Носко В.П. Эконометрика для начинающих
Подождите немного. Документ загружается.
ɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɜɵɬɹɧɭɬɨɫɬɢ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ (ɨɛɥɚɤɚ) ɬɨɱɟɤ. ɉɭɫɬɶ
ɩɪɹɦɚɹ
yx
DE
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɜ ɱɢɫɥɟ ɩɪɨɱɢɯ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɬɚɤɨɝɨ ɩɨɢɫɤɚ.
Ⱦɥɹ i-ɝɨ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɬɨɝɞɚ ɪɚɫɯɨɠɞɟɧɢɟ
(«ɧɟɜɹɡɤɭ»)
HDE
ii i
yx
,
ɩɪɢɱɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
H
i
ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɤɚɤ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ, ɬɚɤ
ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦɢ. ɉɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
D
ɢ
E
ɛɭɞɟɬ
ɢɡɦɟɧɹɬɶɫɹ ɢ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɚɹ ɫɭɦɦɚ ɧɟɜɹɡɨɤ
H
i
i
n
¦
1
. ɋ ɷɬɨɣ
ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɨɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɜɨɣ ɜɵɛɨɪ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ,
ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɛɚɥɚɧɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɨɬɪɢɰɚ-
ɬɟɥɶɧɵɯ ɧɟɜɹɡɨɤ, ɬɚɤ ɱɬɨ
H
i
i
n
¦
0
1
.
ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
D
ɢ
E
ɛɭɞɟɦ
ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɤɚɤ
D
ɢ
E
. ɂɬɚɤ, ɩɪɹɦɚɹ
yx
DE
ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
xy,, ɢ ɟɫɥɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɬɶ ɟɳɟ
ey x
ii i
,
DE
ɬɨ ɬɨɝɞɚ
e
i
i
n
¦
0
1
.
Ɂɧɚɱɟɧɢɟ
e
i
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɨɫɬɚɬɤɨɦ
ɜ i - ɦ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɢ. Ⱦɥɹ
ɪɟɚɥɶɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ, ɤɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɜɫɟ
ɨɫɬɚɬɤɢ ɨɬɥɢɱɧɵ ɨɬ ɧɭɥɹ,
ɬɚɤ ɱɬɨ ɱɚɫɬɶ ɢɡ ɧɢɯ ɢɦɟɟɬ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɣ ɡɧɚɤ, ɚ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ
— ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ.
Ɉɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɬɭ ɠɟ ɫɚɦɭɸ
ɩɪɹɦɭɸ
yx
DE
ɦɨɠɧɨ
ɩɨɥɭɱɢɬɶ, ɢɫɯɨɞɹ ɢɡ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɪɢɧɰɢɩɚ —
ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɧɚɢ-
ɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɷɬɨɦɭ ɩɪɢɧɰɢɩɭ, ɫɪɟɞɢ ɜɫɟɯ
ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
D
,
E
, ɩɪɟɬɟɧɞɭɸɳɢɯ ɧɚ ɪɨɥɶ ɨɰɟɧɨɤ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ
D
ɢ
E
,
ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɵɛɢɪɚɬɶ ɬɚɤɭɸ ɩɚɪɭ
D
,
E
,
ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ
()yx
ii
i
n
¦
DE
2
1
min
,
DE
().yx
ii
i
n
¦
DE
2
1
ɂɧɚɱɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɬɚɤɚɹ ɩɚɪɚ
D
,
E
, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ
ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɧɟɜɹɡɨɤ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ
.
ɉɨɥɭɱɚɟ-
ɦɵɟ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɨɰɟɧɤɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ
ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ
ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
, ɢ ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ ɫ ɪɚɧɟɟ ɨɩ-
ɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ ɨɰɟɧɤɚɦɢ
D
ɢ
E
,
ɬɚɤ ɱɬɨ
DD
,
EE
.
