Островський А.Л., Мороз О.І., Тарнавський В.Л. Геодезія, частина II

Подождите немного. Документ загружается.

Виконуючи нівелювання під час коливань зображень спостерігач

зауважує, що відлік весь час змінюється, оскільки середня нитка сітки ниток,

спроектована на рейку, коливається. Спостерігач бере відлік середнього

стану нитки. Цьому стану відповідає градієнт

— Уш.айл*Уш.ітх

(13 13)

Враховуючи, що у

тіп

= 0, отримаємо:

У^ер^

^- (1.3.14)

Цьому стану відповідає рефракція

Тобто, відлік середнього стану нитки спотворений середньою рефрак-

цією.

Достатньо брати відлік максимального верхнього розташування

середньої нитки, який нитка займає за проміжок часу в 1 секунду, не менше

одного разу. Тоді відлік буде вільний від аномальної рефракції. Верхній стан

нитки слід відраховувати, якщо труба нівеліра дає пряме зображення. Якщо

ж труба нівеліра дає обернене зображення, то слід відраховувати макси-

мально нижнє розташування середньої нитки за такий самий проміжок часу.

Оскільки максимальні амплітуди коливань досить часті (кожну секунду), то

спостерігач витрачає стільки ж часу на відліки екстремальних станів нитки,

як і на відлік її середнього положення.

Використовуючи такий спосіб можна не тільки позбутися ано-

мальної рефракції, підвищити точність нівелювання, але й розширити тер-

мін часу, придатний для нівелювання. Не слід виконувати нівелювання під

час стійкої стратифікації атмосфери (під час інверсії), коли температура

повітря в приземних прошарках зростає з висотою. Вертикальні градієнти

температури під час інверсії - додатні і на висоті 1 м можуть бути значно

більшими за 2 град/м. Інверсія діє вночі, зранку - приблизно одну годину

після сходу Сонця і ввечері, починаючи, приблизно, за годину до заходу

Сонця. Інструкція нівелювання забороняє виконувати нівелювання в ці

години зранку та ввечері. Під час інверсії нормальна й аномальна

рефракція - додатні, їх сумарний вплив - значний і важко піддається

врахуванню. До того ж, під час інверсії і тихій (безвітряній) погоді, коли-

вання зображень рейки відсутні, так само, як і під час нормальної стратифі-

кації повітря, коли нормальні градієнти температури у = 0,0098 град/м, а

у =0.

/ ан.

2.2.Похибки. викликані коливанням зображень поділок рейки.

Не важко зрозуміти, що спостерігач бере відліки рейки під час

спокійних зображень її поділок точніше, ніж під час коливання цих поділок.

Проте, ці похибки є випадковими і не є такими загрозливими, як систе-

матичні похибки рефракції.

Численні експериментальні дослідження показали, що наприклад,

похибки відліків інварної рейки мікрометром нівеліра Н-1, труба якого має

збільшення Г= 45

, для довжини плеча 75 м виконують із середньою квадра-

тичною похибкою: під час спокійних зображень - 0,092 мм, а під час макси-

мальних розмахів коливань г

ти

= 2,84 мм (майже 3 мм) - 0,155 мм. Таким чи-

ном, під час значних розмахів коливань зображень, похибка відліку збільши-

лась в 1,7 рази. При цьому похибка викликана коливаннями зображень поді-

лок рейки складатиме на

км ходу (10 станцій) ~ 0,5 мм. Одночасно, похибка

за рефракцію на порядок більша - 5 мм. Саме тому слід враховувати ре-

фракцію, якщо виконується нівелювання під час коливання зображень рейки.

Враховуючи рефракцію будь-яким способом, ми тим самим, пере-

творюємо її вплив із систематичного на випадковий. Якщо навіть допустити,

що випадкові похибки врахування рефракції складають 0,25 мм (в два рази

менші за систематичні похибки рефракції) тоді її вплив буде на 1км-

0,25 -Ло « 0,8 мм. Таким чином, вплив рефракції зменшився приблизно

разів і перестав бути загрозливим. Тому, можна виконувати нівелювання під

час коливань зображень, тільки тоді, якщо будь-яким методом враховувати

вертикальну рефракцію.

2.3.Похибки, викликані кривиною Землі.

