Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
161
3.10.
xx
x
⋅⋅
−
2
1
. 3.11.
+⋅⋅
3
2
32
x
x . 3.12.
( )
xxx −⋅+
−
1
1
.
3.13.
( )
222
122
22
2
++⋅⋅
⋅+−
xxx
xx
. 3.14.
( )
2
cos1
sin
2
x
x
+
⋅ . 3.15.
x
cos
−
. 3.16.
x
2
cos
2
6
.
3.17.
xx
e
e
−
−
⋅
⋅
−
2
sin
2
. 3.18.
xtg
x
3
2
1
⋅
⋅
. 3.19.
2
3
x
ctg .
3.20.
x
ln
sin
2
⋅
. 3.21.
tgx
x
ln
sin
⋅
−
. 3.22.
( )
x
x
x
ln
1
2
2
2
⋅
+
⋅
−
.
3.23.
( )
2
2
3
1
2
−
⋅
x
x
. 3.24.
x
cos
1
. 3.25.
x
3
cos
2
. 3.26.
19
6
4
+x
x
. 3.27.
1
1
2
+x
.
3.28.
x
e
2
. 3.29.
( )
2
2
2
1
4
−
⋅−
x
x
e
e
. 3.30.
1
2
4
+
x
e
. 3.31.
1
2
4
2
+
⋅
x
x
e
e
. 3.32.
2
arccos
x
.
3.33.
x
x
arcsin
2
1
⋅
⋅
. 3.34.
( )
2
2
22
2
++ xx
. 3.35.
2
9
6
x
+
. 3.36. arctgx
x
x
⋅
+
1
2
2
.
3.37.
( )
x
xx
++⋅
++
112
1
. 3.38.
( )( )( )( )
4321
6
−−−−
−
−
xxxx
. 3.39. 1)
(
)
10
=
′
f ,
(
)
11
−
=
′
f ,
(
)
1910
−
=
′
f ; 2)
(
)
49501,0
−
=
′
f ; 3) 2
6
=
′
π
f ; 4)
(
)
81
−
=
′
f ,
(
)
=
′
2f
(
)
03
=
′
f ; 5)
()
2
1
0 =
′
f ;6) 2
2
3
8
=
′
π
f ; 7)
15
4
2
1
−=
−
′
y ;
8)
(
)
01
=
−
′
y ,
(
)
ey
⋅
=
′
21 ,
(
)
10
−
=
′
−
y ,
(
)
10
=
′
+
y . 3.40. 4. 3.41.
2
3
6
−=
′
π
y ,
2
2
4
3
=
′
π
y , 3
2
−=
′
−
π
y , 1
2
=
′
+
π
y . 3.42.
82
,
83
,
67
,
27
(ед./ч).
3.43.
(
)
4,001,0
−
⋅
=
′
xxf ,
(
)
2,060
=
′
f ,
(
)
4,080
=
′
f ((л на 100 км)/км/ч).
3.44. 1)
(
)
1ln +⋅ xx
x
; 2)
(
)
(
)
( )
4
1
31719
+
−
−
x
xx
; 3)
(
)
(
)
ctgxxxx
x
⋅+⋅ sinlnsin ;
4)
( )
−⋅⋅ x
x
x
x
x
lnln
ln
11
ln
2
1
; 5)
( )( )
3
2
8
2
21
5
3
2
+⋅−⋅
−+
⋅−
xxx
xx
;
162
6)
( ) ( )
3
3sin1
3sin
3sin1
3
x
x
x
xctg
−
⋅
−
; 7)
+⋅⋅
x
xex
xe
x
1
ln ; 8)
( )
x
x
x
x
ln1
1
2
1
−⋅⋅
;
9)
( )
⋅+
−
⋅ ctgxx
x
x
x
x
arcsin
1
sinln
sin
2
arcsin
; 10)
( )
( )
++⋅⋅⋅
x
xxxx
xx
x
1
1lnln ;
11)
(
)
⋅
−+⋅
x
x
x
x
x
x
x
x
ln2
ln
1
lnln
ln
ln
; 12)
(
)
( )
++⋅
+
1ln2
1
2
xx
x
( )
+
+⋅⋅⋅+
x
xx
x
x
1
ln2ln2
2
(
)
(
)
1ln2ln2 +⋅⋅⋅ xx
xx
x
. 3.45. 1)
( )
3
5
44
+
−
x
;
2)
x
ln
; 3)
x
2
cos
2
−
; 4)
( )
2
4
4
1
62
x
x
+
⋅−
; 5) xxx 3sin3cos
3
4
⋅−⋅ ;
6)
(
)
122
2
2
−⋅⋅
−
xe
x
; 7)
(
)
( )
2
2
2
1
1
2ln3
2
x
x
−
+
⋅
⋅
− ; 8) x
x
lnsin
2
⋅− . 3.46. 1)
( )
4
1
1
+x
;
2)
3
3ln2
x
x
−
; 3)
( )
3232
3
+⋅+
−
xx
; 4)
(
)
t
et
−
⋅−3 ; 5)
x
x
x
cos
sin
3
⋅
−
⋅
−
;
6)
(
)
( )
3
2
2
4
344
x
x
+
−⋅
− . 3.47. 1)
2
2
1
x
n
e⋅ ; 2)
( )
( )
1
12
!2
1
+
+
⋅
−
n
n
n
x
n
;
3)
(
)
(
)
(
)
n
x
n
x
2ln212 ⋅⋅−+
−
; 4) !4 n
n
⋅ ; 5)
( )
(
)
n
n
x
n !1
1
1
−
⋅−
+
;
6)
(
)
(
)
x
nn
n
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
2
35...1212
; 7)
⋅+⋅⋅−
−
nx
n
2
2cos23
1
π
;
8)
( )
(
)
( )
1
1
!
1
+
−
+
⋅⋅−
⋅−
n
n
n
dcx
nсadbc
. 3.48. 1) –1; 2) 6; 3)
(
)
00
=
y ,
(
)
30
=
′
y ,
(
)
120
=
′
′
y .
3.50. 1)
′
⋅−=
′
23
12
x
f
x
y ,
′′
⋅+
′
⋅⋅=
′′
2224
121
3
2
x
f
xx
f
x
y ; 2)
(
)
()
xf
xf
y
′
=
′
,
(
)
(
)
(
)
(
)
()( )
2
2
xf
xfxfxf
y
′
−⋅
′′
=
′′
. 3.51. 1) −
′
=
′
u
u
y
v
v
′
,
(
)
−
′
−⋅
′′
=
′′
2
2
u
uuu
y
(
)
2
2
v
vvv
′
−⋅
′′
;
2)
22
vu
vvuu
y
+
′
⋅
+
′
⋅
=
′
,
(
)
( )
+
+
′
⋅−
′
⋅
=
′′
3
22
2
vu
vuuv
y
22
vu
vvuu
+
′
′
⋅
+
′
′
⋅
.
3.52. 1)
(
)
−−− xxx cos209
2
(
)
xx sin1215
+
⋅
; 2)
(
)
x
exx ⋅++ 36039
2
;
163
3)
(
)
x
exx
−
⋅−cossin4 ; 4)
9
2
ln
!8
x
⋅
. 3.53. 1)
yx
xyx
y
2
23
2
2
+
+
−=
′
; 2)
xy
e
x
y
y +=
′
;
3)
15
2
4
+
=
′
y
x
y ; 4)
(
)
( )
yxy
xxy
y
22
22
2
2
−
−
=
′
; 5)
xxy
yxy
y
+
+
−=
′
2
2
; 6)
yx
yx
y
−
+
=
′
;
7)
3
x
y
y −=
′
; 8)
(
)
( )
xyx
yyx
y
12
12
22
22
−
+
−=
′
; 9)
(
)
( )
xyx
xyy
y
sin
sin1
⋅
⋅
+
−=
′
;
10)
(
)
( )
yx
yx
y
++
+
−=
′
sin1
sin
; 11)
(
)
1
0
−
−=
′
ey ; 12)
(
)
20
=
′
y .