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɢ ɨɰɟɧɨɤ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚ-
ɬɨɜ ɡɚɪɚɧɟɟ ɧɟ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ
,
ɱɬɨɛɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɩɪɨ-
ɯɨɞɢɥɚ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
xy
,; ɷɬɨɬ ɮɚɤɬ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɨɰɟ-
ɧɨɤ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. ɇɚɥɢɱɢɟ ɬɚɤɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɦɵ
ɞɨɤɚɠɟɦ ɱɭɬɶ ɩɨɡɞɧɟɟ, ɚ ɫɟɣɱɚɫ ɨɛɪɚɬɢɦɫɹ ɤ ɜɨɩɪɨɫɭ ɨ ɬɨɦ, ɤɚɤ
ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ
ɧɚɣɬɢ ɭɤɚɡɚɧɧɵɟ ɨɰɟɧɤɢ
D
ɢ
E
.
ȿɫɥɢ ɢɫɯɨɞɢɬɶ ɢɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɬɨ ɩɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ
ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɪɹɦɚɹ
yx
DE
ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟ-
ɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
xy
,, ɬɨ ɬɨɝɞɚ
yx
DE
,
ɬɚɤ ɱɬɨ
DE
yx
,
ɢ ɞɥɹ ɩɨɢɫɤɚ «ɧɚɢɥɭɱɲɟɣ» ɩɪɹɦɨɣ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ
ɟɟ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ
E
.
ɂɡɦɟɧɹɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
E
ɢ ɫɥɟɞɹ ɡɚ
ɢɡɦɟɧɟɧɢɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
H
i
i
n
¦
1
,
ɦɵ ɦɨɠɟɦ, ɜ ɩɪɢɧɰɢɩɟ, ɧɚɣɬɢ
ɢɫɤɨɦɨɟ
E
ɫ ɥɸɛɨɣ ɧɚɩɟɪɟɞ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ.
ɂɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɟɪɟɛɨɪɚ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
D
,
E
ɫ ɰɟɥɶɸ ɦɢɧɢɦɢɡɚɰɢɢ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
Qyx
ii
i
n
(, ( )
DE D E
¦
2
1
ɩɪɢ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɦɟɬɨɞɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɬɚɤɠɟ ɜɨɡ-
ɦɨɠɧɨ, ɯɨɬɹ ɢ ɬɪɟɛɭɟɬ, ɤɨɧɟɱɧɨ, ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ ɜɵɱɢɫ-
ɥɢɬɟɥɶɧɵɯ ɭɫɢɥɢɣ.
Ȼɵɥɨ ɛɵ ɢɞɟɚɥɶɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɛɵ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɥɚ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ
ɩɪɹɦɨɝɨ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ
ɡɧɚɱɟɧɢɣ
D
ɢ
E
ɩɨ ɤɚɤɨɣ-ɧɢɛɭɞɶ ɮɨɪ-
ɦɭɥɟ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
xy i n
ii
,, ,, 1 .
Ɍɚ-
ɤɭɸ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɧɚɦ ɩɪɟɞɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɟɳɟ ɨɞɢɧ ɩɨɞɯɨɞ ɤ ɩɨɢɫ-
ɤɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ
D
,
E
«ɧɚɢɥɭɱɲɟɣ» ɩɪɹɦɨɣ.
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɱɟɪɟɡ ɤɚɠɞɭɸ ɩɚɪɭ ɬɨɱɟɤ
xy x y
ii kk
,, ,
ɧɚ
ɞɢɚɝɪɚɦɦɟ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɩɪɹɦɭɸ. ȼɫɟɝɨ ɬɚɤɢɯ
ɩɪɹɦɵɯ (ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɢɯ ɬɨɱɟɤ) ɛɭɞɟɬ ɪɨɜɧɨ ɫɬɨɥɶɤɨ,
ɫɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɚɪ ɢɧɞɟɤɫɨɜ
ik
, ɦɨɠɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɧɚ
ɨɫɧɨɜɟ
n
ɢɧɞɟɤɫɨɜ 1, ,
n.
