Т олько такой п уть м ог бы п ри вести нас к

прош лы м состояни ям с ум ен ьш аю щ ей ся эн троп ией. П равильны й ход собы тий описы вается

«актуальн ой » (ин аче говоря, «реальной ») кри вой рис. 1.26 (а не всевозм ож ны м и поп ы ткам и

восстановлени я п рош лого), т. е. и м ен н о той кривой, которой соответствует п остоянн ое

ум ен ьш ен ие энтропи и по м ере п ерехода к п рош лом у.

В озрастани е эн тропи и со врем енем объясн яется тем , что си стем а, п ерем ещ аясь в ф азовом

простран стве, зани м ает все больш и е объем ы -ящ ики , одн ако ум еньш ени е эн тропи и п ри п ереходе к

прош лом у носи т соверш ен но и н ой характер. Д ействи тельно, давайте задум аем ся над тем , какие

процессы м огли бы соответствовать возврату к п рош лом у с постоян н ы м ум ен ьш ен и ем энтропи и?

М ож н о ли при этом вернуться к м ом ен ту Б ольш ого В зры ва? П о -ви дим ом у, проблем а,

порож даю щ ая столь явн ы е и сильн ы е п ротиворечия, связан а с какой -то весьм а специ ф ической

особен н остью сам ого Б ольш ого В зры ва. П оп ы тки объяснения ситуации пока остаю тся

м алоусп еш н ы м и. Н апри м ер, вы ш е я как-то отм ети л, что лично не очень доверяю м одн ой теори и

раздуваю щ ей ся (и н ф ляц и онн ой ) В селенн ой . В этой достаточно поп улярн ой теори и наблю даем ая в

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

огром ны х м асш табах одн ородн ость В селенной объясн яется собы тиям и, п рои сходивш и м и н а

сам ой ранн ей стадии ее развития. П редполагается, что в м ом ент, когда возраст В селенной

составлял ли ш ь около 10

-36

секун ды , прои зош ло какое-то н ем ы сли м ое п о м асш табу

Р и с. 1.27. П оп ы тк а и зображ ен и я п робл ем ы «вн утрен н е п ри сущ ей »

н еуп орядочен н ости В селен н ой н а р ан н ей стади и разви ти я.

расш ирение. В опрос о том , как вы глядела В селенн ая н а ранней стади и, теряет при этом

подходе см ы сл, поскольку после такого чудови щ ного м гновен ного увели чения объем а

(при бли зительно в 10

раз!) геом етрия В селен н ой стала вы глядеть практически п лоской. Э то

предп олож ени е п озволяет обой ти м ноги е «остры е углы », чем , возм ож но, и объясн яю тся

поп улярность и привлекательн ость оп исы ваем ой теори и.

О днако, как это часто бы вает в теории , п редлагаем ое объяснение всего ли ш ь зам еняет одн у

очень слож н ую п роблем у другой. Д ело в том , что для опи санн ого м ехани зм а требуется преж де

всего, чтобы В селен ная н аходи лась с сам ого н ачала в уж асном «бесп орядке», которы й (даж е если

его чудови щ но увели чи вать в объем е!) все равно останется «беспорядком », в результате чего по

м ере расш ирения ситуац и я будет становиться все хуж е и хуж е (ри с. 1.27).

М н е каж ется, что приводи м ы е доводы н е объясн яю т наблю даем ую в настоящ ее врем я вы сокую

степ ен ь упорядоченности В селенн ой . М ы нуж даем ся в теори и , которая м огла бы подсказать, на

что бы л п охож Б ольш ой В зры в. О чевидн о, что будущ ая теори я долж н а как -то объеди ни ть п он яти я

ф изи ки м акром и ра и м и кром ира, классической ф и зики и кван товой м ехан ики . Б олее того, будущ ая

теория долж н а объясн ить причи н ы как Б ольш ого В зры ва, так и н аблю даем ой однородн ости м ира.

В озм ож но, конечно, что теори я покончи т и со столь пон равивш ейся м н е гиперболической

вселенной Л обачевского.

