Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
/0.3.
Разложение
диадной
функции
Грина
313
где
j -
плотность
тока
диполя,
которая
дается
равенством
j(r)
=
-iw8(r
-
rO)J1.
(10.3)
Используя
определение
скалярной
функции
Грина
СО
(см.
(2.73)),
а
также
(2.75),
получаем
(104)
Заметим,
что
векторный
потенциал
поляризован
в
направлении
дипольного
момента
Теперь
пустим
в
ход
определенное
в
разд.
2.12.1
тождество
Вейля
и
перепишем
векторный
потенциал:
ос
А(г)
=
J1
2
k~
f f
_1_
e
'[k,
(x-хо)+kу(у-уо)+kz1Iz-zоl](u·,
rlk!l.
81Г
WE"oE"
1 k
ZI
(105)
-х
Используя
равенство
Е
=
iw
[1
+
k.
2
V'V'.]
А,
непосредственно
получаем
электри
ческое
поле.
Магнитное
поле
рассчитывается
аналогичным
образом
с
помощью
равенства
Н =
(МоМI
)-1
V'
Х
А.
Сравнение
полученного
в
результате
выражения
для
Е
с
равенством
(10.1)
позволяет
определить
диадную
функцию
Грина
в
виде
х
ао(г,го)
=
8:2
f f
Me,[k,(x-:ro)+ky(y-yo)+k'llz-zol](lk,(lk",
-:х;
(106)
Некоторые
слагаемые
в
матрице
М
имеют
два
различных
знака,
что
определяется
модулем
Iz
-
zol.
Верхний
знак
подставляется
при
z >
zo,
нижний
-
при;;
<
':;0.
Равенство
(10.6)
позволяет
выразить
поле
произвольно
ориентированного
диполя
в
терминах
плоских
и
эванесцентных
волн.
10.3.
Разложение
диадной
функции
Грина
Чтобы
применить
френел!.вские
коэффициенты
отражения
и
прохождения
к
полю
диполя,
полезно
разделить
G
на
в-поляризованную
и
р-поляризованную
части
Это
+-+
разложение
можно
совершить,
разделив
матрицу
М
на
два
слагаемых:
(10.7)
где
учтено,
что
ориентированный
перпендикулярно
плоской
границе
раздела
на
рис.
10.1
диполь
испускает чисто
р-поляризованное
излучение;
это
следует
из
того
факта, что
у
магнитного
поля
электрического
диполя
отлична
от
нуля
лишь
азимутальная
компонента
Н
Ф
(см.
(8.64»,
параллельная
границе
раздела,
если
J1
=
JLn
z
·
Сходным
образом
магнитный
диполь,
ориентированный
перпендикулярно
314
Гл
10
Дипольное
излучение
вблизи
плоских
границ
раздела
границе
раздела,
создает
чисто
в-поляризованное
поле.
определим
следующие
потенциалы
1):
в
связи
с
вышесказанным
Ае(г)
=
А"(г)п
z
,
Ah(r)
=
Аh(г)п;:
и
свяжем
с
ними
электрическое
и
магнитное
поля:
Е
= iUJ
[1
+
~\7\7']
А"
-
-1-\7
х
A
h
,
k~
еоеl
Н
=
7UJ
[1
+
~\7\7']
A
h
+
_1_\7
х
А
е
,
ki
~O~I
(10.8)
(10.9)
(10.10)
(10.11)
где
А/'
и
А"
-
чисто
р-поляризованное
и
в-поляризованное
поля
соответственно.
Разложим
теперь
потенциалы
АС
и
Ah
по
угловому
спектру:
::ю
А'·.!'
(:1:,у,
z)
=
2~
J J A
e
.
h
(k
x
, ky)et[k, (x-xo)+ky(y-yo)+k.)lz-zol]
dkxdk
y
,
(10.12)
-ос
и
подставим
введенные
таким
образом
Ae·h(k
x
,
k
y
),
(10.8)
и
(10.9)
в
(10.10).
Полу
ченное
выражение
для
электрического
поля
сравним
с
полем,
созданным
диадной
функцией
Грина,
пол~ченн~й
в
предыдущем
разделе.
Сравнение
позволяет
опреде
лить
спектры
Фурье
А/'
и
Ah
как
2 2
A"(k
k)
=
UJ~0J11
тJ1
х
kз:k
о
)
TJ1
y
k
y
k
z
) +J1z(k
-k
z
) (10.13)
7'
у
411'
kz)(k~+k;)
,
A"(k
k)
=
ki
-~xky
+
~yk.E
(10.14)
."
у
411'
k
..
)(k;+k~)
,
где
11
=
{JI'1,
IL!J'
JL;J
-
д!'поль!!.ый
момент,
заданный
в
декартовой
системе
координат.
Наконец,
подставляя
АЕ'
и
Ah
В
(10.10)
и
используя
определение
(10.1),
можно
определить
,'1-
и
р-поляризованные
слагаемые
диадной
функции
Грина.
При
этом
....
10.4.
Диадная
функция
Грина
для
отраженного
и
проmедmего
полей
(10.15)
Предположим,
что
диполь,
первичное
поле
которого
представлено
функцией
G
o
,
расположен
над
плоской
границей
раздела
сред,
как
пока
за
но
на
рис.
10.1.
Введем
координатную
систему,
начало
которой
расположим
на
верхней
границе
раздела.
Пусть
координата
диполя
Zo
по
оси
Oz
задает
высоту
диполя
над
слоистой
средой.
1)
Заметим,
что
А
е
имеет
размерность
векторного
потенциала,
А
h -
магнитный
аналог
векторного
потенциала
-
При.меч
авт
JO
4.
Диадная
функция
Грина
для
отраженного
и
прошедшего
nолеи
315
Для
расчета
отраженного
поля
диполя
умножим
каждую
плоскую
волну
в
G
на
соответствующий
обобщенный
коэффициент
отражения
Френеля
1"
или
".1'.
Эти
коэффициенты
легко
выразить
как
функции
(k
x
•
k
y
)
(см.
(2.49».
и
для
отраженного
поля
получим
новую
диадную
функцию
Грина:
ос
Gr~r(r.
ro)
=
8:2
f f
[M:
ef
+
M:
ef
] e
i
[k,(x-;1"o)+k
y
(y-Yo)+k=1
(z+zo)](U',
rlk!l'
-ос
(10.16)
Теперь
электрическое
поле
в
верхнем
полупространстве
можно
рассчитать
посред
ством
суммы
функций
Грина
первичного
поля
и
функции
Грина
отраженного
поля:
(10 17)
......
Сумму
Go(r,
ro)
и
Grer(r,
ro)
можно
интерпретировать
как
новую
функцию
Грина
верхнего
полупространства.
Прошедшее
поле
можно
выразить
с
помощью
коэффициентов
прохождения
Фре
неля
t
S
и
t
P
(см.
(2.49). (2.50».
Для
нижнего
полупространства
получаем
-ос
(10.18)
Параметр
8
имеет
смысл
толщины
слоистой
поверхности.
В
случае
единственной
гра
ницы
раздела
8 =
О.
Электрическое
поле
в
нижнем
полупространстве
рассчитывается
следующим
образом:
2
......
E(r)
=
(;.)
МоМ!
Gtr(r.
ro)~.
(10.19)
Функцию
G
tr
можно
рассматривать
в
качестве
новой
функции
Грина
для
нижнего
полупространства.
Для
расчета
поля
внутри
слоистой
структуры
требуется
явно
задать
граничные
условия.
Для
структуры
с
двумя
границами
раздела
(плоский
слой
на
поверхности
плоской
подложки)
эта
задача
была
решена
в
[2];
явные
выражения
для
компонент
поля
можно
найти
в
Приложении
Г.
Результаты.
которые
будут
здесь
получены.
не
требуют
знания
полей
внутри
каждого
отдельного
слоя.
Однако
для
расчета
полей
в
верхнем
и
нижнем
полупространствах
нужно
знать
обобщенные
френелевские
ко-
316
Гл
10
Дипольное
излучение
вблизи
плоских
границ
раздела
эффициенты
отражения
и
прохождения.
В
случае
единственной
границы
раздела
эти
коэффициенты
даются
равенствами
(2.49)
и
(2.50),
а
обобщение
на
случай
многих
границ
раздела
можно
найти
в
[14].
В
качестве
примера
приведем
коэффициенты
отражения
и
преломления
плоского
слоя
толщины
d:
т~~Э)
+
T~~
э)
exp(2ik
zz
d)
1 +
r1i
s)r~:з
э)
exp(2zk
zz
d)
,
(10.20)
t(p
')t(p
э)
(k
d)
t(1'.")
=
__
':....:2;'-7-
Z
-',j_е,...х_
р
_Z_
2
_
Z
__
1 +
r~i
S)r;:з
В)
exp(2zk
2z
d)
,
(10.21)
где
I'~:-;
и
t~)
..
;Ч
-
коэффициенты
отражения
и
прохождения
через
границу
раздела
l-ГО
и
.J-ro
слоев.
Чтобы
рассчитать
поля
в
верхнем
и
нижнем
полупространствах,
полезно
пе
реписать
выражения
для
полей
в
цилиндрических
координатах.
Используя
ма
тематические
тождества
(3.57),
можно
выразить
поля
с
помощью
единственного
интеграла
по
k(!.
Магнитное
поле
выводится
с
помощью
уравнения
Максвелла
ILLl/-LО/J'IН
= V
х
Е,
которое
сразу
при
водит
к
результату
{
-
iLLl
[У
х
(ё
+
ё
ге
!)]
р,
верхнее
полупространство,
H(r)
= _
- 'lbl!!:2..
[У
х
G
tr
]
р,
нижнее
полупространство.
11"
(10.22)
Здесь
оператор
ротора
действует
отдельно
на
каждый
вектор-столбец
диадной
функ
ции
Грина,
В
качестве
примера
приведем
рис.
10.3.
на
котором
показано
распределение
поля
диполя,
расположенного
в
малой
окрестности
плоского
волновода.
Диполь
ориенти
рован
под
углом
()
= 600
к
плоскости
(х,
z),
т.
е.
/1
= /l{
JЗ
/2,
О,
1/2},
и
излучает
преимущественно
в
нижележащую,
оптически
более
плотную
среду.
Ближнее
поле
диполя
возбуждает
в
волноводе
две
основные
моды:
ТЕ
о
и
ТМо.
t
0.5.
Скорость
спонтанной релаксации
вблизи
плоских
гарниц
Нормированная
скорость
рассеяния
энергии
излучающего
диполя
Р
/
Ро
опре
делена
равенством
(8.80).
Обычно
в
излучение уходит
не
вся
энергия
диполя,
поскольку
она
может
быть
связана
с
другими
модами,
существование
которых
обес
печивается
слоистой
структурой
(фононы,
тепло,
поверхностные
волны,
волноводные
моды
и
т.
д.)
Для
некогерентно
релаксирующей
квантовой
системы
с
внутренним
квантовым
выходом
Ч,
=
1,
нормированная
скорость
спонтанной
релаксации
1'/''(0
совпадает
с
Р/РО
(см.
(8.137»
и
требует
вычисления
рассеянного
поля
Es(ro)
в
точке
расположения диполя
ro.
В
рассматриваемой
ситуации
рассеянное
поле
соответствует
отраженному
полю
E
ref
,
которое
в
точке
расположения
диполя
дается
равенством
(10.23)
Функция
Грина
G
ref
определяется
равенством
(10.16).
Для
удобства
аналитическо
го
1)
взятия
интеграла
по
Ф
удобно
использовать
следующую
подстановку:
k, =
kрСОSф,
k
y
=
kрsiпФ,
dkxk
y
=
kрdkрdф.
(10.24)
')
Обратите
внимание
на
отличие
этого
равенства
от
равенства
(346),
которое
получено
преобразованием
плоской
поверхности
в
сферическую.
Здесь
интегрирование
ведется
по
плос
кости
-
При.меч
авm
10.5.
Скорость
спонтанной
релаксации
вблизи
плоских
гарниц
317
Рис
10.3
Плотность
мощности
диполя,
расположенного
над
плоским
волноводом,
изображен
ная
в
определенный
момент
времени
Диполь
находится
на
высоте
IL
=
20
нм, его
ось
-
в
плоскости
(х,
Z),
()
=
600,
л
=
488
нм,
d = 80
нм,
е1
=
1,
е2
=
5,
еа
=
2,25
Соседние
линии
отличаются
по
уровню
в
2
раза
.....
Вычисленная
в
точке
расположения
диполя,
Grel
принимает
диагональную
форму:
:х;
[ k
2
r
s
-k
2
тР
О
О]
.....
_ Z f k
p
1
%,
2
5_
2
Р
27А,
Zo •
G
ге
l(г,ГО)---2
k
О
k
1
r
kz,r
О
е
'(11.;". (10.25)
81Гk
1
%,
О О
2k
2
r
P
о
р
Присовокупив
К
полученному
результату
равенства
(10.23)
и
(8.80),
напрямую
опре
деляем
нормированную
CKOP~TЬ
рассеяния
энергии.
Для
удобства
воспользуемся
подстановками
8 = k
p
/k
1
И
1 -
82
= k
z
./k
1
и,
используя
для
краткости
запись
8
z
=
(1
-
82)1/2,
получим
(1026)
Здесь
коэффициенты
отражения
суть
функции
переменной
В,
т.
е.
rS(s)
и
1'
P
(S),
а
ди
польный
момент
записан
в
терминах
его
декартовых
компонент
как
~
=
(/1."
JLIJ'
JLz).
Область
интегрирования
[О
...
00]
разделим
на
два
интервала:
[О
...
1]
и
[1
...
')с].
Пер-
вый
интервал
связан
с
плоскими
волнами
углового
спектра,
т.
е.
k"
=
[О
... k
1
],
в
то
318
Гл
10
Дипольное
излучение
вблизи
плоских
границ
раздела
время
как
второй
интерваJl
соответствует
спектру
эванесцентных
BOJlH
k
p
=
[k,
...
ос].
Таким
образом,
ДИПОJlЬ
взаимодействует
со
своими
собственными
ПJlОСКИМИ
BOJlHa-
ми,
отраженными
от
границы
раздеJlа,
и
с
отраженными
эванесцентными
ВОJlнами.
ЭкспоненциаJlЬНЫЙ
множитеJlЬ
в
подынтеграJlЬНОМ
выражении
предстаВJlяет
собой
спадающую
функцию
ДJlЯ
эванесцентных
BOJlH,
тогда
как
ДJlЯ
ПJlОСКИХ
BOJlH
он
ЯВJlяется
ОСЦИJlJlИРУЮЩИМ.
CorJlaCHO
(8.138)
нормированная
скорость
рассеяния
энергии
совпадает
со
скоро
стью
спонтанной
реJlаксации
двухуровневой
квантовой
системы,
которая
СJlУЖИТ
мо
деJlЬЮ
MOJleKYJlbI.
На
рис.
10.5
показано
нормированное
время
жизни
MOJleKYJlbl
т
/
То
=
(Р
/
ГЪ)
-,
в
зависимости
от
расстояния
h
между
ПОДJlОЖКОЙ
и
БJlижайшей
гра
Hицeй
раздеJlа
(см.
рис.
10.4).
Нормировка
То
соответствует
ситуации,
когда
MOJleKYJla
раСПОJlожена
на
стеКJlЯННОЙ
поверхности,
а
вторая
граница
отсутствует
(h --+
ас).
h
Рис
104
Флуоресценция
ОДИНОЧНОЙ
молекулы
вблизи
ПЛОСКОЙ
границы
раздела
Молекула
расположена
на
поверхности
ДИЭJlектрической
подложки,
граница металла
(с
=
-34,Б
+
~8,5)
или
стекла
(с
= 2,25)
сдвинута
выше
Длина
волны
излучения
.А
= 488
нм
КОJlебания
явJlяются
СJlедствием
интерференции
между
распространяющимся
по
JleM
(ПJlОСКИМИ
ВОJlнами)
MOJleKYJlbl
и
ПОJlем,
отраженным
от
БJlижней
границы.
Как
ожидается,
КОJlебания
БОJlее
выражены
ДJlЯ
метаJlJlической
поверхности
и
горизон
таJlЬНОЙ
ориентации
ДИПОJlЯ.
На
MaJlblX
высотах
}~
ДJlЯ
всех
возможных
конфигу
раций
наБJlюдается
сокращение
времени
жизни
MOJleKYJlbl.
Это
уменьшение
вызва
но
ростом
скорости
беЗЫЗJlучатеJlЬНОЙ
реJlаксации,
опосредованным
затухающими
компонентами
ПОJlЯ.
В
зависимости
от
того
какая
поверхность
-
метаJlJlическая
ИJlИ
ДИЭJlектрическая
-
приБJlижена
к
MOJleKYJle,
компоненты
затухающего
ПОJlЯ
MOJleKYJlbI
термаJlИЗУЮТСЯ
ИJlИ
частично
конвертируются
в
ПОJlЯ,
распространяющиеся
за
критическим
уг
JlOM
в
верхнем
ПОJlупространстве
[15].
в
СJlучае
метаJlJlической
поверхности
время
жизни
стремится
к
НУJlЮ
при
h --+
О
[16].
В
этом
СJlучае
MOJleKYJla
передает
энергию
возбуждения
MeTaJlJlY,
видимого
ИЗJlучения
не
возникает
и,
как
СJlедствие,
происходит
тушение
фJlуоресценции.
На
рис.
10.5,
б,
г
изображены
времена
жизни
на
характерных
ДJlЯ
экспериментов
в
БJlижнем
ПОJlе
расстояниях
h < 20
нм.
В
СJlучае
ДИЭJlектрической
поверхности
время
жизни
ДJlЯ
вертикаJlЬНО
ориентированного
ДИПОJlЯ
всегда
БОJlьше,
чем
ДJlЯ
ДИПОJlЯ
с
горизонтаJlЬНОЙ
ориентацией,
когда
две
кривые
пересекаются.
Время
жизни
возбужденной
MOJleKYJlbl,
находящейся
на
расстоянии,
БОJlьшем,
чем
h
::::;
8,3
нм,
под
слоем
аJlЮМИНИЯ,
выше,
чем
в
СJlучае
ДИЭJlектрической
поверхности,
но
ниже
на
меньших
высотах
Эта
пере
мена
времени
жизни
может
быть
перенесена
в
экс
периментаJlЬНУЮ
ситуацию
в
апертурной
сканирующей
БJlижнеПОJlевой
оптической
микроскопии:
MOJleKYJla
при
центраJlЬНОМ
ПОJlожении
оптического
зонда
накрывается
его
ДИЭJlектрической
сердцевиной,
которую
приБJlиженно
можно
считать
ПJlОСКОЙ
ДИЭJlектрической
границей.
В
СJlучае
раСПОJlожения
под
метаJlJlическим
покрытием
т
То
Т
ТО
2
1
1
0.5
а
0,5
б
10.
б
Дальнее
поле
-
в
1
h/л
1.5 2
о
0.5
1
h/л
-
г
-_._--
......
-
.--_.-
-
10
15
20
О
5 10
h
[ИМ]
h
[ИМ]
319
t
1.Г!
2
t
15
20
Рис
105
Время
жизни
молекулы
как
функция
величины
зазора
1/
Жирными
линиями
обозначены
зависимости,
полученные
для
металлической
поверхности,
тогда
как
тонкие
линии
соответствуют
диэлектрической
поверхности
На
нижних
рисунках
те
же
результаты
пред-
ставлены
в
увеличенном
масштабе.
Нормировка
на
ТО
соответствует
h
--+
00
ситуация
соответствует
молекуле,
соприкасающейся
с
плоской
алюминиевой
поверх
ностью.
Таким
образом,
для
малого
расстояния
между
зондом
и
образцом
время
жизни
молекулы
с
горизонтальным
дипольным
моментом
в
центральном
положении
выше, чем
в
смещенном
положении.
Обратное
верно
для
зазора,
размер
которого
превышает
8,3
нм.
Эти
находки
подтверждаются
экспериментальными
наблюдения
ми
[17]
и
воспроизводятся
численными
расчетами,
представленными
в
[18].
Положение
точки,
в
которой
пересекаются
кривые, зависит
от
длины
волны
облучающего
света и от
ориентации
оси
диполя.
Для
больших
длин
волн
алюминий
ведет
себя
более
металлическим
образом,
сдвигая
точку
пересечения
в
сторону
больших
h.
На
длине
волны
>.
= 800
нм
диэлектрическая
проницаемость
алюминия
е
=
-63,5
+ i47,3
и
точка
пересечения оказывается
на
высоте
h
~
14,6
нм.
Если
молекула
накрыта
объектом
конечного
размера,
нарушается
поперечная
симметрия
и
на
краях
объекта
возникают
дополнительные
эффекты
[19,
20].
10.6.
Дальнее
поле
Во
многих
случаях
диполи
у
плоских границ
раздела
наблюдаются
в
дальней
волновой
зоне.
Чтобы
понять,
как
поле
преображается
от
ближнего
к
дальнему,
нужно
вывести
явное
выражение
для
асимптотических
полей.
Условие
излучения
обычно
требует,
чтобы
эти
поля
спадали
по
закону
r-
I
•
однако
при
этом
возника
ет
философская
проблема
определения
поля бесконечно
протяженного
объекта
на
320
Гл
/0
Дипольное
излучение
вблизи
плоских
границ
раздела
бесконечном
расстоянии.
Далее.
существование
приближенных
асимптотических
вы
ражений
находится
под
вопросом
из-за
закона
сохранения
энергии:
распространяю
щиеся
вдоль
слоистой
структуры
поля,
т.
е.
поверхностные
волны,
должны
затухать
как
,.-1/2.
Область
между
зонами
т-
I
и
r-
I
/
2
должна
демонстрировать
переходное
поведение.
Таким
образом,
можно
заключить,
что
не
существует
приближенного
асимптотического
выражения
для
дальнего поля
в
случае
стратифицированной
сре
ды,
поскольку
спад поля
зависит
от
направления
распространения.
Тем
не
менее
можно
получить
приблизительное
выражение
для
дальнего
поля,
если
исключить
из
расчета
поперечное
направление
распространения,
т.
е.
не
рассматривать
области,
очень
близкие
к
слоям.
Одно
из
преимуществ
использования
спектрального
волнового
представления
--
простота
вывода
дальнего
поля.
В
разд.
3.4
мы
узнали,
что
дальнее
поле
Е
х
,
наблюдающееся
в
направлении
безразмерного
единичного
вектора
s={Sx,Sy,Sz}={::',!!.,~},
(10.27)
r r r
определяется
фурье-спектром
Е
в
плоскости
z =
О
как
. _ e
lkr
E:x:(sr,sy,sz) =
-zkszЕ(ks~,ksу;О)-.
r
(10.28)
Это
равенство
требует,
чтобы
мы
выразили
волновой
вектор
k
через
единичный
вектор
s.
Поскольку
оптические
свойства
верхнего
и
нижнего
полупространств
различны,
используем
следующее
определение:
{
(
kж
ky
~)
k ' k
'k
'
s=
1 1 1
(
k
ж
ky
kz")
k,,' k,,'
k
1l
'
z >
О,
(10.29)
z <
О.
!!оле
Е.!
верхнем
и
нижнем
полупространствах
определяется
функциями
Грина
Go,
Gr~r и
G
tr
•
которые
уже
записаны
в
форме
углового
спектра
(см.
(10.6), (10 16)
и
(10.18».
Мы
можем
установить
асимптотические
формы
различных
функций
Грина
в
дальней
зоне
с
помощью
(10.28).
Все
что
нужно
сделать
--
это
определить
про
странственный
спектр
функций
Грина
и
провести
ряд
алгебраических
вычислений.
Полученные
в
итоге
выражения
даются
в
Приложении
Г.
Чтобы
получить
простое
представление
дальнего
поля,
расположим
начало
коор
динат
на
поверхность
верхнего
слоя
так,
чтобы
диполь
располагался
на
оси
OZ,
т.
е.
(хо,
Уо)
=
(О,
О).
(10.30)
Далее
будем
описывать
поле
в
сферической
системе
координат
Е
=
{Е
г
,
Ее,
Еф}.
при
этом
важно
правильно
учесть
знаки
в
подстановках:
в
верхнем
полупространстве
!i
z
=
k:Jk
l
=
еш;(j,
тогда
как
в
нижнем
полупространстве
Sz
= kz"/k,, =
-соsО.
Для
упрощения
записи
удобно
ввести
обозначение
-:-
- k
Z1
_
V(
/
)2
(2
2)
-
V(
/
)2
.'
2
О
.~:
- k;: -
111
1111
-
Вх
+
Sy
-
nl
n
ll
-
юн
,
(10.31)
где
'//1
И
1/,,,
--
показатели
преломления
верхнего
и
нижнего
полупространств
соответственно.
Используя
индекс
J
Е
[1,
n],
чтобы
различать
верхнее
и
нижнее
полупространства,
дальнее
поле
можно
представить
следующим
образом:
Е=[
в,(J
]=~eXP(ZkJr)
[[J.tХСОSФ+J.tУН~IlФ]СО~Оф)2)-J.tзZ~iНОФУ)],
(10.32)
Е
ф
41Г€O€1
l'
-
[р" Юll
Ф
-
Му
CO~
Ф]Ф)
)
10
б
Дальнее
поле
321
р1
...
--
)(
,
I
I
()
\
I ,
Р
тn
-А9У
исг-
pj':""/.I~
...;...
~
~
~ac
....
~
"
....
",
.....
_
_I/IJ/Il"JIII"
р!
а
Рис.
10.6.
Определение
углов,
использующееся
для
расчета
асимптотики
дальнего
поля
Из
лученная
мощность
распределяется
на
излучение
в
верхнее
полупространство,
рl,
излучение
в
разрешенную
зону,
Р},
излучение
в
запрещенную
зону,
Р/,
и
излучение,
рассеянное
в
слоистой
среде,
Р
т
Полная
скорость
рассеяния
энергии
Р
=
р1
+
Р
а
!
+
Pr
1
+
Р
т
+
Р;,
где
где
р;
-
поглощенная
энергия
ФР)
=
[e-ikIZО
созВ
+ rP(8)eikIZOCObB] ,
ф~2)
=
[e-tklzосоsВ
_ rP(8)eikIZOcosB] ,
ф~3)
=
[e-tkIZoсоsВ
+
rS(8)etk,ZOсозВ]
,
ф~l)
= nn
:ОВ(}
tР(8)еtkn[Zо8.(В)+бсоsВJ,
nl
sz«(})
ф~)
=
_nntР(8)е'kn[ZО8z(В)+бсоsВJ,
nl
ф~3)
=
~~(~tS(8)e'kn[Z08z(B)+dCObBJ.
(10.33)
(10.34)
(10.35)
(10.36)
(10.37)
(10.38)
Вертикально
ориентированный
диполь
описывается
потенциалом
фУ),
тогда
как
горизонтальный
диполь
представлен
потенциалами
ф)2)
и
Ф?),
описывающими
р-поляризованный
и
в-поляризованный
свет
соответственно.
Обсудим
сначала
даль
нее
поле
в
верхнем
полупространстве.
Чтобы
понять
роль
потенциалов
Ф\,)
_Ф~3),
проанализируем
дальнее
поле
диполя
в
однородной
среде.
Сместим
диполь
из
начала
координат
по
оси
Oz
на
расстояние
zo.
Согласно
равенству
(8.63)
электрическое
поле
в
дальней
зоне
определяется
слагаемым
ехр(
ikl
R) /
R.
Однако
радиальная
ко
ордината
R
отсчитывается
от
точки,
в
которой
расположен
диполь,
а
не от
начала
координат.
Если
же
расстояние
от
начала
координат
до
точки
наблюдения
обозначить
как
Т,
можно
записать
R=r
1 +
zб
-
2.zor
сов
()
~
r -
Zo
сов
8,
т
2
(10.39)
где
удержаны
только
первые
два
слагаемых
разложения
в
ряд.
Второе
слагаемое
важно
включить
в
фазу
волны,
чтобы
учесть
фазовую
задержку.
С
другой
стороны,
второе
слагаемое
не
сказывается
на
амплитуде
при
r »
zo.
Таким
образом,
можно
21
Л
Новотный,
Б
Хехт
322
Гл
10
Дипольное
излучение
вблизи
плоских
границ
раздела
записать
равенство
.k,R
ik,r
~
=
~e-lk,zocos8
R r
(10.40)
известное
как
приближение
Фраунгофера.
Путем
сравнения
находим,
что
первое
слагаемое
в
потенциалах
фР)
_Ф~3)
соответствует
прямому
дипольному
излучению.
Во
втором
слагаемом
в
экспоненте
стоит
знак
«минус»,
поэтому
второе
слагаемое
можно
идентифицировать
как
излучение
диполя,
расположенного
на
расстоянии
Zo
под
верхней
поверхностью
слоистой
среды.
Величина
этого
диполя-изображения
вхо
дит
в
сумму
с
весом,
равным
коэффициенту
отражения
Френеля.
Это
замечательный
результат:
в
дальней
зоне
излучение
диполя,
расположенного
вблизи
слоистой
среды,
представляет
собой
суперпозицию
двух
дипольных
полей:
поля
самого
диполя
и
поля
диполя-изображения.
Выражение
для
прошедшего
дальнего поля
сложнее
за
счет
слагаемого
Sz,
опре
деленного
в
(10.31).
В
зависимости
от
оптических
свойств
верхнего
и
нижнего
полупространств
это
слагаемое
может
быть
как
вещественным,
так
и
мнимым.
Фактически
в
большинстве
случаев
нижнее
полу
пространство
(подложка)
оптически
плотнее,
чем
верхнее.
В
этой
ситуации
Sz
становится
мнимым
для
углов
в
диапазоне
0=
[7Г
12
...
aITHill('/I1
In"
)],
который
точно
соответствует
рассмотренной
ранее
запре
щенной
зоне
В
этой зоне
экспоненциальный
множитель
в
потенциалах
ф~)
-
Ф~,з)
становится
экспоненциально
убывающей
функцией,
поэтому
при
Zo
»
л
свет
не
проникает
в
запрещенную
зону.
С
другой
стороны,
как
мы
увидим
в
следующем
разделе,
в
диапазоне
углов
()
= [arcsill(ll)/ll
n
)
...
7Г]
(разрешенная
зона)
излучение
диполя
не
зависит
от
высоты
диполя.
10.7.
Диаграмма
направленности
излучения
В
дальнем
поле
вектор
магнитного
поля
ортогонален
вектору
электрического
поля
и
усредненный
по
времени
вектор
Пойнтинга
рассчитывается
как
(8) =
-21
Re
(Е
х
Н*)
=
-21
J
!OOCj
(Е· Е*)
n
r
,
/-to/-tj
(10.41)
где
n"
-
единичный
вектор,
ориентированный
в
радиальном
направлении.
Излу
ченная
мощность
в
расчете
на
элементарный
телесный
угол
dП
= sin
(}d(}dф
дается
равенством
(10.42)
где
р(Щ
=
р(О,
ф)
определяет
диаграмму
излучения.
Пользуясь
выражением
для
дальнего поля
(10.32)
и
соответствующими
потенциалами,
сразу
выписываем
норми
рованную
диаграмму
направленности
излучения:
р(О.ф)
_ 3
Е}
111
1
[2
..
2(}lф(I)1
2
+
--
-
----.,
J.L.SШ
Р
О
871'
ЕI
11)
1111-
- 1
+
[JI,
('ОН
Ф
+
J.ly
sin
ф]2
соэ
2
()
Iф)2)
12
+
[J.Lз
sin
Ф
-
ру
соэ
ф]2I
Ф
;З)
12
-
J.lZ[J.LL
соsф
+
J.Ly
siпф]
cosOsin(}
(ф;(1)ф)2)
+
фУ)ф;(2»)].
(10.43)
Здесь
Ро
соответствует
полной
скорости
рассеяния
энергии
в
однородной
(безгра
ничной)
среде,
характеризующейся
е)
и
Р)
(см.
(8.71)).
Первое
слагаемое
в
скобках
в
(10.43)
содержит
вклад
р-поляризованного
поля
вертикально
ориентированного
диполя,
тогда
как
второе
и
третье
слагаемые
содержат
вклады
р-
и
в-поляризованного