Ⱥ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɚɤɢɯ ɩɚɪ ɢɧɞɟɤɫɨɜ
ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ
ɢɡ
n
ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ ɞɜɚ. ɂɡ ɤɨɦɛɢɧɚ-
ɬɨɪɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɪɚɜɧɚ
Nnn
12/. ɉɭɫɬɶ ɩɪɹɦɚɹ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɚɹ ɱɟɪɟɡ
j-
ɸ ɩɚɪɭ
ɬɨɱɟɤ, ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
yx
jj
D
E
,
ɚ ɬɨɱɤɢ, ɱɟɪɟɡ ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɧɚ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ, ɢɦɟɸɬ ɚɛɫɰɢɫɫɵ
xj
1
ɢ
xj
2
, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
Ɉɛɪɚɬɢɦɫɹ ɨɩɹɬɶ ɤ ɞɢɚɝɪɚɦɦɟ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ. ɂɡ ɷɬɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦ-
ɦɵ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ
D
ɢ
E
ɛɭɞɭɬ ɨɱɟɧɶ ɫɢɥɶɧɨ ɨɬɥɢ-
ɱɚɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɚɪ, ɢ ɞɥɹ ɦɧɨɝɢɯ ɩɚɪ ɧɟ ɛɭɞɭɬ ɢɦɟɬɶ
ɧɢɱɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ
D
,
E
«ɧɚɢɥɭɱɲɟɣ» ɩɪɹɦɨɣ.
Ɉɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ, ɨɞɧɚɤɨ, ɱɬɨ ɷɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
D
ɢ
E
ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ
ɤɚɤ ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɟ ɫɭɦɦɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹ-
ɦɵɯ:
DDEE
¦¦
ww
j
j
N
jj
j
N
j
11
, = ,
ɝɞɟ
w
j
j
n
¦
1
1
ɢ ɜɟɫɚ
ww
n1
,,
ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ
w
xj xj
xk xk
j
k
N
¦
21
2
21
2
1
,
ɇɟɬɪɭɞɧɨ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɛɨɥɶɲɢɟ ɜɟɫɚ ɩɪɢɞɚɸɬɫɹ ɬɟɦ ɩɪɹ-
ɦɵɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɬɪɨɹɬɫɹ ɩɨ ɬɨɱɤɚɦ ɫ ɞɚɥɟɤɨ
ɪɚɡɧɟɫɟɧɧɵɦɢ ɚɛɫ-
ɰɢɫɫɚɦɢ.
ɂɬɚɤ, ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɨɰɟɧɤɢ ɧɚɢɦɟɧɶ-
ɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɱɢɫɬɨ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢ
, ɫɧɚɱɚɥɚ ɜɵɱɢɫɥɹɹ ɩɚɪɚ-
ɦɟɬɪɵ
D
E
jj
, ɨɬɞɟɥɶɧɵɯ ɩɪɹɦɵɯ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɜɡɜɟɲɢɜɚɹ ɩɨɥɭɱɟɧ-
ɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ. Ɉɞɧɚɤɨ, ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɳɟ ɨɞɢɧ ɫɩɨɫɨɛ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ
ɬɨɱɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ɞɥɹ
D
ɢ
E
, ɢɫɯɨɞɹɳɢɣ ɢɡ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɧɚɢɦɟɧɶ-
ɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɷɬɨɦɭ ɩɪɢɧɰɢɩɭ, ɨɰɟɧɤɢ
D
ɢ
E
ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɩɭɬɟɦ
ɦɢɧɢɦɢɡɚɰɢɢ ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
Qyx
ii
i
n
(, ( )
DE D E
¦
2
1
ɩɨ ɜɫɟɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ
D
ɢ
E
ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɵɯ (ɧɚ-
ɛɥɸɞɚɟɦɵɯ) ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ
xxyy
nn11
,,, ,,
. Ɏɭɧɤɰɢɹ
Q(,
D
E
ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɹ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ
zQ (,
D
E
ɜ ɬɪɟɯɦɟɪɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɫ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɣ ɫɢɫ-
ɬɟɦɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
D
E
,,z
, ɢ ɞɟɥɨ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɦɚɬɟ-
ɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɩɨɢɫɤɚ ɬɨɱɤɢ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɜɭɯ ɩɟ-
ɪɟɦɟɧɧɵɯ.
