Невзоров В.Н., Сугак Е.В. Надежность машин и оборудования. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
171
ò.å. âåðîÿòíîñòü îòêàçà ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì íå ìîæåò
áûòü âûøå âåðîÿòíîñòè îòêàçà ñàìîãî íàäåæíîãî èç åå ýëåìåíòîâ ("ëó÷øå
ëó÷øåãî") è äàæå èç ñðàâíèòåëüíî íåíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ñîçäàòü
âïîëíå íàäåæíóþ ñèñòåìó.
Ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ (5.7) ôîðìóëà (5.14) ïðè-
íèìàåò âèä
P = 1 – [1 – exp(–lt)]
n
. (5.16)
Ñðåäíåå âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû
( )
[ ]
{ }
T Pdt t dt
n
= × = - - -
¥
¥
ò ò
0
0
1 1 exp l . (5.17)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü
T
n i
t
i
i
n
i
n
= + + +
æ
è
ç
ö
ø
÷
= =
=
=
å å
1
1
1
2
1 1 1 1
1
1
l l
... . (5.18)
Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåííîé ôîð-
ìóëîé [21]
T t n
n
C» + +
æ
è
ç
ö
ø
÷
ln
1
2
, (5.19)
ãäå C = 0,57712 - ïîñòîÿííàÿ Ýéëåðà.
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà íà îòêàç ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíûì
ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ áîëüøå ñðåäíåé íàðàáîòêè íà îòêàç åå ýëåìåíòîâ
(íàïðèìåð, ïðè n = 2 T = 1,5×t, ïðè n=3 T= 1,83×t).
5.2.3. Мажоритарные системы
Ìàæîðèòàðíóþ ñèñòåìó (ñèñòåìó "m èç n" èëè "ñõåìó ãîëîñîâàíèÿ")
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âàðèàíò ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì
ýëåìåíòîâ, îòêàç êîòîðîé ïðîèçîéäåò, åñëè èç n ýëåìåíòîâ, ñîåäèíåííûõ
ïàðàëëåëüíî, ðàáîòîñïîñîáíûìè îêàæóòñÿ ìåíåå m ýëåìåíòîâ. Ìàæîðè-
òàðíûå ñèñòåìû ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ýëåêòðè÷åñêèõ è ðàäèîñõåìàõ, ñèñòå-
ìàõ óïðàâëåíèÿ, òåõíîëîãè÷åñêèõ ëèíèÿõ, ãèäðî- è ïíåâìîñèñòåìàõ è ò.ä.,
à òàêæå ïðè ñòðóêòóðíîì ðåçåðâèðîâàíèè (ñì.ðàçä.5.3) [12,25].
Íà ðèñ.5.6 ïðåäñòàâëåíà ìàæîðèòàðíàÿ ñèñòåìà
"2 èç 5", ðàáîòîñïîñîáíàÿ òîãäà, êîãäà èç åå ïÿòè
ýëåìåíòîâ ðàáîòîñïîñîáíû ëþáûå äâà, òðè, ÷åòûðå
èëè âñå ïÿòü (íà ñõåìå ïóíêòèðíûì êîíòóðîì ïåðâûå
äâà ýëåìåíòà îáâåäåíû óñëîâíî, âñå ïÿòü ýëåìåíòîâ
ðàâíîçíà÷íû).
Äëÿ ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ìàæîðèòàðíûõ ñèñòåì
ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû. Ïðè íåáîëü-
øîì êîëè÷åñòâå ýëåìåíòîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
ìåòîäîì ïðÿìîãî ïåðåáîðà, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â
îïðåäåëåíèè ðàáîòîñïîñîáíîñòè êàæäîãî èç âñåõ âîç-
ìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ïðè ðàçëè÷íûõ ñî÷åòà-
íèÿõ ðàáîòîñïîñîáíûõ è íåðàáîòîñïîñîáíûõ ýëåìåí-
òîâ [14,26].
1
2
3
4
5
Ðèñ.5.6. Ìàæîðèòàðíàÿ
ñèñòåìà "2 èç 5"
172
Ïðèìåð 5.2. Âñå âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû "2 èç 5" çàíåñåíû â òàáë.5.1 (ðà-
áîòîñïîñîáíûå ñîñòîÿíèÿ îòìå÷åíû çíàêîì "+", íåðàáîòîñïîñîáíûå - çíàêîì "-").
Ðàáîòîñïîñîáíîñòü ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ðàáîòîñïîñîáíûõ ýëåìåíòîâ.
Ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé åå ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, â ñòðîêå 9 îïèñàíî ñî-
ñòîÿíèå ñèñòåìû, â êîòîðîì îòêàçàëè ýëåìåíòû 2 è 5, îñòàëüíûå íàõîäÿòñÿ â ðàáîòî-
ñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè. Òàê êàê óñëîâèå "2 èç 5" âûïîëíÿåòñÿ, òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â
ðàáîòîñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè è åãî âåðîÿòíîñòü P
9
= p
1
q
2
p
3
p
4
q
5
= p
3
q
2
(ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âñå ýëåìåíòû ðàâíîíàäåæíû).
