Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
61
вивалентного генератора определить ток во второй ветви
2
I
&
. Проверить
баланс активных мощностей.
Решение:
а) Выберем направления контурных токов согласно рис. 2.17,а.
Система уравнений по методу контурных токов запишется в виде:
1
3
2K
31
1K
EZI)ZZ(I
&&&
=•++•
,
2
3
1K
32
2K
EZI)ZZ(I
&&&
=•++•
.
Решая эти уравнения, получим:
=+++⋅
=⋅+++
−
o
&&
&&
30j
2K1K
2K1K
e
100)10030j60(II100
100I100)10030j60(I
, или
−=++⋅
=⋅++
50j5,86)30j160(II100
100I100)30j160(I
2K1K
2K1K
&&
&&
Найдём главный определитель системы уравнений:
.9600j14700
10000900j9600256001000900j16030j225600
10000)30j160(
)30j160(100
100)30j160(
2
2
+=
=−−+=−•+••+=
=−+=
+
+
=∆
Алгебраическое дополнение:
.8000j73505000j86503000j16000
)50j5,86(1003000j16000
)30j160()50j5,86(
100100
1
+=+−+=
=−−+=
+−
=∆
Контурный ток
o
o
o
&
4,14j
33j
4.47j
1
1K
e
e
e
618,0
17557
10864
)9600j14700(
)8000j7350(
I ==
+
+
=
∆
∆
=
А
Алгебраическое дополнение:
.5405j15340
15005405j13840100001500j8000j2595j13840
10000)50j5,86()30j160(
)50j5,86(100
100)30j160(
2
2
−=
=+−=−−−+=
=−−•+=
−
+
=∆
Контурный ток:
62
o
o
o
&
4,78
1,33j
3,45j
2
2K
e433,0
17557
7598
)9600j14700(
)5405j15340(
I
e
e
−
−
==
+
−
=
∆
∆
=
А
Действительные токи в ветвях:
o
&&
4,14j
1K1
e
618,0II ==
А;
o
&&
4,78j
2K2
e
433,0II
−
==
А;
.A74,027,0j687,0424,0j087,0154,0j6,0
)4,78sin(433,0j)4,78cos(433,04,14sin618,0j
4,14cos618,0433,0618,0III
4,21j
4,78j4,14j
2K1K3
e
ee
o
oo
ooo
o
&&&
−
−
=−=−++=
=−+−++
+=+=+=
Уравнение баланса мощностей:
[][ ]
3
2
32
2
21
2
1
*
22
*
11
rIrIrIIEReIERe
•+•+•=+
&&&&
(Re – реальная или вещественная часть комплексной мощности являет-
ся активной мощностью) или:
[][ ]
;76,5425,119,2274,2886,59или
.10074,060433,060618,04,48cos3,434,14cos8,61
433,0100Re618,0100Re
222
4,78j30j4,14j
eee
++=+
•+•+•=+
=•+•
−−
oo
ooo
Т. е. получим тождество 88,6 ≅ 88,9. При этом погрешность при вычис-
лении составит:
%33,0
75,88
1003,0
%100
2
9,886,88
6,889,88
Р
%
=
•
=•
+
−
=∆
;
б) При решении задачи по методу двух узлов определяем напря-
жение между точками 1 и 2:
=
++
+
=
++
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
=
−−
−−
−
−
01,0015,0015,0
49,149,1
100
1
1,67
1
1,67
1
1,67
100
1,67
100
100
1
30j60
1
30j60
1
30j60
1
100
30j60
1
100
YYY
YEYE
U
6,26j6,26j
6,56j6,26j
6,26j6,26j
6,26j
30j
6,26j
30j
321
2211
12
ee
ee
ee
e
e
e
e
oo
oo
oo
o
o
o
o
o
&&&
&&&&
&
63
=
+−+−+−+−
−+−+−+−
=
01,0)6,26sin(015,0j)6,26cos(015,0)6,26sin(015,0j)6,26cos(015,0
)6,56sin(49,1j)6,56cos(49,1)6,26sin(49,1j)6,26cos(49,1
oooo
oooo
.В)9,26j8,67(73
0393,0
87,2
0134,0j037,0
91,1j15.2
01,00067,0j0134,00067,0j0134,0
24,1j82,067,0j33,1
6.21j
20j
6,41j
e
e
e
−===
=
−
−
=
+−+−
−+−
=
−
−
−
o
o
o
Токи в ветвях согласно выражений:
.А628,0
015,09,41015,0)9,26j2,32(
015,0)9,26j8,67100(Y)UE(I
2,13j
6,26j8,39j6,26j
6,26j
11211
e
eee
e
o
ooo
o
&&&&
+
−+−
−
=
=•=•+=
=•+−=•−=
.A45,0
015,08,29015,0)3,23j7,18(
015,0)9,26j8,67100(Y)UE(I
7,77j
6,26j1,51j6,26j
6,26j
21222
e
eee
e
o
ooo
o
&&&&
−
−−−
−
=
=•=•−=
=•+−=•−=
oo
&&&
6,21j6,21j
3123
ee
73,001,073YUI
−−
=•=•=
А.
