Пашкевич М.А. Современные физико-химические методы анализа объектов окружающей среды
Подождите немного. Документ загружается.
СОВРЕМЕННЫЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
АНАЛИЗА ОБЪЕКТОВ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Методические указания к выполнению лабораторных работ
Методические указания к выполнению лабораторных работ, разработанные в
соответствии с Государственными образовательными стандартами высшего
профессионального образования по направлению 656600 – защита окружающей
среды.
Предназначены для студентов 4 курса специальности «Охрана окружающей
среды и рациональное использование природных ресурсов» и направления
«Защита окружающей среды».
3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящих методических указаниях рассматриваются методики
выполнения лабораторных работ по оптическим, электрохимическим и
хроматографическим методам анализа. Все эти методики применяются в
аналитической практике государственных служб, основная производственная
деятельность которых посвящена экологическому мониторингу окружающей
среды. Выполнение этих работ позволит будущим инженерам-экологам закрепить
объем знаний по физико-химическим методам анализа, полученных ими при
прослушивании и проработке лекций, при подготовке к семинарским занятиям и
самостоятельной работе с рекомендованной литературой. Кроме этого,
выполнение лабораторных работ дает возможность студентам ознакомиться с
аппаратурным оформлением различных методов анализа, возможностями этой
аппаратуры для решения экоаналитических задач.
Перед выполнением каждой лабораторной работы студенту необходимо
усвоить основные положения теоретических основ физико-химического метода,
приведенного в методических указаниях и в рекомендуемой литературе, а также
закрепить материал, отвечая на контрольные вопросы.
Предполагается, что студенты умеют работать на компьютере на
пользовательском уровне, поэтому многие операции, связанные с обработкой
результатов анализа и градуировочных кривых, рекомендуется осуществлять в
среде электронных таблиц.
4
Работа №1. Регрессионный анализ и метрологическая оценка
градуировочных кривых в инструментальных методах анализа
1. Цели работы
• ознакомление с правилами построения градуировочных графиков;
• осуществление регрессионного анализа и метрологической обработки
градуировочных кривых;
• изучение возможности автоматизации процедуры метрологической
обработки градуировочных кривых с применением компьютерной
программы «Analytstаt».
2. Основные теоретические положения
Метод градуировочного графика применяют при многократном анализе
однотипных по химическому составу растворов, при выполнении серийных
анализов. Он дает хорошие результаты при соблюдении линейной зависимости
физического параметра от концентрации
Для определения содержания вещества методом градуировочного графика
при выбранных оптимальных условиях готовят серию из 5-8 стандартных
растворов разных концентраций (не менее 3 параллельных растворов для
каждой точки). Результаты анализа представляют на миллиметровой бумаге.
На графике необходимо указать время (число, месяц, год) построения графика,
исполнителя, название исследуемого объекта с указанием на нормативный
документ, условия проведения эксперимента (толщина слоя, длина волны, марка
прибора), на обратной стороне бумаги необходимо представить исходные данные,
по которым строилась градуировочная кривая.
Регрессионный анализ при расчете градуировочных графиков
и метрологических характеристик результатов анализа
Представление графической зависимости А = f(С) на миллиметровой
бумаге имеет два существенных недостатка.
Во-первых, такой вариант построения градуировочной кривой носит
субъективный характер: прямая не лучшим образом будет проходить через
экспериментальные точки (y
i
, x
i
), и это может привести к большим
5
погрешностям конечного результата.
Во-вторых, если определять более чем две значащие цифры, то график
должен быть очень большим.
В связи с этим более объективным и правильным является установление
математической зависимости А = f(С), которую находят методом регрессионного
анализа. В большинстве физических и физико-химических методов анализа она
выражается обычно линейной и, значительно реже, параболической
зависимостью.
Вычисление параметров а и b. В общем случае линейная зависимость
выражается уравнением:
у = bx +a. (1)
Значения параметров а и b вычисляют методом регрессионного анализа.
Непременным при построении градуировочного графика является условие, чтобы
погрешности определения значений х были существенно (намного) меньше
погрешностей измерения у. В химическом анализе х – это концентрация. И
точность ее задания зависит от качества калибровки мерной посуды и точности
приготовления стандартных растворов. Неудивительно, что к приготовлению
стандартных растворов в химическом анализе уделяется самое пристальное
внимание.