Вплив кривини Землі на відлік рейки можна визначити за відомою

нам формулою:

К = -—. (1.3.16)

2 Я

Якщо нівелювання виконувати з рівними довжинами плечей, то

вплив кривини Землі на перевищення виключається. Проте, нівелювання

виконуються не строго із середини. Наприклад, під час нівелювання IV кл

допускають нерівність довжин плечей на станції -5 м, тобто, А8 = 5 м.

Розрахуємо похибку перевищення, що виникає для такої нерівності

довжин плечей:

= = 0,002мм.

2 К

Таким чином, вплив кривини Землі на відлік рейки під час нерівних

довжин плечей до 5 метрів є дуже малим і його можна не враховувати.

Проте, не тільки кривина Землі обмежує нерівність довжин плечей, а

також зміни із часом кута і та необхідність перефокусування труби.

2.4.Похибки. викликані осіданням башмаків.

Експериментально доведено, що кожне встановлення рейки на

башмак або костиль втискає їх у землю. Досвід показує, що це джерело

похибок носить переважно систематичний характер, правда, на окремій

станції похибки не перевищують 0,02-0,03 мм. Вплив осідання башмаків на

середнє перевищення, отримане із прямого та зворотного ходу, значно

ослаблене. Значна компенсація впливу осідання башмаків, як і інших фак-

торів, наприклад, зміни кута і за час роботи на станції, відбувається завдяки

виконанню відліків рейок в один фізичний момент.

Розглянемо це детальніше.

Нехай відлік чорної сторони задньої рейки середньою ниткою зроб-

лено о 8 г. 40 хв. (рис. 1.3.5). Відлік чорної сторони цією ж ниткою передньої

рейки

—

о 8 г. 42 хв. Відлік червоної сторони передньої рейки - о 8 г. 43 хв.

Відлік червоної сторони задньої рейки - о 8 г. 45 хв. Таким чином, у

середньому відліки задньої і передньої рейок зроблені в один фізичний

момент -8 г. 42,5 хв. Отже, передбачена інструкцією послідовність відліків

обґрунтована. Недопустимо спочатку брати відліки чорної і червоної сторін

задньої рейки, а потім - передньої. Тоді такої одночасності відліків не буде.

Є ще одна причина недопустимості іншої послідовності відліків. Якщо

спостерігач, взявши відліки двох сторін задньої рейки, забув вивести

бульбашку рівня в нуль-пункт, а потім взяв відлік обох сторін передньої

рейки, то обчислені перевищення за чорними та червоними сторонами рейок

будуть однакові або відрізнятимуться не більше, ніж на 3 мм. Проте, ці

перевищення із грубою похибкою. Якщо послідовність відліків така, як

рекомендує інструкція, імовірність появи такої похибки дуже мала.

Рис. 1.3.5. Пояснення щодо отримання одночасності

"середніх" відліків рейок.

2.5

.Похибки, ви кл икані. оаданням штатива.

Під час роботи на станції спостерігач переміщається довкола нівеліра

і масою свого тіла тисне на ґрунт. У результаті, особливо на слабких та

заболочених ґрунтах, штатив осідає. Ці похибки мають приблизно таку ж

величину, що й осідання башмаків, і не регламентують точність ніве-

лювання III та IV класів.

передня рейка

3. Особисті похибки.

3.1

.Похибки відліків рейок.

Похибки відліку (кутова похибка візування) залежать від цілого ряду

факторів: критичного кута зору спостерігача; роздільної здатності труби т

;

збільшення труби Г

; форми і розмірів візирної цілі; віддалі до візирної цілі;

освітленості та контрастності; товщини сітки ниток; коливання візирної цілі.

Однак, похибку візування часто порівнюють із роздільною здатністю труби:

60"

т - —, 60" - критичний кут зору ока людини; для Г* = 30

, роздільна

р р*

здатність т

= 2". Насправді, похибка візування включає роздільну здатність

труби, як складову частину серед інших, тільки що перелічених факторів.

Під час нівелювання III, IV класів спостерігач, беручи відлік,

розглядає сантиметрові поділки рейки і ділить його на міліметри. Одні

спостерігачі відраховують на рейці непарні частини сантиметра: 1, 3, 5, 7, 9

міліметрів, інші - парні частини: 2,4, 6, 8 міліметрів.