Р и с. 1.28.

а — общ ая карти на зам кн утой вселен н ой, развитие которой н ачин ается с одн ородного,

ни зкоэнтропи й ного Б ольш ого В зры ва (с тензором В ей л я = 0) и заканчи вается

вы сокоэн тропи йн ы м Б ольш им С ж атием , соответствую щ им сли яни ю м ногочи сленн ы х черны х ды р

(при этом тензор В ей л я -> ∞ ); б— пространственно-врем енная ди аграм м а, опи сы ваю щ ая коллапс

отдельной черн ой ды ры ; в — эволю ц ия откры той вселенн ой , такж е начи наю щ аяся с однородного,

ни зкоэнтропи й ного Б ольш ого В зры ва (с тензором В ей л я = 0).

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

В ерн ем ся ещ е раз к проблем е зам кнутости и откры тости рассм атри ваем ы х вселен н ы х (рис.

1.28) и рассм отри м подробн ее проц ессы ф орм и ровани я черны х ды р. О ни возни каю т в результате

коллап са м атери альны х объектов, при водящ его к образованию сингулярн остей, показанн ы х

лин иям и на пространствен н о -врем ен н ы х ди аграм м ах. М н е хочется п редлож и ть вам одну идею ,

которую я н азы ваю гипо т езой кр и визны В ейля и которая, кстати, н е является следствием ни одн ой

из и звестны х теори й . П овторю , что сей час м ы даж е не п редставляем , какой долж н а бы ть будущ ая

общ ая теори я, п оскольку м ы н е м ож ем объедин ить сущ ествую щ ие теоретические оп исан и я очень

больш их и очень м алы х ф изически х объектов. Я уверен , одн ако, что эта теория долж на каки м -то

образом вклю чи ть и м ен но то п олож ение, которое я н азы ваю гип отезой кри ви зны В ей ля.

Н апом ню , что кри ви зной В ей ля м ы назы ваем ту часть тензора Р им ан а, которая связана с

искаж ен и ям и простран ства и прили вн ы м и эф ф ектам и. П редлагаем ая м ною гип отеза состоит в том ,

что п о каки м -то п ока н еясн ы м причи н ам требуем ая ком би нация теори й долж н а п ри води ть к

нулевом у (или хотя бы к очень м алом у) зн ачен ию тен зора В ейля в окрестности Б ольш ого В зры ва.

В этом случае общ ая карти на эволю ц ии вселенн ой будет н ап ом ин ать рис. 1.28, а и в. Г ип отеза

кривизны В ейля п редполагает аси м м етрию п о отнош ен и ю ко врем ен и , поэтом у она отн осится

лиш ь к си н гулярн остям в п рош лом , а не в будущ ем . Е сли бы тензор В ей ля бы л достаточн о

«ги бким » (т. е. его м ож но бы ло п ри м ен ять в зам кнутой м одели и к прош лом у, и к будущ ем у), то

нам бы удалось п окон чи ть с н ы неш ней «уж асаю щ ей » картин ой м ира, в которой вселенн ая бы ла и

остается крайн е беспорядочной (рис. 1.29). В едь В селенная, в которой м ы ж ивем , вы гляди т совсем

по-ин ом у!

К акова вероятн ость (строго говоря, случа йност ь или ш а нс), что н ачальн ая си н гулярн ость

вселенн ой бы ла ещ е слабее, чем нам представляется сейчас? Э ту вели чи ну м ож но оценить по

ф орм уле Я коба Б екенш тейна и С тивен а Х оки н га для эн тропи и черны х ды р. В наш ем случае он а

при води т к дроби , где в числителе еди ни ца, а в знам енателе — н ем ы сли м о чудови щ ное число 10

в степен и 123. Е сли указанная ф орм ула п ри м ен и м а к столь гранди озн ом у объекту, как вселенн ая,

то вы действи тельно п олучаете это ф ан тастическое число (поскольку вероятность зависит от

разм еров). В той вселенн ой, которую я предлагаю , эту вели чи н у м ож н о см ело приравнять н улю .