3.54. 1)
(
)
5
2
12
y
y
y
+⋅
−=
′′
; 2)
(
)
(
)
( )
3
22
1
11
y
xyyx
e
eeee
y
+
+−+
=
′′
; 3)
(
)
1000
=
′
′
y ;
4)
()
256
111
1 =
′′
y . 3.55. 1)
+
−
=
′
++=
,1
1
,13
2
2
3
t
t
y
ttx
(
)
+∞
∞
−
∈
,t ;
2)
(
)
−
=
′
−=
,cos1
sin
,sin2
t
t
y
ttx
Z
k
k
t
∈
≠
,
2
π
; 3)
−
−
=
′
+
=
,21
2
,
1
3
3
4
3
t
tt
y
t
t
x
1
−
≠
t
,
3
2
1
≠t
;
4)
=
′
=
,2
,ln2
tctgy
ctgtx
∈
2
,0
π
t . 3.56. 1)
( )
+
−=
′′
+=
,12
1
,2
4
2
t
y
ttx
(
)
+∞
−
∈
,1t ;
2)
⋅
=
′′
=
,
cos2sin2
1
,cos2
3
3
tt
y
tx
∈
2
,0
π
t ; 3)
( )
−=
′′
+=
−
,2
,1
618
6
tt
t
eey
ex
(
)
+∞
∞
−
∈
,t ;
4)
( )
−⋅
=
′′
⋅=
,
sincos
2
,cos
3
tte
y
tex
t
t
−∈
4
\
2
,
2
πππ
t .
3.58. 1) а)
2
1
−=∆y ,
1
−
=
dy
,
2
1
=∆
a
,
1
=
δ
; б)
11
1
−=∆y ,
1
,
0
−
=
dy
,
110
1
=∆
a
,
1
,
0
=
δ
; в)
101
1
−=∆y ,
01
,
0
−
=
dy
,
10100
1
=∆
a
,
01
,
0
=
δ
;
2) а)
19
=
∆
y
,
12
=
dy
, 7
=
∆
a
, 368,0
19
7
≈=δ ; б)
261
,
1
=
∆
y
,
2
,
1
=
dy
,
061,0
=
∆
a
, 05,0
1261
61
≈=δ ; в)
120601
,
0
=
∆
y
,
12
,
0
=
dy
,
4
1001,6
−
⋅=∆
a
,
005
,
0
≈
δ
. 3.59. 1) Дифференциал
(
)
=
=
0
tdfds
(
)
ttf
∆
⋅
′
0
равен пути,
который был бы пройден материальной точкой за время
t
∆
при
164
равномерном движении на отрезке времени
[
]
ttt
∆
+
00
, со скоростью
(
)
=
tv
(
)
0
tf
′
; 2) дифференциал
(
)
=
=
0
tdfdQ
(
)
ttf
∆
⋅
′
0
равен объёму
продукции, который рабочий произвёл бы за промежуток времени от
момента
0
t до tt
∆
+
0
, если бы работал с постоянной производительностью
труда
(
)
=
tu
(
)
0
tf
′
,
[
]
tttt
∆
+
∈
00
, . 3.60. 1)
(
)
dxex
x
⋅⋅+1 ; 2)
dx
x
4
3
−
;
3)
dx
x
x
1
2
2
−
; 4)
dx
xx
x
⋅⋅
−
2
ln2
; 5) dx
ax
x
22
+
; 6)
( )
dx
xx
22
11
1
−−
.
3.61. 1)
xdx
x
sin
; 2)
xdx
e
x 22
sin
⋅
; 3) dx
e
e
x
x
4
2
1
2
+
; 4)
xdx
ln
;
5) dxx
x
xx
+ cos
2
sin2 ; 6) dxe
x
tgx
xcos
1
cos
−
⋅− ;
7)
(
)
dx
x 36
1
2
−
; 8)
xdx
arcsin
. 3.62. 1)
(
)
dxwvuwvuwvu
′
⋅
⋅
+
⋅
′
⋅
+
⋅
⋅
′
;
2) dx
v
vuvu
3
2
′
⋅
⋅
−
⋅
′
; 3)
( )
dx
vu
vvuu
3
22
+
′
⋅
+
′
⋅
−
; 4) dx
u
v
vuvu
22
+
′
⋅
−
⋅
′
;
5)
(
)
(
)
(
)
(
)
dxewvuwvu
wvu
+
⋅
′
⋅++⋅
′
+
′
; 6)
dx
v
u
vvuu
22
+
′
⋅
+
′
⋅
. 3.63. 1)
150
1
1 ;
2)
40
1
4
+
π
; 3)
90
1
π
+ ; 4)
160
159
1 ; 5)
360
3
2
1 π⋅
− ; 6) 0,2; 7)
80
1
2 ; 8)
540
1
π
− ;
9) 1,15. 3.64. 1) 1,2; 2) 0,97. 3.65. 0,5 км. 3.66. 9,12
2
мπ . 3.67. 10,83
3
мπ .
