Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
41
;2EE
m
=
;2II
m
=
.2UU
m
=
(2.8)
Большинство измерительных приборов проградуировано в дей-
ствующих величинах (U=220 В, U=380 В, I=10 А и т.д.).
При необходимости сложения, например, двух токов
i
1
= 14,1·sin(314t + 30
0
) и i
2
= 28,2·sin(314t + 60
0
), выполняются следую-
щие действия :
1. Определяются действующие значения: I
1
=14,1
/
2
=10 А;
I
2
=28,2
/
2
=20 А.
2. Изображают токи в виде векторов с начальными фазами
(ϕ
1
=30
0
, ϕ
2
=60
0
).
3. Производится сложение векторов в прямоугольной системе
координат по правилу параллелограмма в целесообразном масштабе (рис.
2.3)
(
)
213
III +=
. (2.9)
4. Измерив получившийся вектор тока I
3
и угол ϕ
3
, можно най-
ти действующее значение результирующего тока. Амплитудное значе-
ние тока I
m3
= I
3
·
2
. Мгновенные значения тока: i
3
= I
m3
·sin(314t + ϕ
3
) ;
i
3
= 40,9
·sin(314t + 50
0
), здесь 314 = ω =2πf.
Рис.2.3
Кроме того, вектор можно рассматривать как изображение ком-
плексного числа, заменив оси прямоугольной системы координат осями
комплексной плоскости (Х - на ось действительных чисел ±Re, Y – на
ось мнимых чисел ±j).
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
1
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
2
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
3
2
I
1
I
3
I
Y
X
−−
−−
−X
(-Re)
0
-Y(-j)
(+Re)
(+j)
M
I
A
42
Существует три формы записи комплексного числа : алгебраи-
ческая, тригонометрическая и показательная.
Рассмотрим приведённый выше пример сложения токов с при-
менением комплексных чисел: i
1
=14,1·sin(314t+30
0
) и
i
2
=28,2·sin(314t+60
0
). [3]
1. Действующие значения токов в комплексной показательной
форме:
1
I
&
=I
1
·е
jϕ1
=10 е
j30°
[A], где е – основание натурального логариф-
ма, е
jϕ°
– оператор поворота вектора тока на комплексной плоскости.
2
I
&
=I
2
·е
jϕ2
=20 е
j60°
[A] .
2. Для удобства сложения показательную форму записи комплекс-
ного числа переводят в алгебраическую, используя формулы Эйлера:
ϕ−ϕ=
ϕ+ϕ=
ϕ−
ϕ
,sinjcos
;sinjcos
j
j
e
e
o
o
(2.10)
тогда
1
I
&
= 10 е
j30°
=10 cos30
0
+ j 10 sin30
0
=(8,65 + j 5) , [A] ,
2
I
&
=20 е
j60°
=20 cos60
0
+ j 20 sin60
0
=(10 + j 17,3) , [A] .
3. Выполняя действие сложения складываем вещественные час-
ти друг с другом и мнимые части:
3
I
&
=
1
I
&
+
2
I
&
=8,65 + 10 + j (5 + 17,3) = (18,65 + j 22,3) , [A] .
4. Для количественной оценки тока
3
I
&
удобнее пользоваться по-
казательной формой записи комплексного числа, определив модуль
3
I
&
=
22
3,2265,18 +
= 29 [A] и угол ϕ
3
= arctg (22,3 / 18,65) = 50
0
.
В показательной форме
3
I
&
= 29 е
j50°
[A] (ток 29 А, угол сдвига по
фазе 50
0
).
При умножении или делении комплексных чисел удобнее пользо-
ваться показательной формой записи комплексного числа, например :
U
&
= 200 е
j30°
[В]
;
I
&
= 10 е
-j 45°
[A] .
Чтобы определить комплексную полную мощность нужно
S
~
IU
*
=⋅
&&
, (2.11)
где
∗
I
&
- сопряженный комплексный ток. Тогда
S
~
=200 е
j30°
·
·10 е
j 45°
=200·10 е
j(45 + 30)°
=
o
75j
2000
[BA].