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

Р и с. 1.29.

С н яв указанное огран ичен и е (услови е, что тензор В ейля = 0), м ы вновь получаем карти ну с

вы сокоэн тропи йн ы м Б ольш им В зры вом (тен зор В ейля -> ∞ ). Т акую вселен н ую прони зы вали бы

белы е ды ры , и в ней н е вы полн ялся бы второй закон терм оди н ам ики (а это ни как н е согласуется с

тем , что м ы ви ди м ).

С казанн ое п одводи т нас к воп росу о точности, с которой долж ны бы ть оп ределен ы услови я

«органи зац и и» Б ольш ого В зры ва. С итуац и я вы глядит п оразительной , и я поп ы тался вы разить ее

кари катурой (рис. 1.30), на которой Т ворец вы и ски вает сверхкрош ечн ую точку в ф азовом

простран стве, соответствую щ ую н ачальн ы м услови ям , п ри которы х будущ ая вселенн ая

при обретет при вы чн ы й н ам ви д. Т ворцу необходи м о оп редели ть полож ен и е точки в ф азовом

простран стве с указанной ф ан тасти ческой точн остью (10

10^123

). Ч и сло, о котором и дет речь, столь

велико, что м не не удалось бы вы п и сать его в ряд, даж е используя в качестве нулей все

элем ентарн ы е частиц ы вселенн ой .

Р и с. 1.30.

Д ля создани я вселенной, п охож ей на наш у, Т ворцу п ри ш лось бы н ай ти н ем ы сли м о крош ечную

точку в ф азовом п ространстве и воткнуть в н ее столь ж е крош ечную и голку (ни точку, н и остри е

иголки на рисун ке н е удалось и зобразить из-за м алости разм еров!). В ы бранная точка долж на бы ла

содерж ать лиш ь 10

10^123

часть общ его объем а ф азового п ространства!

Я начал излож ени е с п роблем ы уди ви тельной точн ости и согласован ности ф изики и

м атем ати ки. Затем я п оп ы тался очень кратко рассказать о втором начале терм оди н ам ики , которое

м ноги е считаю т «при бли зительн ы м » и н е оп равдавш им возлагавш и хся на н его н адеж д (н аверн ое,

потом у, что оно связан о с п онятиям и случайн ости и вероятн ости), н о которое на сам ом деле

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

отраж ает уди ви тельно точны е закон ом ерности . Г оворя о вселен н ой, м ы обязан ы оц ени ть точн ость

условий создани я ее и сходн ого состоян ия. Э та точность поздн ее долж н а бы ть отраж ена и в той

будущ ей, ещ е не созданной теории , которая п озволи т объедин и ть квантовую теорию и общ ую

теорию отн осительности . В следую щ ей главе я продолж у рассказ о процессах, объектах и задачах

будущ ей теории .

Гл ава 2. Т ай н ы к ван товой м ехан и к и

В гл. 1 я п оп ы тался п оказать, что структура окруж аю щ его н ас ф и зического м ира очень сильно

зави сит от закон ов м атем атики (как это бы ло показан о на рис. 1.3), причем точн ость, с которой

м атем ати ка опи сы вает ф ун дам ентальны е ф изически е аспекты , иногда п редставляется просто

порази тельной и заставляет всп ом ни ть назван и е зн ам ен итой лекц ии 10дж и на В и гн ера

«Н епости ж и м ая эф ф екти вн ость м атем ати ки в естествен н ы х науках». С п и сок блестящ и х

м атем ати чески х оп и сан ий п ри родны х явлений дей стви тельно вы гляди т весьм а впечатляю щ е.

С ю да входят, наприм ер:

Г еом ет рия Е вклида, которая на расстоян иях порядка м етров им еет точность порядка диам етра

атом а водорода. К ак я уж е отм ечал в гл. 1, общ ая теория отн осительности н е п озволяет ей бы ть

абсолю тно точной , одн ако для практи чески х целей точность евкли довой геом етрии всегда

исклю чительн о вы сока.

