Никифорова И.А. Математика в экономике: сборник задач. Часть ?
Подождите немного. Документ загружается.
141
5.17. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегра-
лы:
1)
∫
π
0
sin xdxx
; 2)
∫
e
xdxx
1
ln
;
3)
∫
3
0
arctgxdx
;
4)
( )
∫
+
e
dxx
1
2
ln1
;
5)
∫
3
6
2
cos
π
π
x
xdx
;
6)
∫
+
1
0
1
arcsin
dx
x
x
;
7)
∫
e
e
dxx
1
ln
;
8)
∫
4
0
2
2cos
π
xdxx
;
9)
∫
2
0
2
cos
π
xdxe
x
;
10)
∫
4
0
2
sin
π
dxx
;
5.18. Найти среднее значение функции на указанном отрезке:
а)
(
)
;0,cos
2
π≤≤= xxxf
б)
()
;10,
4
1
2
≤≤
−
= x
x
xf
в)
()
;
4
0,
2
π
≤≤= xxtgxf
г)
(
)
;10, ≤≤= xxxf
д)
()
.21,
1
≤≤= x
x
xf
5.19. Определить дневную выработку Q рабочего за семичасовой рабо-
чий день, если производительность труда u (у. ед./ч) в течение дня описывает-
ся функцией
(
)
6,02,0025,0
2
0
++−⋅= ttuu , где t − время в часах от начала сме-
ны,
−
0
u
производительность в начале смены.
5.20. Функция
2
35 tty +=
(у. ед./ч) определяет интенсивность поступ-
ления продукции на склад в любой момент времени t, отсчитываемый в часах
от начала поступления продукции на склад. Определить количество продук-
ции, поступившей на склад за первые три часа приёма.
5.21. Зависимость нагрузки на трансформаторную подстанцию (в кило-
ваттах) от времени суток (в часах от начала суток) выражается формулой
+⋅+= 3
212
cos
t
bay
π
, здесь a, b − параметры. Определить: 1) расход элек-
троэнергии потребителями за сутки (за время от 0 до 24 часов); 2) провести
расчёт при следующих числовых значениях параметров: a = 25 тыс. квт., b =
15 тыс. квт.
142
5.22. Мощность y потребляемой городом электроэнергии выражается
формулой
( )
≤≤−⋅+
<≤
=
,246,6
18
sin
;60,
ttba
ta
y
π
где t (ч) − текущее время суток, a, b − постоянные. Найти суточное потребле-
ние электроэнергии: 1) при любых значениях a и b; 2) при a =15000 квт ,
b = 12000 квт.
5.23. Определить суммарные издержки производства за прошедший
период, если объём производства изменялся в пределах
27
3
≤
≤
q
, предель-
ные издержки определялись равенством
(
)
qqMC 3= .
5.24. Найти средний прирост издержек, если объём продукции
q
изме-
няется от
1
q
до
2
q
единиц, а предельные издержки зависят от объёма произ-
ведённой продукции:
(
)
qfMC
=
. Указать объём продукции из отрезка
[
]
21
;qq
, при котором издержки принимают среднее значение. Решить задачу
для случаев, когда:
1)
143
2
++= qqMC
,
[
]
21
;qq
[
]
3;0
=
;
2) 46
2
+= qMC ,
[
]
21
;qq
[
]
4;1
=
5.25. По заданным чистым инвестициям
(
)
3
6000 ttI =
(тыс. руб./год):
1) вычислить приращение капитала за восемь лет, начиная с
0
1
=
t
; 2) опре-
делить, за сколько лет приращение капитала составит 63 000 (тыс. руб.).
(Напомним, чистыми называют инвестиции, идущие на прирост капитала).
5.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Восстановление функции
по её производной
Если
(
)
−
xf
непрерывная на отрезке
[
]
ba,
функция, то
[
]
bax ,
∈
∀
суще-
ствует производная
() ()
xfdttf
x
a
=
′
∫
. Если
()( ) ()
xfxF =
′
и известно значение
функции
(
)
aF
, тогда
[
]
bax ,
∈
∀
верна формула
() () ()
dttfaFxF
x
a
∫
+=
.
5.26. Найти:
а)
∫
b
a
dxx
dx
d
2
sin
; б)
∫
b
a
dxx
da
d
2
sin
; в)
∫
b
a
dxx
db
d
2
sin
.
5.27. Найти производные следующих функций:
143
1)
∫
=
x
dt
t
t
y
2
sin2
;
2)
∫
=
x
x
dtty
2
2
sin2
;
3)
∫
=
x
x
dtty
1
2
cos ;
4)
∫
+=
0
4
1
x
dtty
;
5)
zdzzx
t
ln
2
1
3
∫
=
;
6)
∫
=
3
2
ln
t
zdzzy
.
5.28. Найти пределы:
1)
x
tdt
x
x
∫
→
0
2
0
cos
lim
;
2)
3
0
0
2
sin
lim
x
dxx
x
x
∫
→
;
3)
2
0
2
0
2
2
lim
∫
∫
∞→
x
t
x
t
x
dte
dte
.
5.29. Найти точки экстремума функций:
1) dt
e
tt
y
x
t
∫
+
+−
=
0
2
2
45
;
2)
( )
dttey
x
t
∫
−=
−
1
2
2
1
2
;
3)*
dt
t
t
y
x
∫
=
0
sin
в области
0
>
x
.
5.30. Известна функция
(
)
QfMC
=
, описывающая зависимость пре-
дельных издержек фирмы
MC
от объёма выпущенной продукции Q. Опре-
делить функцию полных (или суммарных) издержек фирмы при условии, что
постоянные издержки фирмы равны
0
С
д. ед. Решить задачу:
1) в общем виде;
2) при 53
2
++= QQMC ,
90
0
=
C
;
3)
,
31
6
Q
MC
+
=
2
0
=
С ; определить суммарные издержки производства
за прошедший период, если
27
0
≤
≤
Q
;
4)
32
23822 QQQMC ⋅+⋅+⋅−= ,
55
0
=
С
; рассчитать общие затраты
при выпуске 3 первых единиц продукции.
5.31. Кривая предельных издержек задаётся уравнением
( )
2
51
1
q
MC
+
=
,
0
≥
q
. Определить: а) кривую полных издержек, если извест-
но, что
(
)
20
=
C
тыс. руб.;
б) прирост суммарных и средний прирост суммарных издержек, если извест-
но, что
7
2
≤
≤
q
.
5.32. Определить зависимость суммарного дохода
(
)
QRR
=
предпри-
ятия от объёма реализованной продукции
Q
, если известен предельный до-
ход
(
)
QfMR
=
. Решить задачу:
144
1) в общем виде;
2) при
6
9
−
=
Q
MR
;
3) при
3
5
1
1
Q
Q
MR +
+
=
.
5.33. Определить зависимость потребления
C
от национального дохода
Y
, если предельная склонность к потреблению задаётся формулой
Y
MC
10
1
5,0 +=
. Кроме того известно, что потребление составляет 85 (у.
ед.), когда национальный доход равен 100 (у. ед.).
5.34. По заданным чистым инвестициям
(
)
1370 +⋅= ttI
спрогнозиро-
вать динамику основного капитала во времени, если в начальный момент
времени
0
=
t
основной капитал составлял 1000 д. ед.
5.4. Некоторые геометрические приложения
определённого интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление площади лю-
бой плоской фигуры следует свести к вычислению суммы или разности пло-
щадей криволинейных трапеций и далее воспользоваться геометрическим
смыслом определённого интеграла.
5.35. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1)
0
=
x
,
2
=
x
,
x
y 2=
,
2
2 xxy −=
; 2)
2
4 xy −=
,
0
=
y
;
3)
x
y
ln
=
,
e
x
=
,
1
=
x
;
4)
2
xy =
,
2
2 xy −=
;
5)
2
xy =
,
0
2
=
−
+
y
x
; 6)
2
2yx −=
,
2
31 yx −=
;
7)
xy 4
2
=
,
2
4 xy =
;
8)
2
4xy =
, 9
2
xy = ,
4
=
y
;
9)
xxy
22
sincos −=
,
0
=
y
,
0
=
x
,
4
π
=
x
;
10)
x
y
sin
=
,
xxy ⋅−= π
2
;
11)
6
=
xy
,
x
y
−
=
7
;
12) 1+= xy ,
0
=
y
,
2
−
=
x
,
1
=
x
.
5.36. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
22
2
+−= xxy
, касательной к ней в точке
(
)
5;3
и осью ординат.
5.37. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой
34
2
−+−= xxy
и касательными к ней в точках
(
)
3;0
−
и
(
)
0;3 .
145
2. Решение некоторых экономических задач.
•
Кривая Лоренца устанавливает за-
висимость процента доходов от процента
имею
щих их населения. При равномерном
распре
делении доходов кривая Лоренца
вырождается в биссектрису ОА (см. рис.
5.2), в противном случае кривая Лоренца
представляет из себя некоторую кривую
ОВА. Коэффициентом Джини или коэффи-
циентом концентрации называется показа-
тель
G
, который равен отношению площа-
ди замкнутой фигуры ОАВ к площади тре-
угольника ОАС,
10
≤
≤
G
. Коэффициент
Джини характеризует степень неравенства
в
распределении доходов населения: чем больше коэффициент, тем менее
равномерно распределены доходы.
•
Излишек (избыток, выигрыш, рента) потребителя - это разница меж-
ду максимальной суммой, которую потребитель готов уплатить за данное ко-
личество товара и его фактическими затратами на приобретение, иначе - вы-
игрыш потребителя при покупке, обусловленный превышением полезности
приобретаемых единиц товара над его ценой (напомним, что кривая спроса
совпадает с кривой предельной полезности товара).
Рассмотрим кривую индивидуального спроса некоторого товара, за-
данную уравнением
(
)
QfP
=
и изображённую на рис. 5.3 . Если покупатель
приобрёл товар по цене
0
P
в количестве
0
Q
то излишек потребителя соста-
вил величину, численно равную площади заштрихованной на рисунке фигу-
ры. В описанной ситуации потребитель действовал рационально: приобрёл
товар в таком количестве, что предельная полезность последней купленной
единицы, выраженная в денежной форме, равна цене товара.
146
Излишек (рента, выигрыш) производителя (предпринимателя, продав-
ца) - это разница между суммой, за которую производитель реализовал товар
и минимальной суммой, за которую он был готов продать этот товар. Рас-
смотрим кривую индивидуального предложения некоторого товара, заданную
уравнением
(
)
QgP
=
и изображённую на рис. 5.4. Если производитель реа-
лизует товар по цене
0
P
в количестве
0
Q
, то излишек продавца составит ве-
личину, численно равную площади заштрихованной на рисунке фигуры.
Аналогично определяются суммарные
излишки потребителей и производителей:
для них используются функции совокупного
спроса и потребления на рынке рассматри-
ваемого товара. Если на рынке товара уста-
новилось равновесие (см. рис.5.5), то сум-
марный излишек (рента) покупателей равен
площади фигуры EPP
*
0
, а продавцов −
площади фигуры
EAP
0
.
5.38. Найти коэффициент Джини, если кривая Лоренца задается одним
из следующих уравнений:
1)
3
xy =
; 2)
12 −=
x
y
;
5.39. Пусть
(
)
−
=
QfP
уравнение кривой спроса данного потребителя.
Определить излишек потребителя, если он приобрёл
0
Q
ед. товара по цене
(
)
00
QfP
=
. Решить задачу для следующих вариантов кривой спроса и объёма
покупок:
1)
(
)
Q
P 5,01000⋅= ,
6
0
=
Q
;
2)
QP −= 80
, 64
0
=
Q .
5.40. Пусть
(
)
−
=
QgP
уравнение кривой предложения данного про-
давца. Определить излишек продавца, если известно, что ему удалось реали-
зовать
0
Q
ед. товара по цене
(
)
00
QgP
=
. Решить задачу для следующих ва-
риантов функции предложения и объёма продаж:
1)
Q
P 3
2
1
⋅= ,
4
0
=
Q
;
2)
(
)
2
1+= QP
,
8
0
=
Q
.
5.41. Функции цены спроса и предложения заданы соответственно
формулами
1
200
+
=
Q
P
d
,
( )
12
5
1
2
++= QQP
s
.
1) Предполагая свободную конкуренцию на рынке, определить ренты
(суммарные) потребителей W и продавцов V.
2) Пусть рынок стал более либеральным за счёт внедрения на него но-
вых продавцов. Функция цены спроса осталась прежней, а функция предло-
147
жения приняла вид:
( )
12
216
25
2
++= QQP
s
. Определить: каким образом при
этом изменились ренты потребителей и продавцов.
3) Пусть структура рынка полностью изменилась: он стал полностью
монополизирован. Монополист установил цену на рынке
25
=
d
P
д. ед., а
функция цены спроса осталась прежней. Как новая ситуация повлияла на по-
требительскую ренту?
5.5. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть
функция
(
)
xf
определена на промежутке
[
)
∞
+
,a
и интегрируема на любом
отрезке
[
]
ba,
,
b
a
<
. Предел
()
∫
⋅
∞+→
b
a
b
dxxflim
называют несобственным интегра-
лом от функции
(
)
xf
на промежутке
[
)
∞
+
,a
и обозначают
()
∫
∞+
⋅
a
dxxf
. Таким
образом,
()
=⋅
∫
∞+
a
dxxf
()
∫
⋅
∞+→
b
a
b
dxxflim
.
Если предел существует, то несобственный интеграл называют сходя-
щимся, а функцию
(
)
xf
− интегрируемой на промежутке
[
)
∞
+
,a
. В против-
ном случае интеграл называют расходящимся.
Аналогично определяют
()
=⋅
∫
∞−
b
dxxf
()
∫
⋅
∞−→
b
a
a
dxxflim
,
()
=⋅
∫
∞+
∞−
dxxf
()
∫
⋅
∞−→
c
a
a
dxxflim +
()
∫
⋅
∞+→
b
c
b
dxxflim
⇒
()
=⋅
∫
∞+
∞−
dxxf
()
∫
∞−
⋅
c
dxxf
+
()
∫
∞+
⋅
c
dxxf
.
(5.1)
где с −любое число. Интеграл
()
∫
∞+
∞−
⋅dxxf
сходится тогда и только тогда, когда
сходятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы (5.1).
5.42. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходи-
мость:
1)
∫
∞+
−
⋅
0
2
dxe
x
;
2)
∫
∞−
⋅
0
cos dxx
;
3)
∫
∞+
⋅
e
xx
dx
3
ln
;
148
4)
∫
∞+
∞−
+
2
1 x
dx
;
5)
∫
∞−
⋅⋅
0
dxex
x
;
6)
∫
∞+
⋅
e
xx
dx
ln
;
7)
∫
∞+
+
⋅
0
2
4x
dxx
; 8)
∫
∞+
∞−
+⋅+ 116
2
xx
dx
9)
∫
∞+
⋅⋅
0
cos dxxx ;
10)
( )
dx
xx
x
∫
∞+
⋅
+⋅
⋅+
1
2
1
21
; 11)
∫
∞+
1
α
x
dx
, где
−
α
параметр; 12)
∫
∞+
⋅
+
1
3
2
1
dx
x
x
.
5.43. Вычислить интегралы
()
dxxf ⋅
∫
+∞
∞−
;
()
dxxfx ⋅⋅
∫
+∞
∞−
и
()
dxxfx ⋅⋅
∫
+∞
∞−
2
, в
которых функция
(
)
−
xf плотность вероятности случайной величины
X
, за-
данная следующим образом:
1)
()
≥
<
=
;2,
24
,2,0
4
x
x
x
xf
2)
()
(
]
(
]
∉
∈
−
=
;4;0,0
,4;0,
4
1
2
1
x
x
x
xf
3)
()
[ ]
[ ]
∉
∈
−
=
,;,0
,;,
1
bax
bax
ab
xf (равномерное распределение на отрезке
[
]
ba;
), здесь
−
b
a
,
параметры;
4)
()
<
≥⋅
=
⋅−
,0,0
,0,
x
xe
xf
xλ
λ
(экспоненциальное (показательное) распределение с па-
раметром
)
0
>
λ
.
2. Интегралы от неограниченных функций. Пусть функция
(
)
xf оп-
ределена на промежутке
[
)
ba, и интегрируема на любом отрезке
[
]
ε
−
ba, ,
a
b
−
<
<
ε
0
и не ограничена на отрезке
[
]
bb ,
ε
−
, тогда полагают
()
=⋅
∫
b
a
dxxf
()
∫
−
+→
⋅
ε
ε
b
a
dxxf
0
lim
.
Если предел существует, то несобственный интеграл называют сходя-
щимся, в противном случае интеграл называют расходящимся.
Аналогично, если
(
)
xf
определена на промежутке
(
]
ba,
и интегрируема
на любом отрезке
[
]
ba ,
ε
+
,
a
b
−
<
<
ε
0
не ограничена на отрезке
[
]
ε
+
aa,
, то
()
=⋅
∫
b
a
dxxf
()
∫
+
+→
⋅
b
a
dxxf
ε
ε 0
lim
.
Если функция не ограничена в окрестности точки
(
)
bac ,
∈
, то
()
=⋅
∫
b
a
dxxf
()
∫
−
+→
⋅
ε
ε
с
a
dxxf
0
lim +
()
∫
+
+→
⋅
b
с
dxxf
ε
ε 0
lim
149
(в предположении, что
(
)
xf
интегрируема на отрезках
[
]
ε
−
ca,
,
[
]
bc ,
ε
+
при
{
}
cbac
−
−
<
<
,min0
ε
)
5.44. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходи-
мость:
1)
∫
−
1
0
1 x
dx
; 2)
∫
+
1
0
42
xx
dx
;
3)
( )
∫
−
−
⋅
2
2
54
2
1x
dxx
;
4)
∫
⋅
e
xx
dx
1
3
ln
;
5)
( )
∫
−
2
0
2
1x
dx
;
6)
∫
−+
1
0
5
3
3
3
2
dx
x
xx
;
7)
∫
⋅
e
dxx
0
ln
; 8)
∫
1
0
α
x
dx
, где
−
α
параметр.
5.45. Для функций:
1)
()
(
]
(
]
∉
∈
⋅
=
;2;0,0
,2;0,
x
xxa
xf
2)
()
[ ]
[ ]
−∉
−∈
−
=
;1;1,0
,1;1,
1
2
x
x
x
a
xf
3)
()
xx
e
e
a
xf
−
+
= ;
4)
()
≤
>⋅⋅
=
−
.0,0
,0,
2
2
x
xexa
xf
x
найти значения параметра
a
из условия
()
1=⋅
∫
+∞
∞−
dxxf
150
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
1.1. 1)
{
}
4;1;0
=
A ; 2)
{
}
4;3;2;1
=
A ; 3)
=
A
∅; 4)
{
}
2;1;0;1;2
−
−
=
A
;
5)
{
}
3;2;1
=
A ; 6)
= π
π
π
π
2;
2
3
;;
2
A . 1.2.
=
1
A ∅,
{
}
aA
=
2
,
{
}
bA
=
3
,
{
}
cA
=
4
,
{
}
baA ,
5
=
,
{
}
caA ,
6
=
,
{
}
cbA ,
7
=
,
{
}
cbaA ,,
8
=
; 2)
=
1
B ∅,
{
}
1
2
=
B ,
{
}
{
}
6,2
3
=
B ,
{
}
2
4
=
B ,
{
}
{
}
6,2,1
5
=
B ,
{
}
2,1
6
=
B ,
{
}
{
}
2,6,2
7
=
B ,
{
}
{
}
2,6,2,1
8
=
B . 1.3.
{
}
4;3;2;1
=
=
BA . 1.4.1)
=
BAU
{
}
4;3;5
−
−
=
,
{
}
4
=
BAI ,
{
}
5/
−
=
BA ,
{
}
3/
−
=
AB ;
2)
(
)
{
}
RyRxyxBA
∈
∈
=
,|,U ,
=
BAI
(
)
{
}
41|,
22
<+< yxyx , см. рис.1.1,
(
)
{
}
1|,/
22
≤+= yxyxBA , см. рис.1.2,
(
)
{
}
4|,/
22
≥+= yxyxAB , см. рис.1.3;
3)
(
]
9;3
=
BAU ,
[
)
8;7
=
BAI ,
[
]
9;8/
=
BA ,
(
)
7;3/
=
AB .
1.5. 1)
{
}
0;1
−
; 2)
{
}
31;51 ±± ; 3)
{
}
1
−
. 1.6.1)
−∞−
2
3
; ; 2)
2
1
;0 .
1.8. 1)
Z
,
{
}
1;0;1
−
; 2)
{
}
NkknNn
∈
≠
∈
,3: , ∅; 3)
(
]
1;0 ;
{
}
1 .
1.11. 1) множество
X
ограничено, множество верхних граней:
[
)
∞
+
;1 , мно-
жество нижних граней:
(
]
1;
−
∞
−
,
1
sup
=
X
,
1
inf
−
=
X
,
1
max
=
X
,
1
min
−
=
X
; 2) множество
X
ограничено, множество верхних граней:
[
)
∞
+
,3 , множество нижних граней:
(
]
4;
−
∞
−
,
3
sup
=
X
,
4
inf
−
=
X
,
X
max
2 x
y
Рис.1.3.
A
B
/
Рис. 1.2.
B
A
/
1 x
y
Рис. 1.1.
BAI
2 x
y
1