43
Преобразование показательной формы записи в алгебраическую
позволит определить активную мощность Р, которая преобразуется в теп-
ловую энергию и реактивную мощность Q, за счет которой происходит
накопление энергии в конденсаторе или в катушке индуктивности.
S
~
= P + j Q=2000 cos75
0
+ j 2000 sin75
0
=(517,6 + j 1931,8) [BA], (2.12)
где Р = 517,6 [Вт], Q = 1931,8 [ВАр].
При выполнении контрольных задач по этому разделу в схемах
широко используются три основных элемента :
1) резистивный элемент R (электроплита, электрический паяль-
ник, лампы накаливания и т.д.);
2) индуктивный элемент L (обмотка трансформатора, электро-
магнита, электродвигателя и т.д.);
3) емкостной элемент - С (конденсатор).
Следует также иметь в виду, что в резистивном элементе ток и
напряжение совпадают по фазе. В индуктивном элементе ток отстаёт по
фазе на 90 градусов от напряжения, а в емкостном – ток на 90 градусов
опережает напряжение. Сопротивление индуктивного элемента Х
L
воз-
растает с увеличением частоты.
Х
L
= 2πf·L, (2.13)
а сопротивление емкостного элемента Х
С
– уменьшается.
Х
С
=1/(2πfС), (2.14)
На рис.2.4 (а, б, в) приведены примеры с использованием эле-
ментов R, L, C.
U
∼
R
100 Ом
I
R
U
∼
L
0,2 Гн
I
L
U
∼
C
50 мкФ
I
C
Рис.2.4 (а, б, в)
Для рис. 2.4, а: Ток I
R
= U / R = 220 / 100 = 2,2 A (2.15)
Потребляемая активная мощность: Р=U·I
R
=U
2
/R=I
2
·R=220·2,2=
=484 Вт (2.16)
Для рис. 2.4,б: Ток I
L
= U / Х
L
= 220 / (2·3,14·50·0,2) = 3,52 A. (2.17)
Реактивная мощность: Q
L
=U·I
L
=U
2
/Х
L
=I
2
·Х
L
=220·3,52 =774,4 ВАр. (2.18)
Для рис. 2.4,в: Ток I
С
= U / Х
С
=
6
10505014,32
1
220
−
⋅⋅⋅⋅
=3,46 A. (2.19)
а) б)
в)
44
Реактивная мощность: Q
С
=U·I
С
=U
2
/ Х
С
=I
2
·Х
С
= 220·3,46 =761 ВAр. (2.20)
Векторные диаграммы к схемам (без учёта масштаба) показаны,
соответственно, на рис. 2.5 (а, б, в).
U
I
R
а)
U
90
0
I
L
б)
U
90
0
I
C
в)
Рис.2.5 (а, б, в)
Произведём те же действия с применением комплексных чисел.
Для рис. 2.4, а. Полное сопротивление
Z
= R = 100 е
j0°
[Ом]. (2.21)
Ток
.A 2,2100220ZUI
0j0j
R
ee
=⋅⋅==
o
o
&&
(2.22)
Для рис. 2.4, б. Полное сопротивление
Z
= j Х
L
= 62,4 е
j 90°
[Ом]. (2.23)
Ток
.A 52,34,62220ZUI
90j90j0j
L
ee
e
ooo
&&
−
⋅=⋅⋅==
(2.24)
Для рис. 2.4, в. Полное сопротивление
Z
= - j Х
C
= 63,6 е
-j 90°
[Ом]. (2.25)
Ток
A. 46,36,63220ZUI
90j90j0j
С
eee
oo
o
&&
⋅=⋅⋅==
−
(2.26)
Комплексные векторные диаграммы аналогичны рис. 2.5 (а, б,
в), при замене прямоугольных осей на оси комплексной плоскости.
В практической деятельности и в контрольных задачах встреча-
ются комбинации последовательного соединения элементов: R,L; R,C;
R,L,C.
В таблице 2.1 (стр.45, 46) представлены формулы для расчётов
электрических цепей.
Рассмотрим пример расчёта более сложной схемы.
I
R
1
R
3
L
1
L
2
C
1
C
2
U
1
U
U
2
U
3
U
4
U
5
U
6
U
7
R
2
Рис.2.6
К рис. 2.6 дано: U =220 В, частота переменного тока f =50 Гц,
R
1
=10 Ом, R
2
=20 Ом, R
3
=5 Ом, L
1
= 0,1 Гн,
L
2
= 0,05 Гн, С
1
=100 мкФ,
Х
С2
=30 Ом.
45
№
Схема
Полное сопро-
тивление цепи
Потребляемая мощ-
ность
Напряжение
на элементах
Векторная диа-
грамма
Угол сдвига по
фазе
ϕ
1
I R X
L
2
L
X
2
RZ
+=
(2.27)
Активная мощность:
Р=I
2
•
R=U
•
I
•
cos
ϕ
[Bт],
где cos
ϕ
=R/Z
(2.28); (2.29)
Реактивная мощность:
Q
L
=I
2
•
X
L
=UIsin
ϕ
[Bар],
где sin
ϕ
=X
L
/Z
(2.30); (2.31)
Полная мощность:
S=U
•
I=
2
L
2
QP
+
[BА]
(2.32)
U
R
=I•R [B]
U
L
=I•X
L
[B]
U=I
•
Z [B]
U
ϕ
L
U
0
R
U I
ϕ = arctg X
L
/R,
(2.33)
ϕ = arccos R/Z,
(2.34)
ϕ = arcsin X
L
/Z,
(2.35)
ϕ = arctg Q
L
/P,
(2.36)
ϕ = arccos P/S,
(2.37)
ϕ = arcsin Q
L
/S.
(2.38)
2
R X
L
I
U
2
c
X
2
RZ
+=
Р=I
2
•
R=U
•
I
•
cos
ϕ
,
где cos
ϕ
=R/Z
(2.39); (2.40)
Q
C
=I
2
•
X
C
=UIsin
ϕ
,
где sin
ϕ
=X
C
/Z
(2.41); (2.42)
S=U
•
I=
2
С
2
QP
+
(2.43)
U
R
=I•R
U
C
=I
•
X
C
U=I•Z
0
R
U I
ϕ
С
U
U
ϕ = arctg X
C
/R,
(2.44)
ϕ
= arccos R/Z,
(2.45)
ϕ = arcsin X
C
/Z.
(2.46)
U
Таблица 2.1
46
3
I R X
L
X
C
U
2
)
c
X
L
X(
2
RZ −+=
(2.47)
Р=I
2
•R
Q
L
=I
2
•X
L
Q
C
=I
2
•X
C
S=
2
CL
2
)QQ(P −+
(2.48)
U
R
=I•R
U
L
=I•X
L
U
C
=I•X
C
Возможны три вари-
анта:
1) X
L
>X
C
C
U
L
U
U
I
U
R
2) X
L
<X
C
R
U U
L
I
ϕ
C
U
U
3) X
L
=X
C
L
U
C
U
UU
R
=
I
ϕ=arctg
R
XX
CL
−
(2.49)
ϕ
= arccos R/Z
ϕ
=arcsin
R
XX
CL
−
(2.50)
ϕ
= 0
U
R
U
L
U
C
ϕ
Продолжение таблицы 2.1
Примечание: Режим, когда X
L
=X
C
, в цепи возникает резонанс напряжений. Напряжение U
L
=U
C
>>U
R
, Z=R,
ϕ=0, P=I
2
·R;
()
.PQQPS;XIQ;XIQ
2
CL
2
C
2
CL
2
L
=−+=⋅=⋅=
47
Определить: I, P, S, Q, а также напряжения на элементах, пост-
роить векторную диаграмму.
Решение : 1. Определяем реактивные сопротивления:
Х
L1
= ω·L
1
= 2·3,14·50·0,1 = 31,4 Ом;
Х
L2
= ω·L
2
= 2·3,14·50·0,05 = 15,7 Ом;
1
1C
C
1
X
⋅ω
=
= 1/ (100·10
-6
·2·3,14·50) = 31,84 Ом.
2. Общее сопротивление цепи:
Ом 38)XXXX()RRR(Z
2
2C1С2L1L
2
321
=−−++++=
.
3. Ток в цепи:
A 79,538220ZUI ===
.
4. Напряжение на отдельных участках:
U
1
= I·R
1
= 5,79·10 = 57,9 В;
U
2
= I·X
L1
= 5,79·31,4 = 181,8 В;
U
3
= I·X
C1
= 5,79·31,84 = 184,35 В;
U
4
= I·R
2
= 5,79·20 = 115,8 В;
U
5
= I·X
L2
= 5,79·15,7 = 90,9 В;
U
6
= I·X
C2
= 5,79·30 = 173,7 В;
U
7
= I·R
3
= 5,79·5 = 28,95 В.
I
0
ϕ
U
1
U
U
2
U
3
U
4
U
5
U
6
U
7
Рис.2.7
5. Активные и реактивные мощности (к рис.2.6):
P
1
=I
2
·R
1
= 5,79
2
·10 = 335,2 Вт;
P
2
=I
2
·R
2
= 5,79
2
·20 = 670,2 Вт;
P
3
=I
2
·R
3
= 5,79
2
·5 = 167,6 Вт;
Q
1
=I
2
·X
L1
= 5,79
2
·31,4 = 1052,6 ВАр;
Q
2
=I
2
·X
L2
= 5,79
2
·15,7 = 526 ВАр;
Q
3
=I
2
·X
С1
= 5,79
2
·31,84 =1067,4 ВАр;
48
Q
4
=I
2
·X
С2
= 5,79
2
·30 =1005,7 ВАр;
∑P = P
1
+P
2
+P
3
= 335,2+670,5+167,6 = 1173,3 Вт;
∑Q=Q
1
+Q
2
– Q
3
– Q
4
=1052,6+526 – 1067,4 – 1005,7 = - 494,5 ВАр.
6. Общий cos ϕ:
;92,0
38
52010
Z
RRR
Z
R
cos
321
=
++
=
++
=
Σ
=ϕ
.38,0
38
307,1584,314,31
Z
XXXX
Z
X
sin
2C2L1C1L
−=
=
−+−
=
−+−
=
Σ
=ϕ
7. Проверка:
ΣP =U·I·cos ϕ = 220·5,79·0,92 = 1172 Вт;
ΣQ = U·I·sin ϕ = 220·5,79·(-0,38) = − 484 ВАр.
Наибольшая погрешность по реактивной мощности составила:
∆Q% =
100
494
484494
•
−
=2%.
8. Напряжение между точками 1 и 2 равно:
U
12
=I·Z
12
=
=
=−+•=−+•
222
1C1L
2
2
)84,314,31(2079.5)XX(RI
115,8В.
9. Построение векторной диаграммы (рис.2.7) начинается с вы-
бора масштабов напряжения и силы тока М
U
50В, М
I
1А . За исходный
принимаем вектор I. Далее, в соответствии с уравнением
7654321
UUUUUUUU
rrrrrrrr
++++++=
откладываем векторы напряже-
ний (см. рис. 2.7).
Пример 2. Определить величину ёмкости конденсатора «С» в
схеме на рис. 2.8 и величину напряжений на элементах схемы при резо-
нансе напряжений на частоте 50 Гц.
Решение
1) Определяем индуктивное сопротивление:
X
L
=ω·L=2·3,14·50·0,2=62.8 Ом.
2) Определим величину ёмкости из выражения:
LC2
1
f
π
=
, откуда
Lf4
1
С
22
π
=
=
7,50
2,05014,34
10
22
6
=
•••
мкФ.
3) Ток в цепи:
49
=
−+
==
2
CL
2
)XX(R
U
Z
U
I
2 А.
4) Напряжение на элементах:
U
R
= I·R = 2·5 = 10 B; U
L
= I·X
L
=
=2·62,8 = 125,6 B;
U
C
= I·X
C
= =2·62,8 = 125,6 B.
Из приведённого примера вид-
но, что напряжение на выходе
U
вых
= U
С
= 125,6 B превышает напряже-
ние U в 12,56 раза. При этом cos ϕ=1,
ϕ=0°, P = I
2
·R =2
2
·5 = 20 Вт, Q
L
= Q
C
=
=I
2
·X
L
= I
2
·X
C
= 2
2
·62,8 =251,2 ВАр.
2.2. Разветвлённые электрические цепи
Приёмники электрической энергии, как правило, включаются
параллельно на общее напряжение сети U. На практике часто возникает
необходимость определять токи в ветвях, общий ток, мощности, потреб-
ляемые отдельными элемен-
тами суммарную мощность.
В качестве примера
выполним расчёт сложной
последовательно-параллель-
ной электрической цепи
(рис. 2.9).
Дано: U=220 B. Ак-
тивное сопротивление линии
R
л
=5 Ом. Индуктивное со-
противление линии X
л
=5
Ом. К зажимам АВ подклю-
чены параллельно: катушка
индуктивности, у которой
R
1
=12 Ом, X
L1
=16 Ом, кон-
денсатор с ёмкостным сопро-
тивлением X
C2
=20 Ом и активная нагрузка сопротивлением R
3
=20 Ом.
Определить: токи в ветвях I
1
, I
2
, I
3
, общий ток I
0
, суммарную
активную, реактивную и полную мощности. Построить полную вектор-
ную диаграмму напряжений и токов.
U=10 В
R=5 Ом
U
вых
L=0,2 Гн
С
Рис. 2.8
U
B
A
I
0
I
1
I
2
I
3
R
л
R
1
R
3
X
л
X
C2
X
L1
Рис.2.9
50
Решение: Расчёт начинается с анализа участка АВ.
1) Определим активную проводимость первого участка по фор-
муле:
222
1L
2
1
1
2
1
1
1
1612
12
XR
R
Z
R
g
+
=
+
==
=0,03 См; (2.51)
2) Определим реактивную проводимость первого участка по фор-
муле:
222
1L
2
1
1L
2
1
1L
1L
1612
16
XR
X
Z
X
b
+
=
+
==
=0,04 См; (2.52)
3) Реактивная проводимость второго участка:
===
20
1
X
1
b
2C
2C
0,05 См; (2.53)
4) Активная проводимость третьей цепи:
===
20
1
R
1
g
3
3
0,05 См; (2.54)
5) Определим полную проводимость участка АВ по формуле:
2
АВ
2
АВАВ
bgY Σ+Σ=
. (2.55)
При этом следует учесть, что ёмкостная проводимость b
С2
в сум-
ме берётся со знаком минус:
=−++=−++=
222
2C1L
2
31АВ
)05,004,0()05,003,0()bb()gg(Y
=0,0806 См; (2.56)
6) Полное сопротивление участка цепи АВ:
0806,0
1
Y
1
Z
АВ
АВ
==
=12,41 Ом; (2.57)
7)Сложный участок АВ заменим эквивалентными параметрами:
R
экв
=Σg
АВ
·
2
АВ
Z
=(0,03+0,05) ·12,41
2
=12,32 Ом (2.58)
X
экв
=
2
АВАВ
Zb •Σ
=(0,04−0,05) ·12,41
2
= − 1,54 Ом. (2.59)
Примечание: при составлении эквивалентной схемы замещения
следует иметь ввиду: если Х
экв
получилось положительное число, на схе-
ме оно представляется в виде индуктивности и наоборот, если оно отри-
цательное, то представляется в виде ёмкости. В результате получим та-
кую схему замещения (рис. 2.10).
8) Общее сопротивление цепи: