Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Для построения векторной диаграммы проводим вектора токов

I,I

. Дальнейшие построения сводятся к реализации уравнений:

;UUUU

111

мxr

&&&&

=++

.UUUU

222

мxr

&&&&

=++

2.5.3. Расчет сложной электрической цепи с

взаимоиндукцией (рис.2.24)

Составим уравнение для первого контура:

()( )

31к14к12

3к

к31к31к

EEIMjIMj

LIj

IjLLjIRRI

222

2111

&&&&&

&&&

−=ω−ω−













−ω+













−ω+ω++

(2.101)

Рис.2.24

После обработки получим:

()

31к1412

33к

3131к

EEIMjM

LjRI

LLjRRI

&&&&

−=ω−

























ω−

−ω⋅++

























−

−ω+ω⋅++

(2.102)

Для второго контура:

()

32к24

3232к

33к

EEIMj

LLjRRI

LjRI

&&&

+=ω+

























−

−ω+ω+++

























ω−

−ω+

(2.103)

Для третьего контура:

()

444к24к14к

ELjRIMjIMjI

321

&&&&

=ω++ω+ω−

(2.104)

Примечание. При составлении уравнений следует иметь ввиду,

если направление обхода в контуре одинаково ориентировано относи-

тельно одноименных зажимов, то составляющие напряжения взаимоин-

дукции берут со знаком “плюс”. Например, ток

входит в начало L

(уравнение 1) , а ток

входит в конец катушки L

, значит влияние тока

на первый контур за счет взаимоиндукции М

берем со знаком “ми-

нус” и т.д.

Расчеты электрических цепей можно выполнять непосредствен-

но, используя первый и второй законы Кирхгофа. При расчетах также мож-

но использовать метод эквивалентного генератора, если интересующая нас цепь,

в которой хотим определять ток не имеет взаимоиндуктивных связей.

2.5.4. Эквивалентные схемы замещения

Для удобства расчетов

электрических цепей, содержащих

взаимосвязанные катушки, особен-

но при параллельном или смешан-

ном соединении, целесообразно

освободится от магнитных связей

с тем, чтобы получить чисто элек-

трическое соединение.

На рис.2.25 приведена эк-

вивалентная схема после развязки

индуктивных связей параллельно-

го согласного включения катушек

схемы рис.2.20. Если включение

Рис.2.25

катушек встречное, то знаки у взаимной индуктивности М изменяются

на противоположные.

В случае трех ветвей, соединенных в общем узле и имеющих

индуктивные связи (рис. 2.26,а), в эквивалентной схеме замещения

(рис.2.26,б) в каждую индуктивно-связанную ветвь добавляется сопро-

тивление mx

=ωМ, а в третью ветвь, являющейся общей для них обоих,

сопротивление ±x

(верхние знаки - для соединения одноименными вы-

водами, нижние – для соединения разноименными выводами) на

рис.2.26,б приведен пример развязки такой схемы.

Рис.2.26

Примечание. Для количественной оценки степени связи между

катушками иногда вводится коэффициент связи.

св

К =

. (2.105)

В трансформаторах с ферромагнитным сердечником К

св

≈1 и тогда

LLМ ≈

, (2.106)

где L

– индуктивность первой катушки; L

– индуктивность вторичной

катушки.

2.5.5. Трансформатор без стального магнитопровода

Трансформатор – электромагнитное устройство, предназначен-

ное для преобразования напряжения одного значения - в другое. На вы-

соких частотах в радиопри-

емных, измерительных ус-

тройствах, спецаппаратуре

применяют трансформато-

ры без ферромагнитного

сердечника (воздушные

трансформаторы).

На рис.2.27 пред-

ставлена схема воздушно-

го трансформатора со

встречным включением обмоток. Принимаем, что нагрузка индуктивно-

активного характера.

;jXrZ

нн

;jXIjXIrIU

м21L1111

&&&&

−+=

(2.107)

22L222м1

UjXIrIjXIО

&&&&

+++−=

. (2.108)

Анализ качествен-

ных и количественных со-

отношений можно проил-

люстрировать векторной

диаграммой, приведенной

на рис.2.28.

