Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики
Подождите немного. Документ загружается.
Глава
11
ФОТОННЫЕ
КРИСТАЛЛЫ
И
РЕЗОНАТОРЫ
В
последние
годы
искусственные
материалы
и
структуры
позволили
наблю
дать
в
экспериментах
множество
новых
оптических
эффектов.
Например,
фотонные
кристаллы
способны
запрещать
распространение
света
на
определенных
частотах
и
предоставляют
уникальную
возможность
и
проводить
его
вокруг
очень
плотных
границ
и
вдоль
узких
каналов.
Высокая
интенсивность
поля
в
оптических
микрорезо
наторах при
водит
к
нелинейным
оптическим
эффектам,
которые
важны
для
развития
интегральной
оптики.
В
данной
главе
обсуждаются
базовые
принципы,
лежащие
в
основе
новых
оптических
структур.
Более
детальный
обзор
читатель
может
найти
в
статьях
и
книгах,
ссылки
на
которые
мы
приводим
в
списке литературы.
11.1.
Фотонные
кристаллы
Фотонные
кристаллы
-
это
материалы,
диэлектрическая
проницаемость
которых
обладает
пространственной
периодичностью.
При
определенных
условиях
фотонные
кристаллы
могут
образовывать
фотонную
запрещенную
зону,
т.
е.
диапазон
частот.
в
котором
распространение
света
в
кристалле
запрещено.
Распространение
света
в
фотонных
кристаллах
подобно
распространению
электронов
и
дырок
в
полупровод
никах.
Проходящий
через
полупроводник
электрон
движется
в
поле
периодического
потенциала,
образованного
периодической
атомной
решеткой.
Взаимодействие
между
электроном
и
периодическим
потенциалом
приводит
к
образованию
запрещенных
зон,
и
электрон
не
может
пройти
сквозь
кристалл,
если
его
энергия
попадает
в
область
запрещенной
зоны.
Однако
дефекты
периодичности
решетки
могут
ло
кально
разрушить
запрещенную
зону
и
придать
материалу
интересные
электронные
свойства.
Если
заменить
электрон
фотоном,
а
атомную
решетку
-
материалом
с
периодической
диэлектрической
проницаемостью,
в
конечном
счете
получим
те
же
эффекты.
Однако
в
то
время
как
атомы
располагаются
естественным
образом,
фор
мируя
периодическую
структуру,
фотонные
кристаллы
должны
быть
изготовлены
в
специальных
условиях.
Исключение
представляет
опал,
который
сформирован
при
самопроизвольной
организации
коллоидных
кварцевых
сфер
в
кристаллическую
решетку.
Чтобы
частица
взаимодействовала
с
периодическим окружением, длина
ее
волны
должна
быть
сравнима
с
периодичностью
решетки.
Поэтому
в
фотонных
кристаллах
постоянная
решетки
должна
лежать
в
пределах
от
100
нм
до
1
мкм.
Этот
диапазон
может
быть
достигнут
при
помощи
общепринятых
методов
изготовле
ния
наноструктур
или
при
помощи
самосборки
(см.
рис.
11.1)
Чтобы
рассчитать
оптические
моды
фотонного
кристалла,
необходимо
решить
уравнения
~аксвелла
в
периодической
диэлектрической
среде.
И
хотя
эта
задача
гораздо
проще,
чем
расчет
движения
электрона
в
полупроводнике
с
учетом
многоча
стичного
взаимодействия,
уравнения
~аксвелла
для
двух-
или
трехмерных
решеток
решить
аналитически
не
удается.
Более
того,
к
решению
следует
привлечь
числен
ные
методы.
Однако
много
интересных
явлений
можно
обнаружить,
рассматривая
простейший одномерный
случай,
т.
е.
периодическую
слоистую
среду.
Понимание
простой
задачи
и
развитая
на
этом
примере
интуиция
помогут
нам
рассмотреть
ЗЗ4
Гл.
11
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
Рис
11
1
Кварцевые
фотонные
кристаллы
с
запрещенной
зоной
Шаблон,
изготовленный
из
кварцевых
сфер
диаметра
855
нм,
расположенных
на
кремниевой
подложке
(а).
Фотонный
кристалл,
полученный
после
заполнения
дефектных
областей
кремнием,
имеющим
высокий
по
казатель
преломления
(6)
Шаблон
удаляется
методом
влажного
травления.
Заимствовано
из
[1]
свойства
двух-
и
трехмерных
фотонных
кристаллов.
Детальный
отчет
о
фотонных
кристаллах
можно
найти
в
[1]
и
[2].
t
{. {. {.
