Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Второй закон Кирхгофа : В замкнутом контуре алгебраическая

сумма ЭДС равна сумме падений напряжений на резистивных элементах

контура.

Применительно к рис. 1.5:

2121

RIRIEE ⋅+⋅=+

На рисунке стрелкой указано

направление обхода контура. Если на-

правление обхода контура и направле-

ние ЭДС совпадают, то ЭДС принима-

ется с положительным знаком. В общем

виде второй закон Кирхгофа записыва-

ется выражением:

∑∑

⋅=

1к

кк

1к

RIE

. (1.8)

В учебных материалах очень часто фигурирует понятие «внут-

реннее сопротивление источника». Его величину можно определить на

основании простых измерений и вычис-

лений. Например, внутреннее сопротив-

ление источника ЭДС (рис. 1.6.), опреде-

ляется следующим образом :

1. Собирается схема в соответствии с

рис.1.6 и величина R выбирается та-

ким, чтобы через него протекал номи-

нальный ток от источника.

2. Производится два измерения. а) При

отключеном R вольтметр покажет на-

пряжение U

равное ЭДС, E при этом

амперметр покажет ноль. б) При включенном R вольтметр покажет

напряжение другой величины U

и в цепи появится ток I

. Согласно

закону Ома:

[Ом] ,

−

По результатам двух измерений строится нагрузочная характе-

ристика (рис. 1.7).

Рис.1.5

Рис.1.6

Bк

Рис.1.7

1.2. Преобразования в электрических цепях

В электрических цепях можно выделить соединения пассивных

элементов: 1 – последовательное;

2 – параллельное;

3 – смешанное;

4 – “звездой”;

5 – “треугольником”.

На рис. 1.8 приведён пример после-

довательного соединения сопротив-

лений. При этом:

эквn21

R...RR

I =

+++

Падения напряжений на участках:

= I ⋅R

; U

= I⋅R

. (1.9)

Такая цепь применяется в частно-

сти для деления напряжения на оп-

ределённые части.

На рис. 1.9 приведён при-

мер параллельного соединения со-

противлений.

Общий ток:

Рис. 1.8

Рис. 1.9













+++=+++=+++=

n21n21

n21

...

I...III

, (1.10)

где

...

n21













+++

– проводимость (измеряется в Ом

–1

или

См -[ Сименс] ). Эквивалентное сопротивление: R

экв

= 1/ G. (1.11)

На основании этих рассуждений , найдём эквивалентное сопро-

тивление для параллельного соединения трёх и двух резисторов

рис. 1.10, рис. 1.11:

323121

321

экв

RRRRRR

RRR

R1R1R1

⋅+⋅+⋅

⋅⋅

. (1.12)

Рис.1.10

экв

⋅

. (1.13)

Рис.1.11

Для смешанного соединения резисторов (рис. 1.12) эквивалент-

ное сопротивление можно подсчитать используя предыдущие соотноше-

ния:

экв

R +

⋅

. (1.14)

Когда « n » одинаковых

резисторов соединены последова-

тельно, то: R

экв

= R⋅n , а если парал-

лельно, тогда: R

экв

= R/ n. При этом

суммарная мощность, которую можно рассеять в эквивалентном сопро-

тивлении, равна:

экв

= Р ⋅n, где Р – мощность, рассеиваемая в одном резисторе.

Рис.1.12

На практике

встречается необходи-

мость расчёта так называ-

емых мостовых схем

(рис. 1.13). При этом не-

обходимо выполнить бо-

лее сложные преобразо-

вания.

Чтобы рассчи-

тать эквивалентное

со-

противление, подключен-

ное к зажимам источника ЭДС, нужно “треугольник” из резисторов R

преобразовать в эквивалентную “звезду” из резисторов R

, как

показано на рис.1.14.

Расчетные величи-

ны R

определяются

по формулам:

321

RRR

⋅

; (1.15)

321

RRR

⋅

; (1.16)

321

RRR

⋅

. (1.17)

Руководствуясь схе-

мой рис. 1.14 можно опре-

делить эквивалентное со-

противление всей цепи:

()()

C4B5

C4В5

A0экв

RRRR

RrR

+++

+⋅+

++=

Тогда ток:

;

экв

;

RRRR

C4B5

+++

C4B5

RRRR

+++

Рис. 1.14

Рис.1.13

Чтобы определить токи I

, I

– необходимо воспользоваться

схемой рис. 1.13, и, вначале определить напряжение между точками «В»

и «С» : U

= U

− U

= I

⋅ R

− I

⋅

, тогда ток I

= U

/ R

. (Если ток

получится с минусом, это значит, что он направлен от точки «В» к «С»).

