Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
11.2
Оптические
м.икрорезонаторы
343
ды
представлены
вертикальными
линиями,
высота
которых
указывает
добротность
в
логарифмическом
масштабе.
Сплошные
линии
соответствуют
ТЕ-модам,
штрихо
вые
-
ТМ-модам.
Когда
все
[-моды
построены
на
одной
оси,
формируется
густая
гребенка
мод.
Далее,
поскольку
азимутальные
моды
(число
т)
вырождены,
каж
дая
l-мода
состоит
из
множества
субмод.
Вырождение
снимается
геометрической
асимметрией
или
несовершенством
материала,
что
при
водит
даже
к
большим
часто
там
мод.
Расчет
величины
Q
относится
только
к
потерям
на
излучение.
Для
микросфер
с
диаметром
а
>
500
мкм
величина
Q
должна
превышать
1020,
однако
наибольшие
измеренные
значения
Q
составили
величину
из
порядка
1010,
что
указывает
на
то,
что
добротность
ограничивают
другие
факторы,
такие
как
шероховатость
поверхно
сти,
ее
загрязнение
или
деформации.
Учесть
эти
факторы
можно,
определив
полную
добротность
конкретного
микрорезонатора
как
_1
__
J.-
+
_1_
Qtot
- Q
Quth.,
'
(11.38)
где
Q -
радиационно
ограниченная
расчетная
добротность,
а
Q"lhcr
относится
ко
всем
другим
вкладам
в
добротность.
Обычно
величиной
Q
можно
пренебречь
в
сравнении
с
Qolheг.
Вблизи
резонанса
с
угловой частотой
""о
электрическое
поле
имеет
вид
Е(
t) =
Е
о
ехр
[
(i""o
-
2~~ot)
t]
,
(11.39)
и
плотность
запасенной
энергии
принимает
форму
лоренцевской
кривой:
~V«I("")
=
YJ~,
~",(YJO)
.)'
4Qiot
(У;
-
YJO)
+ (
YJ
o/2Qtot)-
(11.40)
Структура
мод
микросферы
обусловливает
дискретную
фотонную
плотность
состояний
р,
как
качественно
показано
на
рис.
11.9.
Величина
(J
зависит
от
p(YJ)
- --
Рис
11
9
Фотонная
плотность
состояний
микросферы
(сплошная
линия)
и
свободного
про
странства
(штриховая
линия)
В
микросфере
вся
энергия
сконцентрирована
в
узких
частотных
окнах
отдельных
резонансных мод
положения
диполя
относительно
микросферы
и
ориентации
дипольного
перехода
(см.
разд.
8.4.3)
Эффективный
перенос
энергии
между
молекулами
и
другими
квантовыми
системами
может
быть
совершен
в
узких
частотных
диапазонах
от
дельных
резонансных
мод.
Время
жизни
возбужденного
состояния
молекулы
сильно
сокращается, если
частоты
ее
излучения
совпадают
с
частотой
резонансной
моды
С
другой
стороны,
время
жизни
может
быть
радикально
продлено,
если
частота
излучения
находится
между
частотами
двух
мод.
Если
полоса
частот
излучения
молекулы
охватывает
несколько
собственных
частот,
спектр
флуоресценции
будет
344
Гл.
J
J.
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
состоять
из
неСКОJ1ЬКИХ
J1ИНИЙ.
То
же
справеДJ1ИВО
ДJ1Я
спектра
ПОГJ10щения.
Таким
образом,
спектры
ИЗJ1учения
и
ПОГJ10щения
в
свободном
пространстве
предстаВJ1ены
дискретным
спектром
мод
микрорезонатора.
ПОСКОJ1ЬКУ
пере
нос
энергии
между
МОJ1еКУJ1ами
зависит
от
перекрытия
спектров
ИЗJ1учения
и
ПОГJ10щения
(см.
разд.
8.6.2),
на
первый
ВЗГJ1ЯД
можно
ожидать,
что
эффективность
переноса
энергии
в
микрорезонаторе
ИJ1И
вБJ1ИЗИ
него
снижается,
потому
что
перекрытие
диапазонов,
связанное
с
узкими
J1ИНИЯМИ
мод,
радикаJ1ЬНО
снижено
в
сравнении
со
СJ1учаем
свободного
пространства.
Однако
ДJ1Я
высокодоб
ротных
резонаторов
такого
эффекта
не
наБJ1юдается,
ПОСКОJ1ЬКУ
ПJ10ТНОСТЬ
состояний
на
частоте
резонансной
моды
так
высока,
что
интеграJ1
перекрытия
становится
гораздо
БОJ1ьше,
чем
в
свободном
пространстве,
несмотря
на
БОJ1ее
узкую
ПОJ10СУ
частот.
Арнольд
с
сотрудниками
показаJ1И,
что
перенос
энергии
в
микросфере
может
быть
на
несколько
порядков
эффективнее,
чем
в
свободном
пространстве
[8J,
это
делает
микросферы
многообещающими
кандидатами
на
роль
переносчика
энергии
на
даJ1ьние
расстояния.
Микросферы
ИСПОJ1ЬЗУЮТСЯ
в
таких
ПРИJ10жениях,
как
био
сенсоры,
оптические
переКJ1ючатеJ1И
и
КЭД-резонаторы.
Уже
в
БJ1ижайшее
время
можно
ожидать
ПОЯВJ1ения
множества
иных
экспериментов,
таких
как
двухфотонный
перенос
энергии,
и
новых
захватывающих
реЗУJ1ьтатов.
Задачи
11.1.
Рассмотрите
одномерный
фотонный
кристаJ1J1,
ИЗГОТОВJ1енный
из
двух
чере
дующихся
ДИЭJ1ектрических
СЛ0ев,
которые
оБJ1адают
ДИЭJ1ектрическими
про
ницаемостями
<:!
и
<:2
и
имеют
ТОJ1ЩИНЫ
d!
и
d
2
соответственно.
Выведите
характеристическое
уравнение
ДJ1Я
ТЕ-
и
ТМ-мод.
Постройте
дисперсионные
кривые
k
1
(w)
ДJ1Я
<:!
= 17,88,
<:2
= 2,31
и
d
2
/d!
=
2/3.
11.2.
Оцените
ДJ1ИНУ
волны
наиБОJ1ее
добротной
моды
микросферы
радиуса
а
=
= 50
мкм
С
ДИЭJ1ектрической
проницаемостью
<:
= 2,31.
ОпредеJ1ите
межмодовое
расстояние
~Л.
11.3.
ДJ1Я
микросферы
с
<:
= 2,31
постройте
ЧИСJ1енно
правые
части
равенств
(11.33)
и
(11.34)
в
КОМПJ1ексной
ПJ10СКОСТИ
ka.
ПОJ10ЖИВ
номер
УГЛ0ВОГО
момента
рав
ным
1 = 1
О,
оцените
веJ1ИЧИНУ
ka
ДJ1Я
мод
с
радиаJ1ЬНЫМИ
номерами
v =
1,
2
и
3.
Список
литературы
Joannopoulos J D , Meade R
D.,
and Winn
J.
N., Photonic Crystals - Princeton Princeton
University Press. 1995.
2
Joannopoulos J
D.
Vllleneuve
Р.
R., and
Раn
5 Photonic crystals putting
а
new
twist
оп
light//Nature
1997
У.386
У.143-149.
3 Vlasov
У
А
,
Во
Х
Z , Sturm J
С
, and Norris
D.
J On-chip
natuгal
assembly
of
silicon
photonlC
bandgap crystals
//
Nature
2001
V 414.
Р
289-293.
4
Floquet G
Suг
les equations differentielles linearies
а
coeffcients periodiques / /
Апп
EcoleNurm Sup
1883
V
12
Р
47-88.
5
Bloch F Uber
die
Quantenmechanik der Elektronen
in
Kristallgittern / /
Z.
Phys
1929
V
52
Р
555-600
6 Moreno
Е.,
Erni
D,
and Hatner
Ch.
Modeling
of
discontinuities
in
photonic crystal waveg-
uides with the multiple multipole method / /
Phys
Rev
Е
2002.
У.66
Р
036618.
7 Painter
О
J.,
Husain
А
. Scherer
А
..
et
а/.
Two-dimensional photonic crystal defect laser / /
Lightwave Technol 1999.
V
17
Р
2082-2089.
11.2
Список
литературы
345
8.
Arnold S , Hollder S., and Druger S D
in
Optical Processes
in
Microcayities Chang R
К
and
Сатрillо
А
J., eds, Adyanced Series
in
Applied Physics, yol.3 - Singapore
World
SCientific, 1996.
9.
Bohren
С
а.
and
НиПтаn
D.
R Absorption and Scattering
of
Light
Ьу
Small Particles -
New
York
John Wiley, 1983.
10
Nussenzveig
Н.М
Diffraction Effects
in
Semiclassical Scattering. - Cambridge Cambridge
Uniyersity
Press, 1992
11
Johnson
В
R Theory
оС
morphology-dependent resonances shape resonances and width
formulas
//Opt
Soc
Ат.
А
1993. V
10
Р
343-352
Глава
12
ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ПЛА3МОНЫ
Взаимодействие
электромагнитного
излучения
с
металлами
в
значительной
сте
пени
определяется
свободными
электронами
проводимости.
Согласно
простой
модели
Друде
свободные электроны колеблются
с
отставанием
по
фазе
на
1800
по
отноше
нию
к
вынуждающему
электрическому
полю.
Как
следствие,
большинство
металлов
имеет
отрицательную
диэлектрическую
проницаемость
на
оптических
частотах,
что
проявляется,
например,
в
их
высокой
отражательной
способности.
Взаимодействуя
с
электромагнитным
полем
оптического
диапазона,
газ
свободных
электронов
в
металле
может
поддерживать
колебания
поверхности
и
объемной
плотности
заряда.
Эти
колебания
заряда,
имеющие
определенные
резонансные
частоты,
называются
плазмонными
поляритонами
или
плазмонами.
Существование
плазмонов
-
характер
ная
особенность
взаимодействия
света
с
металлическими
наноструктурами.
В
другом
спектральном
диапазоне,
прибегая
к
масштабной
инвариантности
уравнений
~aKC
велла,
аналогичное
поведение
воспроизвести
непросто,
поскольку
материальные
па
раметры
существенно
меняются
в
зависимости
от
частоты.
Это
означает,
в
частности,
что
модельные
эксперименты,
например
с
СВЧ-излучением
и
соответственно
боль
шими
по
размеру
металлическими
структурами,
не
могут
заменить
экспериментов
с
металлическими
наноструктурами
на
оптических
частотах.
Колебания
поверхностной
плотности
зарядов,
связанные
с
поверхностными
плазмонами
на
границе
раздела
металл-диэлектрик, приводят
к
сильному
увеличению
оптических
ближних
полей,
которые
пространственно
локализованы
вблизи
поверхности
металла.
Аналогичным
образом,
если
электронный
газ
ограничен
трехмерным
объемом,
как
в
случае
малых
по
сравнению
с
длиной
волны
частиц,
полное
смещение
электронов
по
отношению
к
положительно
заряженной
решетке
порождает
возвращающую
силу,
которая
в
свою
очередь
приводит
к
специфическим
плазмонным
резонансам,
зависящим
от
геомет
рии
частицы.
В
частицах
подходящей
(обычно
указанной)
формы
может
наблюдаться
экстремальное
локальное
скопление
заряда,
сопровождающееся
значительным
уси
лением
локального
поля.
Исследование
оптических
явлений,
относящихся
к
электромагнитному
откли
ку
металлов,
недавно
получило
называние
nлазмонuкu
или
наноnлазмонuкu
1).
Эта
быстро
развивающаяся
область
нанонауки
сосредоточена,
главным
образом,
на
управлении
оптическим
излучением
на
субволновом
масштабе.
В
последние
годы
было
осуществлено
много
инновационных
разработок
в
области
приложений
к
оптике
металлов,
и
в
этой
главе
мы
рассмотрим
некоторые
из
них.
Поскольку
взаимодей
ствие
света
с
металлами
в
значительной
степени
обусловлено
зависимостью
ди
электрической
проницаемости
металла,
которая
является
комплексной
величиной,
от
частоты
излучения,
мы
начнем
с
обсуждения
основных
оптических
свойств
металлов.
Затем
обратимся
к
важным
р~шениям
уравнений
~аксвелла
для
структур
из благо
родных
металлов
-
для
плоской
границы
раздела
металл-диэлектрик
и
нанопровод
никам
и
частицам,
демонстрирующим
субволновое
резонансное
поведение.
Там,
где
1)
См
также
Климов
В
В.
Наноплазмоника
-
М
..
Физматлит,
2009
-
480
с
-
При
Л1.е'l
ред
12 1
Оптические
свойства
благородных
металлов
347
это
уместно,
обсуждаются
приложения
поверхностных
плазмонов
к
нанооптике.
Так
как
наноnлазм.онuка
-
область
весьма
активных
исследований,
можно
ожидать,
что
уже
в
ближайшие
годы
в
этой
области
будут
реализованы новые
разработки
и
опуб
ликованы
соответствующие
труды.
В
заключение
следует
отметить, что
аналогичные
обсуждающимся
здесь
оптическим
явлениям
эффекты
также
имеют
место
при
взаи
модействии
инфракрасного
излучения
с
полярными
материалами.
Соответствующие
возбуждения
называются
поверхностными
плазмонами-поляритонами.
12.1.
Оптические
свойства
благородных
металлов
Оптические
свойства
металлов
и,
в
частности,
благородных
металлов
многократ
но
рассматривались
в
литературе
([1-3]),
поэтому
при
ведем
здесь
лишь
краткие
сведения,
уделяя
внимание,
в
основном,
классической
картине
соответствующих
физических
явлений.
Оптические
свойства
металлов
можно
описать
комплексной
диэлектрической
проницаемостью,
которая зависит
от
частоты
света
(см. гл
2).
Свойства
эти
определены,
главным
образом,
двумя
обстоятельствами:
(О
электроны
проводимости
могут
свободно
перемещаться
внутри
объема
проводника
и
(ii)
если
энергия
фотона
превосходит
величину
запрещенной
зоны
соответствующего
металла,
то
могут
иметь
место
межзонные
возбуждения.
В
принятой
здесь
картине
наличие
электрического
поля
при
водит
к
перемещению
г
электрона,
которое
связано
с
ди
польным
моментом
согласно
равенству:
11
=
ег.
Суммарный
эффект
от
отдельных
дипольных
моментов
всех
свободных
электронов
проявляется
в
макроскопической
поляризации
на
единицу
объема:
Р
=
Щ1,
где
n -
число
электронов
в
единице
объема.
Как было
сказано
в
гл.
2,
макроскопическую
поляризацию
можно
выразить
в
виде
(12
1)
Из
(2.6)
и
(2.15)
имеем
D(LV)
=
eoe(LV)E(LV)
=
eOE(LV)
+
P(LV).
( 12.2)
Отсюда
получаем
зависящую
от
частоты
диэлектрическую
проницаемость
металла
(12.3)
Перемещение
г
и,
следовательно,
макроскопическую
поляризацию
Р
и
\,
можно
получить,
решив
уравнение
движения
электронов
под
действием
внешнего
поля
12.1.1.
Теория
Друде-30ммерфеJIьда.
Для
начала
рассмотрим
поведение
сво
бодных
электронов,
применив
теорию
Друде-Зоммерфельда
к газу
свободных
элек
тронов
(см.,
например,
[5]):
Ef2r
г
дг
Е
-/v.Jt
(124)
т"
at
2
+
те
at
=
е
ое
, .
где
е
и
те
-
заряд
и
эффективная
масса
свободных
электронов,
а
Е
о
и
LV
-
амплитуда
и
частота
приложенного
электрического
поля
Заметим,
что
уравнение
движения
не
содержит
возвращающей
силы,
поскольку
электроны
рассматриваются
как
свободные.
Ответственное
за
релаксацию
слагаемое
пропорционально
Г
=
"F
/1,
где
VF -
скорость
Ферми,
а
1 -
длина
свободного
пробега
электрона.
Решая
(12.4)
с
помощью
замены
г
=
гое-iv.Jt
и
подставляя
результат
в
(12.3),
получаем
у}
eDrude(LV) = 1 - 2
Р
,
iJJ
+lriJJ
(125)
348
Гл.
12
Поверхностные
nлазмоны
плазменная
частота.
Выражение
(12.5)
можно
разделить
на
вещественную
и
мнимую
части:
2
Г
2
(
)
_ 1
c.v
p
.
c.v
p
f:Dгude
UJ
- -
-2
--2
+ Z 2
2·
UJ
+
Г
c.v(c.v
+
Г)
(12.6)
На
рис.
12.1
построены вещественная
и
мнимая
части
диэлектрической
проницае
мости
(12.6)
как
функции
длины
волны
расширенного
видимого
диапазона
для
~Dlude
з
2
1
---
..
.........
.........
,-
,-'-
..
......
Im(~)
,-
,-
,-
,-
о
F==::::==:=-:ffir}~-R6ruОО1~-"'""""l8mооn~~""1il0nCОin10
Длина
волны
[нм]
-20
-40
Рис
12.1
Вещественная
и
мнимая
части
диэлектрической
проницаемости
золота
согласно
мо
дели
свободных
электронов
Друде-30ммерфельда
(c.vp
= 13,8·1015
c-
I
И
Г
= 1,075·1014
c-
I
).
Вещественная
часть
обозначена
сплошной
линией,
мнимая
-
штриховой
Отметим
различие
масштабов
вещественной
и
мнимой
частей
значений
UJ
p
= 13,8· 1015
с-
1
И
Г
= 1,075· 1014
с-
1
,
характерных
для
золота
[4].
Отметим,
что
вещественная
часть
диэлектрической
проницаемости
-
отрицательная
величина.
Очевидное
следствие
такого
поведения
состоит
в
том,
что
свет
может
проникнуть
в
металл
лишь
на
очень
малую
глубину,
поскольку
отрицательная
часть
диэлектрической
проницаемости
приводит
к
наличию
значительной
мнимой
части
показателя
преломления
n =
.jё.
Другие
следствия
обсудим
позднее.
Мнимая
часть
f:
описывает
поглощение
энергии,
связанное
с
движением
электронов
в
металле
(см.
задачу
12.1).
12.1.2.
Межзонные
переходы.
Хотя
модель
Друде-30ммерфельда
довольно
точно
описывает
оптические
свойства
металлов
в
инфракрасном
диапазоне,
ее
необ
ходимо
дополнить
видимой
областью,
приняв
во
внимание
отклик
связанных
элек
тронов.
Например,
на
длинах
волн,
меньших
550
нм
измеренная
мнимая
часть
диэлектрической
проницаемости
золота
возрастает
гораздо
быстрее,
чем
предсказы
вает
теория
Друде-30ммерфельда.
Причина
состоит
в
том,
что
высокоэнергетичные
фотоны
могут
перевести
в
зону
проводимости
электроны
из
нижележащих
зон.
В
классической
картине
такой
переход
можно
описать
возбуждением
колебаний
связанных
электронов.
Связанные
электроны
существуют
в
металлах,
например
в
нижележащих
оболочках
атомов.
Для
описания
отклика
связанных
электронов
применим
тот
же
метод,
который
выше
использовали
для
свободных
электронов.
Уравнение
движения
для
связанных
электронов
имеет
вид
{ir
ar
Е
-iwt
т
де
+
т'У
at
+
аг
=
е
ое
,
(12.7)
12.1
Оптические
свойства
благородных
металлов
349
где
m -
эффективная
масса
связанного
электрона,
которая
в
общем
случае
отличает
ся
от
эффективной
массы
электрона
в
периодическом
потенциале,
'у
-
коэффициент
релаксации,
описывающий,
главным
образом,
радиационную
релаксацию
в
случае
связанных
электронов,
а
Q -
постоянная
упругости
потенциала,
удерживающего
электрон
на
своем
месте.
Используя
ту
же
подстановку,
что
и
в
предыдущем
случае,
находим
вклад
связанных
электронов
в
диэлектрическую
проницаемость:
-2
€lnterband
(c.v)
= 1 +
(2
'-<.1;)
,
'-<.10
-
'-<.1
-
Z'Y'-<.I
(12.8)
где
W
p
=
Jne
2
/(m€o), n -
плотность
связанных
электронов,
а
c.vo
= Jo/'III.
Часто
та
W
p
введена
по
аналогии
с
плазменной
частотой
в
модели
L{руде-30ммерфельда,
однако
очевидно,
что
физический
смысл
ее
иной.
Теперь
мы
можем
переписать
(12.8),
разделив
вещественную
и
мнимую
части:
-2(
2 2)
-2
(
)
_ 1
'-<.I
p
'-<.10
-
'-<.1
'Y'-<.Ip'-<.l
€lnterband
c.v
- +
(2
2)2 2 2 + Z
(2
2)2 2
2·
'-<.10-'-<.1
+'Y'-<.I
'-<.10-'-<.1
+'Y'-<.I
(12.9)
На
рис.
12.2
пока
за
н
вклад
связанных
электронов
в
диэлектрическую
проницае
мость
металла.
1)
Явное
резонансное
поведение
наблюдается
для
мнимой
части,
а
для
elnterband
5
4
3
2
-1
...
"
Im(e) I \
"
I \
I
I
I
I
,
I
/
"'--
-----------
600
800
1000
Длина
волны
[н
М]
-2~
____________________________________
~
Рис.
122
Вклад
связанных
электронов
в
диэлектрическую
проницаемость
золота
Использо
ваны
пара
метры
c:;Jp
=
45·
1014
с-
,
'у
=
9·
1014
c-
I
,
>.
= 450
нм
и
'-<.10
=
21ГС/
>.
Вещественная
часть
диэлектрической
проницаемости,
обусловленная
связанными
электронами,
обозначена
сплошной
линией,
мнимая
-
штриховой
вещественной
поведение,
напоминающее
дисперсию.
На
рис.
12.3
представлен
график
диэлектрической
проницаемости
золота
(вещественной
и
мнимой
частей),
взятый
из
статьи
L{жонсона
и
Кристи
[6].
На
длинах
волн
больше
650
нм
пове
дение
диэлектрической
проницаемости
явно
следует
теории
L{руде-30ммерфельда
На
длинах
волн
менее
650
нм
очевидно
начинают
играть
роль
межзонные
переходы.
Можно
попробовать
смоделировать
форму
кривой,
объединяя
вклады
свободных
электронов
(12.6)
и
межзонного
поглощения
(12.9)
в
комплексную
диэлектрическую
проницаемость
(складывая
их
квадраты).
Разумеется,
результат
будет
гораздо
лучше
1)
Эта
теория
может
быть
естественным
образом
обобщена
на
взаимодействие
излучения
с
диэлектриками.
Диэлектрический
отклик
в
широком
диапазоне
частот
состоит
из
нескольких
полос
поглощения,
относящихся
к
различным
резонансам,
возбуждаемым
электромагнитным
образом
[2]
-
Прuмеч
авт.
350
2
1
400
Гл
12
Поверхностные
nлаЗJ40НЫ
о
Джонсон
И
Кристи
Теория
600
800
1000 1200
Длина
волны
[нм]
lO..-----------------------.
800
1000 1200
-10
Длина
волны
[нм]
~
-20
Q)
~
-:ю
-40
-50
-ею
Рис
123
Диэлектрическая
проницаемость
золота
экспериментальные
значения
и
результат
моделирования
Верхний
график'
мнимая
часть.
нижний
график
-
вещественная
часть
Окружностями
обозначены
экспериментальные
значения,
взятые
из
[6]
Квадратами
отмечены
значения.
рассчитанные
с
учетом
вкладов
свободных
электронов
и
единственного
межзонного
перехода
Отметим
различие
масштабов
на
осях
абсцисс
воспроизводить
экспериментальные
данные.
за
исключением
Toro
факта, что
при
дется
в
формуле
(12.9)
вводить
постоянное
смещение
еж
=
6,
которое
учитывает
интегральное
влияние
всех
высокоэнергетичных
межзонных
переходов,
не
рассмат
ривавшихся
в
настоящей
модели
(см.,
например,
[7]).
Также,
поскольку
во
внимание
принимается
лишь
один
межзонный
переход,
модельная
кривая
по-прежнему
не
совпадает
с
экспериментальными
данными
на
длинах
волн
меньше
500
нм.
12.2.
Поверхностные
плазмоны-поляритоны
на
плоских
границах
раздела
По
определению
поверхностный
плазмон
есть
квант
колебания
поверхностной
плотности
зарядов,
но
эта
же
терминология
обычно
при
меняется
для
коллективных
колебаний
электронной
плотности
на
поверхности
металлов.
Колебания
поверхност
Horo
заряда
естественно
связаны
с
электромагнитными
волнами,
что
и
объясняет
их
наименование
-
поляритоны.
В
этом
разделе
мы
рассмотрим
плоскую
границу
между
двумя
средами.
Одна
среда
в
целом
характеризуется
зависящей
от
частоты
комплексной
диэлек
трической
проницаемостью
е\
(W),
тогда
как
диэлектрическая
проницаемость
второй
12.2
Поверхностные
nлазмоны-nоляритоны
на
плоских
границах
раздела
351
среды
c2(w)
предполагается
вещественной.
Выберем
такую
декартову
систему
коор
динат,
в
которой
граница
раздела
сред
совпадает
с
плоскостью
z =
О
(см.
рис.
12.4).
Будем
искать
локализованные
у
границы
раздела
однородные
решения
уравнении
Рис
124.
Граница
раздела
сред
1
и
2
с
диэлектрическими
проницаемостями
.01
и
=~
Граница
раздела
совпадает
с
плоскостью
z =
О
декартовой
систеМbI
координат.
В
каждом
полупро
странстве
рассматриваем
только
одну
р-поляризованную
волну.
поскольку
ищем
однородные
решения,
экспоненциально
затухающие
по
обе
СТОРОНь!
от
граНИЦbl
раздела
Максвелла.
Однородное
решение
есть
собственное
колебание
системы,
т.
е
решение,
существующее
без
внешнего
возбуждения.
С
математической
точки
зрения
это
решение
однородного
волнового
уравнения
'-'}
v'
х
V'
х
E(r,w)
-
~с(г,w)Е(г,w)
=
о,
с-
(12.10)
где
c(r,w) = cl(w),
если
z <
о,
и
c(r,w) =
c2(w),
если
z >
о.
Локализация
у
границы
раздела
характеризуется
электромагнитным
полем,
которое
экспоненциально
зату
хает
с
ростом
расстояния
в
обе
стороны
от
границы
раздела.
При
этом
достаточно
рассмотреть
только
р-поляризованные
волны
в
обоих
полупространствах,
поскольку
в
случае
s-поляризации
решения
не
существует
(см.
задачу
12.2).
В
полупространствах
J = 1
и
j = 2
р-поляризованную
волну
можно
записать
в
виде
(
Ej.;r
) .
E
j
=
~
elk"x-tOJfе'kJzz,
j=I,2.
E
J
.
z
(12
11)
Соответствующая
ситуация
представлена
на
рис.
12.4.
Поскольку
касательная
к
гра
нице
раздела
компонента
волнового
вектора
непрерывна
(см.
гл.
2),
проекции
волно
вого
вектора
связаны
равенством
k
2
+ k
2
-
~
.1,:2
. 1 2
х
j.z
-
-)
, J = , ,
(12.12)
где
k =
27Г
/
л,
а
л
-
длина
волны
в
вакууме.
Используя
тот факт,
что
поля
электри
ческой
индукции
в
обоих
полупространствах
не
имеют
источников,
т
е.
V'. D =
О.
приходим
К
равенству
j =
1,2,
(12.13)
которое
позволяет
переписать
(12.11)
следующим
образом:
Е
з
=
Ej.T
(
Ь
) e
1kJZ
",
J =
1,
2.
-kz:/k].Z
(12.14)
352
Гл
12
Поверхностные
nлазмоны
Множитель
е,А:,~-tu)t
опущен
для
упрощения
записи.
Равенство
(12.14)
особенно
полезно,
когда
рассматривается
система
стратифицированных
слоев
(см.,
например,
[81,
с.40,
и
задачу
12.4).
Коль
скоро
(12.12)
и
(12.13)
налагают определенные
условия
на
поля
в
соответствующих
полупространствах,
необходимо
согласовать
поля
на
границе
раздела,
используя
граничные
условия.
Требование
непрерывности
касательных
компонент
Е
и
нормальных
компонент
D
приводит
к
другой
системе
уравнений'
Еl,х
-
Е2,х
=
О,
(12.l5)
t:lEl,z
- t:2E2,z =
О.
Уравнения
(12.l3)
и
(12.15)
представляют
собой
однородную
систему
четырех
урав
нений
относительно
четырех
неизвестных
компонент
поля.
Условие
существования
решения
такой
системы
состоит
в
равенстве
нулю
соответствующего
определителя.
Последний
равен
нулю
в
двух
случаях:
если
k
x
=
О,
но
это
равенство
не
описывает
возбуждения
вдоль
границы,
или
если
(12.l6)
Последнее
равенство
в
сочетании
с
(12.12)
и
(12.13)
приводит
к
дисперсионному
соотношению,
т.
е.
к
соотношению
между
волновым
вектором,
указывающим
направ
ление
распространения,
и
угловой
частотой
"-1:
2
k2
_
E:tE:2
k2
_
E:tE:2
"-1
(12.17)
х
-
Е:!
+
Е:2
-
Е:!
+
Е:2
71'
Также
получаем
выражение
для
нормальной
компоненты
волнового
вектора:
2
k
~
=
~k2
. 1 2
, J = , .
J,Z
Е:!
+
Е:2
(12.18)
Получив
(12.17)
и
(12.l8),
мы
можем
рассмотреть
условия
существования
по
верхностных
волн.
Для
простоты
предположим,
что
мнимые
части
диэлектрической
проницаемости
малы
по
сравнению
с
вещественными,
поэтому
ими
можно
прене
бречь.
Более
детальное
обсуждение,
выходящее
за
рамки
этого
предположения,
проведем
позднее
(см.
также
[81).
Итак,
нас
интересуют
поверхностные
волны,
рас
пространяющиеся
вдоль
границы
раздела.
Существование
таких
волн
возможно,
если
величина
k~.
является
вещественной.
Согласно
(12.17)
это
условие
будет
выполнено,
если
сумма
и
произведение
диэлектрических
проницаемостей
имеют
одинаковые
зна
ки.
Чтобы
получить
«связанное»
решение,
потребуем,
чтобы
нормальная
компонента
волнового
вектора
была
чисто
мнимой
в
обеих
средах,
что
при
водит
к
экспонен
циальному затуханию
решения
по
обе
стороны
от
границы
раздела.
Достичь
этого
можно
только
в
том
случае,
когда
сумма
в
знаменателе
(12.l8)
отрицательна,
Отсюда
заключаем,
что
условия
существования
поверхностной
волны
имеют
вид
еl
("-1)
.
t:2("-I)
<
О,
еl
("-1)
+
t:2("-I)
<
О.
(12.l9)
(12.20)
Это
означает.
что
диэлектрическая
проницаемость
одной
из
сред
должна
быть
отрицательной,
а
модуль
ее
должен
превышать
значение
диэлектрической
проницае
мости
второй
среды.
Как
было
показано
в
предыдущем
разделе,
металлы
(особенно
благородные
металлы,
такие
как
золото
и
серебро)
обладают
комплексной
диэлек
трической
проницаемостью
с
малой
мнимой
частью
и
большой
по
модулю
отрица
тельной
вещественной
частью.
Поэтому
на
границе
раздела
благородного
металла
и
диэлектрика
(например,
стекла
или
воздуха)
могут
существовать
локализованные