Îáùåå êîëè÷åñòâî íåðàáîòîñïîñîáíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû îêàçàëîñü ìåíüøå êîëè-
÷åñòâà ðàáîòîñïîñîáíûõ (ñîîòâåòñòâåííî 6 è 26), ïîýòîìó ïðîùå ðàññ÷èòàòü âåðîÿò-
íîñòü îòêàçà. Ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñëîæèòü âåðî-
ÿòíîñòè íåðàáîòîñïîñîáíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû:
Òàáëèöà 5.1
ТАБЛИЦА СОСТОЯНИЙ МАЖОРИТАРНОЙ СИСТЕМЫ "2 ИЗ 5"
¹¹ Ñîñòîÿíèå ýëåìåíòîâ Ñîñòîÿíèå
Âåðîÿòíîñòü
ñîñòîÿíèé 1 2 3 4 5 ñèñòåìû
ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
1 + + + + + +
p
5
2 + + + +
-
+
3 + + +
-
+ +
4 + +
-
+ + +
p
4
q = p
4
(1 – p)
5 +
-
+ + + +
6
-
+ + + + +
7 + + +
- -
+
8 + +
-
+
-
+
9 +
-
+ +
-
+
10
-
+ + +
-
+
11 + +
- -
+ +
p
3
q
2
= p
3
(1 – p)
2
12 +
-
+
-
+ +
13
-
+ +
-
+ +
14 +
- -
+ + +
15
-
+
-
+ + +
16
- -
+ + + +
17 + +
- - -
+
18 +
-
+
- -
+
19
-
+ +
- -
+
20 +
- - -
+ +
21
-
+
- -
+ +
p
2
q
3
= p
2
(1 – p)
3
22
- - -
+ + +
23 +
- -
+
-
+
24
-
+
-
+
-
+
25
- -
+
-
+ +
26
- -
+ +
-
+
27 +
- - - - -
28
-
+
- - - -
29
- -
+
- - - pq
4
= p(1 – p)
4
30
- - -
+
- -
31
- - - -
+
-
32
- - - - - - q
5
= (1 – p)
5
173
Q = q
5
+5pq
4
= (1–p)
5
+5p(1–p)
4
= 1–10p
2
+20p
3
–15p
4
+4p
5
. (5.20)
Òîãäà âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû
P = 1 – Q = 10p
2
– 20p
3
+ 15p
4
– 4p
5
. (5.21)
Äëÿ ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ìàæîðèòàðíûõ ñèñòåì ìîæíî òàêæå âîñïîëü-
çîâàòüñÿ êîìáèíàòîðíûì ìåòîäîì (ìåòîäîì ïåðå÷èñëÿþùèõ ïðîèçâî-
äÿùèõ ôóíêöèé [3]). Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, ïðè êîòîðîì èç îáùåãî êîëè-
÷åñòâà ýëåìåíòîâ n ðàáîòîñïîñîáíîñòü ñîõðàíÿþò k ýëåìåíòîâ (ïåðå÷èñ-
ëÿþùàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ), ñîñòàâëÿåò
P
k
= C
n
k
p
k
(1–p)
n–k
, (5.22)
ãäå
C
n
k
- áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò èç n ïî k (ñì.ïðèë.I):
( )
C
n
knk
n
k
=
-
!
! !
.
(5.23)
Åñëè äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû íåîáõîäèìî, ÷òîáû
ðàáîòîñïîñîáíîñòü ñîõðàíÿëè íå ìåíåå m ýëåìåíòîâ èç n (ò.å. k ³ m), òî
ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ðàâíà
ñóììå âåðîÿòíîñòåé ðàáîòîñïîñîáíûõ ñîñòîÿíèé:
( )
P P Cp p
k n
kk
nk
k
m
n
k
m
n
= = -
-
=
=
åå
1 . (5.24)
Äëÿ ñèñòåìû "2 èç 5" (ðèñ.5.6) ïî ôîðìóëå (5.24) ïîëó÷èì
(
)
(
)
(
)
P
C
p p
C
p
p
C
p p
C
p= - + - + - + =
5
2
2
3
5
3
3
2
5
4
4
5
5
5
1 1 1
= 10p
2
(1–p)
3
+10p
3
(1–p)
2
+5p
4
(1–p)+p
5
= 10p
2
–20p
3
+15p
4
–4p
5
. (5.25)
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü îòêàçà
( )
Q P Cp p
k n
k
k
m
k
nk
k
m
= = -
=
-
-
=
-
åå
0
1
0
1
1 . (5.26)
Äëÿ ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ìàæîðèòàðíûõ ñèñòåì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
òàêæå ìåòîäîì ëîãè÷åñêèõ ñõåì (ñì.ðàçä.5.2.4).
 òàáë.5.2 ïðèâåäåíû
ôîðìóëû âåðîÿòíîñòè áåç-
îòêàçíîé ðàáîòû ìàæîðè-
òàðíûõ ñèñòåì "m èç n"
ïðè m £ n £ 5. Ïðè m=1
ñèñòåìà ïðåâðàùàåòñÿ â
ñèñòåìó ñ ïàðàëëåëüíûì
ñîåäèíåíèåì, ïðè m=n – ñ
ïîñëåäîâàòåëüíûì. Ïðè
äðóãèõ çíà÷åíèÿõ m âåðî-
ÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáî-
òû ìàæîðèòàðíîé ñèñòåìû
âûøå, ÷åì ó ñèñòåìû ñ ïî-
ñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíå-
íèåì ýëåìåíòîâ, íî íèæå,
÷åì ñ ïàðàëëåëüíûì ñî-
åäèíåíèåì (ðèñ.5.7).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8
m=
1
3
2
4
5
P
p
Ðèñ.5.7. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáî-
òû ìàæîðèòàðíîé ñèñòåìû îò âåðîÿòíîñòè áåçîòêàç-
íîé ðàáîòû ýëåìåíòîâ ïðè
n
=5
174
5.2.4. Мостиковые системы
Ðàáîòîñïîñîáíîñòü ìîñòèêîâîé ñèñòåìû (ðèñ.5.8) îïðåäåëÿåòñÿ íå
òîëüêî êîëè÷åñòâîì îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ, íî è èõ ïîëîæåíèåì â ñòðóê-
òóðíîé ñõåìå. Íàïðèìåð, ïîòåðÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû, ñõåìà êîòî-
ðîé ïîêàçàíà íà ðèñ.5.8à îáóñëîâëåíà îäíîâðåìåííûì îòêàçîì ýëåìåíòîâ 1
è 2, èëè 4 è 5, èëè 1, 3 è 5, èëè 2, 3 è 4 è ò.ä., â òî æå âðåìÿ îòêàç ýëå-
ìåíòîâ 1 è 5, èëè 2 è 4, èëè 1, 3 è 4, èëè 2, 3 è 5 ê îòêàçó ñèñòåìû íå
ïðèâîäèò.
Äëÿ ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè ìîñòèêîâûõ ñèñòåì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì
ïðÿìîãî ïåðåáîðà [26] àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ìàæîðèòàðíîé ñèñ-
òåìû (ñì.ðàçä.5.2.3), íî ïðè àíàëèçå ðàáîòîñïîñîáíîñòè êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
íåîáõîäèìî èñõîäèòü íå òîëüêî èç ÷èñëà îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ, íî è èõ ïîëîæåíèÿ â
ñõåìå, è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëÿòü ïðèíàäëåæíîñòü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ê ïîä-
ìíîæåñòâàì ðàáîòîñïîñîáíûõ èëè íåðàáîòîñïîñîáíûõ.
Äëÿ àíàëèçà íàäåæíîñòè ñèñòåì, ñõåìû êîòîðûõ íå ñâîäÿòñÿ ê ïîñëå-
äîâàòåëüíîìó èëè ïàðàëëåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëî-
ãèêî-âåðîÿòíîñòíûì ìåòîäîì, ïðè èñïîëüçîâàíèè êîòîðîãî ìàòåìàòè÷å-
ñêàÿ ìîäåëü ñèñòåìû ñîñòàâëÿåòñÿ â òåðìèíàõ àëãåáðû ëîãèêè [12,14,28,29].
Ìåòîä ïðèìåíèì ê øèðîêîìó êðóãó ñèñòåì ñ ðàçíîîáðàçíûìè ñâÿçÿìè è
ñî÷åòàíèÿìè ýëåìåíòîâ, õîòÿ âíåøíå îíè èíîãäà ïîëó÷àþòñÿ äîñòàòî÷íî
ãðîìîçäêèìè.
Ïðèìåíåíèå ëîãèêî-âåðîÿòíîñòíîãî ìåòîäà ñâîäèòñÿ ê ñîñòàâëåíèþ
ôîðìàëèçîâàííîé ìîäåëè â âèäå ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè (ÔÀË), êîòîðàÿ
îïðåäåëÿåò óñëîâèå ðàáîòîñïîñîáíîñòè (èëè, íàîáîðîò, îòêàçà) ñèñòåìû -
ôóíêöèþ ðàáîòîñïîñîáíîñòè (èëè íåðàáîòîñïîñîáíîñòè). Ïðè åå ñîñòàâëå-
íèè äëÿ êàæäîãî i-ãî ýëåìåíòà ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà íåñîâìåñòíûõ ñîáû-
òèÿ - ðàáîòîñïîñîáíîå ñîñòîÿíèå a
i
è îòêàç`a
i
. Ôóíêöèè ñîñòàâëÿþòñÿ ñ
èñïîëüçîâàíèåì çíàêîâ îïåðàöèé ëîãè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ (Ú) è ëîãè÷åñêîãî
óìíîæåíèÿ (Ù) èëè ñîîòâåòñòâóþùèõ àðèôìåòè÷åñêèõ çíàêîâ.
Òàáëèöà 5.2
ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ МАЖОРИТАРНЫХ СИСТЕМ [27]
m
Îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, n
1 2 3 4 5
1
p
2p–p
2
3p–3p
2
+p
3
4p–6p
2
+4p
3
–p
4
5p–10p
2
+10p
3
–5p
4
+p
5
2
¾
p
2
3p
2
–2p
3
6p
2
–8p
3
+3p
4
10p
2
–20p
3
+15p
4
–4p
5
3
¾
¾ p
3
4p
3
–3p
4
10p
3
–15p
4
+6p
5
4
¾
¾ ¾ p
4
5p
4
–4p
5
5
¾
¾ ¾ ¾ p
5
1 4
3
2 5
1 4
3
2 5
7
6
8
à) á)
Ðèñ.5.8. Ìîñòèêîâûå ñèñòåìû
175
Ïðèìåð 5.3. Äëÿ ìîñòèêîâîé ñõåìû ñ ïÿòüþ ýëåìåíòàìè (ðèñ.5.8à) ôóíêöèè ðàáî-
òîñïîñîáíîñòè è íåðàáîòîñïîñîáíîñòè èìåþò âèä:
A = a
1
Ùa
4
Úa
2
Ùa
5
Úa
1
Ùa
3
Ùa
5
Úa
2
Ùa
3
Ùa
4
= a
1
a
4
+a
2
a
5
+a
1
a
3
a
5
+a
2
a
3
a
4
, (5.27)
Aaa a aaaaa a a aa aa aaa aaa= Ù Ú Ù Ú Ù Ù Ú Ù Ù = + + +
1 2 4 5 1 3 5 2 3 4 12 45 135 234
. (5.28)
Äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû íåîáõîäèìî îò ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé
(5.27) èëè (5.28) ïåðåéòè ê âåðîÿòíîñòíûì ôóíêöèÿì P = P(A) èëè Q = P(`A), ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì òåîðåì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
Paa a P a pa Paa a P a pa
n i
i
n
i
i
n
n i
i
n
i
i
n
1 2
1 1
12
1 1
1 1+ ++ =
æ
è
ç
ö
ø
÷
= - - =
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
= = = =
Õ Õ
... , ...
U I
, (5.29)
Íà îñíîâàíèè ôóíêöèè ðàáîòîñïîñîáíîñòè (5.27) ñ ó÷åòîì (5.29) äëÿ âåðîÿòíîñòè
áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîñòèêîâîé ñèñòåìû ìîæíî ïîëó÷èòü:
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
PPA Paa Paa Paaa Paaa= =- - - - - =11 1 1 1
14 25 135 234
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
=- - - - -11 1 1 1
1 4 2 5 1 3 5 2 3 4
papa papa papapa papapa
. (5.30)
Çàìåíèâ â óðàâíåíèè (5.30) p(a
i
)=p
i
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â àëãåáðå ëîãèêè a
i
a
i
= a
i
è
p(a
i
)p(a
i
) = p(a
i
a
i
) = p(a
i
), ïîëó÷èì:
P = p
1
p
4
+ p
2
p
5
+ p
1
p
3
p
5
+ p
2
p
3
p
4
–
-
-
-
-
-
+
pppp pppp pppp pppp pppp ppppp
1234 1235 1245 1345 2345 12345
2
. (5.31)
Äëÿ ñèñòåìû èç ðàâíîíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ (p
i
=p) óðàâíåíèå (5.31) ïðèîáðåòàåò âèä
P = 2p
2
+ 2p
3
– 5p
4
+ 2p
5
. (5.32)
Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ôóíêöèè íåðàáîòîñïîñîáíîñòè
(5.30) ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè îòêàçà
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
Q PA Paa Paa Paaa Paaa
papa papa papapa papapa
qq qq qqq qqq
= = - - - - - =
= - - - - - =
= + + + +
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
12 45 135 234
1 2 4 5 1 3 5 2 3 4
12 45 135 234
-
-
-
-
-
+
qqqq qqqq qqqq qqqq qqqq qqqqq
1234 1235 1245 1345 2345 12345
2
, (5.33)
ãäå p(`a
i
) = 1-p(a
i
) = 1-p
i
= q
i
- âåðîÿòíîñòü îòêàçà i-ãî ýëåìåíòà, êðîìå òîãî, àíàëî-
ãè÷íî ôîðìóëå (5.31)
(
)
(
)
(
)
(
)
papa paa pa
i i ii i
= =
.