Построение удоб-

но начинать с вектора

Составляющая

н2

совпа-

дает с током

н2

jXI

−

опережает

на 90° и их

сумма равна

;

−

падение напряжения на ак-

тивном сопротивлении об-

Рис.2.27

Рис.2.28

мотки;

jXI

- падение напряжения на индуктивном сопротивлении об-

мотки; (

МIjω−

) − ЭДС взаимоиндукции от тока

(знак “-” отражает

несогласное включение). Вектор тока

опережает ЭДС взаимоиндук-

ции на 90°. Дальнейшее построение диаграммы сводится к реализации

уравнения (2.107), т.е.

- падение напряжения на активном сопротив-

лении первичной обмотки совпадает с током;

jXI

− напряжение на

индуктивном сопротивлении первичной обмотки опережает

на 90°;

МIjω−

- ЭДС взаимоиндукции в первичной цепи за счет

отстает от

на 90°. Замыкающим вектором является напряжение

Решая совместно уравнения (2.107) и (2.108) находим входное

сопротивление трансформатора:

()()

внвн

вх

XXjRR

Z +⋅++==

, (2.109)

где R

вн

- вносимое (пересчитанное) сопротивление из вторичной обмот-

ки в первичную; X

вн

- вносимое реактивное сопротивление.

вн

R ⋅

; (2.110)

н222

jXLjX +⋅ω=

; (2.111)

н222

rrR +=

; (2.112)

вн

X ⋅

−=

. (2.113)

Если нагрузка емкостная, то X

имеет отрица-

тельное значение.

Для получения максимальной мощности в

нагрузке необходимо, чтобы r

вн

. (2.114)

Тогда

I =

, (2.115)

макс

P =

, (2.116)

Рис.2.29

Для компенсации реактивной составляющей в первичной и вто-

ричной цепях последовательно включают конденсаторы переменной

емкости. На основании уравнения (2.109) можно составить эквивалент-

ную схему замещения рис.2.29. Используя метод развязки, получим эк-

вивалентную схему замещения трансформатора без взаимоиндуктивных

связей (рис.2.30).

Рис.2.30

2.6. Четырехполюсники [4]

При выполнении расчетов электротехнических устройств, име-

ющих два входных и два выходных зажима используют теорию четы-

рехполюсников. Если эти устройства не содержат каких-либо источни-

ков энергии, то их называют

пассивными. К таким устрой-

ствам можно отнести линии

передач, электрические филь-

тры, мостовые схемы и т.д.

(рис.2.31). Схему любого пас-

сивного четырехполюсника,

состоящего из произвольного

числа линейных сопротивлений, можно при помощи эквивалентных пре-

образований привести к трем сопротивлениям, соединенным по схеме

“звезда” или по схеме “треугольник” (рис.2.32 (а,б)), соответственно, на-

зываемых Т-образной и П-образной схемами замещения. Для четырех-

полюсника можно установить две линейные зависимости, связывающие

напряжение

и ток

на входе схемы с напряжением

и током

на выходе схемы (у приемника энергии). Рассмотрим Т-образную схе-

му замещения. Пусть заданы

на выходе схемы, а также

эквивалентной схемы замещения. Выразим через заданные

величины напряжение

и ток

на входе схемы.

Рис.2.31

Рис.2.32 (а,б)

Используя законы Кирхгофа, получим :

2021

IUZI

ZIU

IIII

&&&&

⋅













++=

⋅+

+=+=

; (2.117)

ZZU

UZIZ

UZIZIU

&&&&

⋅













⋅

+++⋅













=++⋅













++=++=

(2.118)

Для сокращения, обозначим:













(2.119)

;С

(2.120)

;В













⋅

(2.121)













⋅

(2.122)

Получим:











⋅+⋅=

221

IDUCI

IBUAU

&&&

. (2.123)

Эти уравнения называются уравнениями четырехполюсника;

коэффициенты А, В, С, D – постоянными четырехполюсника. Значения

этих коэффициентов при постоянной частоте не зависят ни от нагрузки,

ни от напряжения на входе U

, а определяются лишь значениями актив-

ных и реактивных элементов четырехполюсника и схемой соединения

этих элементов между собой. Между коэффициентами существует связь

1DCAD =−

. (2.124)

Постоянные четырехполюсника могут быть определены экспе-

риментально из опытов холостого хода (XX) и короткого замыкания (К3).

Схемы опытов холостого хода и короткого замыкания приведены на

рис.2.33 (а,б).

Рис.2.33 (а,б)

При опыте холостого хода выходные зажимы разомкнуты, а к

зажимам 11′ подводится напряжение

, при этом в четырехполюсни-

ке проходит ток

. Так как I

=0, то, подставив эти значения в уравне-

ния четырехполюсника (2.123), получим:

;UAU

2010

.UCI

2010

В ре-

жиме короткого замыкания выходные клеммы замкнуты на амперметр, а

ко входу подводится напряжение

к1

. При этом в цепях четырехполюс-

ника проходят токи

к1

к2

. Получим уравнения:

;IВU

к2к1

(2.125)

.IDI

к2к1

(2.126)

По показаниям измерительных приборов (амперметр, вольтметр,

фазометр, ваттметр) могут быть найдены комплексные выражения

к1

к2

и рассчитаны значения:

;

Пример. Из опыта холостого хода и короткого замыкания пас-

сивного четырехполюсника с неизвестными сопротивлениями опреде-

лены следующие значения:

;В200U

;AeI

−

;Be3100U

30j

;В200U

к1

;Ae20I

60j

к1

= .Ae40I

60j

к2

Опреде-

лить коэффициенты А, В, С, D и сопротивления

Т-образной

схемы замещения четырехполюсника.

Решение. Определим коэффициен-

ты четырехполюсника

;

3100

200

30j

−

===

;

3100

90j

30j

60j

−

===

200

60j

к2

к1

−

===

.5,0

60j

к2

к1

===

Определим сопротивления схемы замещения.

Значит

;35j35

90j

===

откуда

()

=−=

Z1AZ

()

.Ом 535j35j535j

60sinj60cos103510351

90j60j90j30j

eeee

=−+=−

−+=−=













−=

− oo

oooo

1D +=

и тогда

() ()

35,2j35j15,0Z ;1DZ

−=−=−=

На рис.2.34 представлена Т-образная схема замещения исследу-

емого четырехполюсника.

2.7. Контрольные задания к

разделу 1, глава 2 [2]

Задача 2.1. В схеме рис. 2.35 извес-

тны напряжение U на входе, потребляемая

цепью активная мощность Р, частота тока f.

В неразветвлённой части цепи ток при ра-

зомкнутом ключе S равен I

, а при замкну-

том ключе I

. Рассчитать сопротивление ре-

зистора R, индуктивность катушки L и ём-

кость конденсатора С.

Рис.2.34

Рис.2.35

Таблица 2.1

Данные к задаче № 2.1 Вариант

U, В Р, Вт f, Гц I

, А I

, А

1 100 200 50 5 3

2 80 160 100 3 2,5

3 220 50 400 1 0,5

4 150 400 50 4 3

5 200 60 60 0,8 0,4

6 20 100 25 10 8

7 40 80 50 6 3

8 60 240 40 10 6

9 250 200 30 2 1

10 120 40 80 0,9 0,6

11 500 50 400 0,5 0,3

12 80 20 100 0,8 0,4

13 100 50 75 2 1,5

14 130 80 50 1,5 1

15 240 120 100 4 1,6

16 35 140 60 10 7

17 18 50 80 4 3

18 25 100 70 5 4

19 40 120 100 7 3,2

20 80 160 50 4 3

Задача 2.2 В цепи пере-

менного тока рис. 2.36 наблюдает-

ся резонанс токов. Известны ток I

через резистор R

, ток I

через ре-

зистор R

, сопротивление индук-

тивной катушки переменному току

. При этом R

=nX

. Найти напря-

жение сети U, сопротивление рези-

стора R

, общий ток I, ёмкость кон-

денсатора С и индуктивность ка-

тушки L, если частота переменно-

го тока равна f.

Рис.2.36