3.68. 2см. 3.69. 3 см. 3.70. 1)
2
2
dx
a
⋅
⋅
; 2)
(
)
22
2
313ln23ln2 dxx
x−
⋅− ;
3)
(
)
22
sin dxcbxba ⋅+⋅⋅− ; 4)
( )
2
3
2
1
1
dx
x+
; 5)
2
3
3ln2
dx
x
x
−
;
6)
(
)
( )
2
3
2
2
23
7932
dx
xx
xx
+−
+−
; 7)
( )
2
3
2
2
1
1arcsin
dx
x
xxx
−
−+
− ; 8)
( )
2
3
2
4
dx
x
x
+
− ;
9)
( )
2
2
1
1ln dxx
x
x
x⋅
⋅
++ . 3.71. 1)
3
2
1
dx
x
−
; 2)
3
2sin4 dxx− ;
3)
3
3
1
8
15
dx
xx
⋅−
. 3.72. 1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3 dxuufuuufuuf
′′′
⋅
′
+
′′
⋅
′
⋅
′′
+
′
⋅
′′′
;
2)
(
)
3
3
2
3
32
dx
u
uuuuuu
′′′
⋅+
′′
⋅
′
⋅−
′
; 3)
(
)
(
)
3
3
3 dxuuuue
u
′′′
+
′′
⋅
′
+
′
⋅ ;
4)
(
)
3
32 dxuuuu
′′′
⋅+
′′
⋅
′
. 3.73. 1) а)
222
4 dxeyd
x
⋅= ;
б) =yd
2
(
)
(
)
2
2
2
22 dtxxe
x
⋅
′
+
′′
⋅ ; 2) а) =yd
2
(
)
23
7402 dxx ⋅− ;
165
б) =yd
2
(
)
(
)
(
)
(
)
23
2
3
7107402 dtxxxxx ⋅
′′
⋅⋅−+
′
− ; 3) а)
(
)
( )
2
2
4
4
2
1
314
dx
x
x
yd
−
+
−= ;
б)
( )
(
)
( )
( )
2
2
4
4
4
2
1
31
1
4
dtxxx
x
x
x
yd
′′
⋅+
′
⋅
−
+
⋅
−
−=
⋅
. 3.74. 1)
dx
yx
y
dy
2+
−=
,
(
)
( )
2
3
2
2
2 dx
yx
yyx
yd ⋅
+
+
= ; 2)
dx
e
dy
y
1
1
−
=
,
( )
2
3
2
1
dx
e
e
yd
y
y
⋅
−
= .
3.75. 1)
3
7
+
−
=
x
y
,
7
1
10
7
1
+= xy ; 2)
5
=
y
,
2
−
=
x
; 3) 1
4
1
+= xy ,
18
4
+
−
=
x
y
; 4)
1
−
=
x
y
,
1
+
−
=
x
y
; 5)
x
y
2
=
, xy
2
1
−= ; 6)
( )
5
2
1
−−= xy ,
x
y
2
=
; 7)
3
2
+
=
x
y
,
2
1
2
1
+−= xy ; 8)
12
11
+
=
x
y ,
13
12
+
−
=
x
y
.
3.76.
8
4
+
−
=
x
y
,
4
2
−
=
x
y . 3.77.
3
−
=
b
,
4
=
c
. 3.78. 1)
3
2
arctg ; 2)
4
π
.
3.79. 1)
(
)
4;2
−
−
; 2)
4
1
4;
2
1
. 3.80. 1) средний прирост: а) 11,5; б) 6; в) 4;
г) 2; 2) относительный прирост функции: а)
7
2
3 ; б) 0,4; в)
21
4
; г) 0,08;
3) темп прироста: а)
70
23
; б) 0,04; в)
105
2
; г) 0, 008.