Ɍɚɤɚɹ ɬɨɱɤɚ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɩɭɬɟɦ ɩɪɢɪɚɜɧɢɜɚɧɢɹ ɧɭɥɸ ɱɚɫɬ-
ɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɢ
zQ (,
D
E
ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ
D
ɢ
E
, ɬ. ɟ. ɩɪɢɪɚɜɧɢɜɚɧɢɟɦ ɧɭɥɸ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
Q(,
D
E
ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ
D
ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
E
,
,0/),(Q wEEDw
ɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
Q(,
D
E
ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ
E
ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
D
,
,0/),(Q wEEDw
ɗɬɨ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
w
D
E
w
D
,Q(,)/ 0,0/),(Q
wEEDw
ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ
D
,
E
. Ɉɫɬɚɟɬɫɹ ɡɚɦɟ-
ɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɚɜɢɥɚɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ,
w
D
E
w
D
Q(,)/
21
1
,()yx
ii
i
n
¦
DE
w
D
E
w
E
Q(,)/
2
1
,()yxx
iii
i
n
¦
DE
ɬɚɤ ɱɬɨ ɢɫɤɨɦɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
D
,
E
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟ-
ɧɢɹɦ
(
)yx
ii
i
n
¦
DE
,0
1
(
)yxx
iii
i
n
¦
DE
=0 .
1
ɗɬɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɞɜɭɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɜ ɜɢɞɟ
nx y
xxyx
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
DE
DE
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
®
°
°
¯
°
°
¦¦
¦¦¦
11
1
2
11
.
ɉɨɫɥɟɞɧɹɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɞɜɭɯ ɥɢɧɟɣɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɞɜɭɦɹ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦɢ ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɥɟɝɤɨ ɪɟɲɟɧɚ,
ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɦɟɬɨɞɨɦ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɢ.
ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɚɯɨɞɢɦ:
DEE
,
¦¦
1
1
1
1
n
i
i
n
n
i
i
n
yxyx
ɬɚɤ ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ
xy, ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ
yx
DE
. ɉɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ
D
ɜɨ
ɜɬɨɪɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɚɟɬ
1
11
1
1
2
2
11
n
i
i
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
yx x x yx
¦¦ ¦ ¦ ¦
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
EE
,
ɨɬɤɭɞɚ
E
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸
¦¦¦
¦¦
¦
¦
yx y x
xx
nyxnyx
xnx
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
ii
i
n
i
i
n
1
111
2
1
1
2
1
1
22
1
.
Ɂɚɦɟɬɢɦ ɟɳɟ, ɱɬɨ
xx x xxnx x nx
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
i
n
¦¦ ¦¦
2
1
2
1
222
11
2 ,
yyxx yxyxxynyx yxnyx
ii
i
n
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
ii
i
n
¦¦¦¦¦
11111
.
ɉɨɫɥɟɞɧɢɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɛɨɥɟɟ ɭɩɨɬ-
ɪɟɛɢɬɟɥɶɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɡɚɩɢɫɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ
E
(ɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹɯ
ɨɬ ɫɪɟɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ)
E
¦
¦
yyxx
xx
ii
i
n
i
i
n
1
2
1
,
ɤɨɬɨɪɚɹ ɜ ɩɚɪɟ ɫ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟɦ
DE
yx
ɞɚɟɬ ɹɜɧɨɟ ɢ ɩɪɨɫɬɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɨɬɵɫɤɚɧɢɹ ɨɰɟɧɨɤ
D
,
E
ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ.
Ɋɚɡɭɦɟɟɬɫɹ, ɬɚɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɦɨɠɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢ
ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɭɫɥɨɜɢɹ
xx
i
i
n
z
¦
2
1
0 ,
ɱɬɨ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɨɬɥɢɱɢɸ ɨɬ ɧɭɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
.
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɷɬɨɬ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɪɚɜɟɧ
nx x n xnx n xx
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
.
2
11
2
22
1
2
1
¦¦ ¦ ¦
§
©
¨
·
¹
¸
ª
¬
«
º
¼
»
ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɢɞɟɧɬɢɮɢɰɢ-
ɪɭɟɦɨɫɬɢ
ɦɨɞɟɥɢ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ
yxin
iii
DE H
,,, 1
,
ɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɩɨɩɪɨɫɬɭ, ɱɬɨ ɧɟ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
xx
n1
,,
ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ
ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ. ɉɪɢ ɧɚɪɭɲɟɧɢɢ ɷɬɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ
xy i n
ii
,, ,, 1
, ɥɟɠɚɬ ɧɚ ɨɞɧɨɣ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ
x
x
.