М еха н и ка Н ью т она, точность которой доходи т до10

-7

(для дальн ейш его повы ш ени я точн ости

необходи м о учи ты вать релятиви стски е эф ф екты ).

Э лект р о динам ика М аксвелла, которая в сочетан и и с квантовой м еханикой достаточн о хорош о

опи сы вает взаим одействи я п ри и зм ен ени и м асш таба в 10

раз, т. е. от разм еров элем ентарн ы х

части ц до м еж галактических расстояни й.

Э йнш т ей н о вская т ео р ия от носит ельно ст и, о которой я уж е рассказы вал в гл. 1. В той

области, где она при м ен и м а (и где она обобщ ает и вклю чает в себя квантовую м ехан ику), точность

этой теори и доходи т до 10

-14

, что на сем ь порядков п ревы ш ает точн ость м ехани ки Н ью тона.

К вант ова я м еханика , которая является тем ой этой главы и такж е представляет собой весьм а

точную теорию . Н ап ри м ер, в квантовой электроди н ам ике, п редставляю щ ей собой сочета-

ни е квантовой м ехан и ки , электроди нам ики М аксвелла и специ альн ой теори и относительности ,

точность некоторы х расчетов доходи т до10

-11

. В частности , м ож но особо отм ети ть, что

используем ая в квантовой электроди нам ике так н азы ваем ая «систем а еди н и ц Д ирака» вклю чает в

себя вы числен ное зн ачение м агни тн ого м ом ента электрона 1,001159652(46), которое прекрасно

согласуется с эксперим ентально н ай ден н ы м значением 1,0011596521(93).

О собенно важ н о то, что во всех указанн ы х теори ях п ри м ен ен и е м атем атически х м етодов н е

только обеспечивает и склю чительн ую эф ф ективность и точность оп и сания ф и зической карти ны ,

но и п редставляет и н терес для развити я сам ой м атем ати ки, п оскольку н екоторы е н аиболее

плодотворны е идеи ее развити я возни кли им ен но н а основе теорети чески х построений ф изики. В

качестве п рим ера м ож н о указать обш ирн ы е разделы м атем атики, возн икновение и развити е

которы х бы ло обусловлено ф и зически м и исследованиям и:

• теори я действи тельны х чи сел;

• геом етрия Е вкли да;

• м атем атически й анализ и теори я ди ф ф ерен ц иальны х уравнени й ;

• геом етрия сим плексов;

• ди ф ф еренц и альны е ф орм ы и уравнени я в частны х производн ы х;

• геом етрии Р им ан а и М инковского;

• теори я ком плексн ы х чисел;

• теори я ги льбертова п ространства;

• теори я ф ун кци ональны х ин тегралов... и т. д.

О дни м и з наиболее ярких при м еров такого рода является, безусловно, диф ф еренц и альное и

ин тегральное и счислен и е, которое Н ью тон и ряд други х вы даю щ и хся м атем ати ков разработали в

качестве м атем атического осно вания обш ирн ого раздела ф изи ки, ны не известного п од назван и ем

нью тоновской м ехан и ки . Д альн ейш ее использовани е разработанн ы х и м и м етодов для реш ен ия

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

разли чн ы х чисто м атем атических задач оказалось и склю чи тельн о благотворн ы м для развити я

сам ой м атем атики.

В гл. 1 я уж е говорил о м асш табах ф и зически х объектов, изм еряем ы х в пределах от

ф ун дам ен тальны х еди ни ц (длин а П ланка и врем я П ланка, которы е столь м алы , что для опи сани я

даж е сам ой м ален ькой элем ентарн ой частицы н ам необходим о увели чи вать их в 10

раз), через

разм еры и врем я ж изн и человека (и н тересно, что м ы , лю ди , являем ся н аиболее устой чи вы м и

структурам и ф и зи ческого м ира), и н акон ец до возраста и ради уса В селен н ой . П ри этом я особо

подчерки вал важ ность того, что м ы используем два соверш ен но разн ы х м етода для опи сани я

объектов ф и зического м ира, которы е леж ат на разны х кон цах п ространствен н о -врем ен н ой ш калы .