Фотонная
запрещенная
зона.
Рассмотрим
метаматериал,
изготовлен
ный
из
бесконечного
числа
плоских
слоев
толщины
d,
ориентированных
перпен
z
t
..::I;=.2
________
n + 1
1;1
n
1---------
n - 1
I!
1-----;/··
дикулярно
оси
z,
как
показано
на
рис.
11.2.
Предполагается,
что
диэлектрическая
проницае
мость
слоев
чередуется,
принимая
значения
Е")
или
Е"2.
Распространяющиеся
в
материале
оп-
тические
моды
характеризуются
волновым
век
тором
k =
{k;r.,
k
y
,
k
z
}.
в
дальнейшем
будем
Рис
11
2
Одномерный
фотонный
кристалл,
изготовленный
из
беско
нечного
числа
плоских
слоев
толщи-
считать,
что
оба
материала
немагнитные,
т.
е
.
Il) =
J.l2
= 1
и
непроводящие
(без
потерь).
Будем
различать
два
типа
мод:
ТЕ-моды,
вектор
элек
трического
поля
которых
параллелен
границам
между
смежными
слоями,
и
ТМ-моды,
У
ко
торых
границам
параллелен
вектор
магнитного
поля.
Разделение
переменных
приводит
к
сле
дующим
равенствам
для
комплексных
амплитуд
поля:
ТЕ:
E(r)
=
Е(z)еl(krХ+kuУ)пх,
H(r)
=
Н(z)еl(k,.С+kуУ)п
х
,
(11.1)
( 11.2)
ны
11
каждый
ТМ:
в
каждом
слое
11
решение
для
E(z)
и
H(z)
представляет
собой
суперпозицию
прямой
и
обратной
волн,
т.
е
ТЕ:
ТМ:
Е
(z) =
а
'e~~",
(z-nd)
+
Ь е
-11."
(z-nd)
'1.)
n.)
11.)
,
Н
(z)
- e
ik
•.
(z-nd)
+
Ь
e-
tk
•
(:-'Id)
11.)
-
а
n
.)
J
11.)
J ,
(11.3)
(11.4)
где
{/II./
И
Ь',./
-
константы,
зависящие
от
номера
слоя
и
диэлектрической
проницае
мости
этого
слоя
=
/.
Продольное
волновое
число
k
z
,
определяется
в
виде
(
11.5)
//./
Фотонные
кристаллы
335
где
kll
назовем
параллельным
волновым
числом.
Чтобы
найти
константы
а,,,.!
и
Ь".),
запишем
граничные
условия
на
границе
z =
Zn
=
nd
между
n-
и
(n
+ 1
)-слоем'
ТЕ
: E
n
.
1
(zn)
= E
n
+
I
•
2
(Zn),
d d
dz
En.l
(zn) =
dz
En+I.2(z,,),
ТМ:
H
n
.
1
(zn) = H
n
+l.
2
(zn),
1 d 1 d
~
dz
HII
,I(zn)
=
С'2
d
z
HII
+I,2(ZIl)'
(11.6)
(11.7)
(11
8)
(11
9)
Второе
равенство
(11.7)
получаем,
выражая
поперечную
компоненту
магнитного
поля
через
электрическое
поле
с
помощью
уравнения
\7
х
Е
= 1w/I,oH.
Аналогично,
четвертое
уравнение
следует
из
равенства
\7
х
Н
=
-iwсQсl
Е.
Подставляя
граничные
условия
в
равенства
(11.3)
и
(11.4),
получаем
а
+
Ь
а
-Ik
•.
,d
+
Ь
.k,.,,[
n,1
n,1
=
n+I.2
e
--
n+I.2
e
-,
Ь
- [
-,л""d
Ь
ik
o
,
d]
an.1 - n,1 - Рm
an+I.2e
- -
n+I,2e
2 ,
где
Рт
Е
{РТЕ,РтМ}
-
множитель,
зависящий
от
поляризации:
k
Z2
(ТЕ)
k
z
.,
С'l
(ТМ
)
РТЕ
= -
-моды
,
РТМ
=
--
-
-моды
.
k
z,
k
z,
С'2
(11.10)
(11.11)
(11
12)
Таким
образом,
для
данного
типа
мод
мы
получаем
два
уравнения,
но
с
четырьмя
неизвестными,
т.
е.
an.l,
bn.l,
a
n
+I.2
и
b
n
+
I
.2-
Следовательно,
нам
требуется
еще
несколько
уравнений.
Расчет
условий
на
границе
Z =
Zn-I
=
('п
-
l)d
между
(11
- 1)-
и
и-слоями
при
водит
к
равенствам
+
Ь
-
-/k.
d +
Ь
!k.
d
a
n
-I,2
11-1.2 -
an.le
I
".Ie
1,
Ь
- 1 [
-!k.
d
Ь
,IA:.
(1]
a!I-12
-
n-12
- -
а
"
lе
I -
,,1('
I •
, .
Рт'
.
(11.13)
(11.14)
и
хотя
теперь
у
нас есть
четыре
уравнения
для
каждого
типа
мод,
за
счет
появления
G
n
-I,2
И
b
n
-
I
,2
число
неизвестных
также
возросло.
Однако
эти
коэффициенты
можно
выразить
через
a
n
+I,2
и
b
n
+
I
,2
с
помощью
теоремы
Флоке-Блоха
(Floquet-Bloch)
([4], [5]).
Эта
теорема
утверждает,
что
в
периодической
среде
с
периодом
2(1
поле
Е
удовлетворяет
равенству
I
E(z
+
2d)
= e'k
B
2dE(z), I
(11.15)
где
kB
-
еще
не
определенный
волновой
вектор,
называемый
волновым вектором
Блоха.
Аналогичное
выражение
имеет
место
и
для
магнитного
поля
H(z).
Теорему
Флоке-Блоха
можно
рассматривать
как
подстановку,
пробную
функцию
для
нашей
системы
связанных
разностных
уравнений.
При
меняя
теорему,
получаем
[
(1
+
Ь
e-
2i
л,
z
z[Z-(II-I)d]]
=
e'k
B
2d
[а
+
Ь
e-2Ikol[~-(,,-I)(I]]
n+I,2
n+I.2
n-I.2
n-I.2·
.
(11
16)
Поскольку
это
уравнение
должно
выполняться
в
любой
точке
.::,
мы
потребуем,
чтобы
zkB2d
G
n
+I.2
= a
n
-I.2
e
,
Ь
Ь
ZkB2d
n+I,2
=
n-I,2
e
,
(11.17)
(11.18)
при
этом
число
неизвестных сокращается
с
шести
до
четырех,
что
позволяет
решить
однородную
систему
уравнений,
заданную
равенствами
(11.10)-(11.14).
Систему
уравнений
можно
записать
в
матричном
виде,
причем
определитель
матрицы
должен
33б
Гл
11.
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
быть
равен
нулю,
чтобы
обеспечить
существование
решения.
В
итоге
характери
стическое уравнение
примет
вид
cos(2kBd) = cos(kz,d)
cos(kZ
2
d)
-
~
[Рт
+
p~]
sin(kz,d) sin(k
z2
d).
(11.19)
Поскольку
величина
cos(2kBd)
всегда
ограничена
диапазоном
[-1
...
1],
то
решения
не
существует,
если правая
часть
равенства
по
модулю
больше
единицы.
В
этом
слу
чае
отсутствие
решения
приводит
к
формированию
запрещенной
зоны.
К
примеру,
падающая
по
нормали
к
фотонному
кристаллу
с
параметрами
el = 2,25
и
е2
= 9
волна
будет
распространяться
в
кристалле
при
л
=
12d,
но
не
при
л
=
9d
(k
z,
= y'el
v.;
/
С,
k
Z2
= .jfi.v.;/c).
Для
каждого
вектора
Блоха
k
B
можно
найти
дисперсионное
соотношение
v.;(k
ll
).
Если
построить
все
дисперсионные
соотношения
на
одном
графике,
получится
так
называемая
зонная
диаграмма.
2
1.1)
'-'
----
~
1
0.1)
ТМ-моды
ТЕ-моды
О
:J
2 1 1 2 3
Рис
11
3
Зонная
диаграмма
одномерно
го
фотонного
кристалла
Заштрихованные
области
соответствуют
разрешенным
зо
нам
На
диаграмме
представлены
ТЕ-
и
ТМ-моды
В
1D-фотонном
кристалле
не
существует
полностью
запрещенной
зоны,
т
е
не
существует
таких
частот,
при
ко
торых
распространение
света
запрещено
во
всех
направлениях
Использованы
значения
ЕI
=
2,33
(Si0
2
)
и Е2
=
17,88
(IпSЬ)
На
рис.
11.3
приведен
при
мер
такой
диаграммы;
затемненные
области
соот
ветствуют
зонам,
для
которых
разрешено
распространение
света
в
кристалле.
За
метим,
что
распространяющиеся
моды
су
ществуют,
даже
если одно
из
продольных
волновых
чисел
(k
ZJ
)
является
мнимым.
На
краю
зоны
вектор
Блоха
k
B
определя
ется
равенством
kBd
=
тг
/2.
Для
данного
направления
распространения,
характери
зующегося
волновым
числом
kll'
найдется
как
область
частот,
для
которой
распро
странение
в
кристалле
оказывается
воз
можным,
так
и
область
частот,
для
ко
торой
распространение
света
в
кристал
ле
запрещено.
Однако
в
одномерном
кри-
сталле
не
существует
полной
запрещен
ной
зоны,
т.
е.
не
существует
такой
ча
стоты,
при
которой
распространение
света
невозможно
во
всех
направлениях.
Если
распространяющаяся
в
вакууме
волна
на
правлена
на
фотонный
кристалл,
в
нем
могут
возбуждаться
только
те
моды,
вол
новые
числа
kll
которых
меньше,
чем
k =
v.;
/
С.
Пунктиром
на
рисунке
обозначе
но
дисперсионное
соотношение
в
вакуу
ме,
что
позволяет
найти
полностью
запре-
щенные
зоны
внутри
области
k
ll
<
k.
Для
этих
частот
фотонный
кристалл
является
идеальным
зеркалом,
которое
используется
в
технике,
например
для
создания
лазерных
зеркал.
Полностью
запрещенная
зона
может
возникнуть
в
3D-фотонном
кристалле,
при
этом
желательно,
чтобы
диэлектрические
постоянные
составляющих
кристалл
сред
сильно
отличались
друг
от
друга.
Соотношение
объемов
двух
сред
также
играет
важную
роль.
К
сожалению,
дЛЯ
2D-
и
3D-фотонных
кристаллов
аналитическое
ре
шение
получить
нельзя,
но
в
последние
годы
были
развиты
эффективные
численные
методы
11.1.
Фотонные
кристаллы
337
в
полупроводниках
валентная
зона
относится
к
верхней
заполненной
энергетиче
ской
зоне,
электроны
которой
находятся
на
границе
ионного
остова.
Если
электроны
возбуждаются
в
вышележащую
зону,
зону
проводимости,
то
они
делокализуются
и
проводимость
кристалла
резко
возрастает.
Сходная
ситуация
имеет
место
в
фотонных
кристаллах:
зона
под
запрещенной
относится
к
диэлектрической,
а
зона
над
запре
щенной
-
к
воздушн,ой
зон,е.
В
диэлектрической
зоне
оптическая
энергия
заперта
в
материале
с
большей
диэлектрической
проницаемостью,
тогда
как
в
воздушной
зоне
-
с
меньшей.
Таким
образом,
возбуждение
из
одной
зоны
в
другую
переводит
оптическую
энергию
из
оптически
более
плотной
среды
в
оптически
менее
плотную.
Фотонный
кристалл
может
также
оказывать
сильное
влияние
на
интенсивность
спонтанного
излучения
внедренной
квантовой
системы,
такой
как
атом
или
молекула.
Например, возбужденное
состояние
атома
не
сможет
возбудить
моды
излучения.
если
частота
перехода
между
возбужденным
и
основным
состояниями
лежит
в
за
прещенной
зоне
фотонного
кристалла.
В
этом
случае
спонтанное
излучение
строго
запрещено
и
атом
будет
оставаться
в
возбужденном
состоянии
(см.
разд.
8.4)
Как
будет
показано
позже,
локализованный
вблизи
атома
дефект
приводит
к
противопо
ложному
эффекту
и
интенсивность
спонтанного
излучения
значительно
возрастает
11.1.2.
Дефекты
в
фотонных
кристаллах.
Дефекты
в
фотонные
кристаллы
вводят,
чтобы
локализовать
или,
напротив,
пропустить
свет.
Несмотря
на то
что
фотоны
с
энергиями
внутри
запрещенной
зоны
не
могут
распространяться
внутри
кристалла,
они
могут
быть
заперты
в
области
дефекта.
Линейка
дефектов
дает
возможность
создания
волновода:
свет
с
частотой,
лежащей
в
запрещенной
зоне.
может
распространяться
только
вдоль
канала
дефектов,
поскольку
выталкивается
объемным
кристаллом.
Волноводы
в
фотонных
кристаллах
могут почти
без
потерь
транспортировать
свет
вокруг
острых
углов.
Поэтому
фотонные
кристаллические
волноводы
имеют
большое
практическое
значение
для
миниатюризации
оптоэлек
тронных
схем
и устройств.
В
качестве
примера
приведем
рис.
11.4,
на
котором
по-
Рис.
11
4.
Двумерный
фотон
но-кристаллический
диплексор
Волноводный
переключатель
све
та
сформирован
смещением
и
удалением
элементов
Высокочастотное
излучение
отклоняется
влево,
низкочастотное
-
вправо
На
рисунке
показана
интенсивность
света.
рассчитанная
для
UJ
=
О.9561Гс/d
(а)
и
UJ
=
О.8741Гс/d
(6),
где
d -
постоянная
решетки
казан
волноводный
переключатель
света,
созданный
на
основе
фотонного
кристалла
Линия
дефектов
создана
путем
смещения
определенной
части
кристалла
и
удаления
ряда
элементов
[6].
Устройство
функционирует
как
диплексер,
т.
е.
высокочастотное
излучение
отклоняется
влево,
а
низкочастотное
-
вправо.
Чтобы
усовершенствовать
рабочие
характеристики
устройства,
в
область
взаимодействия
следует
внести
допол
нительное
возмущение.
Далее,
фотонно-кристаллические
волноводы
можно
создать.
проделав
в
диэлектрике
воздушные
каналы,
тем
самым
значительно
снизив
диспер
сию
групповой
скорости,
в
результате
чего
короткий
импульс
света
будет
проходить
22
Л
НовотныЙ.
Б
Хехт
ЗЗ8
Гл
11
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
большие
расстояния,
не
испытывая
уширения.
Технические
приложения
включают
фотон
но-кристаллические
волокна,
которые
могут
быть
использованы
для
нелиней
ной
генерации
белого
света
(в
диэлектрической
зоне)
или
для
бездисперсионной
передачи
фемтосекундных
лазерных
импульсов
(в
воздушной
зоне).
В
то
время
как
массивы
дефектов
вводятся
в
фотонный
кристалл,
главным
образом
для
волноводных
приложений,
локализованные
дефекты
предназначены
для
создания
ловушек
для
света.
Оптические
резонаторы,
образованные
локализованны
ми
дефектами,
могут
обладать
очень
высокой
добротностью,
это
их
свойство
лежит
в
основе
множества
оптических
эффектов
и
лазерных
приложений.
На
рис.
11.5
показан
двумерный
фотонный
кристалл
с
единственным
дефектом
в
центре
[7].
Рис
11
5
Вид
сверху
и
поперечное
сечение
двумерного
фотонного
кристалла
с
центральным
дефектом
Кристалл
состоит
из
микроструктурированного
гексагонального
массива
заполнен
ных
воздухом
отверстий
в
IпGаАsР
и
дефекта,
который
образован
заполнением
центрального
отверстия.
Заимствовано
из
[7]
Лазер
образован
размещением
фотонного
кристалла
между
двумя
зеркалами
Брэгга,
играющими
роль
торцевых
зеркал
лазерного
резонатора.
Побочные моды
ограничи
ваются
фотонным
кристаллом.
Фотон
но-кристаллические
резонаторы
можно
также
использовать
для
контро
ля скорости
спонтанного
излучения
квантовой
системы,
расположенной
в
области
дефекта.
В
зависимости
от
физических
свойств
резонатора
локальная
плотность
состояний
(пс)
квантовой
системы
на
длине
волны
излучения
.ха
может
быть
как
больше,
так
и
меньше
пс
в
свободном
пространстве
(см.
разд.
8.4).
Локальная
пс
на
длине
волны
ЛО
зависит
от
способности
резонатора
запасать
энергию
на
длине
волны
излучения
ло.
Таким
образом,
чем
выше
добротность
Q=UJo/AUJ,
тем
больше
будет
пс.
В
большом
резонаторе
плотность
состояний
можно
приближенно
задать
как
1
DQ
р=-
"'о
V '
(11.20)
где
V -
объем
резонатора,
а
D -
вырождение
моды,
т.
е.
число
резонаторных
мод
на
данной
частоте.
пс
свободного
пространства
можно
получить
из
(8.119):
1
811"
ро
=
--
(11.21)
"'о
л~
.
Таким
образом,
в
фотон
но-кристаллическом
резонаторе
скорость
спонтанной
релак
сации
усиливается
в
К
раз,
где
р
D
л~
K=-=-Q-
ро
811"
V·
(11.22)
Итак.
усиление
зависит
от
малости
объема
резонатора
и
величины
множителя
Q.
11.2.
Оптические
м-икрорезонаторы
339
11.2.
Оптические
микрореэонаторы
Оптические
микрорезонаторы,
образованные
диэлектрическими
сферами,
вызы
вают
значительный
интерес
в
различных
областях
исследований.
Наличие
высо
кого
коэффициента
добротности,
связанного
с
резонансными
модами,
вдохновило
исследователей
на
проведение
ряда
экспериментов
по
квантовой
электродинамике
резонаторов,
дало
начало
созданию
чувствительных
биосенсоров.
Высокая
плотность
энергии
в
резонаторах
позволяет
наблюдать
разнообразные
нелинейные
процессы,
такие
как
переключение
когерентного
излучения,
излучение
лазера
с
низким
порогом
генерации
или
вынужденное
комбинационное
рассеяние
света
[8].
Для
понимания
нелинейных
процессов
в
оптических
микрорезонаторах
необхо
димо
решить
уравнения
Максвелла
для
простой
геометрии
сферы.
Математическая
основа задачи
лежит
в
известной
теории
Ми,
ее
детали
можно
найти
во
множестве
отличных
книг,
таких
как
[9].
Хотя
теория
Ми
находится
в
прекрасном
соответствии
с
результатами
экспериментальных
измерений,
полученный
в
рамках
этой
теории
ряд
сходится
очень
медленно
для
сфер
с
диаметром
D:»
л
[10].
Наблюдения
показывают,
что
в
случае
таких
сфер
малые
изменения
начальных
условий
(размера,
диэлек
трической
проницаемости)
приводят
к
значительным
изменениям
сечения
рассеяния.
Эти
изменения,
называемые
рябью,
можно
связать
с
резонансами
сферы.
Каждому
пику
ряби
соответствует
ситуация,
в
которой
свет
в
течение
длительного
времени
остается
запертым
внутри
сферы
и
движется
по
орбите
вблизи
поверхности
в
силу
многократного
полного
внутреннего
отражения.
Эти
резонансные
моды
называются
м-одами
шепчущей
галереи
или
морфологи
чески
зависимыми
резонансами.
Ко
эффициент
добротности
резонансных
мод
всегда
остается
конечной
величиной,
но
теоретически
он
может
достичь
величины
1021.
Следовательно,
резонансные
моды
-
моды
утечки,
и
сфера
является
неконсервативной
системой,
поскольку
ее
энергия
постоянно
уменьшается
за
счет
излучения.
Наибольший
коэффициент
добротности,
полученный
в
эксперименте,
Q =
1010.
Вместо
того
чтобы
воспроизводить
полную
теорию
Ми, мы
намереваемся
по
лучить
наглядную
картину
резонансов,
возникающих
в
оптических
микросферах.
Будем
исходить
из
модели,
развитой
Нуссенцвейгом
(Nussenzveig)
и
Джонсоном
(Johnson) ([10, 11])
и
называемой
приближением
эффективного
потенциала.
Она
имеет
прямую
аналогию
с
квантово-механической
моделью
конечной
сферической
ямы.
При
этом
конечный
коэффициент
добротности
микросферы
можно
связать
с
явлением
туннелирования.
Рассмотрим
однородную
сферу
с
диэлектрической
проницаемостью
~I
и
радиу
сом
а,
окруженную
однородной
средой
с
диэлектрической
проницаемостью
Е2
Ком
плексные
амплитуды
поля
внутри
и
вне
сферы
должны
удовлетворять
векторному
уравнению
Гельмгольца
(11
23)
где
i
принимает
значения
1
или
2
в
зависимости
от
того,
в
какой
области
вычисляется
поле:
внутри
или
вне
сферы.
Аналогичное
уравнение
имеет
место
и
для
магнитного
поля
Н.
Применяя
тождество
уо
2
[r·
E(r)]
= r
[V
2
E(r)]
+
2УО·
E(r),
(11.24)
340
Гл
11
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
полагая
последнее
слагаемое
равным
нулю
и
подставляя
результат
в
уравне
ние
(11.23),
приходим
к
скалярному
уравнению
Гельмгольца
[V
2
+::c
i
]f(r)=o,
f(r)=r·E(r).
(11.25)
Разделение
переменных
приводит
к
равенству
(11.26)
где
YiIll(I~,
'1')
-
сферические
гармоники,
а
Rl(r) -
решение
радиального
уравнения
[
d
2
(I.I}
l(l+I»)]
dr
2
+
с
2
С,
-
-т-
2
-
rRI(r)
=
О.
(11.27)
Решение
этого
уравнения
представляет
собой
сферические
функции
Бесселя
(см.
разд.
15.1).
Аналогичное
уравнение
рассматривается
в
квантовой
механике.
Для
сферически
симметричного
потенциала
V(r) =
V(r)
получаем
радиальное
уравнение
Шредингера
[
п2
d
2
(
п
2
l(l+
1»)]
-2mdr
2
+
V(r)
+
2т-т-
2
-
rRI(r)
=
ErRI(r),
(11.28)
где
'~
-
постоянная
Планка,
m -
эффективная
масса.
За
исключением
пропорцио
нального
1/т
2
центробежного
слагаемого,
уравнение
совпадает
по
форме
с
одномер
ным
уравнением
Шредингера.
Выражение
в
круглых
скобках
называется
эффектив
ным
потенциалом
Verr(r).
Сходство
между
электромагнитной
и
квантовой
задачами
позволяет
нам
ввести
эффективный
потенциал
Verr
и
энергию
Е
для
диэлектрической
сферы.
Поскольку
в
свободном
пространстве
(V
=
О, С,
=
1)
уравнения
совпадают,
находим
п
2
1.1/
Е
=
2т!'
(11.29)
С
учетом
этого
определения
можно
записать
эффективный
потенциал
диэлектриче
ской
сферы:
V~ff
()
1
'Т'/
(L
(11.30)
На
рис.
11.6
показан
эффективный
потенциал
диэлек
трической
сферы
в
воздухе.
Резкое
изменение
с
на
гра
нице
сферы
приводит
к
разрыву
Verr
и,
таким
образом,
к
возникновению
потенциальной
ямы.
Горизонтальная
линия
на
рисунке
означает
энергию
Е,
определенную
равенством
(11.29).
Отметим,
что
в
отличие
от
квантовой
Рис
11.6.
Эффективный
потенциал
Verr
диэлектрической
сферы
(см
11
30)
Радиационный
распад
резонансной
моды
может
быть
связан
с
туннелированием
энергии
сквозь
потенциаль-
2
ный
барьер
В
расчете
использованы
следующие
параметры.
0:1
=
2,31,0:2
=
1,
л
= 800
нм,
l =
500,
а
=
50
мкм
механики,
энергия
Е
зависит
от
формы
потенциальной
ямы.
Таким
образом,
измене
ние
Verr
также
сказывается
на
Е.
11.2.
Оптические
м,икрорезонаторbt
341
Подобно
известному
в
квантовой
механике
явлению
туннелирования,
конечная
высота
потенциального
барьера
приводит
к
утечке энергии
сквозь
барьер.
Таким
образом,
резонансная
мода
в
оптическом
микрорезонаторе
будет
затухать
на
ха
рактерном
временном
масштабе,
который
определяется
скоростью
туннелирования
энергии
сквозь
барьер.
В
квантовой
механике
внутри
потенциальной
ямы
энергия
мо
жет
принимать
лишь
дискретные
значения.
Ситуация
аналогична
электромагнитной
задаче,
где
мы
различаем
два
типа
мод:
ТЕ
и
ТМ,
которые
определяются
равенствами
ТЕ-моды:
r·
E(r)
=
О,
ТМ-моды:
r .
H(r)
=
О.
(11.31)
(11.32)
Для
ТЕ-мод
электрическое
поле
всегда
перпендикулярно
радиальному
вектору,
а
для
ТМ-мод
то
же
справедливо
в
отношении
магнитного
поля.
Граничные
условия
на
поверхности
сферы
(Т
=
а)
связывают
внутренние
поля
с
внешними.
Радиальная
зависимость
внутреннего
поля
выражается
посредством
сферических
функций
Бесселя
jl,
а
внешние
поля
-
посредством
сферических
функций
Ханкеля
первого
рода
hP).
Функции
JI
гарантируют,
что
поле
не
имеет
особенностей
внутри
сферы,
тогда
как
функции
hf1)
нужны,
чтобы
удовлетворить
условию
излучения
на
бесконечности.
Граничные
условия
приводят
к
однородной
си
стеме
уравнений,
из
которой
выводятся
следующие
характеристические
уравнения.
ТЕ-моды:
Ф;(nх)
_
n({(nх)
=
о
(11.33)
'1Мnх)
(1
(nх)
,
ТМ-моды:
Ф;(nх)
_
.!.
(((nх)
=
о
(11.34)
Фl(nХ)
n
(1
(nх)
.
Здесь
отношение
внутреннего
и
внешнего
показателей
преломления
обозначено
через
n =
JC1/C2'
Х
-
безразмерный
пара
метр,
определенный
как
х
= ka,
где
k -
волновое
число
в
вакууме
(k =
u)/c
=
21Г/>').
Штрихи
означают
производную
по аргументу,
'Ф1
и
(1
-
функции
Рикатти-Бесселя:
(11.35)
Для
данного
углового
момента
моды
l
существует
множество
решений
характе
ристических
уравнений.
Эти
решения
обозначены индексом
1/,
называемым
ради
альным
порядком
моды.
Как
показано
на
рис.
11.7,
индексом
1/
обозначено
число
1/=1
1/=2
1/=3
о
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.6 0.8 1
-.....,,...,,........,,.L,-L-LJе--_
".
/
(L
0.6 0.8
Рис
11.7.
Радиальное
распределение
энергии
ТМ-моды
с
моментом
импульса
l =
120
Диэлек
трическая
проницаемость
микросферы
с:
= 2,31.
Радиальный
номер
моды
1/
показывает
число
максимумов
энергии
в
радиальном
направлении
пиков
В
радиальном
распределении интенсивности
излучения
внутри
сферы.
Из
всех
возможных
решений
в
качестве
резонансных
мод
можно
рассматривать
только
те,
энергия
которых
согласно
(11.29)
лежит
в
пределах
потенциальной
ямы.
Отметим,
342
Гл
11
Фотонные
кристаллы
и
резонаторы
что
характеристические
уравнения
(11.33)
и
(11
34)
не
могут
быть
разрешены
для
вещественных
./:.
И
это
означает,
что
собственные
частоты
Wvl
комплексны.
Следовательно,
моды
микросферы
являются
модами
утечки
и
запасенная
энергия
непрерывно
рассеивается
посредством
излучения.
Вещественная
часть
Wvl
означает
центральную
частоту
1.1.10
моды,
а
мнимая
часть
-
ширину
дw
на
половине
высоты
резонансной
кривой
Таким
образом,
добротность
Q
можно
выразить
следующим
образом:
Q _
"-'о
_
Re(w
v
')
-
д""'
-
2IIm(w
v
,)I·
(11.36)
В
силу
диссипативного
характера
резонансов
полученные
моды
относятся
к
квази
нормальным.
Чтобы
лучше
изобразить
классификацию
мод,
рассмотрим
при
мер
стеклянной
сферы
(о
=
10
мкм,
~I
= 2,31)
в
воздухе
(С2
=
1)
и
угловой
момент
моды
l =
120.
Длину
волны
моды
с
наибольшим
коэффициентом
добротности
Q
можно
оценить
с
помощью
следующего
геометрического
требования:
длина
окружности
сферы
по
экватору
должна
быть
кратной
длине
волны
внутри
сферы:
мода
с
наибольшей
добротностью:
l
~
Ilka,
(11.37)
где
/1
-
показатель
преломления
внутри
сферы.
В
настоящем
примере
находим
л
~
~
796
нм
или
;1·
~
79,
и
расстояние
между
соседними
(по
числу
l)
модами
равно
дл
~
>."l-j(27ГОIl)
= 6,6
нм
Решая
уравнение
(11.33)
для
l = 120,
получаем
резонансные
значения
длины
волн
(выпишем
их
вещественные
части):
ЛП20
= 743,25
нм,
ЛИ20
= 703,60
нм,
Ч.120
= 673,35
нм,
...
Аналогичным
образом
решения
уравнения
(11.34)
даются
равенствами
лт.~20
= 739,01
нм,
ЛJ~20
= 699,89
нм,
Ч~20
= 670,04
нм,
...
Моды
с
номером
1/ =
1,
имеющие
внутри
сферы
единственный
максимум,
обладают
наи
большей
добротностью.
Их
длины
волн
согласно
(11.37)
грубо
оцениваются
как
л
~
796
нм.
ТМ-моды
демонстрируют
более
короткие
длины
волн,
чем
ТЕ-моды.
Вообще,
добротность
уменьшается
с
ростом
радиального
номера
моды.
В
настоя
щем
при мере
добротность
спадает
от
Q
~
1017
для
V = 1
до
Q
~
106
для
V =
6.
На
рис
11
8
показаны
положения
в
спектре
мод
с
номерами
l =
119,
l =
120
l = 119
1 = 120
l =
121
о
I
I
I
I
: v=1
I
i
I
I
: v=1
I
I
I
I
: v=1
I
85 90
Re{ka}
Рис
11
8
Нормированные
частоты
мод
микросферы
с
с
=
2,31
и
номерами
момента импульса
l =
119,
1 =
120
и
1 =
121
Сплошными
линиями
обозначены
ТЕ-моды,
штриховыми
-
ТМ
моды
Высота
линий
обозначает
добротность
в
логарифмическом
масштабе.
Мода
с
номером
1/ = 1
обладает
добротностью
Q
~
1017,
а
для
v = 6
величина
Q
~
106
и
1 =
121.
Расстояние
между
модами
с
одинаковыми
номерами·
l
примерно
равно
6
нм
И
находится
в
согласии
с
нашими
предыдущими
оценками.
На
рисунке
мо-