Äëÿ ñèñòåìû ðàâíîíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ (q
i
= q) óðàâíåíèå (5.33) ïðèîáðåòàåò âèä
Q = 2q
2
+ 2q
3
– 5q
4
+ 2q
5
. (5.34)
Ëîãèêî-âåðîÿòíîñòíûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿò-
íîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ëþáûõ ñòðóêòóðíûõ ñõåì íàäåæíîñòè. Îäíàêî
ïðè åãî èñïîëüçîâàíèè íå âñåãäà óäàåòñÿ ñîñòàâèòü ëîãè÷åñêóþ ôóíêöèþ
ðàáîòîñïîñîáíîñòè, äîñòàòî÷íî òî÷íî ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðóêòóðå ñèñòå-
ìû. Êðîìå òîãî, äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ñ áîëüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ñòàíîâÿòñÿ î÷åíü ãðîìîçäêèìè è òðóäîåì-
êîñòü ìåòîäà ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè ñîèçìåðèìà ñ ìåòîäîì ïðÿìîãî ïå-
ðåáîðà.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ îáúåìà ïðåîáðàçîâàíèé ïðè ñîñòàâëåíèè ëîãè÷åñêèõ
ôîðìóë ìîæíî íà îñíîâàíèè ñòðóêòóðíîé ñõåìû ïðåäâàðèòåëüíî ñîñòàâèòü
ëîãè÷åñêóþ ñõåìó ñèñòåìû. Ëîãè÷åñêèå ñõåìû ìîãóò ñîñòàâëÿòüñÿ äâóìÿ
ìåòîäàìè - ìèíèìàëüíûõ ïóòåé è ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé [3,19,20,28].
Ìèíèìàëüíûì ïóòåì (èëè êðàò÷àéøèì ïóòåì óñïåøíîãî ôóíêöèî-
íèðîâàíèÿ [14]) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûé íàáîð ðàáîòîñïîñîáíûõ
ýëåìåíòîâ, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò åå ðàáîòîñïîñîáíîñòü, à îòêàç ëþáîãî èç
íèõ ïðèâîäèò ê åå îòêàçó. Ìèíèìàëüíûõ ïóòåé â ñèñòåìå ìîæåò áûòü îäèí
èëè íåñêîëüêî. Î÷åâèäíî ñèñòåìà ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëå-
ìåíòîâ èìååò òîëüêî îäèí ìèíèìàëüíûé ïóòü, âêëþ÷àþùèé âñå åå ýëåìåí-
òû.  ñèñòåìå ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ÷èñëî ìèíèìàëüíûõ
ïóòåé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ è êàæäûé âêëþ÷àåò îäèí èç íèõ.
176
Ïðèìåð 5.4. Ó ìîñòèêîâîé ñèñòåìû èç ïÿòè ýëåìåíòîâ (ðèñ.5.8à) ÷åòûðå ìèíè-
ìàëüíûõ ïóòåé: 1) ýëåìåíòû 1 è 4; 2) 2 è 5; 3) 1, 3 è 5; 4) 2, 3 è 4. Ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà
òàêîé ñèñòåìû (ðèñ.5.9) ñîñòàâëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ýëåìåíòû êàæäîãî ìèíè-
ìàëüíîãî ïóòè áûëè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, à âñå ìèíèìàëüíûå ïóòè - ïàðàëëåëü-
íî.
Ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè A
ï
äëÿ ëîãè÷åñêîé ñõåìû ñîñòàâëÿåòñÿ ïî îáùèì ïðàâè-
ëàì ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû, íî âìåñòî ñèìâîëîâ âåðîÿòíîñòåé áåçîò-
êàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòîâ p
i
èñïîëüçóþòñÿ ñèìâîëû ñîáûòèé (ðàáîòîñïîñîáíîñòè ýëå-
ìåíòà) a
i
:
A
n
= 1 – (1 – a
1
a
4
)(1 – a
2
a
5
)(1 – a
1
a
3
a
5
)(1 – a
2
a
3
a
4
). (5.35)
Òàê êàê â âûðàæåíèè (5.35) ïåðåìåííûå a
i
ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê àëüòåðíàòèâíûå
(èëè áóëåâû) è ìîãóò ïðèíèìàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ 1 èëè 0, òî ïðè âîçâåäåíèè â ñòåïåíü
îíè íå ìåíÿþò ñâîåãî çíà÷åíèÿ (a
i
n
=a
i
). Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèì ñâîéñòâîì ïîñëå ïðå-
îáðàçîâàíèé âûðàæåíèÿ (5.35) ïîëó÷èì ôóíêöèþ àëãåáðû ëîãèêè â âèäå
A
n
= a
1
a
4
+a
2
a
5
+a
1
a
3
a
5
+a
2
a
3
a
4
–
– a
1
a
2
a
3
a
4
– a
1
a
2
a
3
a
5
– a
1
a
2
a
4
a
5
– a
1
a
3
a
4
a
5
– a
2
a
3
a
4
a
5
+ 2a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
. (5.36)
Çàìåíèâ â âûðàæåíèè (5.36) ñèìâîëû ñîáûòèé a
i
èõ âåðîÿòíîñòÿìè p
i
, ïîëó÷èì
óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, ñîâïàäàþùåå ñ óðàâíåíèåì
(5.35), êîòîðîå äëÿ ñèñòåìû èç ðàâíîíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ ïðèíèìàåò âèä (5.32).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä ìèíèìàëüíûõ ïóòåé äàåò òî÷íîå çíà÷åíèå
âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû òîëüêî ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ñèñòåì ñ
íåáîëüøèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ. Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì ìåòîä äàåò
òîëüêî åå ïðèáëèæåííóþ îöåíêó - íèæíþþ ãðàíèöó.
Äëÿ ðàñ÷åòà âåðõíåé îöåíêè âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû
ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé (ðàçðåçîâ), â îïðåäå-
ëåííîì ñìûñëå ïðîòèâîïîëîæíûé ìåòîäó ìèíèìàëüíûõ ïóòåé.
Ìèíèìàëüíûì ñå÷åíèåì (èëè ìèíèìàëüíûì ñå÷åíèåì îòêàçîâ [14])
íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûé íàáîð íåðàáîòîñïîñîáíûõ ýëåìåíòîâ, îòêàç
êîòîðûõ ïðèâîäèò ê îòêàçó ñèñòåìû, à âîññòàíîâëåíèå ðàáîòîñïîñîáíîñòè
ëþáîãî èç íèõ - ê âîññòàíîâëåíèþ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû. Òàê æå,
êàê è ìèíèìàëüíûõ ïóòåé, ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé â ñèñòåìå ìîæåò áûòü
îäèí èëè íåñêîëüêî. Î÷åâèäíî ñèñòåìà ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëå-
ìåíòîâ èìååò òîëüêî îäíî ìèíèìàëüíîå ñå÷åíèå, âêëþ÷àþùåå âñå åå ýëå-
ìåíòû.  ñèñòåìå ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ÷èñëî ìè-
íèìàëüíûõ ñå÷åíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ è êàæäîå ñå÷åíèå âêëþ-
÷àåò îäèí èç íèõ.
Ïðèìåð 5.5.  ìîñòèêîâîé ñèñòåìå (ðèñ.5.8à) ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé ÷åòûðå: 1)
ýëåìåíòû 1 è 2; 2) 4 è 5; 3) 1,3 è 5; 4) 2,3 è 4. Ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà ñèñòåìû (ðèñ.5.10)
ñîñòàâëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âñå ýëåìåíòû êàæäîãî ìèíèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ áûëè
ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì ïàðàëëåëüíî, à âñå ìèíèìàëüíûå ñå÷åíèÿ - ïîñëåäîâàòåëüíî.
Çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé àíàëîãè÷íà ìåòîäó ìèíèìàëüíûõ ïóòåé. Ñî-
ñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ àëãåáðû ëîãèêè â âèäå
3
2
4
1
3
5
2
3
4
1
4
2
5
1
3
1
2
4
5
5
Ðèñ.5.9. Ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà Ðèñ.5.10. Ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà ìîñòèêîâîé
ìîñòèêîâîé ñèñòåìû (ìåòîä ñèñòåìû (ìåòîä ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé)
ìèíèìàëüíûõ ïóòåé)
177
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
A a a a a a a a a a a
c
=-- - -- - -- - - -- - -11 1 11 1 11 1 1 11 1 1
1 2 4 5 1 3 5 2 3 4
, (5.37)
êîòîðàÿ ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ àëüòåðíàòèâíûõ ïåðåìåííûõ
ïðèîáðåòàåò ôîðìó (5.36), ïîñëå çàìåíû ñîáûòèé a
i
âåðîÿòíîñòÿìè p
i
ïîëó÷àåì âûðà-
æåíèå (5.31), êîòîðîå äëÿ ñèñòåìû ñ ýëåìåíòàìè ðàâíîé íàäåæíîñòè ïðèîáðåòàåò âèä
(5.32).
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìîñòèêîâîé ñèñòåìû èç ïÿòè ýëåìåíòîâ (ðèñ.5.8à) âåðõíÿÿ
îöåíêà âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû, ïîëó÷åííàÿ ìåòîäîì ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé, è
íèæíÿÿ, ïîëó÷åííàÿ ìåòîäîì ìèíèìàëüíûõ ïóòåé, ñîâïàëè ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì. Îäíà-
êî, êàê óæå îòìå÷àëîñü, äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç ðàçíûõ ïî íàäåæíî-
ñòè ýëåìåíòîâ, ýòîãî ìîæåò è íå ïðîèçîéòè. Ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíî÷íûõ ãðàíèö
âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñëîæíûõ ñèñòåì ìåòîäàìè ìèíèìàëüíûõ ïóòåé è ìè-
íèìàëüíûõ ñå÷åíèé öåëåñîîáðàçíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîâìåñòíî.
Ëîãè÷åñêèå ñõåìû, ñîñòàâëåííûå ìåòîäàìè ìèíèìàëüíûõ ïóòåé è ìèíèìàëüíûõ ñå-
÷åíèé, ÿâëÿþòñÿ ãðàôè÷åñêèìè àíàëîãàìè ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè - ôóíêöèé ðàáîòî-
ñïîñîáíîñòè (5.27) è íåðàáîòîñïîñîáíîñòè (5.28), ïðè÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîå èëè ïàðàë-
ëåëüíîå ñîåäèíåíèå ñîáûòèé â ëîãè÷åñêîé ñõåìå ñîîòâåòñòâóåò ëîãè÷åñêîìó óìíîæå-
íèþ ("È") èëè ëîãè÷åñêîìó ñëîæåíèþ ("ÈËÈ") ñîáûòèé. Òàê ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà ìåòîäà
ìèíèìàëüíûõ ïóòåé ôîðìóëèðóåò óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñ-
òåìû (5.27), ïðè÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ñîáûòèé ñîîòâåòñòâóåò ëîãè÷åñêîìó
"È", ïàðàëëåëüíîå - "ÈËÈ". Òî åñòü ñõåìà íà ðèñ.5.9 ñîîòâåòñòâóåò óòâåðæäåíèþ: ñèñ-
òåìà ðàáîòîñïîñîáíà, åñëè ðàáîòîñïîñîáíû ýëåìåíòû 1 è 4, èëè 2 è 5, èëè 1, 3 è 5,
èëè 2, 3 è 4. Ëîãè÷åñêàÿ ñõåìà ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé, íàîáîðîò, ôîðìóëèðóåò
óñëîâèÿ îòêàçà ñèñòåìû (5.28), è â íåé ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ñîîòâåòñòâóåò ëî-
ãè÷åñêîìó "ÈËÈ", à ïàðàëëåëüíîå - ëîãè÷åñêîìó "È". Òî åñòü ñõåìà íà ðèñ.5.10 ñîîò-
âåòñòâóåò ôîðìóëèðîâêå: ñèñòåìà îòêàæåò, åñëè îòêàæóò ýëåìåíòû 1 è 2, èëè 4 è 5,
èëè 1, 3 è 5, èëè 2, 3 è 4.
Åùå îäíîé ãðàôè÷åñêîé ìîäåëüþ ñîñòîÿíèÿ òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû è èë-
ëþñòðàöèåé ñîîòâåòñòâóþùåé åé ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè (ôóíêöèè íåðà-
áîòîñïîñîáíîñòè) ÿâëÿåòñÿ äåðåâî îòêàçîâ, êîòîðîå ñîñòàâëÿåòñÿ äëÿ àíà-
ëèçà íàäåæíîñòè è îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåì
äåäóêòèâíûì ìåòîäîì (ìåòîäîì äåðåâà îòêàçîâ) [3,5].
 îòëè÷èå îò ëîãèêî-âåðîÿòíîñòíîãî ìåòîäà, ïðè ðåàëèçàöèè êîòîðîãî
ðàññìàòðèâàåòñÿ âëèÿíèå ñîñòîÿíèÿ êàæäîãî ýëåìåíòà íà ñîñòîÿíèå ñèñ-
òåìû â öåëîì (èíäóêòèâíûé ïîäõîä), äåäóêòèâíûé ìåòîä ïðåäïîëàãàåò
àíàëèç íåðàáîòîñïîñîáíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû è ïðè÷èí, êîòîðûå ê íåìó
ïðèâîäÿò, ò.å. îòêàçîâ ýëåìåíòîâ. Óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçíèêàåò îòêàç
ñèñòåìû (çàâåðøàþùåå ñîáûòèå), ñâîäèòñÿ â ëîãè÷åñêóþ ñõåìó ïðè÷èííî-
ñëåäñòâåííûõ ñâÿçåé îòêàçîâ â âèäå îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà ñ âåòâÿùåéñÿ
ñòðóêòóðîé - äåðåâî îòêàçîâ. Ñòðóêòóðíûìè ýëåìåíòàìè äåðåâà ñîáûòèÿ,
ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ëîãè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè (ñâÿçêàìè).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåðåâà îòêàçîâ èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îáî-
çíà÷åíèÿ (ðèñ.5.11) [3,5]: ðåçóëüòèðóþùåå (çàâåðøàþùåå) ñîáûòèå - îòêàç òåõíè÷åñêîé
ñèñòåìû, àíàëèç êîòîðîãî ïðîâîäèòñÿ;
ïðîìåæóòî÷íîå ñîáûòèå - ñëîæíîå ñîáû-
òèå ñ ëîãè÷åñêèì îïåðàòîðîì, ÿâëÿþ-
ùååñÿ îäíîé èç âîçìîæíûõ ïðè÷èí ðå-
çóëüòèðóþùåãî (çàâåðøàþùåãî) èëè äðó-
ãîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ñîáûòèÿ áîëåå âû-
ñîêîãî óðîâíÿ; ïåðâè÷íîå (áàçîâîå) ñî-
áûòèå - ïðîñòîå ñîáûòèå (îòêàç ýëåìåí-
òà), ïðè÷èíû êîòîðîãî ïðè ïîñòðîåíèè
äåðåâà îòêàçîâ íå àíàëèçèðóþòñÿ); ëîãè-
÷åñêèé îïåðàòîð äèçúþíêöèè (îïåðàòîð
"ÈËÈ") - îáîçíà÷àåò íàëè÷èå ñîáûòèÿ íà
âûõîäå ïðè íàëè÷èè õîòÿ áû îäíîãî ñî-
áûòèå íà âõîäå; ëîãè÷åñêèé îïåðàòîð
êîíúþíêöèè (îïåðàòîð "È") - îáîçíà÷àåò
íàëè÷èå ñîáûòèÿ íà âûõîäå òîëüêî ïðè
íàëè÷èè âñåõ ñîáûòèé íà âõîäå.
á)
â õ î ä û
â û õ î ä
ã)â)à)
â õ î ä û
â û õ î ä
ä)
Ðèñ.5.11. Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ â äåðåâüÿõ
îòêàçîâ [3,5]:
à - ðåçóëüòèðóþùåå (çàâåðøàþùåå) ñîáûòèå;
á - ïðîìåæóòî÷íîå ñîáûòèå; â - ïåðâè÷íîå
(áàçîâîå) ñîáûòèå (îòêàç ýëåìåíòà); ã - ñèì-
âîë äèçúþíêöèè (ëîãè÷åñêîå "ÈËÈ"); â -
ñèìâîë êîíúþíêöèè (ëî
ãè
÷åñ
êîå "È")
178
Åñëè ó ñèñòåìû âîçìîæíû íåñêîëüêî îòêàçîâ ðàçíîãî âèäà (ìíîãîôóíê-
öèîíàëüíûå ñõåìû), òî äëÿ êàæäîãî èç íèõ ñòðîèòñÿ ñâîå äåðåâî îòêàçîâ.
Äåðåâî îòêàçîâ ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü êà÷åñòâåííûé è êîëè÷åñòâåííûé
àíàëèç íàäåæíîñòè ñèñòåì. Ïðè êà÷åñòâåííîì àíàëèçå îïðåäåëÿþòñÿ âèäû
è ïðè÷èíû îòêàçîâ, ñòåïåíü çàùèùåííîñòè ñèñòåìû îò êîíêðåòíûõ îòêà-
çîâ, ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ äâóõ è áîëåå îòêàçîâ ðàçíûõ âèäîâ, ïðîâî-
äèòñÿ ðàíæèðîâàíèå ïðè÷èí îòêàçîâ ïî âàæíîñòè è ò.ä. Êîëè÷åñòâåííûé
àíàëèç çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòíûõ êîëè÷åñòâåííûõ õàðàê-
òåðèñòèê íàäåæíîñòè ñèñòåìû ïî âåðîÿòíîñòíûì õàðàêòåðèñòèêàì ýëåìåí-
òîâ.
Ïðèìåð 5.6. Íà ðèñ.5.12. ïðåäñòàâëåíî äåðåâî îòêàçîâ äëÿ ìîñòèêîâîé ñõåìû
(ðèñ.5.8à), ñîîòâåòñòâóþùåå ôóíêöèè íåðàáîòîñïîñîáíîñòè (5.28):
A A A A A aa aaa aaa aa= + + + = + + +
1 2 3 4 12 135 234 45
, (5.38)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîñòðîåíèå äåðåâà îòêàçîâ ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ïîñòðîåíèÿ
ëîãè÷åñêèõ ñõåì ìåòîäîì ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé (ðèñ.5.10). Äàëüíåéøèé ðàñ÷åò âåðîÿò-
íîñòè îòêàçà ñèñòåìû ïî ôîðìóëå (5.38) àíàëîãè÷åí ëîãèêî-âåðîÿòíîñòíîìó ìåòîäó.
Ïîÿâëåíèå è íåïîÿâëåíèå îòêàçà ëþáîãî ýëåìåíòà è ñèñòåìû â öåëîì -
ñîáûòèÿ, îáðàçóþùèå ïîëíóþ ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé. Ïîýòîìó âìåñòî äå-
ðåâà îòêàçîâ ìîæíî ñîñòàâèòü äåðåâî ðàáîòîñïîñîáíîñòè ("äåðåâî óñïå-
õîâ"). Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äåðåâà ðàáîòîñïîñîáíîñòè èç äåðåâà îòêàçîâ íåîáõî-
äèìî çàìåíèòü â íåì âñå ñèìâîëû "ÈËÈ" ñèìâîëàìè "È", âñå ïåðâè÷íûå è
ðåçóëüòèðóþùèå ñîáûòèÿ çàìåíèòü ïðîòèâîïîëîæíûìè (äîïîëíèòåëüíûìè)
ñîáûòèÿìè. Ïî äåðåâó ðàáîòîñïîñîáíîñòè ìîæíî ïîñòðîèòü ôóíêöèþ ðàáî-
òîñïîñîáíîñòè, àíàëîãè÷íóþ (5.27) è äàëåå ðàññ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü áåçîò-
êàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû èçëîæåííûìè âûøå ìåòîäàìè.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ àíàëèçà íàäåæíîñòè òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì ìî-
æåò áûòü öåëåñîîáðàçíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ îòíîñè-
òåëüíî îñîáîãî ýëåìåíòà [3,19,20,30], îñíîâàííûì íà èçâåñòíîé èç ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ëîãèêè òåîðåìå î ðàçëîæåíèè ôóíêöèè ïî ëþáîìó àðãóìåíòó,
êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(
)
(
)
P pPp qPp
i i i i
=
=
+
=
1 0 , (5.39)
ãäå P(p
i
=1) - âåðîÿòíîñòü ðàáîòîñïîñîáíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðè àáñîëþòíî íàäåæ-
íîì i-îì ýëåìåíòå, P(p
i
=0) - ïðè àáñîëþòíî íåíàäåæíîì (îòêàçàâøåì) i-îì ýëåìåíòå.
1 2 1 3 5 2 3 4 4 5
A
G
0
A
1
A
2
A
3
A
4
G
1
G
2
G
3
G
4
Ðèñ.5.12. Äåðåâî îòêàçîâ ìîñòèêîâîé ñèñòåìû
179
Ïðèìåð 5.7.  ìîñòèêîâîé ñõåìå (ðèñ.5.8à) â êà÷åñòâå îñîáîãî öåëåñîîáðàçíî âû-
áðàòü ýëåìåíò 3. Ïðè p
3
=1 ìîñòèêîâàÿ ñõåìà ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâà-
òåëüíîå ñîåäèíåíèå (ðèñ.5.13à), à ïðè p
3
=0 - â ïîñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíîå
(ðèñ.5.13á).
Äëÿ ïðåîáðàçîâàííûõ ñõåì ìîæíî çàïèñàòü:
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
Pp qq qq p p p p( )
3 12 45 1 2 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1= = - - = - - - - - -
, (5.40)
(
)
(
)
(
)
Pp pp pp
3 14 25
0 1 1 1= = - - - .
(5.41)
Òîãäà íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5.39) ïîëó÷èì
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
P p p p p p== - - - - - - +
3 1 2 4 5
1 1 1 1 1 1
(
)
(
)
(
)
[
]
+ - - - -1 1 1 1
3 14 25
p pp pp.
(5.42)
Äëÿ ðàâíîíàäåæíûõ ýëåìåíòîâ ôîðìóëà (5.42) ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (5.32).
Òåîðåìîé ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è ïðè ðàçëîæåíèè îòíîñèòåëüíî íåñêîëüêèõ "îñî-
áûõ" ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð, äëÿ äâóõ ýëåìåíòîâ:
(
)
(
)
P ppPp p pqPp p
ij i j ij i j
= = = + = = +1 1 1 0, ,
(
)
(
)
+ = = + = =qpPp p qqPp p
ij i j ij i j
0 1 0 0, , .
(5.43)
Ïðèìåð 5.8. Äëÿ ìîñòèêîâîé ñèñòåìû (ðèñ.5.8á) ïðè ðàçëîæåíèè îòíîñèòåëüíî
"öåíòðàëüíûõ" ýëåìåíòîâ 3 è 6 ôîðìóëà (5.43) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
P = p
3
p
6
P(p
3
=1,p
6
=1) + p
3
q
6
P(p
3
=1,p
6
=0) +
+ q
3
p
6
P(p
3
=0,p
6
=1) + q
3
q
6
P(p
3
=0,p
6
=0). (5.44)
Äëÿ èäåíòè÷íûõ ïî íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
P p p p p p p p p= - - + - - - - -
é
ë
ê
ù
û
ú
+ - - -
é
ë
ê
ù
û
ú
2
2
3
2
2
2
2
3
2
1 1 21 1 1 1 1 1 1 1
.
. .
.
(5.45)
5.2.5. Комбинированные системы
Áîëüøèíñòâî ñèñòåì èìåþò ñëîæíóþ êîìáèíèðîâàííóþ ñòðóêòóðó,
îäíè èç ýëåìåíòîâ êîòîðîé îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå, äðóãèå
- ïàðàëëåëüíîå, íåêîòîðûå îáðàçóþò ìàæîðèòàðíûå èëè ìîñòèêîâûå ïîä-
ñèñòåìû. Äëÿ ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè òàêèõ ñèñòåì öåëåñîîáðàçíî ïðåäâàðè-
òåëüíî ïðîèçâåñòè äåêîìïîçèöèþ ñèñòåìû, ðàçáèâ åå íà áëîêè (ïîä-
ñèñòåìû), ìåòîäèêà ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè êîòîðûõ èçâåñòíà. Çàòåì ýòè ïîä-
ñèñòåìû â ñõåìå íàäåæíîñòè çàìåíÿþòñÿ ýëåìåíòàìè (êâàçèýëåìåíòàìè) ñ
âåðîÿòíîñòÿìè áåçîòêàçíîé ðàáîòû, ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿì áåçîòêàçíîé
ðàáîòû ýòèõ ïîäñèñòåì. Ïðè íåîáõîäèìîñòè ýòó ïðîöåäóðó ìîæíî ïðîèç-
âåñòè íåñêîëüêî ðàç äî òåõ ïîð, ïîêà îñòàâøèåñÿ êâàçèýëåìåíòû íå îáðà-
çóþò ñèñòåìó, ìåòîäèêà ðàñ÷åòà íàäåæíîñòè êîòîðîé èçâåñòíà.
Ïðèìåð 5.9. Â ñèñòåìå íà ðèñ.5.14 ýëåìåíòû 2 è 5, 4 è 7, 9 è 12, 11 è 14 ïîïàðíî
îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå, ýëåìåíòû 15, 16, 17 è 18 - ïàðàëëåëüíîå, ýëå-
ìåíòû 3, 6, 8, 10 è 13 - ìàæîðèòàðíóþ ñèñòåìó "3 èç 5". Çàìåíèâ ýòè ãðóïïû ýëåìåí-
òîâ êâàçèýëåìåíòàìè, ñîîòâåòñòâåííî, A, B, C, D, E è F, ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàííóþ ñè-
ñòåìó (ðèñ.5.15à), â êîòîðîé, â ñâîþ î÷åðåäü, ýëåìåíòû A, B, C, D, F îáðàçóþò ìîñòè-
êîâóþ ñõåìó, çàìåíèâ êîòîðóþ êâàçèýëåìåíòîì G, ïîëó÷èì ñèñòåìó (ðèñ.5.15á), â êî-
1
2
4
5
1 4
2 5
à) á)
Ðèñ.5.13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîñòèêîâîé ñõåìû ïðè àáñîëþòíî íàäåæíîì (à)
è îòêàçàâøåì (á) öåíòðàëüíîì ýëåìåíòå
180
òîðîé ýëåìåíòû 1, G, E è 19 îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå. Òåïåðü ìîæíî ñ
èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññ÷èòàòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàç-
íîé ðàáîòû âñåõ ïîäñèñòåì (êâàçèýëåìåíòîâ), à çàòåì - ñèñòåìû â öåëîì.
Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðÿìîãî ïåðå-
áîðà äëÿ ðàñ÷åòà ïîêàçàòåëåé íà-
äåæíîñòè èñõîäíîé ñèñòåìû
(ðèñ.5.14) íåîáõîäèìî áûëî áû ðàñ-
ñìîòðåòü 2
19
= 524 288 ñîñòîÿíèé.
Îïèñàííàÿ ìåòîäèêà íîñèò
íàçâàíèå ìåòîäà ñâåðòêè èëè
ìåòîäà ýêâèâàëåíòíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé. Ïðè åå èñïîëü-
çîâàíèè ÷èñëî ýëåìåíòîâ èñ-
õîäíîé ñõåìû î÷åíü ìàëî
âëèÿåò íà ñëîæíîñòü ïðîâåäå-
íèÿ ðàñ÷åòîâ, íî îïðåäåëÿåò
÷èñëî åå ïðåîáðàçîâàíèé.
5.2.6. Многофункциональные системы
Äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè ñèñòåì, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ âûïîëíåíèÿ íå-
ñêîëüêèõ ôóíêöèé (ìíîãîôóíêöèîíàëüíûõ ñèñòåì), îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ
îïðåäåëÿòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåì ïî êàæäîé ôóíêöèè
[29]. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñîñòàâëÿòü ñâîþ
ñòðóêòóðíóþ ñõåìó íàäåæíîñòè.
0 Ïðèìåð 5.10. Ñèñòåìà ïîäà÷è òîïëèâà
(ðèñ.5.16), ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ïàðàëëåëüíî
ðàáîòàþùèõ ôèëüòðîâ 1 è 2, íàñîñà 3 è ôîð-
ñóíêè 4, âûïîëíÿåò äâå îñíîâíûå ôóíêöèè -
ïîäà÷è è î÷èñòêè òîïëèâà. Êàê óæå îòìå÷à-
ëîñü, îòêàç ôèëüòðîâ ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïî
äâóì îñíîâíûì ïðè÷èíàì - çàñîðåíèÿ èëè
ðàçðûâà ôèëüòðóþùåé ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó
äëÿ êàæäîãî èç ôèëüòðîâ âîçìîæíû òðè ñî-
ñòîÿíèÿ: ïîëíîñòüþ ðàáîòîñïîñîáíîå, îòêàç
ïî çàñîðåíèþ è îòêàç ïî ðàçðûâó. Âñå âîç-
ìîæíûå ñî÷åòàíèÿ ñîñòîÿíèé äâóõ ôèëüòðîâ
ïðåäñòàâëåíû â òàáë.5.3.
 çàâèñèìîñòè îò ðàññìàòðèâàåìîé
ôóíêöèè ñõåìà íàäåæíîñòè ñèñòåìû èìååò
ðàçíóþ ñòðóêòóðó: äëÿ ïîäà÷è òîïëèâà äîñ-
òàòî÷íî, ÷òîáû áûëè ðàáîòîñïîñîáíû íàñîñ 3
è ôîðñóíêà 4, à èç äâóõ ôèëüòðîâ 1 è 2 õîòÿ
áû îäèí íå áûë çàñîðåí; äëÿ î÷èñòêè òîïëè-
âà íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëè ðàáîòîñïîñîáíû
1
2 5
4 7
3 6 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Ðèñ.5.14. Èñõîäíàÿ êîìáèíèðîâàííàÿ ñèñòåìà
à)
á)
1
A
B
F
C
D
E A
E A1 G
Ðèñ.5.15. Ïðåîáðàçîâàíèÿ
êîìáèíèðîâàííîé ñè
ñ
òåìû
1
2
3
4
Ðèñ.5.16. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà
ñèñòåìû ïîäà÷è òîïëèâà