К ак п оказано н а ри с. 2.1 (он п росто п овторяет ри с. 1.5 первой лекц и и ), м ы используем квантовую

м еханику для оп исан и я м алы х, кван товы х уровн ей акти вн ости и класси ческую м еханику на

уровне крупн ы х объектов. Я обозначу эти уровни через U (ун и тарн ость, кван товы й уровен ь) и С

(классически й уровен ь) и ещ е раз хочу подчеркнуть, что м ы им еем дело, по -види м ом у, с

соверш енн о разн ы м и законам и в зави сим ости от м асш таба и зучаем ы х объектов.

М н е, как и лю бом у другом у ф изику, п редставляется очеви дн ы м , что если м ы правильн о

пон и м аем закон ы квантовой ф изи ки , то и з нее долж н ы вы води ться закон ы классической ф и зики.

П роблем а, одн ако, заклю чается в том , что на практике м ы всегда пользуем ся либ о класси ческим ,

либ о квантовы м уровн ем оп исан ия, что, к сож ален ию , нап ом инает п одход древних греков, для

которы х бы ло абсолю тно естественны м н аличи е в м ире двух соверш ен н о разли чн ы х наборов

законов при роды , действую щ их соответствен н о н а Зем ле и в м ире И дей и ли бож ествен н ы х

устан овлен ий . В ели чи е и м ощ ь п одхода, разви того Г алилеем и Н ью тон ом , заклю чаю тся им енно в

объедин ени и этих двух наборов, позволяю щ ем пон им ать м и р в рам ках един ой си стем ы

ф изи ческих закон ов. П охож е, что соврем енная ф и зи ка вновь возвращ ает н ас к ситуац и и, когда м ы

им еем разн ы е н аборы закон ов для класси ческого и квантового уровн ей оп и сан и я м ира.

В о и збеж ан и е н едоразум ен и я м н е бы хотелось сразу оговорить одно обстоятельство, связан н ое

с ри с. 2.1. П ом ещ ая рядом с и м ен ам и Н ью тона, М аксвелла и Э йн ш тей н а слова «классический

уровен ь» и ли «детерм ини зм », я вовсе не хочу сказать, будто эти учены е сам и вери ли в

детерм ини зм поведения В селенн ой . М ы просто не зн аем этого точно, хотя почти с уверен но стью

м ож но утверж дать, что Н ью тон и М аксвелл, н апри м ер, не разделяли этой точки зрени я, в то врем я

как Э йн ш тейн ее поддерж и вал. П ом етки «детерм ини зм » и «вы чи сли м ость» отн осятся ли ш ь к

создан н ы м этим и учен ы м и теори ям , а не к и х ли чн ой вере. Т очно так ж е к кван товом у уровн ю

добавлен ы слова «уравнени е Ш реди нгера», хотя я не дум аю , что сам Ш редин гер считал свое

уравнение пригодн ы м для опи сани я «всей ф и зики». Я ещ е вернусь к этом у вопросу, а пока просто

напом ин аю читателю , что лю ди и создаваем ы е им и теори и — вовсе не одн о и то ж е.

Р и с. 2.1.

Д вухуровн евая карти на н а ри с. 2.1 сразу вы зы вает очевидны е вопросы : «Р азвивается ли

В селен н ая только в соответствии с законам и квантовой м ехани ки? М ож но ли объяснить все

поведен и е В селен ной в рам ках квантовой м еханики?» П реж де чем п ерейти к их обсуж дени ю , я

долж ен хотя бы очень кратко перечи слить те проблем ы , которы е м ож ет оп исы вать и объясн ять

кван товая м ехан ика.

• С т аби льн ост ь а т ом ов. Д о появлени я квантовой м ехан ики оставалось соверш ен н о

непон ятн ы м , почем у электрон ы в атом ах н е падаю т по спи рали на ядро. В класси ческой ф изике

сущ ествовани е устойчи вы х атом ов запрещ ено.

• С пект р альны е ли нии. Т олько наличи е в атом ах кван товы х энергетически х уровней и

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

переходов м еж ду ни м и позволяет объяснить появление ли н и й излучени я, частоты которы х м ы

м ож ем н аблю дать и п редсказы вать соверш ен но точн о.

• Х им ические силы . О бразован и е и сущ ествование м олекул обусловлены силам и, и м ею щ и м и

при н ци пи ально кван тово-м ехан и чески й характер.

• И злучение черно го т ела. В ид сп ектра абсолю тн о черного тела м ож ет бы ть объяснен только

при услови и квантового характера и злучен и я.

• Н ад еж ност ь п ередачи н а следст венной инф ор м аци и. Б иологически е органи зм ы

осущ ествляю т эту передачу квантовом еханическим путем н а уровн е м олекул Д Н К .

• Л азер ы . Д ействи е лазера основано н а сущ ествовании и н ди ви дуальн ы х кван товы х п ереходов

м еж ду квантовы м и уровн ям и м олекул, а такж е н а квантовой п ри роде сам ого светового излучен и я

(ф отоны являю тся части ц ам и Б озе— Э й нш тейн а).

• С верхпр о вод им ост ь и сверхт екучест ь. Э ти явлени я, н аблю даем ы е п ри очен ь н и зки х

тем пературах, связаны с дальн одей ствую щ и м и кван товы м и корреляц иям и (электрон ов и други х

части ц) в некоторы х вещ ествах.

• ... и т. д., и т. д.

Д руги м и словам и, квантовая м еханика почти вездесущ а и давно используется в окруж аю щ и х

нас бы товы х приборах и в разли чн ы х вы сокотехн ологически х издели ях (напри м ер, в

ком пью терах). Э лем ентарн ы е частицы опи сы ваю тся ква нт о вой т ео р ией по ля (п редставляю щ ей

собой сочетание квантовой м ехани ки и специальной теории отн осительности Э йнш тейн а),

точность которой , как я уж е отм ечал, доходи т до10

-11

. Р азум еется, при веденн ы й список ли ш ь

части чн о отраж ает огром н ую роль квантовой м ехан ики в соврем енной н ауке.

М н е хочется рассказать ещ е кое-что о квантовой м ехани ке. Р ассм отри м ри с. 2.2, н а котором

представлен а схем а типи чн ого квантовом ехан и ческого эксперим ен та. В соответствии с квантовой

м еханикой свет состоит из части ц , н азы ваем ы х ф от онам и. Н а ри сун ке показан ы соответственн о

источн и к s (и спускаю щ и й отдельн ы е ф отон ы ), экран р (н а котором регистри руется попадани е

ф отонов) и расп олож енн ая м еж ду ним и п ерегородка с двум я щ елям и t и b. Е сли бы ф отон ы бы ли

просто отдельн ы м и части ц ам и , то поп адан и е каж дого ф отон а на экран м ож но бы ло

регистрировать как отдельн ое собы ти е. Закры в одн у и з щ елей, эксперим ен татор ви ди т на экране

некоторое расп ределени е «поп адания ф отонов», а закры в другую — н екоторое другое

распределени е. Н еобы чн ое, кван товое п оведени е ф отонов п роявляется, н ап ри м ер, в том , что,

откры в обе щ ели , эксп ерим ентатор вдруг обн аруж и вает на экране м еста, куда ф отон ы соверш енн о

перестаю т поп адать. П о каком у-то неож иданном у правилу два разли чн ы х собы ти я, в которы х

ф отон м ог участвовать, взаи м но и склю чаю т (гасят) друг друга. Н и чего п одобно классическая

ф изи ка н е знает, в ней и з двух возм ож н ы х собы ти й п рои сходи т ли бо одн о, ли бо другое. Д ва

варианта разви ти я собы ти й в классике всегда п ри водят к одн ом у из результатов, вари анты не

м огут «сговори ться» и взаим но «и счезнуть».