Ɉɰɟɧɤɢ
D
ɢ
E
ɨɛɵɱɧɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɨɰɟɧɤɚɦɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ
ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ (least squares estimates)
, ɢɥɢ LS — ɨɰɟɧɤɚɦɢ. Ɉɛɪɚ-
ɬɢɦ ɟɳɟ ɪɚɡ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ
E
. ɇɟ-
ɬɪɭɞɧɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɜ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɜɯɨɞɹɬ ɭɠɟ ɡɧɚɤɨɦɵɟ ɧɚɦ
ɫɭɦɦɵ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ, ɭɱɚɫɬɜɨɜɚɜɲɢɟ ɪɚɧɟɟ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɜɵɛɨ-
ɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
Var x x x n
i
i
n
()
¦
2
1
1
ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ
ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ
Cov x y x x y y n
ii
i
n
(,)
¦
1
1 ,
ɬɚɤ ɱɬɨ, ɜ
ɷɬɢɯ ɬɟɪɦɢɧɚɯ,
(,)
()
E
Cov x y
Var x
.
Ɉɬɫɸɞɚ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
E
ɛɥɢɡɤɢ ɤ ɧɭ-
ɥɸ, ɟɫɥɢ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɦɟɠɞɭ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɩɟɪɟ-
ɦɟɧɧɵɯ
x
ɢ
y
ɛɥɢɡɤɚ ɤ ɧɭɥɸ. (Ɉɞɧɚɤɨ, ɛɥɢɡɨɫɬɶ
E
ɤɧɭɥɸ
ɡɞɟɫɶ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɤɚɤ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ
, ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɪɟɚɥɶɧɵɯ
ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ
Var x .) Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɡɧɚɤ
E
ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ
ɫɨ ɡɧɚɤɨɦ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ
Cov x y,, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ
Var x ! 0.
ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
D
ɢ
E
ɞɥɹ ɧɚɲɟɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ ɞɚɟɬ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ
,
=y- .
./. .
....
E
DE
0 020415 0162976 0125
3118 0125 6 576 2 294x
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, «ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ» ɩɪɹɦɚɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
y
x
2 294 0125.. ,
ɢ ɦɵ ɩɪɢɧɢɦɚɟɦ ɟɟ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɢ ɞɥɹ «ɢɫɬɢɧ-
ɧɨɣ» ɦɨɞɟɥɢ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
x
ɢ
y
. ɗɬɚ
ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɚɰɢɹ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬ ɧɚ ɬɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧ-
ɧɨɣ
x
ɧɚ 1 ɟɞɢɧɢɰɭ (ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ
x
) ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ
y
ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ
«ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ» ɧɚ 0125. ɟɞɢɧɢɰ (ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ
y
).
Ɏɚɤɬ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɫɬɢ ɩɪɹɦɨɣ
yx
DE
ɩɪɢ
E
0
Cov x y, 0 ɢ ɧɚɥɢɱɢɟ ɭ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɧɚɤɥɨɧɚ ɩɪɢ
E
z 0
Cov x y, z 0
, ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɞɟɬɚɥɢɡɚɰɢɸ
ɫɬɪɭɤɬɭɪɵ ɨɫɬɚɬɤɨɜ
ey x
ii i
DE
.
ɋ ɷɬɨɣ ɰɟɥɶɸ, ɨɩɹɬɶ
ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɢɚɝɪɚɦɦɭ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ, ɫɨɫɪɟɞɨɬɨɱɢɜɲɢɫɶ ɧɚ ɤɚ-
ɤɨɣ-ɧɢɛɭɞɶ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɟ. ɉɭɫɬɶ ɜ ɧɚɲɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɷɬɨ ɬɨɱɤɚ A =
(7.1, 3.3). Ɉɩɭɫɬɢɦ ɢɡ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪ ɧɚ ɨɫɶ ɚɛɫ-
ɰɢɫɫ. Ɉɧ ɩɟɪɟɫɟɱɟɬ ɩɪɹɦɭɸ
y
x
ɜ ɬɨɱɤɟ B = (7.1, 3.118) ɢ
ɩɪɹɦɭɸ yx
DE
ɜ ɬɨɱɤɟ C = (7.1, 3.183), ɬɚɤ ɱɬɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ
ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ
y
x
, ɪɚɜɧɨɟ AB = 3.3 —
3.118= 0.182, ɪɚɫɤɥɚɞɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɭɦɦɭ
AB A
C
B
C .
Ɉɬɫɸɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A
ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ yx
DE
ɪɚɜɧɨ AC = AB — CB = 0.182 — (3.183
— 3.118) = 0.117.
ȼɨɨɛɳɟ, ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɬɨɱɤɢ
xy
ii
,
ɧɚ ɞɢɚɝɪɚɦɦɟ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ
ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ:
yyyy yy
iiii
,
ɝɞɟ
yx
ii
DE
- ɨɪɞɢɧɚɬɚ ɬɨɱɤɢ «ɧɚɢɥɭɱɲɟɣ» ɩɪɹɦɨɣ,
ɢɦɟɸɳɟɣ ɚɛɫɰɢɫɫɭ
x
i
. ȼɨɡɜɟɞɟɦ ɨɛɟ ɱɚɫɬɢ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɩɪɟɞ-
ɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ ɢ ɩɪɨɫɭɦɦɢɪɭɟɦ ɥɟɜɵɟ ɢ ɩɪɚɜɵɟ ɱɚɫɬɢ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ i ɪɚɜɟɧɫɬɜ:
yy yy yy yyyy
i
i
n
iii
i
n
i
n
iii
i
n
¦¦¦¦
2
1
22
111
.
ȼɯɨɞɹɳɚɹ ɜ ɩɪɚɜɭɸ ɱɚɫɬɶ ɫɭɦɦɚ
yy e
ii i
i
n
i
n
¦¦
2
2
11
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɚɳɟ ɜɫɟɝɨ
ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɫɭɦɦɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ
(residual sum of squares)
ɢ ɢɦɟɟɬ ɚɛɛɪɟɜɢɚɬɭɪɭ RSS (Ⱦɨɭɝɟɪɬɢ,
Ⱥɣɜɚɡɹɧ-Ɇɯɢɬɚɪɹɧ, ɋɟɛɟɪ), ɯɨɬɹ ɜ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɟ ɩɨ ɷɤɨɧɨɦɟɬɪɢ-
ɤɟ ɦɨɠɧɨ ɜɫɬɪɟɬɢɬɶ ɢ ɬɚɤɢɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɚɛɛɪɟɜɢɚɬɭɪ ɤɚɤ SSR
(Green), ɚ ɬɚɤɠɟ ESS (error sum of squares — Harvey, Chatterjie)
ɢ SSE (Ɇɚɝɧɭɫ-Ʉɚɬɵɲɟɜ-ɉɟɪɟɫɟɰɤɢɣ). ɉɨɷɬɨɦɭ, ɩɪɢ ɱɬɟɧɢɢ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɪɭɤɨɜɨɞɫɬɜ ɩɨ ɷɤɨɧɨɦɟɬɪɢɤɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɛɪɚɬɢɬɶ ɨɫɨ-
ɛɨɟ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɬɨ, ɤɚɤɢɟ ɢɦɟɧɧɨ ɬɟɪɦɢɧɵ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɫ-
ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɚɜɬɨɪɚɦɢ.
Ɂɚɦɟɬɢɦ
, ɱɬɨ ɟɫɥɢ
E
0
, ɬɨ
D
x ɢ
yx
i
{
. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ-
ɧɨ, ɩɪɢ
E
0
yy yy
ii i
i
n
i
n
¦¦
22
11
.
ɉɪɢ
E
z 0
, ɩɨ ɫɚɦɨɦɭ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɩɪɹɦɨɣ yx
DE
,
ɢɦɟɟɦ
yy yy
ii i
i
n
i
n
¦¦
22
11
.
Ɍɟɧɞɟɧɰɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ
x
ɢ
y
ɜɵɪɚɠɟɧɚ ɜ ɦɚɤ-
ɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ, ɟɫɥɢ
R
S
S
0. ɉɪɢ ɷɬɨɦ, ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ
xy
ii
,
,
i = 1, 2,..., n, ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɸɬɫɹ ɧɚ ɨɞɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ
yx
DE
. Ɍɟɧ-
ɞɟɧɰɢɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
x
ɢ
y
ɧɟ ɨɛɧɚ-