3.81. 1) а)
(
)
xxf
∀
−
=
′
2 ; б)
(
)
()
52
2
−
=
′
xxf
xf
,
(
)
()
3
2
1
1
−=
′
f
f
,
(
)
()
2
2
2
−=
′
f
f
;
в)
()
5
2
2
−
=
x
x
fE
x
,
( )
3
2
1
−=
=xx
fE ,
(
)
4
2
−=
=xx
fE ; 2) а)
(
)
32
+
=
′
xxf ,
(
)
51
=
′
f ,
(
)
93
=
′
f ; б)
(
)
()
13
32
2
++
+
=
′
xx
x
xf
xf
,
(
)
()
1
1
1
=
′
f
f
,
(
)
()
19
9
3
3
=
′
f
f
;
в)
( )
1
3
32
2
2
+
+
+
=
x
x
xx
fE
x
,
(
)
1
1
=
=xx
fE ,
( )
19
8
1
3
=
=xx
fE ;
3) а)
(
)
(
)
x
exxxf
−
⋅−⋅=
′
4
3
,
()
e
f
3
1 =
′
,
(
)
04
=
′
f ; б)
(
)
()
1
4
−=
′
xxf
xf
,
(
)
()
3
1
1
=
′
f
f
,
(
)
()
0
4
4
=
′
f
f
; в)
(
)
xfE
x
−
=
4 ,
(
)
3
1
=
=xx
fE ,
(
)
0
4
=
=xx
fE ;
4) а)
()
( )
2
3
2
−
−=
′
x
xf ,
(
)
85,3
−
=
′
f ,
(
)
5,05
−
=
′
f ; б)
(
)
() ( )( )
13
2
−−
−=
′
xxxf
xf
,
(
)
( )
6,1
5,3
5,3
−=
′
f
f
,
(
)
()
25,0
5
5
−=
′
f
f
; в)
( )
( )( )
13
2
−−
−=
xx
x
fE
x
,
(
)
6,5
5,3
−=
=xx
fE ,
(
)
25,1
5
−=
=xx
fE ; 5) а)
()
1
1
+
=
′
x
xf ,
(
)
10
=
′
f ,
( )
e
ef
1
1 =−
′
;
166
б)
(
)
() ( ) ( )( )
11ln1
1
+++
=
′
xxxf
xf
,
(
)
()
1
0
0
=
′
f
f
,
(
)
( )
eef
ef
⋅
=
−
−
′
2
1
1
1
;
в)
( )
( ) ( )( )
11ln1 +++
=
xx
x
fE
x
,
(
)
0
0
=
=xx
fE ,
( )
e
e
fE
exx
⋅
−
=
−=
2
1
1
;
6) а)
(
)
xxf 5,0cos
=
′
,
2
2
2
=
′
π
f ,
(
)
0
=
′
π
f ; б)
(
)
()
xctg
xf
xf
5,0
2
1
=
′
,
2
1
2
2
=
′
π
π
f
f
,
(
)
()
0=
′
π
π
f
f
; в)
()
xctg
x
fE
x
5,0
2
= ,
( )
4
2
π
π
=
=x
x
fE ,
(
)
0=
=πxx
fE ;
7) а)
(
)
1−
=
′
x
exf ,
(
)
11
=
′
f ,
(
)
3
4 ef =
′
; б)
(
)
()
3
1
1
+
=
′
−
−
x
x
e
e
xf
xf
,
(
)
()
4
1
1
1
=
′
f
f
,
(
)
()
34
4
3
3
+
=
′
e
e
f
f
; в)
(
)
=
fE
x
3
1
1
+
⋅
−
−
x
x
e
ex
,
( )
4
1
1
=
=xx
fE ,
(
)
=
=4xx
fE
3
4
3
3
+
⋅
e
e
;
8) а)
()
( )
2
ln
1ln
x
x
xf
−
=
′
,
(
)
0
=
′
ef ,
( )
4
1
2
=
′
ef ; б)
(
)
()
=
′
xf
xf
x
x
x
ln
1ln
⋅
−
,
(
)
()
0=
′
ef
ef
,
(
)
( )
22
2
2
1
eef
ef
⋅
=
′
; в)
(
)
=
fE
x
x
x
ln
1ln
−
,
(
)
0=
=exx
fE ,
(
)
=
=
2
ex
x
fE
2
1
.
