Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
131
Энергия, запасённая в катушке через t=0,02 с, начиная с момен-
та её подключения к источнику ЭДС, будет равна:
78,3
2
7,8
1,0
2
Li
W
22
L
===
Дж.
Обращаем внимание на тот факт, что в момент подключения ис-
точника ЭДС самоиндукции e
L
равна ЭДС источника и направлена встреч-
но. В результате этого суммарная ЭДС контура равна нулю, ток при t=(0+)
равен нулю и по мере уменьшения ЭДС самоиндукции ток нарастает по
экспоненциальному закону.
Пример 4.2.
Катушка индуктивности, активное сопротивление которой R=4
Ом, включается в сеть постоянного тока с напряжением U=24 В. Найти
зависимость тока в катушке от времени при переходном процессе и оп-
ределить индуктивность катушки, если ток в ней через 0,45 с после вклю-
чения равен 95% от своего установившегося значения.
Решение:
1. Установившееся значение тока:
6
4
24
===
R
E
уст
i
А.
2. Значение тока через 0,45 с:
7,5695,0I95,0i
уст
=⋅=⋅= А.
3. Определим величину постоянной времени τ. Так как
−=
τ
−
t
уст
eii1
, то
−=
τ
−
450
1675
.
e,
. Далее,
τ
−=
45,0
e
6
67,5
,
3,0
e
6
45,0
=
τ
,
1
e
20
45,0
=
τ
,
τ
=
45,0
e20
,
τ
=
45,0
eln20ln
,
τ
=
45,0
3
. Значение
τ=0,15 с.
4. Зависимость тока от времени при переходном процессе:
−=
−=
−
τ
−
15,0
t
t
устпер
e16e1ii
А.
5. Индуктивность катушки L находим из выражения:
R
L
=τ
и
6,0415,0RL =⋅=⋅τ=
Гн.
132
Пример 4.3.
Катушка, активное сопротивление
которой R
к
=4 Ом и индуктивность L=4 Гн, от-
ключается от источника постоянного напря-
жения U=110 В и замыкается на разрядный
резистор с сопротивлением R
1
=6 Ом (рис.
4.14). Найти значение тока для момента вре-
мени t=1c после переключения катушки из
позиции 1 в позицию 2. Определить напря-
жение на резисторе R
1
в начальный момент
после коммутации.
Решение:
Когда переключатель П находился в позиции 1, ток в катушке
был равен:
5,27
4
110
R
U
I
K
0
===
А.
После перевода переключателя в положение 2 ток переходного
процесса:
τ
−
⋅=
t
пер
eIi
0
, где
4,0
64
4
RR
L
K1
K
=
+
=
+
=τ
с.
Выражение для переходного процесса имеет вид:
4,0
t
t
пер
e5,27e5,27i
−
τ
−
==
.
При t = 1 с,
26,2
18,12
5,27
e
5,27
e5,27i
5,2
5,2
пер
====
−
А.
Напряжение на резисторе R
1
в начальный момент после комму-
тации:
В 1655,276)0(iR)0(U
11R
=⋅=+=+
, т.е. оно оказалось больше, чем
напряжение источника питания, т. к. R
1
>R
К
.
Пример 4.4.
Определить ЭДС самоиндукции катушки индуктивности в на-
чальный момент после её переключения от источника с напряжением
U=100 В, L=1 Гн, R
К
=10 Ом и гасящее сопротивление R
1
=10 Ом.
Решение: Закон изменения ЭДС самоиндукции:
dt
di
Le
пер
L
−=
,
где
τ
−
⋅=
t
пер
eIi
0
. Значит
τ
−⋅−=
τ
−
1
0
t
L
eLIe
,
10
10
100
0
===
K
R
U
I
А ,
i
1 П
2 L
к
U
R
1
R
к
Рис.4.14
133
05,0
1010
1
RR
L
1K
=
+
=
+
=τ
с. Подставляя значения находим:
20020e10
05,0
1
e101e
0
05,0
t
L
=⋅⋅=
−⋅⋅⋅−=
−
В.
Примечание: Для улучшения надежности работы устройств, со-
держащих катушки индуктивности, параллельно им ставят гасящее со-
противление последовательно с диодом VD
1
(см. рис.4.15). В таких схе-
мах при подключении катушки к источнику, ток через R
1
не идёт, т. к.
диод закрыт, а будет идти только при её отключения от источника.
П i
+
VD
1
L
U
R
1
R
K
-
Пример 4.5.
Найти энергию заряда конденсатора ёмкостью С=500 мкФ че-
рез 2с после его подключения к сети постоянного тока с напряжением
U=200 В, если сопротивление R=2 кОм (рис.4.16).
Решение:
−=
τ
−
t
eUU
C
1
,
где
110500102
63
=⋅⋅⋅=⋅=τ
−
CR
с.
Определяем напряжение на
конденсаторе через 2с:
174
1
12001200
2
1
2
=
−=
−=
−
e
eU
C
В.
Энергия заряда конденсатора составит:
Рис.4.15
+ П R
U i C
i
-
Рис.4.16
134
57,7
2
17410500
2
CU
W
26
2
C
C
=
⋅⋅
=
⋅
=
−
Дж.
Пример 4.6.
Определить начальные и установившиеся значения токов i, i
1
, i
2
,
а также ЭДС самоиндукции e
L
после замыкания выключателя
(рис. 4.17), если U=100 В, R=10
Ом, L=10 мГн, С=2 мкФ.
Решение:
До коммутации при t(-0)
общий ток:
10
10
100
1
====
R
U
ii
А.
В момент коммутации при t(0)
ток через индуктивность не может измениться в соответствии с первым
законом коммутации и сохраняет своё значение 10 А, т.е. i=10 А. Кон-
денсатор представляет как бы короткое замыкание и поэтому весь ток
i=10 А пойдёт через него, т. е. i
2
=10 А, а ток i
1
=0.
В установившемся режиме конденсатор полностью зарядится и
токи:
10
1
==
R
U
i
уст
А и ток
10
10
100
2
===
R
U
i
уст
А. Общий ток опреде-
ляем:
уст1
ii = 201010
2
=+=+
уст
i
А.
ЭДС самоиндукции e
L
в начальный момент времени будет равна
приложенному напряжению e
L
=U =100 В, а в установившемся режиме
e
L
=0.
4.8. Контрольные задания к разделу 1, глава 4
Задача 4.1.
Конденсатор ёмкостью С за-
ряжен до напряжения U, полярность
которого показана на рис. 4.18. В
момент времени t=0 ключ К замыка-
ется. Необходимо написать формулу,
выражающую зависимость напряже-
L
П
i
U i
1
R C R
i
2
Рис.4.17
П R
Е +
C -
Рис.4.18
135
ния на конденсаторе от времени. Найти время, при котором напряжение
на конденсаторе отличается от своего предельного значения на 10%.
Таблица 4.1
Данные к задаче 4.1.
Вариант U, В Е, В R, Ом С, мкФ
1 5 10 2000 3
2 15 10 500 30
3 10 20 300 500
4 200 100 5000 10
5 50 300 200 100
6 40 80 1500 600
7 20 25 300 5
8 30 50 1200 15
9 80 120 60 25
10 60 100 4000 30
11 100 60 150 300
12 25 40 30 3000
13 80 80 200 5000
14 75 120 300 200
15 250 300 8000 25
16 800 400 6000 10
17 40 80 500 150
18 20 30 5000 60
19 50 60 8000 4
20 60 120 1000 30
Задача 4.2.
а). Найти зависимость и построить графики тока i и напряжения
Uс от времени в схеме рис.4.19, после замыкания выключателя П, если
даны: Е, С, R.
б). Определить время, через
которое конденсатор зарядится до 50%
от ЭДС источника.
Определить максимальную
энергию заряда конденсатора.
П R
i
Е С
Рис.4.19
136
Таблица 4.2
Данные к задаче 4.2.
Вариант Е, В С, мкФ R, Ом
1 220 100 100
2 200 120 50
3 100 100 50
4 120 80 60
5 150 60 75
6 180 50 90
7 250 120 125
8 300 100 100
9 320 60 180
10 350 50 175
11 400 30 200
12 420 40 210
13 450 100 225
14 500 80 250
15 550 60 275
16 600 50 300
17 700 40 350
18 80 200 40
19 60 300 30
20 50 400 25
Задача 4.3.
Конденсатор ёмкостью С, заряжен-
ный до напряжения U, после замыкания вык-
лючателя П разряжается на резистор R
(рис.4.20).
Определить: время разряда конденса-
тора до напряжения, равного 50% от началь-
ного значения; начальную энергию заряда кон-
денсатора; зависимость падения напряжения
на резисторе от времени и построить график.
i R
П С
Рис.4.20
137
Таблица 4.3
Данные к задаче 4.3.
Вариант R, Ом С, мкФ U
1 2000 1000 200
2 1000 1000 200
3 3000 2000 300
4 1500 1200 180
5 1200 1500 250
6 1500 1200 220
7 1800 2000 280
8 800 3000 220
9 600 3200 160
10 500 3500 150
11 1000 2500 100
12 1400 2200 100
13 1300 2400 500
14 1000 1800 400
15 2500 1600 300
16 2200 1500 200
17 2000 1200 100
18 3500 1000 100
19 3300 800 200
20 3400 500 200
Задача 4.4.
Катушка с активным сопротивлением
R и индуктивностью L подключается к источ-
нику постоянной ЭДС (рис.4.21).
Построить:
1) зависимость тока в катушке от времени;
2) ЭДС самоиндукции на катушке от времени;
3) Определить энергию в катушке через время
t=τ.
П i
Е L
U R
Рис.4.21
138
Таблица 4.4
Данные к задаче 4.4.
Вариант R, Ом L, Гн Е, В
1 10 1 110
2 5 0,5 100
3 4 0,25 24
4 2 0,2 12
5 2,5 0,25 25
6 3 0,3 30
7 6 0,6 60
8 8 0,8 80
9 10 1 100
10 12 0,12 120
11 8 0,8 80
12 9 0,9 90
13 7 0,7 70
14 6 0,6 60
15 5 0,5 50
16 4 2 16
17 12 2 24
18 15 3 30
19 18 3 36
20 20 4 40
Задача 4.5.
Катушка, активное сопротивление ко-
торой R
k
, индуктивность L, отключается от
источникапостоянного напряжения U и замы-
кается на разрядный резистор с сопротивле-
нием R
1
(рис. 4.22).
1) Построить график изменения тока от вре-
мени t после отключения катушки от источ-
ника.
2) Определить напряжение на резисторе R
1
в
начальный момент после коммутации.
i
1
2 L
U
R
1
R
k
П
Рис.4.22
139
Таблица 4.5
Данные к задаче 4.5
Вариант R
к
, Ом L, Гн U, В R
1
, Ом
1 4 2 110 10
2 5 2 100 10
3 10 4 200 20
4 8 4 80 20
5 6 3 60 12
6 3 0,3 30 6
7 2 0,2 20 15
8 1 0,5 20 12
9 0,5 0,1 10 20
10 1 0,1 20 10
11 2 0,5 20 15
12 3 0,3 30 6
13 4 0,4 40 10
14 5 0,5 25 12
15 6 0,6 36 18
16 7 0,7 70 21
17 8 0,4 80 24
18 9 0,6 45 27
19 10 0,5 100 40
20 5 0,25 50 20
Задача 4.6.
На основании законов коммутации и формул по переходным про-
цессам в электрических цепях определить значения начальных и устано-
вившихся токов, а также значения ЭДС самоиндукции е
L
после замыка-
ния выключателя в цепях рис. 4.23(а, б, в).
При этом: U=100 В, R= 10 Ом, L= 10 Гн, С= 2 мкФ.
L В i1 i2 B
i i2
R C
U R C R U C L R R U i1
L R
i1 i2 i
i B
R
а) б) в)
Рис. 4.23
140
Таблица 4.6
Данные к задаче 4.6.
Начальные значения Установившиеся значения
схема схема
Электрич
еские
величины
а б в а б в
I, А 10 20 5 20 10 5
i
1
, А 2 0 0 10 10 5
i
2
, А 10 20 5 10 0 0
e
L
100 100 50 0 0 0
Задача 4.7.
Значения параметров цепи
рис. 4.24. даны в таблице 4.7. Най-
ти начальные и установившиеся
значения токов i
1
, i
2
, i
3
, напряжений
Uc, U
R1
, а также привести пример-
ный вид зависимостей i
1
(t), i
2
(t),
i
3
(t), U
R1
(t), Uc(t), если цепь вклю-
чается на постоянное напряжение
U.
Таблица 4.7
Данные к задаче 4.7.
Вариант U, В R
1
, Ом R
2
, Ом С, мкФ
1 220 110 110 100
2 200 100 33 120
3 180 60 30 150
4 160 40 120 200
5 140 70 70 300
6 120 60 80 500
7 100 50 100 400
8 90 90 40 500
9 80 60 50 100
10 70 35 52,5 200
11 60 15 45 100
12 50 20 30 400
13 210 105 105 500
В R
1
i
2
i
1
i
3
C Uc R
2
U
Рис.4.24