Примем ток I

за положительный – его направление от точки «С» к точке

«В». Для определения тока I

составим для узла «С» уравнение по пер-

вому закону Кирхгофа: I

− I

= 0, тогда I

= I

+ I

, аналогично

= I

− I

Проверка правильности расчётов производится по уравнению

баланса мощности :

RIP

⋅=

∑∑

. (1.18)

Применительно к рассмотренному примеру баланс мощности

запишется в виде:

Е·I

= I

·R

+ I

·R

+ I

·R

+ I

·R

+ I

·R

+ I

·r

Если результат левой части уравнения отличается менее чем на

5% от правой части, расчёт считается выполненным правильно.

Следует также отметить, что формула распределения токов в двух

параллельных ветвях выводится из условия: I

, где I

= I

- I

тогда I

·R

= I

·R

- I

·R

, то есть I

·R

+ I

·R

= I

·R

и тогда I

·(R

) = I

·R

В результате, получим :

(1.19)

по аналогии:

. (1.20)

Есть задачи, в которых возникает необходимость преобразования

схемы соединения «звезда» в схему соединения «треугольник» (рис. 1.15(а, б)).

Рис.1.15. (а,б)

а) б)

AВ

Формулы преобразования:

BAAB

RRR

⋅

++=

; (1.21)

BCBC

RRR

⋅

++=

; (1.22)

CACA

RRR

⋅

++=

. (1.23)

При изучении курса электротехники следует иметь в виду, что

источник электрической энергии с известным значением ЭДС (Е) и внут-

ренним сопротивлением r

может быть представлен схемой замещения

рис.1.16, а, или схемой замещения с источником тока (рис. 1.16, б).

Рис.1.16 а,б

В расчётах удобнее пользоваться схемами с источниками ЭДС.

Если в схеме есть источники тока, то их лучше преобразовать в эквива-

лентные источники ЭДС. Например, при переходе от реального источ-

ника тока (рис. 1.16, б) к эквивалентному источнику ЭДС, пользуются

схемой (рис. 1.16, а), где величина ЭДС рассчитывается по уравнению:

E = I

Пример: В схеме рис.1.16, б источник тока дает ток I

=12 А,

шунтирующее его сопротивление r

=2 Ом. Найти величину Е эквивален-

тного источника ЭДС. (рис.1.16, а).

Решение: ЭДС Е=I

⋅r

=12⋅2=24 В. Таким образом, параметры

эквивалентной схемы рис.1.16, а такие: Е=24 В; r

=2 Ом.

В большинстве, случаев при расчёте электрических цепей, изве-

стными величинами являются значения ЭДС источников или токов в

источниках тока и внутренние сопротивления, а неизвестными величи-

нами являются токи и напряжения в элементах схемы, мощности по-

требляемых от источников и т.д..

I′

а)

б)

При расчётах электрических цепей используются метод непос-

редственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов,

метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного ге-

нератора (для определения тока в одной из ветвей схемы) или метод уз-

лового напряжения (если в схеме только два узла).

1.3. Методы расчёта электрических цепей и

примеры

1.3.1. Метод свертывания схемы

Пример:

Дано : R

, R

;величина ЭДС Е, её внутреннее

сопротивление r

. Требуется определить токи : I

, I

, и

напряжение, которое покажет вольтметр.

Решение : Уп-

рощаем схему с помо-

щью замены групп пос-

ледовательно или па-

раллельно соединённых

сопротивлений одним

эквивалентным сопро-

тивлением. Так, сопро-

тивления R

и R

со-

единены последова-

тельно, их эквивалент-

ное сопротивление определяется суммой : R

= R

+ R

. Далее, сопро-

тивления R

и R

соединены параллельно, их эквивалентное сопротив-

ление определяется согласно выражению :

645

456

⋅

После произведён-

ных преобразований элект-

рическая цепь принимает

вид, показанный на рис.

1.18.

Эквивалентное со-

противление всей цепи по-

лучим из уравнения :

Рис. 1.17

456

Рис. 1.18

()

;

RRR

RrR

45632

10экв

++=

Ток в неразветвлённой части схемы будет определяться по зако-

ну Ома : I

= E / R

экв

Токи I

, I

будут рассчитываться (согласно рис. 1.18) по следую-

щим выражениям :

()

.III ;

RRR

213

45632

4563

−=

Токи I

, I

будут рассчитываться (согласно рис. 1.17) по сле-

дующим выражениям :

.III ;

RRR

III

436

654

354

−=

Показание вольтметра можно определить составив уравнение по

второму закону Кирхгофа : U

= I

+ I

(если сопротивление

вольтметра принять равным бесконечности).

Для проверки правильности решения нужно воспользоваться

уравнением баланса мощности : Е · I

= I

·(R

+ r

) + I

·R

+ I

·(R

+ R

) + I

·R

1.3.2. Метод непосредственного применения законов

Кирхгофа

На рис. 1.19 представлена схема разветвлённой электрической

цепи, содержащей m ветвей и n узлов. Известны также величины

ЭДС всех источников, их внутренние сопротивления и остальные эле-

менты схемы.

Решение :

1. Упрощаем схему с по-

мощью замены групп последо-

вательно и параллельно соеди-

нённых резисторов одним эк-

вивалентным сопротивлением.

2. Произвольно указыва-

ем направление токов в ветвях.

3. Составляем (n – 1)

уравнение по первому закону

Кирхгофа, где n – число узлов.

в c

Рис. 1.19

4. Недостающие (до количества неизвестных) уравнения состав-

ляем по второму закону Кирхгофа, производя обход контура по часовой

или против хода часовой стрелки.

За положительные ЭДС и токи принимаются такие, направле-

ния которых совпадают с направлением обхода контура.

5. Полученную систему уравнений решают относительно неиз-

вестных токов.

Применительно к электрической схеме (рис. 1.19) составим урав-

нения:

по первому закону Кирхгофа для узлов «а», «в» и «с» :











=−−

=++

0III

624

415

231

, (1.24)

по второму закону Кирхгофа, приняв направление обхода конту-

ров по «вadв», «вacdв», «вcaв» часовой стрелке за положительное по-

лучим:











⋅+⋅+⋅−=

⋅+⋅+⋅−⋅=−

⋅+⋅−⋅=

442211

015026221121

01533111

RIRIRI0

rIrIRIRIEE

rIRIRIE

. (1.25)

Решая совместно уравнения (1.24) и (1.25) определяем неизвес-

тные токи. Следует отметить, что совместное решение системы из 6 урав-

нений, является трудоёмкой операцией. Поэтому для определения токов

в цепях с количеством неизвестных более 3 целесообразно применять

другие методы.

1.3.3. Метод контурных токов

Число уравнений по второму закону Кирхгофа для данного ме-

тода определяется числом независимых контуров. Контур считается не-

зависимым, если он отличается от любого другого хотя бы одним эле-

ментом.

Произведём расчёт схемы (рис.1.20). Введем понятие контур-

ных токов. Это токи, протекающие по какому либо замкнутому контуру.

Направляют их по часовой или против часовой стрелки. Примем направ-

ление контурных токов по часовой стрелке.

Необходимо опре-

делить токи во всех ветвях

схемы : I

, I

Дано: Е

= 100 В, Е

= 120 В,

=5 Ом, R

=10 Ом,

=2 Ом, R

=10 Ом,

= r

= 0,5 Ом.

По второму закону

Кирхгофа для трёх конту-

ров вadв, acda, вcaв запи-

сываем 3 уравнения:

()











++⋅+⋅−⋅−=

⋅−++⋅+⋅−=−

⋅−⋅−++⋅=

4123к22к11к

3к230222к31к2

13к32к01131к1

RRRIRIRI0

IRRrRIRIE

RIRIrRRIE

. (1.26)

Примечание. При составлении уравнений следует учитывать

влияние токов соседних контурных токов, проходящих через общие со-

противления, которые входят в различные контуры. Если контурные токи

в общих сопротивлениях протекают встречно, то слагаемые в уравнени-

ях ставятся со знаком «минус»; при согласном их направлении – со зна-

ком «плюс».

При совместном решении системы уравнений (1.26) определя-

ются контурные токи I

к1

, I

к2

, I

к3

. Если контурный ток получается с отри-

цательным знаком, значит его направление в схеме должно быть проти-

воположно указанному.

Токи в ветвях схемы (через сопротивления) определяются сум-

мой контурных токов (при их совпадении), разностью контурных токов

(при встречном их направлении), или самим контурным токам (если че-

рез сопротивление проходит только один контурный ток).

Решение : Используя систему уравнений (1.26) получим :











+−−=

−+−=−

−−=

3к2к1к

I25I10I50

I10I5,12I2120

I5I2I5,7100

. (1.27)

к3

к2

к1

Рис. 1.20