Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

21

Выразим I

к3

через I

к1 и

I

к2

,

получим : I

к3

=−20+ 1,5⋅I

к1

−0,4⋅I

к2

.

После соответствующих подстановок получим систему уравнений :







=−−

=++−

0500I20I5,32

0320I5,16I17

2к1к

. (1.28)

Совместным решением полученных уравнений определим кон-

турные токи : I

к1

= 9,44 А; I

к2

= − 9,7 А; I

к3

= −1,96 А.

Определяем токи в ветвях :

I

1

= I

к1

− I

к3

= 9,44 + 1,96 = 11,4 А; I

2

= I

к3

− I

к2

= −1,96+9,7=7,74 А;

I

3

= I

к1

− I

к2

= −9,7-9,44= −19,14 А; I

6

= I

к2

= −9,7 А;

I

4

= I

к3

= −1,96 А; I

5

= I

к1

= 9,44 А.

Составим баланс мощности:

∑∑

==

=

m

1n

n

1к

к

2

кn

RIP

. (1.29)

Левая часть уравнения (1.29):

Вт 21089412044,9100IEIE

2211

=⋅+⋅=+

.

Правая часть уравнения (1.29):

()

=+++++=

∑∑

=

02

2

601

2

54

2

43

2

32

2

21

2

1

n

1к

к

2

к

rIrIRIRIRIRIRI

Вт 21115,07,9

5,044,91096,1214,191074,754,11

2

22222

=⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Погрешность расчета составляет:

%14,0100

2111

21082111

100%

n

=⋅

−

=⋅

ρ

ρ∆

=δ

(1.30)

Что значительно меньше допустимых δ%=5%. Значит расчет вы-

полнен правильно.

1.3.4. Метод наложения

Заключается в том, что ток в любой ветви электрической цепи

равен алгебраической сумме токов, создаваемых отдельными источни-

ками ЭДС:

22

1. Рассматривают поочерёдно действие только одного источни-

ка в исходной схеме (исключая остальные и оставляя их внутренние со-

противления).

2. Рассчитывают токи в ветвях от действия каждого источника.

3. Алгебраическим суммированием находят токи в ветвях ис-

ходной схемы с несколькими источниками.

Рассмотрим пример (рис. 1.21).

Е

1

=12 В, Е

2

=6 В, R

н

= 5 Ом,

r

o1

= r

o2

= 1 Ом.

Произведём расчёт токов при условии, что в схеме действует

только одна ЭДС : Е

1

(рис. 1.22) или Е

2

(рис. 1.23).

Рис.1.22

Рис.1.23

()

;А546,6

RrRrr

E

I

н02н0201

1

=

+⋅+

=

′

А1,1

Rr

r

II

н02

02

12

=

+

⋅

′

=

′

;

Рис. 1.21

I

1

I

3

E

2

E

1

r

02

r

01

I

2

R

н

I

′′

′

1

I

′′

′

3

E

1

r

02

r

01

I

′′

′

2

R

н

I

′′′′

′′

1

I

′′′′

′′

3

E

2

r

02

r

01

I

′′′′

′′

2

R

н

23

I′

3

= I′

1

− I′

2

= 6,546 − 1,1 = 5,446 А.

Расчетные значения токов для схемы рис.1.23:

()

;А28,3

RrRrr

E

I

н01н0102

2

3

=

+⋅+

=

′′

А546,0

Rr

r

II

н01

01

32

=

+

⋅

′′

=

′′

;

I′′

1

= I′′

3

− I′′

2

= 3,28 − 0,546 = 2,734 А.

Согласно определению этого метода находим токи в исходной

схеме :

I

1

= I′

1

− I′′

1

= 6,546 – 2,734 = 3,812 А;

I

2

= I′

2

+ I′′

2

= 0,546 + 1,1 = 1,646 А; (1.31)

I

3

= I′

3

− I′′

3

= 5,446 – 3,28 = 1,646А.

Для проверки правильности расчётов составим уравнение ба-

ланса мощности. При этом нужно учесть, что ток I

3

направлен встречно

действию ЭДС :

E

1

·I

1

–E

2

·I

3

=I

2

1

·r

o1

+I

2

3

·r

o2

+I

2

·R

н

, 12·3,812– 6·1,646=3,812

2

+1,646

2

+1,646

2

·532, 74 Вт = 32,76 Вт

Погрешность расчётов ∆Р = 0,06 % - менее 5% (удовлетворяет

требованиям)

1.3.5. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)

Применяется, когда два или более источников энергии и сопро-

тивлений находятся в параллельных ветвях (рис. 1.24).

r

o1

= r

o2

= r

o3

= R

4

= 10 Ом.

Е

1

=20 В, Е

2

=18 В, Е

3

=10 В.

Определить токи I

1

,

I

2

,

I

3

,

I

4

, показание вольтметра.

Решение : 1. Определяем проводимости ветвей :

G

1

= 1/ r

01

= 1/10 = 0,1 См = G

2

= G

3

= G

4

.

2. Определяем показание вольтметра – это напряжение U

ав

.

Рис. 1.24

I

1

I

3

E

2

r

02

r

01

I

2

I

4

r

03

R

4

E

1

E

3

a

в

V

24

Предположим, что потенциал точки «в» выше потенциала точки

«а» (поэтому на рис. 1.24 именно такое принято направление токов).

Следовательно, направление Е

2

противоположно направлению тока I

2

(Е

2

принимается со знаком «минус»).

B3

1,01,01,0

1,0101,0181,020

GGGG

GEGEGE

U

4321

332211

ав

=

++

⋅+⋅−⋅

=

+++

⋅+⋅−⋅

=

. (1.32)

Токи в ветвях определяются по закону Ома :

I

1

=(E

1

–U

АВ

)·G

1

=(20 –3)·0,1=1,7 А;

I

2

=(–E

2

–U

АВ

)·G

2

=(–18–3)·0,1= –2,1 А; (1.33)

I

3

=(E

3

– U

АВ

)·G

3

=(10 –3)·0,1 = 0,7 А;

I

4

=(

– U

АВ

)·G

4

=(–3)·0,1= –0,3 А.

Знак «минус» означает, что действительные токи направлены

противоположно указанным на схеме.

1.3.6. Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы может быть найден по закону Ома для

участка цепи, содержащем ЭДС . Для этого необходимо знать потенциа-

лы узлов. В этом методе за неизвестные принимаются потенциалы узлов

схемы.

Если в схеме несколько узлов, то любой из них может быть зазем-

лён, при этом токораспределение не изменится (а число неизвестных по-

тенциалов уменьшится). Потенциал заземлённой точки приравниваем нулю.

Метод является более целесообразным, когда число узлов хотя

бы на два меньше числа независимых контуров.

Рассмотрим метод

на примере схемы рис. 1.25.

Необходимо определить

токи во всех ветвях схемы:

I

1

, I

2

, I

3

, I

4

, I

5

, I

6

.

Решение :

1. Заземляем узел 3 (т.е. :

ϕ

3

= 0).

2. Произвольно указываем

направление токов в вет-

вях.

3. Определяем токи по за-

кону Ома :

I

1

I

3

E

2

r

02

r

01

I

5

I

4

R

5

R

4

E

1

E

3

ϕϕ

ϕ

1

ϕϕ

ϕ

2

ϕϕ

ϕ

3

R

3

R

6

I

6

Рис. 1.25

25

I

1

=(ϕ

3

– ϕ

1

+ E

1

)·G

1

=(– ϕ

1

+ E

1

)·G

1

;

I

2

=(ϕ

3

– ϕ

2

+ E

2

)·G

2

=(– ϕ

2

+ E

2

)·G

2

; (1.34)

I

3

=(ϕ

1

– ϕ

2

+ E

3

)·G

3

; I

4

=(ϕ

1

– ϕ

3

)·G

4

= ϕ

1

·G

4

;

I

5

=(ϕ

2

– ϕ

3

)·G

5

= ϕ

2

·G

5

; I

6

=(ϕ

1

– ϕ

2

)·G

6

,

где G – проводимости ветвей (G = 1/R).

4. Потенциалы узлов находим из системы уравнений :

для узла «1» ϕ

1

·(G

1

+G

3

+G

4

+G

6

) – ϕ

2

·(G

3

+G

6

) = E

1

·G

1

– E

3

·G

3

для узла «2» – ϕ

1

·(G

3

+G

6

) + ϕ

2

·(G

2

+G

3

+G

5

+G

6

)=E

2

·G

2

+ E

3

·G

3

Для этой системы : G

1

+G

3

+G

4

+G

6

– сумма проводимостей вет-

вей, подходящих к узлу «1»; G

3

+G

6

– сумма проводимостей ветвей, со-

единяющих первый и второй узлы (ϕ

2

− принимается со знаком «ми-

нус»); в правой части с положительным знаком принимается произведе-

ние E·G, если ЭДС направлена к узлу и если ЭДС направлена от узла,то

произведение E·G ставится в уравнение со знаком “минус”.