Задача линейного регрессионного анализа (метод носит название «метод
наименьших квадратов») состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений
экспериментальных точек (x
i
, y
i
) вдоль ординаты от проведенной прямой была
минимальной.
Для того, чтобы найти параметры а и b, удовлетворяющие минимуму SQ,
берут частные производные выражения относительно а, затем относительно b.
Полученные выражения приравнивают нулю и, решая уравнения, находят:
( )
∑
∑
∑
∑
∑
−
−
=
2
2
ii
iiii
xxn
yxyxn
b
, (2)
6
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
−
=
−
−
=
22
2
2
2
2
xnx
yxxyx
xxn
yxxyx
a
i
iiiii
ii
iiiii
. (3)
Константы а и b являются случайными величинами, ввиду чего
необходима оценка их доверительных интервалов.
Дисперсии констант а и b. Дисперсии констант а и b вычисляют по
уравнениям:
( ) ( )
∑
∑
∑
∑
−
=
−
=
2
2
2
2
2
2
2
ii
yx
ii
yx
b
xxn
ns
xxn
s
s , (4)
( )
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
2
2
2
2
22
2
22
2
i
b
ii
iyx
i
iyx
a
x
n
s
xxn
xs
xxn
xs
s (5)
со степенями свободы f = n
−
2.
Дисперсию s
yx
,
характеризующую рассеяние результатов относительно
прямой, вычисляют по формуле:
(
)
2
2
2
−
−
=
∑
n
Yy
s
ii
yx
(6)
со степенями свободы f = n – 2. Однако, если для каждой из n проб проводят
по k
j
параллельных измерений, так что имеется: nk
j
= n′ результатов
измерений, то с уравнением будет связано не f = n − 2, а f = n′ − 2, которое
и будет в знаменателе.
Сумму квадратов в уравнении удобнее определять, пользуясь следующим
выражением:
(
)
∑
∑
∑
∑
−−=−=−=
iiiiyxii
yxbyaynsYySQ
22
2
)2( . (7)
При
проведении
вычислений
по
формуле
(7)
все
расчеты
необходимо
выполнять
при
достаточно
большом
числе
знаков
после
запятой
,
так
как
искомую
сумму
квадратов
часто
ищут
для
весьма
близких
значений
.
Поэтому
на
данном
этапе
даже
незначительные
погрешности
в
вычислении
могут
привести
к
большим
погрешностям
.
Анализ
уравнения
(4)
показывает
,
что
для
константы
b
дисперсия
2
b
s
тем
7
меньше, чем дальше значение x
i
лежит от его среднего значения
x
, т. е. чем шире
интервал содержаний (концентраций), выбранный для построения
градуировочной кривой.
Доверительный интервал для значений констант а и b. Доверительный
интервал для а и b рассчитывают по уравнениям:
fPb
tsb
,
=
∆
;
(8)
fPa
tsa
,
=
∆
(9)
при f = n
−
−−
−
2 или f = n′ − 2 (см. выше). Зная ∆b и ∆а, определяют число
необходимых знаков после запятой для b и а.
Доверительный интервал вычисляемых значений зависимой переменной
Y
k
. Полученную функцию у = ах + b можно использовать для расчета Y
k
и
∆
Y
k
для
одного заданного значения x
k
. Доверительный интервал для вычисленного
значения Y
k
рассчитывают по формуле:
( )
( )
( )
( )
−
−
+=
−
−
+=∆
∑ ∑
2
2
2
2
,
2
2
2
,
11
ii
k
yxfP
i
k
yxfPk
xxn
xx
n
st
xx
xx
n
stY
. (10)
Из
уравнения
(10)
следует
,
что
доверительный
интервал
зависит
от
разности
(x
k
−
х
)
и
будет
тем
больше
,
чем
дальше
x
k
лежит
от
среднего
значения
x
(
рис
. 1).
Поэтому
экстраполяция
даже
при
наличии
линейной
связи
может
сопровождаться
очень
большими
погрешностями
.
Вычисление метрологических характеристик результатов анализа
ан
x ,
ан
x
s ,
P
x
,мин
.