в) Определим ток
2
I
&
по
методу эквивалентного генерато-
ра. Для этого необходимо найти
ЭДС
Г
E
&
эквивалентного генера-
тора и его сопротивление
Г
Z
(рис. 2.17,б).
Для определения
Г
Е
&
от-
ключим ветвь
2
Z
(рис. 2.17,в) и
вычислим напряжение холосто-
го хода (между точками 3 и 1):
31
1
/
ZZ
E
I
+
=
&
.
=•
+
==•=
3
31
1
Г
3
/
12
Z
ZZ
E
EZIU
&
&&&
E
&
Z
2
I
&
2
E
&
2
Z
1
2
Г
Г
Рис.2.17б
64
2
E
&
2
Z
1
3
2
3
Z
/
I
&
1
Z
1
E
&
Рис.2.17,в
3
Z
1
Z
Г
Z
Рис.2.17,г
.B4,61
8,162
10000
30j160
10000
10030j60
100100
6,10j
6.10j
e
e
o
o
−
==
=
+
==
++
•
=
Эквивалентное сопротив-
ление генератора (рис. 2.17,г):
.Ом2,41
8,162
6708
10030j60
100)30j60(
ZZ
ZZ
Z
16j
6,10j
6,26j
31
31
Г
e
e
e
o
o
o
==
=
++
•+
=
+
•
=
Искомый ток (см. рис. 2.17,б):
.A43,0
8,107
7,46
35,41j6,99
7,38j15,26
35,11j6,3930j60
3,11j35,6050j5,86
2,4130j60
4,6150j5,86
ZZ
EE
I
5,78j
5,22j
56j
16j
6,10j
Г2
Г2
2
e
e
e
e
e
o
o
o
o
o
&&
&
−
−
−
==
=
+
−
=
+++
+−−
=
++
−−
=
+
−
=
2.5. Взаимная индуктивность в цепях
переменного тока
При прохождении тока через реальную катушку индуктивности
в ней создается ЭДС самоиндукции и падение напряжения на активном
сопротивлении
ir
dt
di
LU +=
. Но более сложные процессы проходят, ког-
да в состав электрических цепей входят катушки индуктивности, магни-
тосвязанные с другими катушками. В этом случае магнитный поток од-
ной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции,
которые должны быть учтены при расчетах. При составлении уравнений
необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоин-
дукции и взаимоиндукции. Правильное заключение может быть сдела-
но, если известно направление намотки катушек и выбрано положитель-
65
ное направление токов в них. Рассмотрим схе-
му последовательного соединения двух индук-
тивносвязанных катушек при согласном (ри-
с.2.18,а) и встречном их включении (рис.2.18,б).
Начала обмоток обозначают точками или звез-
дочками.
2.5.1. Последовательное соединение
катушек
При согласном последовательном
включении катушек, ЭДС самоиндукции e
L1
, e
L2
и ЭДС взаимоиндукции e
М1
, e
М2
совпадают по
направлению. Составим уравнения по второ-
му закону Кирхгофа для мгновенных значений:
,uirireeee
212M2L1M1L
−+=+++ (2.78)
где
;dtdiMee
2M1M
==
(2.79)
М – коэффициент взаимной индукции.
()( )
.
dt
di
M2LLrri
dt
di
M2
dt
di
L
dt
di
Liriru
2121
2121
++++=
=++++=
(2.80)
В символической форме :
()( )()
M2LLjrrIU
2121
++ω++=
&&
. (2.81)
На рис.2.18,в представлена векторная диаг-
рамма.
При встречном последовательном
включении катушек, ЭДС взаимоиндукции при
обходе контура получается со знаком “минус”
,uirireeee
212M2L1M1L
−+=−+− (2.82)
()( )
.
dt
di
M2LLrri
dt
di
M2
dt
di
L
dt
di
Liriru
2121
2121
−+++=
=−+++=
(2.83)
В символической форме:
()( )()
M2LLjrrIU
2121
−+ω++=
&&
. (2.84)
Рис.2.18,а
Рис.2.18,б
Рис.2.18,в
66
Рис.2.18,г
Векторная диаграмма для встречного
включения катушек представлена на
рис.2.18,г. Ток в цепи:
()( )
M2LLirr
U
I
2121
±+ω++
=
&
&
. (2.85)
Таким образом, получим:
()
,M2LLX
21согл
++ω= (2.86)
()
,M2LLX
21встр
−+ω=
(2.87)
Разность:
М4XX
встрсогл
ω=−
. (2.87)
Следовательно:
ω
−
=
4
XX
М
встрсогл
. (2.88)
Пример Вольтметром, амперметром и ваттметром измерено:
общее напряжение катушек, ток в цепи и потребляемая мощность:
а) при согласном включении катушек: U=200 В; I
встр
=3,5 А;
Р
встр
=320 Вт.
б) при встречном включении катушек: U=200 В; I
согл
=6,8 А;
Р
согл
=1210 Вт.
По данным измерений определить взаимную индуктивность М,
если частота сети f=50 Гц.
Решение:
а) Для согласного включения:
Ом; 57
5,3
200
I
U
Z
согл
согл
===
Ом. 1,26
5,3
320
I
P
r
22
согл
согл
===
Ом. 8,501,2657rZX
2222
соглсогл
=−=−=
б) Для встречного включения:
Ом; 4,29
8,6
200
I
U
Z
встр
встр
===
Ом. 1,26
8,6
1210
I
P
r
22
встр
встр
===
Ом. 5,131,264,29rZX
2222
встрвстр
=−=−=
Из анализа следует:
М4XX
встрсогл
ω=−
, тогда
мГн. 30Гн 03,0
3144
5,138,50
4
XX
M
встрсогл
==
⋅
−
=
ω
−
=
67
Коэффициент взаимной
индукции М можно определить,
если первую катушку подключить
к источнику синусоидальной ЭДС
через амперметр, а к зажимам вто-
рой катушки подключить вольт-
метр с большим внутренним со-
противлением (рис.2.19). Измерив
ток I
1
и напряжение U
2
=ωMI
1
, оп-
ределим:
1
2
I
U
M
⋅ω
=
.
Пример: В схеме рис.2.19 вольтметр показал 100 В, амперметр
– 10 А. Частота источника f=50 Гц. Определить М.
.мГн 9,31Гн 0319,0
105014,32
100
I
U
М
2
2
==
⋅⋅⋅
=
⋅ω
=
2.5.2. Параллельное включение катушек
индуктивностей
При анализе параллельного согласного включения двух магни-
тосвязанных катушек индуктивности (рис.2.20) получим следующие урав-
нения:
21
III
&&&
+=
; (2.89)
2
м
1
1
IZIZU
&&&
⋅+⋅=
; (2.90)
1
м
2
2
IZIZU
&&&
⋅+⋅=
, (2.91)
где
;LjrZ
11
1
ω+=
;LjrZ
22
2
ω+=
.МjZ
м
ω=
Выразим ток I
2
из уравнения
(2.90),
м
11
2
Z
ZIU
I
&&&
&
−
=
и, заменяя его в урав-
нении (2.91), получим:
м
1
м
21
1
м
2
м
1
2
м
1
1
ZI
Z
ZZI
Z
ZU
ZIZ
Z
ZIU
U
&
&&
&
&&
&
+−=+
−
=
. Далее,
Рис.2.19
Рис.2.20
68
;ZI
Z
ZZI
Z
ZU
U
м
1
м
21
1
м
2
&
&&
&
+
−
=−
−=
−
м
21
м
1
м
2
Z
ZZ
ZI
Z
Z
1U
&&
, разделив
левую и правую части на
1
I
&
и обозначив
*
1
1
Z
I
U
=
&
&
, получим:
м2
2
м21
*
1
ZZ
ZZZ
Z
−
−⋅
=
. (2.92)
Делая выводы, по аналогии получим:
м1
2
м21
*
2
ZZ
ZZZ
Z
−
−⋅
=
; (2.93)
м
м
**
**
экв
ZZZ
ZZZ
ZZ
ZZ
Z
2
21
2
21
21
21
−+
−⋅
=
+
⋅
=
; (2.94)
.
Z
U
I ;
Z
U
I ;
Z
U
I
*
экв
*
2
2
*
1
1
&
&
&
&
&
&
===
При анализе встречного включения катушек индуктивностей
(рис.2.21) получим такие исходные уравнения:
2
м
1
1
IZIZU
&&&
⋅−⋅=
, (2.95)
1
м
2
2
IZIZU
&&&
⋅−⋅=
. (2.96)
В результате совместных решений
этих уравнений получим:
м2
2
м21
*
1
ZZ
ZZZ
Z
+
−⋅
=
′
; (2.97)
м1
2
м21
*
2
ZZ
ZZZ
Z
+
−⋅
=
′
; (2.98)
м
**
м
экв
ZZZ
ZZZ
Z
2
21
2
21
++
−⋅
=
′
; (2.99)
При отсутствии взаимной индукции
М получим:
21
21
экв
ZZ
ZZ
Z
+
⋅
=
. (2.100)
Рис.2.21
69
Пример. В схеме, представленной на рис.2.22:
1) Вычислить мощности Р
1
, Р
2
, Р
0
и построить векторную диаг-
рамму.
Дано:
X
L1
=80 Ом, r
1
=20 Ом, X
L2
=50 Ом, r
2
=30 Ом, ωМ=40 Ом,
()
20j120U +=
&
.
Решение. Как видим
из рис.2.22 катушки L
1
, L
2
со-
единены параллельно и со-
гласно. При этом:
()
,
ZZZ
ZZU
ZZ
ZZZ
U
Z
U
I
2
м21
м2
м2
2
м21
*
1
1
−⋅
−
=
=
−
−⋅
==
&
&&
&
где
;80j20Z
1
+=
;50j30Z
2
+=
;20j120U +=
&
;40jМjZ
м
=ω=
.1600Z
2
м
−=
Определим ток в первой катушке:
()()
()()
.A1
3847
3847
3400j1800
1800j3400
160050j3080j20
20j12040j50j30
I
90j
9,117j
9,27j
1
e
e
e
o
o
o
&
−
==
+−
+
=
+++
+−+
=
Ток во второй катушке:
()
()()
()()
.A41,1
3847
5440
160050j3080j20
20j12040j80j20
ZZZ
ZZU
I
45j
118
8,72j
2
м21
м1
2
e
e
e
o
o
o
&
&
−
==
+++
+−+
=
−⋅
−
=
3) Общий ток:
[A]. ,,III
jjj
eee
ooo
&&&
634590
21
23624111
−−−
=+⋅=+=
Мощность первого ваттметра:
4)
()
.Вт206,1216,121120j120IUP
5,99j90j5,9j90j*
11
eeee −==⋅=+==
oooo
&&
Мощность второго ваттметра:
Рис.2.22
70
5)
()
==⋅=+==
oooo
&&
5,54j45j5,9j45j*
22
eeee
45,17141,16,12141,120j120IUP
.Вт 100=
6) Общая мощность:
()()
.Вт8236,26,1212j120j120IUP
63j5,9j*
0
ee =⋅=++==
oo
&&
На основе полученных значений токов
21
I,I
&&
определим:
.B20201rIU
90j90j
11r
ee
1
oo
&&
−−
=⋅==
.B80801xIU
90j90j90j
11x
eee
1
=⋅⋅==
−
ooo
&&
.B4,514041,1jXIU
45j90j45j
м2м
eee
1
ooo
&&
+−
⋅=⋅⋅=⋅=
.B3,423041,1rIU
45j45j
22r
ee
2
oo
&&
−−
=⋅==
.Be70e50e41,1jxIU
45j90j45j
22x
2
ooo
&&
⋅=⋅⋅==
−
.B40401jXIU
90j90j
м1м
ee
2
=⋅⋅=⋅=
−
oo
&&
Построение векторной диаграммы
Рис.2.23