Проте, ділення поділки на десять частин окомірно виконують із

точністю 0,15 від цієї поділки. Від одного сантиметра 0,15 дорівнює 1,5 мм.

Для довжин плечей 75 м, похибка відліку в кутовій мірі буде:

т] = р" ^

ММ

= 4,1". Як бачимо, у нашому випадку кутова похибка візу-

75000 мм

вання приблизно в 2 рази більша від роздільної здатності труби. Це зро-

зуміло: з роздільною здатністю /я, = 2" ми бачимо в трубу краї санти-

метрової поділки рейки (для 5 = 75 м, лінійна похибка т

= 0,73 мм), а під

час відлічування рейки необхідно ще оцінити стан нитки (яка має певну

товщину) у проміжку між видимими краями сантиметрової поділки. Таку

оцінку кожний спостерігач, залежно від власного критичного кута зору,

робить "особисто", по-своєму. Тому цю похибку і можна назвати осо-

бистою. Отже, кутову похибку візування не слід порівнювати з роздільною

здатністю труби. Похибка візування виявилась, у даному випадку,

приблизно в два рази більшою.

Взагалі, у геодезичній практиці точність візування може змінюватись

на порядок і більше: від десятка секунд до десятих долей секунди і, при

цьому, дуже залежить від форми і розмірів візирної цілі.

З усіх розглянутих похибок найбільшими, такими, що визначають

точність нівелювання III, IV класів, є похибки приведення візирної осі в

горизонтальний стан та відліки рейок. Такий самий порядок мають похибки

нівелювання, викликані рефракцією, до того ж похибки рефракції є систе-

матичними. Проте, похибки рефракції виключають, переважно, завдяки

спостереженням під час нормальної стратифікації атмосфери. Запропо-

нований тут спосіб виключення рефракції під час нестійкої стратифікації ще

немає широкого застосування у виробництві.

1.3.4. Точність нівелювання

III,

IV класів

Важливо ще до початку робіт, наперед (апріорно) виконати оцінку

очікуваної точності. Під час таких оцінок вважають, шо систематичні

похибки зведені до мінімуму, а на точність вимірів впливають випадкові

похибки, яких неможливо позбутися. Подібні теоретичні розрахунки

виконують і укладачі інструкцій, встановлюючи допустимі похибки вимірів.

Будемо враховувати сумісну дію двох найбільших випадкових

похибок, які пов'язані зі збільшенням зорової труби нівеліра Г" та ціною

поділки рівня т. Саме від цих параметрів залежать:

• похибки відліку т,;

• похибки установлення візирної осі

горизонтальний стан т

Під час конструювання нівелірів конструктори враховують, що

збільшенню труби повинна відповідати ціна поділки рівня. Строго кажучи,

кутова величина похибки відліку т" повинна дорівнювати кутовій величині

похибки встановлення візирної осі в горизонтальний стан т

т\ =

т"

(1.3.17)

Розглянемо простий спосіб визначення відповідності збільшення

труби і ціни поділки рівня. Ставлять рейку на віддалі 50-70 м від приладу,

приводять середину бульбашки в нуль-пункт і беруть відлік. Після цього

кількома обертами елеваційного, або підіймального гвинта, переміщають

бульбашку і, не дивлячись на рейку, встановлюють бульбашку на попереднє

місце. Знову беруть відлік. Якщо відлік не змінився, то рівень достатньо, а

можливо навіть надлишково чутливий і потрібно багато часу, щоб привести

середину бульбашки в нуль-пункт (досягнути контактування зображення

кінців бульбашки, якщо рівень контактний).

Щоб виявити надлишкову чутливість рівня роблять так: приводять

середину бульбашки у нуль-пункт. Беруть відлік. Декілька разів встановлю-

ють середню нитку сітки на цей самий відлік і кожний раз визначають

розташування бульбашки. Якщо розташування бульбашки змінюється, то

рівень надлишково чутливий. Відносно точності роботи краще мати рівень

із дещо надлишковою чутливістю, але надлишкова чутливість гальмує темп

роботи, якщо спостерігач буде досягати точного контактування.