3.86.
(
)
(
)
xxfE
x
∀
=
3 , функция увеличится на 3% , 1)
%
0301
,
3
=
∆
y
, абс.
погрешность 0, 0301%; 2)
%
0301
,
3
=
∆
y
, абс. погрешность 0,301%.
3.88. 1)
()( )
5
2
2
−
=
x
x
xfE
x
,
(
)
xf эластична при
5
,
2
>
x
, неэластична при
5
,
2
<
x
; 2)
(
)
(
)
2ln3
⋅
⋅
=
xxfE
x
, функция эластична при
2
ln
3
1
>x ,
неэластична при
2
ln
3
1
<x . 3.89. 1)
(
)
(
)
xxxTP 32ln5,0
+
+
⋅
=
,
()
x
xMP
3
2
3
5,0
+
+= ; 2)
()
5
4
5
1
3
−
−+=
x
xxTP ,
()
+
⋅
=
4
3
4
1
x
xMP 2ln
5
1
5−
x
;
3)
()
+−=
x
xTP
5
2
x
arctg
4
,
0
3
+
,
()
22
8,05
65
xx
xMP
+
+=
. 3.90. AC=9,
MC =7, ср. издержки убывают. 3.91. 1) MC
(
)
Q = 31 ,
(
)
(
)
=
=
105 MCMC
(
)
3120
=
MC
; 2)
( )
1
2
+
=
Q
QMC
,
(
)
315
=
MC ,
(
)
11210
=
MC
,
167
(
)
21220
=
MC
; 3)
( )
122
1
2
++
=
QQ
QMC
,
(
)
6115
=
MC ,
(
)
221110
=
MC
,
(
)
841120
=
MC
. 3.92. 1) а)
(
)
( )
32
2
02,050
06,0250
QQQ
QQ
QC
QС
+−
+−
=
′
,
( )( )
32
32
02,050
06,0250
QQQ
QQQ
QCE
Q
+−
+−
= ,
(
)
( )
35
3
10
10
=
′
C
С
,
( )( )
7
6
10 =CE
Q
, б) увеличится
на
7
12
%; 2) а)
(
)
( )
2
1,0230
2,02
QQ
Q
QC
QС
++
+
=
′
,
(
)
(
)
=
QCE
Q
2
2
1,0230
2,02
QQ
QQ
++
+
,
(
)
( )
15
1
10
10
=
′
C
С
,
( )( )
3
2
10 =CE
Q
, б) увеличится на
3
4
%. 3.93. AC=MC. 3.94. 1)
(
)
2,0
−
=
DE
P
; 2)
(
)
2ln
⋅
−
=
PDE
P
. 3.95.
3
1
5=P . 3.96. 1)
( )
23
2
2
−
=
P
P
DE
p
,
а)
()( )
⇒<= 1
15
8
4DE
p
спрос неэластичный; б)
()( )
⇒>= 1
9
14
7DE
p
спрос
эластичный; 2)
( )
( )
1+
−=
P
P
DE
p
, а)
()( )
⇒<= 1
5
4
4DE
p
спрос
неэластичный; б)
()( )
⇒<= 1
8
7
7DE
p
спрос неэластичный. 3.97.
k
P
2
1
>
.
3.98. 1)
()
8
−
=
P
P
SE
p
, предложение эластично при
(
)
+∞
∈
;8P ;
2)
()
P
P
SE
p
−
=
9
, при
[
)
5,4;0
∈
P предложение неэластично; при
(
)
9;5,4
∈
P предложение эластично, при
5
,
4
=
P
предложение нейтрально.
3.99. 1) a)
3
*
=
P
, б)
()( )
4
3
3 −=DE
p
,
()( )
4
3
3 =SE
p
, в) увеличится на
1,25%; 2) a)
2
*
=
P
, б)
()( )
10
3
2 −=DE
p
,
()( )
5
4
2 =SE
p
,
в) увеличится на 3,5%. 3.100.
13
6
3 . 3.101.
17
3
1 .
3.103. PQ 51875−= , спрос эластичен при
375
250
<
<
P
а) объёмы
продаж следует уменьшить, б) объёмы продаж следует увеличить.
168
3.104. ,5625,0
16
9
==MPC
(
)
(
)
6,016
=
CE
I
. 3.105.
=
*
I
64 (д. ед.),
(
)
(
)
=
64CE
I
( )
8125,0
16
13
64 === MPC . 3.106. 1)
(
)
δ
δ
+
⋅
+
1
1 rE
; 2) 49%.
3.107. а)
( )
( )
( )
βγ
βγβγ
+⋅+
⋅−⋅+⋅⋅
=
II
II
DE
I
2
2
2
; б)
( )
( )
β
β
+
=
I
DE
I
;
в)
( )
(
)
( )( )
βγ
γ
β
+⋅−
+
⋅
=
II
I
DE
I
; г)
( )
( )( )
βγ
γββ
+⋅−
⋅−⋅⋅+
=
II
II
DE
I
2
2
;
1) а)
( )( )
0879,0
22033
1937
100 −≈−=DE
I
, спрос уменьшится приблизительно на
0,178%; б)
( )
0909,0
11
1
100
≈=
=I
I
DE , спрос увеличится приблизительно на
0,1818%; в)
( )( )
0134,0
374
5
100 ≈=DE
I
, спрос увеличится приблизительно
на 0,0268%; г)
( )( )
3,1
187
243
100 ≈=DE
I
, спрос увеличится приблизительно на
2,6%; 2) а)
( )( )
2391,0
46
11
10 −≈−=DE
I
, спрос увеличится приблизительно на
0,7173 %; б)
(
)
(
)
5,010
=
DE
I
, спрос уменьшится приблизительно на 1,5 %;
в)
(
)
(
)
5,210
−
=
DE
I
, спрос увеличится приблизительно на 7,5 %;
г)
(
)
(
)
5,110
−
=
DE
I
, спрос увеличится приблизительно на 4,5%;
3.108.
3
2
. 3.109. 1) 26
2
3
+−= PD ,
12
2
+
=
P
S
; 2)
7
1
5*=P ,
7
2
18*=Q .
3.110. 1) Да, стационарная точка c=0; 2) нет, функция терпит разрыв
в точке x=1; 3) нет, функция не дифференцируема в точке x=0;
4) нет, функция не определена в точке x=0; 5) нет, функция не
дифференцируема в точке x=0; 6) да, стационарная точка 2
π
=
c .
3.113. 1) Да,
1
=
c
; 2) да,
1
−
=
e
c
; 3) нет, функция не дифф. в точке x=0.
3.114. 1)
(
)
1,1 ; 2)
−
4
15
,
2
1
. 3.115. Функция не дифф. в точке x=1.
169
3.117. 1)1; 2)
2
1
; 3)
5
3
; 4) 2; 5)
3
2
; 6)
2
1
; 7)
e
3
; 8) 2; 9) 0. 3.118. 1)
π
1
;
2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 0; 8)
2
3
− ; 9) -2;10)
∞
. 3.119. 1)1; 2) e; 3) 1; 4)1;
5)
2
e
; 6)
1−
e
. 3.120. 1) Предел равен нулю, правило Лопиталя не
применимо; 2) предел не существует, правило Лопиталя не применимо.
3.121. 1)
(
)
(
)
43
1313 −⋅+−⋅ xx
(
)
5
1−+ x ; 2)
(
)
(
)
+−⋅+−⋅−
2
14123 xx
(
)
(
)
43
116 −+−⋅+ xx . 3.122. 1)
( )
n
n
x
xo
n
xx
xe +++++=
!
...
!2
1
2
;2)
−
=
x
x
sin
++− ...
!3
3
x
( )
( )
( )
n
n
n
xo
n
x
2
12
1
!12
1 +
−
−
−
−
; 3)
( ) ( )
( )
n
n
n
xo
n
xx
xx +−++−=+
−1
2
1...
2
1ln ;
4)
( )
(
)
++
−
⋅
+⋅+=+ ...
!2
1
11
2
x
mm
xmx
m
(
)
(
)
( )
nn
xox
n
nmmm
+
+
−
⋅
⋅
−
⋅
!
1...1
.
3.123. 1)
( )
!2
1...
82
1
242
n
xxx
n
n
n
⋅
−+++− ; 2) ++− ...
48
125
2
5
3
x
x
( )
(
)
( )
!122
5
1
12
12
1
−⋅
−+
−
−
−
n
x
n
n
n
; 3)
( )
n
xxx
n
n
n
⋅
−++−+
−
4
1...
324
4ln
2
1
42
;
4) ++−+⋅ ...
576
24
1(2
2
xx
(
)
(
)
( )
)
!24
34...21
n
n
x
n
n
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
. 3.124. 1)
( )
+−−=
−
22
1
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
332
222 −+−−− xoxx ; 2)
( )
+−−= 1
2
1
1
1
x
x
( ) ( )
(
)
22
11
8
3
−+− xox ;
3)
(
)
(
)
+−+⋅+= 22ln144 xx
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222ln22ln46 −+−⋅++ xox .
3.125. 1)
( )
2
1
2
2
4
cos xxx −+≈
−
π
; 2)
2
x
x
e
x
x
+
≈
⋅
;
3)
( )
2
1ln
2
2
x
xxx +−≈+− . 3.126. 1)
( )
−−+≈ 1
4
1
1
4
xx
( ) ( )
32
1
128
7
1
32
3
−+− xx ;
2) −
++−≈
4
21
π
xtgx
32
43
8
4
2
++
+
ππ
xx . 3.127. 1) 625,1≈e ;
2) 366,870 ≈ ; 3) 005,3245
5
≈ . 3.128. 1) 169,010sin
0
≈ ; 2) 395,1
3
≈e ;
170
3)
163
,
0
2
,
1
ln
≈
; 4) 108,330
3
≈ . 3.129. 1) При
∞−∈
2
1
;x функция
возрастает; при
∞+∈ ;
2
1
x − убывает; 2) возрастает всюду; 3) при
(
)
1;1
−
∈
x функция возрастает; при
(
)
(
)
∞
+
−
∞
−
∈
;11; Ux − убывает; 4) при
(
)
6;
−
∞
−
∈
x функция убывает; при
(
)
∞
+
−
∈
;6x −возрастает; 5) при
(
)
5;
∞
−
∈
x функция возрастает; при
(
)
∞
+
∈
;5x − убывает; 6) при
(
)
1;1
−
∈
x
функция возрастает; при
(
)
(
)
∞
+
−
∞
−
∈
;11; Ux − убывает; 7) при
(
)
∞
+
∈
;1x
функция возрастает; при
(
)
1;0
∈
x − убывает; 8) при
(
)
100;0
∈
x функция
возрастает; при
(
)
∞
+
∈
;100x − убывает; 9) при
(
)
2;0
∈
x функция убывает;
при
(
)
∞
+
∈
;2x − возрастает;10) функция возрастает при
(
)
∞
+
∈
;0x (во
всей области определения); 11) при
U
Zn
nn
x
∈
+
∈
2
1
;
12
1
функция возрастает;
при
U
Zn
nn
x
∈
−
∈
12
1
;
2
1
− убывает; 12) при
(
)
(
)
+∞
−
∈
;10;1 Ux функция
возрастает; при
(
)
(
)
1;01; U
−
∞
−
∈
x − убывает; 13) при
∈ π
ππ
2;
4
5
4
;0 Ux
функция возрастает; при
∈
4
5
;
4
ππ
x − убывает; 14) при
Znnnx ∈
++−∈ ,2
4
;2
4
3
π
π
π
π
функция возрастает; при
Znnnx ∈
++∈ ,2
4
5
;2
4
π
π
π
π
− убывает. 3.130. 1)
0
≤
a
; 2)
1
≥
b
,
R
c
∈
.
3.134. 1)
4
3
2
5
min
=
−= yy ; 2)
( )
3
1
52
min
−=−= yy ,
()
3
1
52
max
== yy ;
3)
(
)
352
max
=
−
=
yy ,
(
)
734
min
−
=
=
yy ; 4)
(
)
21
min
=
−
=
yy ,
(
)
1105
max
=
=
yy ;
5) функция имеет две точки локального минимума:
(
)
31;1
1
min
1
min
−=−=−= yyx ;
(
)
302;2
2
min
2
min
−=== yyx и одну точку
локального максимума
(
)
20;0
maxmax
=
=
=
yyx 3)
(
)
22
max
−
=
−
=
yy ,