Р езультаты такого эксперим ен та м огут бы ть опи саны только в рам ках квантовой теори и , в

соответствии с которой ф отон по д ороге к экрану вовсе не п роходит через какую -ни будь одн у из

двух реальн о сущ ествую щ их щ елей в п ерегородке. Е го состоя-

Р и с. 2.2. Э к сп ер и м ен т п о рассеян и ю м он охр ом ати ческ и х ф отон ов п ри и сп ользован и и

п ер егородк и с двум я щ ел ям и .

ни е оп исы вается таин ственной ком би н аци ей из двух соответствую щ их вероятностей ,

усредненн ы х п о н екоторы м ко м плексны м числа м , т. е. им еет ви д

w x (вероятн ость А ) + z x (вероятн ость В ),

где w и z — ком плексны е чи сла. Д ля оп и сан н ого эксп ерим ен та «вероятн ость А » соответствует

траектории stp (источн и к-верхняя щ ель-экран), а «вероятн ость В » — траектори и sbp (и сточни к—

ни ж н яя щ ель— экран).

Я н ко С л ава (Б и бл и отека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

М и р, 2 0 0 4 . — 1 9 1 с, и л. — (Р убеж и н ауки ).

В ероятн ости собы ти й м огут взаим но «погаш аться» и м ен но п отом у, что м н ож и тели перед

вероятностям и являю тся ком плексны м и чи слам и. П ри рассм отрении п оведения ф ото на в рам ках

обы чн ой теори и вероятностей м нож и тели w и z всегда являю тся дей стви тельны м и. В квантовой

м еханике он и представляю т собой ком плексны е чи сла, что сразу услож няет карти ну и разруш ает

простую вероятностную ин терпретаци ю эксперим ента. Э то ж е обстоятельство н е позволяет такж е

опи сы вать волн овую п ри роду частиц введением неки х «волн вероятности », п оскольку м ы им еем

дело с ком плексны м и во лна м и вероятн остей . К ом плексны е чи сла образую тся и з дей стви тельны х

чисел и так н азы ваем ой м н и м ой еди н и цы i = √-1. И х удобн о и зображ ать н а двум ерной п лоскости,

отклады вая п о оси х чисто действительны е, а по оси у — чи сто м н и м ы е числа. В общ ем случае м ы

им еем ком би н ацию ти п а 2 + 3 √ -1 = 2 + 3i, которая изображ ается точкой на п лоскости, как

показан о н а ри с. 2.3 (такое геом етри ческое п редставлени е ком плексны х чисел ин огда назы ваю т

ди аграм м ой А ргана, а такж е ком плексной п лоскостью В есселя и ли Г аусса).

Д ля ком плексны х чи сел, п редставлен н ы х точкам и н а такой диаграм м е, определен ы

разнообразны е правила слож ения,

Р и с. 2.3.

а — п редставление ком плексны х чи сел на ком плексной плоскости В есселя— А ргана— Г аусса;

б— геом етрическое представлени е оп ерац и и слож ения ком плексны х чи сел; в — геом етрическое

представлен и е операц и и ум нож ения ком плексны х чи сел.

ум нож ени я и т. д. Н апри м ер, для слож ени я таких чи сел и спользуется п рави ло

параллелограм м а, в соответствии с которы м дей стви тельны е и м ни м ы е части эти х чисел просто

склады ваю тся по отдельности (ри с. 2.3, б ), для ум н ож ения — так назы ваем ое правило подобия

треугольников (рис. 2.3, в) и т. п . Д ля сп еци алистов, привы кш их работать с таки м и диаграм м ам и,

ком плексны е числа бы стро перестаю т казаться чем -то абстрактн ы м и таинственн ы м , поэтом у

читатель н е долж ен дум ать, что и х и спользовани е в квантовой м ехани ке делает эту теори ю