После
того
как
определена
функциональная
зависимость
y
=
a
+
bx
и
рассчитаны
значения
a
,
b
, ∆
a
, ∆
b
,
по
данным
измерений
аналитического
сигнала
y
(
оптическая
плотность
А
)
анализируемых
проб
рассчитывают
метрологические
характеристики
результата
анализа
.
Среднее значение результата анализа (
ан
x ). Проба
определяемого
компонента
с
неизвестным
содержанием
[
оно
должно
быть
в
интервале
содержаний
,
для
которых
вычислена
функциональная
зависимость
y
= f(
x
)]
анализируется
m раз
(
обычно
m
> 3).
При
этом
получают
m значений
8
аналитического сигнала
1
ан
y ,
2
ан
y , ... ,
m
ан
y ; рассчитывают среднее
ан
y , а по
уравнению
ан
x = (
ан
y − a)/b (11)
находят среднее значение содержания компонента в анализируемой пробе.
При фотометрическом анализе уравнение (11) преобразуется к виду:
(
)
baAC
−
=
анан
. (12)
Стандартное отклонение результата анализа. В случае
градуировочного графика вида y = a + bx погрешность метода анализа состоит из
трех частных погрешностей, обусловленных погрешностями определения
констант a, b и значения y
ан
. Эти три погрешности суммируются по закону
распределения погрешностей. Если каждый из n стандартных растворов
анализируется без повторений, а проба с неизвестным содержанием – m раз, и для
этих m проб среднее значение
ан
y , то:
( )
( )
[ ]
−
−
++=
∑ ∑
2
22
2
ан
2
111
ан
ii
yxx
xxb
yy
nm
s
b
s
=
=
( )
( )
[ ]
−
−
++=
∑ ∑
2
22
2
ан
2
111
ан
ii
yxx
xxnb
yyn
nm
s
b
s
(13)
с
f = n – 2.
Анализ
этого
уравнения
показывает
,
что
стандартное
отклонение
результата
анализа
ан
x
s
тем
меньше
,
чем
:
а
)
круче
градуировочный
график
(
чем
больше
коэффициент
регрессии
);
б
)
больше
число
измерений
n
при
построении
градуировочного
графика
;
в
общем
случае
n
должно
быть
не
менее
5;
при
фотометрических
измерениях
погрешность
определения
y (
оптической
плотности
А
)
зависит
еще
и
от
абсолютного
значения
оптической
плотности
;
ввиду
этого
в
области
высоких
значений
погрешности
s
T
(
или
s
A
)
следует
предусмотреть
дополнительные
стандартные
растворы
;
9
в) меньше разность значений
ан
y −
y
; она будет наименьшей, когда
ан
y
=
y
;
при больших различиях
ан
y
и
y
значения
ан
x
s возрастают, поэтому интервал
содержаний (концентраций), для которого строится градуировочный график,
не должен быть сильно растянут.
Доверительный интервал результата анализа
ан
x
∆
вычисляют по
формуле:
fPx
tsx
,ан
ан
=
∆
, (14)
но при f = n – 2, а не при f = m – 1.
Границы доверительного интервала результата анализа находят по
формуле:
анан
xx
∆
±
. (15)
На рис. 1 приведены границы доверительного интервала в зависимости от
содержания (концентрации) х. Они задаются двумя ветвями гиперболы,
расположенными симметрично
относительно линии регрессии, и
убедительно демонстрируют
возрастание доверительного интервала
ан
x
∆
по мере увеличения разности
ан
y
−
y
, т.е. по мере удаленности
значений х
ан
от средней точки с
координатами
x
и
y
.
Предел обнаружения (
P
x
,мин
).
Известно, что предел обнаружения
определяется значением холостого
опыта и его случайными отклонениями. Имея уравнение регрессии, значение y
для холостого опыта (y
мин
) можно получить, экстраполируя прямую к значению
концентрации х = 0. В этом случае
y
мин
= а +
a
fP
st
,
. (16)
Асимптота
Градуировочная
прямая y = a + bx
Нижняя
доверительная
граница
Р
y
мин,
(
)
yx,П
Р
x
мин,
x
i
y
i
a
a
fP
st
,
Рис. 1. Доверительные границы
концентраций и предел обнаружения,
рассчитываемые по уравнению
линейной регрессии у = ах + b
10
При переходе от y
мин
к
P
x
,мин
необходимо принимать во внимание
доверительный интервал линии регрессии (см. рис. 1). Так, прямую y
мин
= а +
a
fP
st
,
следовало бы провести до пересечения с нижней ветвью гиперболы и таким
образом оценить
P
x
,мин
. Однако на практике этот расчет труден, и поэтому вместо
гиперболы приближенно используют соответствующую асимптоту. Уравнение
асимптоты:
y = а + bx +
b
fP
st
,
(x –
x
). (17)
Подставляя y
мин
, найденное из уравнения (16), получаем:
b
fP
ba
fP
PP
stb
sxst
Cx
,
,
,мин,мин
][
+
+
== . (18)
Из уравнения (18) следует, что на значение
P
x
,мин
абсолютное значение
холостого опыта не оказывает влияния. Значения
P
x
,мин
определяются
значениями случайных погрешностей s
a
, s
b
, наклоном градуировочной кривой и
средним значением
x
. Число стандартных растворов мало влияет на
P
x
,мин
, но
оно должно быть более 12; доверительные границы в большинстве случаев строят
для
P
= 0,99.
3. Методика выполнения работы
Методику выполнения работы по метрологической обработке
градуировочной кривой рассмотрим на примере спектрофотометрического
определения бензола в воздухе рабочей зоны.
Для построения градуировочного графика при фотометрическом
определении бензола в воздухе рабочей зоны измерены оптические плотности
семи стандартных растворов в УФ-области. Полученные результаты приведены в
табл. 1. Далее проанализированы две серии двух растворов неизвестной
концентрации бензола в поглотительном спиртовом растворе (по три
параллельных пробы). Это следующие данные: по экспериментальным данным
рассчитаны средние значения )(
анан
Ay = 1,53 (для первой серии) и )(
анан
Ay = 0,93
(для второй серии).
11
Таблица 1
Вычисление коэффициентов регрессии
№№
п/п.
Концентрация
х
i
(C
i
), г/л
Оптическая
плотность y
i
(A
i
)
2
i
x
2
i
y
x
i
y
i
x
i
+
y
i
(x
i
+
y
i
)
2
1 0,2 0,20 0,04 0,0400
0,040
0,40
0,1600
2 0,5 0,37 0,25 1,1369
0,185
0,87
0,7569
3 1,0 0,64 1,00 0,4096
0,640
1,64
2,6896
4 1,5 0,93 2,25 0,8649
1,395
2,43
5,9049
5 2,0 1,22 4,00 1,4884
2,440
3,22
10,3684
6 2,5 1,50 6,25 2,2500
3,750
4,00
16,0000
7 3,0 1,80 9,00 3,2400
5,400
4,80
23,0400
Σ
= 7
10,7
x
= 1,53
6,66
y
= 0,951
22,79
8,4298
13,850
17,36
58,9198
Примечание
. Согласно уравнению (9) и табличным данным: 58,9198 = 22,79 +
+2⋅13,850 +8,4298; 58,9198 = 58,9198, т.е. вычисления в табл. 1 выполнены правильно.
Расчет характеристик линейного графика. Вычисление коэффициентов
регрессии удобно проводить в табличной форме (табл. 1), где приводятся
результаты расчетов сумм
∑
i
x
,
∑
i
y
,
∑
2
i
x ,
∑
2
i
y ,
∑
ii
yx и средних значений
y
и
x
.
n
x
x
i
∑
= = 1,53;
n
y
y
i
∑
= = 0,951;
(
)
2
∑
i
x
= 114,49.
Проверку правильности вычислений осуществляют по уравнению:
(
)
∑
∑
∑
∑
++=+
22
2
2
iiiiii
yyxxyx
. (19)
Значения сумм из табл. 1 подставляют в уравнение (19). При условии
правильности вычислений значения сумм левой и правой частей уравнения будут
равны и можно будет приступить к расчету констант
a
и
b
по уравнениям (2) и (3),
подставляя в них найденные значения сумм из табл. 1
Из уравнений (2) и (3) вычисляют:
b
= (7⋅13,850 − 10,7⋅6,66)/(7⋅22,79 − 114,49) = 0,5700337
a
= (6,66 − 0,570337⋅10,7)/7 = 0,079628.
По уравнению (7) рассчитывают сумму квадратов для дисперсии,
характеризующей отклонение измеренных значений
y
i
относительно
вычисленных
Y
i
: