Носко В.П. Эконометрика для начинающих
Подождите немного. Документ загружается.
ɪɭɠɢɜɚɟɬɫɹ ɜɨɜɫɟ
, ɟɫɥɢ
R
S
S
ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ
.yyTSS
n
1i
2
i
¦
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɟɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ ɩɪɟɞɥɨɠɢɬɶ ɜ
ɤɚɱɟɫɬɜɟ «ɦɟɪɵ
ɜɵɪɚɠɟɧɧɨɫɬɢ» ɜ ɞɚɧɧɵɯ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɥɢɧɟɣ-
ɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɭ
R
yy
yy
ii
ii
2
2
2
1
¦
¦
,
ɧɚɡɵɜɚɟɦɭɸ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɞɟɬɟɪɦɢɧɚɰɢɢ. ɗɬɨɬ ɤɨɷɮ-
ɮɢɰɢɟɧɬ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ 0 (ɩɪɢ
E
0
, ɬ. ɟ.
R
S
S
TS
S
) ɞɨ 1 (ɩɪɢ
R
S
S
0),
01
2
dd
R
.
ȼɟɪɧɟɦɫɹ, ɨɞɧɚɤɨ, ɤ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɦɭ ɪɚɧɟɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɸ
yy
i
i
n
¦
2
1
ɜ ɜɢɞɟ
yy yy yy yyyy
i
i
n
iii
i
n
i
n
iii
i
n
¦¦¦¦
2
1
22
111
2
ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɪɟɬɶɸ ɫɭɦɦɭ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɩɪɟɞ-
ɫɬɚɜɥɟɧɢɹ. ɂɦɟɟɦ:
yyyy yyyy e yy x y e
eyyxye
iii
i
n
iii i ii i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
iii
i
n
i
¦¦¦¦¦
¦¦ ¦
1 111
11
=
= + .
n
i=1
n
i=1
n
DE
DE
ɇɨ
ey x
i
i
n
ii
i
n
¦¦
11
0
DE
(ɫɦ. ɩɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɡ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ).
Ʉ ɬɨɦɭ ɠɟ,
yyx y xx
iii
i
n
iii
i
n
¦¦
11
0
DE
(ɫɦ. ɜɬɨɪɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɡ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
yyyy
iii
i
n
¦
,
1
0
ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ
yy yy yy
i
i
n
iii
i
n
i
n
¦¦¦
2
1
22
11
,
ɬɚɤ ɱɬɨ
R
yy
yy
yy yy
yy
yy
yy
ii
i
n
i
i
n
iii
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
2
2
1
2
1
22
11
2
1
2
1
2
1
1
¦
¦
¦¦
¦
¦
¦
== ,
ɬ. ɟ. ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɜɬɨɪɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɞɥɹ
R
2
ɜ ɜɢɞɟ
R
yy
yy
i
i
n
i
i
n
2
2
1
2
1
¦
¦
,
ɋɬɨɹɳɭɸ ɡɞɟɫɶ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɧɚ-
ɡɵɜɚɬɶ
ɫɭɦɦɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ, ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɨɣ ɦɨɞɟɥɶɸ (explained
sum of squares), ɢ ɛɭɞɟɦ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɟɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɚɛ-
ɛɪɟɜɢɚɬɭɪɭ
ESS, ɬɚɤ ɱɬɨ
ESS y y
i
i
n
¦
2
1
.
ɋɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ, ɫɬɨɹɳɭɸ ɜ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɟ, ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ
ɩɨɥɧɨɣ ɫɭɦɦɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ (total sum of squares) ɢ ɛɭɞɟɦ ɢɫ-
ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɟɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɚɛɛɪɟɜɢɚɬɭɪɭ
TSS, ɬɚɤ ɱɬɨ
TSS y y
i
i
n
¦
2
1
.
ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ ɧɚɦɢ ɭɠɟ ɛɵɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ
ɨɫɬɚ-
ɬɨɱɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
RSS y y
i
i
n
¦
2
1
.
ȼɫɟ ɷɬɢ ɬɪɢ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɫɜɹɡɚɧɵ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ
TSS
E
SS
R
SS ,
ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɩɨɥɧɨɣ ɫɭɦɦɵ
ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɧɚ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ, ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɭɸ ɦɨɞɟɥɶɸ, ɢɨɫɬɚ-
ɬɨɱɧɭɸ ɫɭɦɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɷɬɢ ɬɪɢ ɫɭɦɦɵ, ɦɵ ɧɚɯɨ-
ɞɢɦ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ
R
ESS
TSS
RSS
TSS
2
1 .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɧɚɱɟɧɢɟ R
2
ɬɟɦ ɜɵɲɟ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɞɨɥɹ
ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɨɣ ɦɨɞɟɥɶɸ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ESS ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ
ɩɨɥɧɨɣ ɫɭɦɦɟ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ TSS.
Ɍɟɪɦɢɧɵ «ɩɨɥɧɚɹ» ɢ «ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɚɹ ɦɨɞɟɥɶɸ» ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞ-
ɪɚɬɨɜ ɢɦɟɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɪɨɢɫɯɨɠɞɟɧɢɟ. ɉɨɥɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞ-
ɪɚɬɨɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɸ RSS ɜ ɫɢɬɭɚɰɢɢ, ɤɨɝɞɚ
E
0 ɢ
«ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ» ɩɪɹɦɚɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
yy , ɨɬɪɢɰɚɸɳɢɣ ɧɚɥɢɱɢɟ
ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ
y ɨɬ
x
. ȼɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɷɬɨɝɨ, ɩɪɢɜɥɟɱɟɧɢɟ
ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
ɧɟ ɞɚɟɬ ɧɢɱɟɝɨ ɧɨɜɨɝɨ
ɞɥɹ ɨɛɴɹɫɧɟɧɢɹ ɢɡɦɟɧɟɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
y ɨɬ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɤ ɧɚ-
ɛɥɸɞɟɧɢɸ. ɋɬɟɩɟɧɶ ɷɬɨɣ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɢ ɦɵ ɭɠɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɨ-
ɜɚɥɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
Var y
n
yy
TSS
n
i
i
n
()
¦
1
11
2
1
;
ɩɪɢ ɷɬɨɦ, TS
S
R
S
S
ɢ ESS 0.
ȼ ɫɢɬɭɚɰɢɢ, ɤɨɝɞɚ
E
z 0, ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɨɟ ɩɪɟɞ-
ɫɬɚɜɥɟɧɢɟ
TSS
E
SS
R
SS ,
ɫ ESS
z 0
, ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢ-
ɫɚɬɶ:
Var y
TSS
n
ESS
n
RSS
n
()
111
=+ .
ɇɨ
ESS
n
yy
n
yy
n
Var y
i
i
n
i
i
n
¦¦
11 1
2
1
2
1
= =
(
),
ɝɞɟ
y
— ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ, ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɚɹ ɜ i - ɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɢ
ɡɧɚɱɟɧɢɟ
y
i
. (Ɂɞɟɫɶ ɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢ ɬɨɬ ɮɚɤɬ, ɱɬɨ
e
i
i
n
¦
1
0 ,
ɬɚɤ ɱɬɨ
yy
ii
i
n
¦
1
0 , yy
i
i
n
i
i
n
¦¦
11
ɢ yy
.) Ʉ ɬɨɦɭ ɠɟ,
RSS
n
yy
n
e
n
ee
n
Var e
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
¦¦¦
11 11
2
1
2
1
2
1
= =
(),
ɝɞɟ
e
— ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ, ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɚɹ ɜ i - ɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɢ
ɡɧɚɱɟɧɢɟ
e
i
. (Ɂɞɟɫɶ ɦɵ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥɢ ɬɨɬ ɮɚɤɬ, ɱɬɨ
een
i
i
n
¦
1
0/
.)
ȼ ɢɬɨɝɟ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ
Vary Vary Vare() (
)() ,
ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɳɟɟ, ɱɬɨ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
(ɫɬɟɩɟɧɶ
ɤɨɬɨɪɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ Va
r
y()) ɱɚɫɬɢɱɧɨ ɨɛɴɹɫ-
ɧɹɟɬɫɹ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
(ɫɬɟɩɟɧɶ ɤɨɬɨɪɨɣ ɯɚɪɚɤ-
ɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ
Var y(
)
). ɇɟ ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
ɱɚɫɬɶ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨ-
ɫɬɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
e
(ɫɬɟɩɟɧɶ ɤɨɬɨɪɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢ-
ɟɦ Va
r
e()).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
y
ɛɟɪɟɬ ɧɚ
ɫɟɛɹ ɨɛɴɹɫɧɟɧɢɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɱɚɫɬɢ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɟ-
ɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
, ɢ ɷɬɚ ɨɛɴɹɫɧɟɧɧɚɹ ɱɚɫɬɶ ɛɭɞɟɬ ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ
ɜɵɲɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɞɟɬɟɪɦɢɧɚɰɢɢ
R
2
, ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɵ
ɬɟɩɟɪɶ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɜ ɜɢɞɟ
R
Var y
Var y
Var e
Var y
2
1
(
)
()
()
()
.
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
y
ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɩɪɟɨɛɪɚ-
ɡɨɜɚɧɢɟɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
, ɬɨ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶ
y
ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɫɜɹ-
ɡɚɧɚ ɫ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶɸ
x
, ɬɚɤ ɱɬɨ, ɜ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɫɱɟɬɟ, ɩɨɫɬɪɨɟɧ-
ɧɚɹ ɦɨɞɟɥɶ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬ ɱɚɫɬɶ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
. ɉɨɷɬɨɦɭ, ɩɪɢɧɹɬɶ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɜ
ɬɚɤɨɦ ɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
ɤɚɤ ɨɛ ɨɛɴɹɫɧɹɟɦɨɣ ɩɟɪɟ-
ɦɟɧɧɨɣ, ɚ ɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
— ɤɚɤ ɨɛ ɨɛɴɹɫɧɹɸɳɟɣ ɩɟɪɟɦɟɧ-
ɧɨɣ.
ȼɟɪɧɟɦɫɹ ɨɩɹɬɶ ɤ ɧɚɲɟɦɭ ɩɪɢɦɟɪɭ. ȼ ɷɬɨɦ ɩɪɢɦɟɪɟ
ESS = 0.043474
RSS = 0.161231
TSS = 0.204705,
ɬɚɤ ɱɬɨ
Var y(
)
= 0.043474/16 = 0.002717,
Va
r
e() = 0.161231/16 = 0.010077,
Va
r
y( ) = 0.012784,
R
2
= 0.043474/0.204705 = 0.212374.
Ɂɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɞɟɬɟɪɦɢɧɚɰɢɢ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ ɞɨɫɬɚ-
ɬɨɱɧɨ ɦɚɥɵɦ, ɢ ɨɞɢɧ ɢɡ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɜɨɩɪɨɫɨɜ ɛɭɞɟɬ ɫɨɫɬɨɹɬɶ
ɜ ɬɨɦ, ɫɤɨɥɶ ɛɥɢɡɤɢɦ ɤ ɧɭɥɸ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ R
2
, ɱɬɨɛɵ
ɦɵ ɦɨɝɥɢ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɨ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɦ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ
ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ
ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ.
1.4. ɋȼɈɃɋɌȼȺ ȼɕȻɈɊɈɑɇɈɃ ɄɈȼȺɊɂȺɐɂɂ, ȼɕ-
ȻɈɊɈɑɇɈɃ ȾɂɋɉȿɊɋɂɂ ɂ ȼɕȻɈɊɈɑɇɈȽɈ ɄɈɗɎ-
ɎɂɐɂȿɇɌȺ ɄɈɊɊȿɅəɐɂɂ
ȼɟɪɧɟɦɫɹ ɬɟɩɟɪɶ ɤ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ɢ
ɨɬɦɟɬɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ.
ɉɭɫɬɶ
a
— ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ, ɚ
iii
z,y,x
— ɩɟɪɟɦɟɧ-
ɧɵɟ, ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɢɟ ɜ i- ɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
iii
z,y,x
,
in
1, ,
(
n —
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ). Ɍɨɝɞɚ
a
ɦɨɠɧɨ ɪɚɫ-
ɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ, ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ
i-
ɦ ɧɚɛɥɸ-
ɞɟɧɢɢ
a
i
ɪɚɜɧɨ
a
, ɢ
,aaxx)a)(ax(xCov(x,a)
n
1i
i
1n
1
i
n
1i
i
1n
1
¦¦
ɬɚɤ ɱɬɨ
Cov
x
a
(,)
0 .
Ⱦɚɥɟɟ, ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ
Cov
x
yCovy
x
(, ) (,)
ɢɱɬɨ
Cov
x
x
Va
r
x
(,) ()
.
Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ,
Covaxy axaxyya xxyy
n
i
i
n
i
n
ii
i
n
(,) ( )( ) ,
¦¦
1
1
1
1
1
1
ɬɚɤ ɱɬɨ
Cov ax y a Cov
x
y
(,) (,)
.