Як ми вже знаємо, ділення на око деякої поділки на десять частин

виконують із точністю 0,15 від величини цієї поділки. Тому

т" = 0,15

•

г. (1.3.1&)

Для г = ЗО"; т"

= 4,5". Кутова похибка відліку, також вже визначена

нами, виявилась приблизно в два рази більшою від роздільної здатності

труби, та дорівнює т" = 4,1". Як бачимо, рівність (1.3.17) виконується

досить точно. їх загальна величина буде:

, = + ті, т

=у/4,5"

+ 4,1"

=6", го

= 6".

Знайдемо загальну лінійну похибку відліку рейки т , що відповідач

загальній кутовій (рис. 1.3.6):

5 Р*

т =

5-т:

(1.3.19)

Рис. 1.3.6. До визначення лінійної похибки т за відомої кутової т]

Для НІ класу нормальна довжина плеча 8 = 75 м, тому:

75000мм-6"

206265"

Для IV класу 5 = 100 м, тому:

100000мм-6"

« 2мм.

іу=-

206265"

: ЗММ

Розрахуємо похибку вимірювання перевищення на станції (рис. 1.3.7).

Рис. 1.3.7. До визначення похибки вимірювання перевищення на станції.

Перевищення к~а~Ь. Квадратична похибка перевищення т

буде:

І=тІ + т

де т

та т

- загальні похибки у відліках рейки.

Нехай: т

-т

~т, що під час рівних плечей обгрунтовано, тоді

т\ = 2т

, або

= т42. (1.3.20)

Проте, під час нівелювання визначають два перевищення за відліками

чорних і червоних сторін рейок та обчислюють середнє перевищення :

2 '

Середні перевищення із двох будуть точніші в лІ2 разів. Тому:

ту/2

т, =-т=- = т. (1.3.21)

•ар

На основі формули (1.3.21) можна зробити важливий висновок:

похибка середнього перевищення на станції нівелювання дорівнює похибці

відліку рейки. Отже, для III класу т

= 2 мм, а для IV класу т

Свр.Ш Свр. 1 ¥

мм. Досвід показує, що в середньому на

1 км

ходу припадає 10 станцій.

Тому похибка

км ходу буде:

для III класу т

тШ

= 2 ммл/ЇО »6 мм,

для IV класу = 3 ммл/ЇО я 10 мм.

Отримані похибки можна вважати середніми квадратичними похиб-

ками перевищень на

км ходу III та IV класів.

У діючих інструкціях прийнято вважати допустимими (граничними)

похибками подвійні середні квадратичні похибки. Тому, приймемо

= 2 гп^щ = 2-6 = 12мм «10мм; т^ = 2 т^ = 2-Ю = 20мм.

Якщо нівелірний хід має довжину £ (км), тоді допустима нев'язка та-

кого ходу буде:

для III класу Д^ = 10 мм

/Гкм ; (1.3.22)

для IV класу Д^ = 20 мм

-у/1

км. (1.3.23)

Отримані формули допустимих нев'язок збігаються з допусками

інструкції.

1.4. Зрівноваження нівелірних ходів та мереж

1.4.1. Зрівноваження висот окремого нівелірного ходу

Розглянемо спочатку зрівноваження окремого нівелірного ходу,

прокладеного між двома реперами старших класів. У першій частині курсу

подано спосіб зрівноваження перевищень такого ходу. Розглянемо існуючу

можливість безпосереднього зрівноваження висот. Нехай маємо виміряні та

обчислені середні перевищення із прямих та зворотних ходів між усіма

сусідніми реперами ходу, а висоти відомі тільки кінцевих реперів. Необ-

хідно визначити висоти всіх новозакладених реперів. Припустимо, ми,

користуючись висотою початкового репера Н

та середніми перевищен-

нями, обчислимо приблизні висоти всіх проміжних реперів, включаючи й

кінцевий репер, висота якого Н

- відома. Отримаємо нову висоту цього

репера Н'

. А потім навпаки, користуючись висотою Н

, обчислимо ще раз

наближені висоти всіх інших реперів, включаючи й початковий репер,

Отримаємо нову висоту цього репера Н'

. За результатами цих даних

побудуємо подвійний профіль, поданий на рис. 1.4.1.

Рис. 1.4.1. Подвійний профіль нівелірного ходу.

Різниця Н'

~Н

=+/

- являє собою нев'язку ходу Кр

-Кр

Одночасно Н'

- Н

= ~/

- теж нев'язка, але ходу Кр

- Кр

. Як це видно

з подвійного профілю, для всіх реперів отримано дві висоти. Різниця висот

цих реперів дає нев'язку. Для репера Е

/ь=Н

Еі

-Н

Ег

. (1.4.1)

Знайдемо найімовірнішу, тобто середньовагову висоту цього репера

. Р,+Нг Р,

Нехай число штативів у ході до репера Е дорівнює к. Якщо всього в

ході п штативів, тоді кількість штативів від репера Є до кінцевого репера

дорівнює п-к . За ваги цих двох частин ходу приймемо величини, обернені

до числа штативів у цих частинах ходу, тобто

л-

к' ' п-к

Крім того, на основі рис. (1.4.1), можемо записати:

(1-4.3)

Підставивши значення Н

Е%

із формули (1.4.3) у формулу (1.4.2),

отримаємо:

_ н

Еі

-р,+я

£і

-/„ Р

_ я

Е|

(р,+р

)-/„

Поділивши почленно чисельник на суму (Р, + Р

), отримаємо:

Рг

>Р

1 +

Р, + Р

= (1.4.4)

Перетворимо дріб —-

1 1 1

п-к

[п~

+Р

1 1 п-к + к п

п{п

- к) п'

к п-к к{п-к) к(п-к)

Р к

Підставивши значення —-— = - у формулу (1.4.4), матимемо

Р, + Р

кінцеву формулу:

=Я

Еі

-/Л (1-4.5)

Оскільки репер Е вибрано довільно, то ця формула придатна для

обчислення найімовірнішої висоти будь-якого репера. На основі формули

можна сформулювати правило таких обчислень: зрівноважена висота будь-

якого репера дорівнює наближеній висоті, отриманій за середніми переви-

щеннями плюс поправка, яка дорівнює нев'язці ходу, взятій з оберненим

знаком, поділеній на число станцій у всьому ході і помноженій на число

станцій до даного репера.

Під час обчислення поправок у наближені висоти доцільно нев'язку,

взяту з оберненим знаком, розділити на и, тобто отримати постійний коефі-

{

цієнт —, а потім цей коефіцієнт множити на змінну к - число станцій до

репера, висоту якого визначають.

Визначимо найслабше місце ходу, тобто місце, де висоти реперів

визначаються з найбільшою похибкою. Висота кожного з реперів обчислю-

валась два рази: від початкового та від кінцевого репера і отримані,

наприклад, для репера Е, висоти Н

Е)

та Н

Ег

Середнє значення, висоти Н

сер

, отримане з вагою Р, рівною сумі ваг

та Р

, тобто: Р = Р

+Р

, або:

к п-к к{п-к) ^ ^

Найбільшу похибку у висоті буде мати репер, вага якого Р -

найменша. У відповідності з (1.4.6) Р буде мінімальним, якщо знаменник

к(п-к) буде максимальним. Таким чином, маємо задачу на екстремум

функції. Позначимо знаменник:

у = к(п-к) = пк~к

Візьмемо першу похідну по к та прирівняємо її

<ік

(1.4.7)

до нуля:

= п-2к = 0. Звідси:

(1.4.8)

Отже, найслабше місце ходу - його середина.

1.4.2. Зрівноваження нівелірної мережі з однією вузловою точкою

Нехай маємо мережу із

трьох ходів, що сходяться в одну ^

вузлову точку (рис. 1.4.2). На

рисунку подані виміряні переви-

щення Н}, та довжини

ходів Ц, Ь

, І

, а також висоти

реперів А, В, С - Н

, Н

Стрілками показані напрямки

збільшення висот, тобто, на-

прямки додатних перевищень.

Визначимо ваги ходів, як

величини, обернені до довжин

ходів. Ваги також подані на

рисунку. Маємо можливість ви-

значити три значення висоти

точки Е\ з першого, другого та

другого ходів:

Н^Нд+^Н^Нв+Н

=Я

+ А

2 >

Рис. 1.4.2. Нівелірна мережа із трьох ходів,

що сходяться в одну вузлову точку.