ɇɚɤɨɧɟɰ,
Cov x y z x x y z y z
xxy y zz
xxyy xxzz
n
i
i
n
ii
n
ii i
i
n
n
ii
i
n
n
ii
i
n
(, ) ( )( ( ))
()()
¦
¦
¦¦
1
1
1
1
1
1
1
1
11
+ ,
1
-1
ɬɚɤ ɱɬɨ
Cov
x
yz Cov
x
yCov
x
z
(, ) (, ) (,)
.
ɇɚ ɨɫɧɨɜɟ ɷɬɢɯ ɫɜɨɣɫɬɜ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
Va
r
a
()
0
(ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶɸ),
Var ax a Var x Std Dev ax a Std Dev x
( ) (), . .( ) . ()
2
(ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɣ ɟɞɢɧɢɰɵ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɜ
a
ɪɚɡ,
ɜɨ ɫɬɨɥɶɤɨ ɠɟ ɪɚɡ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɨɬɤɥɨ-
ɧɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ),
)x(Var)ax(Var
(ɫɞɜɢɝ ɧɚɱɚɥɚ ɨɬɫɱɟɬɚ ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ ɢɡɦɟɧɱɢɜɨɫɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧ-
ɧɨɣ).
ɇɚɤɨɧɟɰ,
,)y,x(Cov)x,y(Cov)y,x(Cov)x,x(Cov
)yx,yx(Cov)yx(Var
ɬ. ɟ.
Va
r
x
yVa
r
x
Va
r
yCov
x
y
( ) () () (, )
2
(ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɫɭɦɦɵ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɫɭɦɦɵ
ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ ɷɬɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɪɚɜɧɭɸ ɭɞɜɨɟɧɧɨɦɭ
ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ).
ɑɬɨ ɤɚɫɚɟɬɫɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ
r
xy
,
ɬɨ ɟɫɥɢ
ɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɢ ɟɞɢɧɢɰɚ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ
,
ɫɤɚɠɟɦ, ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
, ɬɚɤ ɱɬɨ ɜɦɟɫɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
xx
n1
,,
ɦɵ
ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
~
,,,,()xabx i n b
ii
! 10
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
bxax
~
, ɬɨ ɬɨɝɞɚ
r
Cov x y
Var x Var y
Cov a bx y
Var a bx Var y
bCov x y
b Var x Var y
r
xy
xy
~
(
~
,)
(
~
)()
(,)
()()
(,)
() ()
.
2
ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ
xy
r
, ɢɧɜɚɪɢɚɧɬɟɧ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɵɛɨɪɚ ɟɞɢɧɢɰ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɢ
ɧɚɱɚɥɚ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
x
ɢ
y
.
ȼ ɬɨ ɠɟ ɜɪɟɦɹ, ɷɬɨɝɨ ɧɟɥɶɡɹ ɫɤɚɡɚɬɶ ɨɛ ɨɰɟɧɤɟ
E
x
ɤɨɷɮɮɢɰɢ-
ɟɧɬɚ
E
ɜ ɦɨɞɟɥɢ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ
yxin
iii
D
E
H
,,,.1
.
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ, ɫɤɚɠɟɦ, ɦɵ ɩɟɪɟɯɨɞɢɦ ɤ ɧɨɜɨɣ ɟɞɢɧɢɰɟ
ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
, ɬɚɤ ɱɬɨ ɜɦɟɫɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
x
ɧɚɛɥɸ-
ɞɚɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
~
x
bx
, ɬɨ ɬɨɝɞɚ ɨɰɟɧɤɚ
~
E
x
ɤɨ-
ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ
E
ɜ ɦɨɞɟɥɢ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ
yxin
iii
D
E
H
+ , ,
~
,,1
ɪɚɜɧɚ
(
~
,)
(
~
)
(,)
()
(,)
()
~
EE
x x
Cov x y
Var x
Cov bx y
Var bx
bCov x y
bVar x
b
2
1
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɢɡɦɟɧɹɹ ɟɞɢɧɢɰɭ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
x
(ɢɥɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
y
), ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɡ-
ɥɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
E
, ɨɬ ɫɤɨɥɶ ɭɝɨɞɧɨ ɦɚɥɵɯ ɞɨ ɫɤɨɥɶ ɭɝɨɞɧɨ
ɛɨɥɶɲɢɯ. (ɀɟɥɚɬɟɥɶɧɨ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɟɞɢɧɢɰɵ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɬɚɤɢɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ, ɱɬɨɛɵ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦɵɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɢɦɟɥɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɣ
ɩɨɪɹɞɨɤ.) Ȼɥɢɡɨɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
E
ɤ ɧɭɥɸ ɜɫɟɝɞɚ ɞɨɥɠɧɚ ɢɧɬɟɪ-
ɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶɫɹ ɫ ɨɝɥɹɞɤɨɣ ɧɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɟ ɟɞɢɧɢɰɵ ɢɡɦɟɪɟ-
ɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
x
ɢ
y
.
Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɜ ɷɬɨɣ ɫɜɹɡɢ, ɩɨɥɟɡɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ
E
ɜ ɜɢɞɟ
()
()
E
r
Var y
Var x
xy
.
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ,
(,)
()
() ()
()
E
Cov x y
Var x
r Var x Var y
Var x
xy
,
ɨɬɤɭɞɚ ɢ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ. ɂɡ ɷɬɨɝɨ
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɚɟɦ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɱɬɨ ɩɪɢ Var (x) = Var (y)
ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
E
r
xy
, ɢ ɬɨɝɞɚ ɜɵɪɚɠɟɧɧɨɫɬɶ ɥɢɧɟɣɧɨɣ
ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ
x
ɢ
y
ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɨɬɪɚɠɚɟɬɫɹ ɜ ɛɥɢɡɨɫɬɢ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ
E
ɤ 1 ɢɥɢ 1.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ r
yy
ɦɟɠɞɭ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
y
ɢ
y
, ɝɞɟ
yx
DE
, ɚ
D
ɢ
E
— ɨɰɟɧɤɢ ɧɚɢ-
ɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ
D
ɢ
E
ɝɢɩɨɬɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɧɟɣ-
ɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
x
ɢ
y
. Ɂɚɦɟɱɚɹ, ɱɬɨ
yye
(ɬ.ɤ.
eyy
iii
ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ), ɧɚɯɨɞɢɦ:
r
Cov y y
Var y Var y
Cov y e y
Vary Vary
Cov y y Cov e y
Var y Var y
yy
(,
)
() (
)
(
,
)
() (
)
(
,
)(,
)
() (
)
.
ɇɨ ɪɚɧɟɟ ɦɵ ɭɠɟ ɩɨɥɭɱɢɥɢ (ɩɪɢ ɜɵɜɨɞɟ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɞɥɹ
TSS ) ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ
yyyy
iii
i
n
¦
1
0 ,
ɤɨɬɨɪɨɟ, ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ
yy
ii
i
n
¦
1
0
, ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ
1n
1
yyy
iii
i
n
¦
1
0 ,
ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɟɫɬɶ ɧɟ ɱɬɨ ɢɧɨɟ ɤɚɤ
Cov e y Cov y y y(,
)(
,
) .
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
r
Var y
Var y Var y
Var y
Var y
yy
(
)
() (
)
(
)
()
,
ɬɚɤ ɱɬɨ
r
Var y
Var y
R
yy
(
)
()
22
.
ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɞɟ-
ɬɟɪɦɢɧɚɰɢɢ ɪɚɜɟɧ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɦɟɠɞɭ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
y
ɢ
y
, ɬɚɤ ɱɬɨ ɩɪɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɫɢɥɶɧɨ ɜɵɪɚɠɟɧ-
ɧɨɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
x
ɢ
y
, ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬ-
ɫɬɜɭɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
R
2
, ɛɥɢɡɤɨɦɭ ɤ 1, ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɥɢɡɤɢɦ ɤ 1 ɢ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
y
ɢ
y
.
ɉɨ ɩɪɢɱɢɧɚɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɛɭɞɭɬ ɹɫɧɵ ɢɡ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɝɨ ɪɚɫ-
ɫɦɨɬɪɟɧɢɹ, r
yy
ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ
ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɢ (multiple-R, ɦɧɨɠɟɫɬɜɟɧɧɵɣ-R).
Ɉɬɦɟɬɢɦ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
y
ɢɡɦɟɪɹɟɬɫɹ ɜ ɬɟɯ ɠɟ
ɟɞɢɧɢɰɚɯ, ɱɬɨ ɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
y
, ɢ ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɦɚɫɲɬɚɛɚ ɢɡ-