Аналогично составляются уравнения для трёх и более узлов.

Совместное решение системы уравнений даст значения потен-

циалов ϕ

1

и

ϕ

2

, подстановкой которых в уравнения пункта 3 определя-

ются искомые токи.

Пример : Найти токи в ветвях схемы рис. 1.25, если известны

параметры цепи : Е

1

=20 В, Е

2

=10 В, Е

3

=6 В, R

4

=R

5

=5 Ом, R

6

=10 Ом,

r

o1

=r

o2

= R

3

=1 Ом.

G

1

=G

2

=G

3

=1/1 =1 См; G

4

=G

5

=1/5 =0,2 См; G

6

=1/10 =0,1 См;

для узла «1» ϕ

1

·(1+1+0,2+0,1) –ϕ

2

·(1+0,1) = 20·1 – 6·1

для узла «2» – ϕ

1

·(1+0,1) +ϕ

2

·(1+1+0,2+0,1) = 10·1 + 6·1

2,3 ϕ

1

– 1,1ϕ

2

= 14

– 1,1 ϕ

1

+ 2,3 ϕ

2

= 16

Находим главный определитель:

()()

[]

08,41,11,13,23,2

3,21,1

1,13,2

=−⋅−−⋅=∆=

+−

−

.

Находим алгебраические дополнения :

()()

[]

8,49161,1143,2

3,216

1,114

1

=⋅−−⋅=∆=

+

−

,

. (1.35)

,

.

26

()()

[]

2,52141,1163,2

161,1

143,2

2

=⋅−−⋅=∆=

−

.

Определяем потенциалы узлов :

ϕ

1

= ∆

1

/∆ = 49,8/ 4,08 = 12,2 В ; ϕ

2

= ∆

2

/∆ = 52,2/ 4,08 = 12,8 В .

Определяем неизвестные токи :

I

1

=(– 12,2

+ 20)·1 = 7,8 А ; I

2

=(– 12,8

+ 10)·1 = – 2,8 А;

I

3

=(12,2

– 12,8

+ 6)·1 = 5,4 А ; I

4

=12,2·0,2 = 2,44 А;

I

5

=12,8·0,2

= 2,56 А; I

6

=(12,2

– 12,8)·0,1 =

–0,06 А.

Из расчёта следует, что действительные токи I

2

и I

6

будут на-

правлены в противоположном направлении, указанным на схеме. Это

значит, что источник ЭДС Е

2

потребляет энергию (подобно аккумуля-

тору, работающему в режиме зарядки). Уравнение баланса мощности

будет следующим :

E

1

·I

1

+ E

2

·I

2

+ E

3

·I

3

= I

2

1

·r

o1

+ I

2

·r

o2

+ I

2

3

·R

3

+ I

2

4

·R

4

+ I

2

5

·R

5

+ I

2

6

·R

6

20·7,8+10·(–2,8)

+6·5,4

=

=7,8

2

·1+(–2,8)

2

·1+5,4

2

·1+2,44

2

·5+2,56

2

·5+(–0,06)

2

·10 ;

160,4 Вт = 160,412 Вт.

Погрешность расчётов ∆Р = 0,07 % - менее 5% (удовлетворяет

требованиям)

1.3.7. Метод эквивалентного генератора

Применяется, когда возникает необходимость определения тока

только в одной ветви сложной электрической схемы. Согласно этому

методу действие всех источников на исследуемую цепь можно заменить

на действие последовательно включенного с этой цепью эквивалентно-

го источника ЭДС (Е

экв

), численно равного напряжению холостого хода

Uхх на зажимах исследуемой цепи и внутреннего сопротивления (R

экв

) -

численно равного сопротивлению схемы со стороны зажимов исследуе-

мой цепи.

Порядок расчёта :

1. Произвольно указываем направления токов в ветвях;

2. Отключаем исследуемую ветвь (цепь) – режим холостого хода;

3. Определяем напряжение холостого хода Uхх на зажимах ра-

зомкнутой ветви (цепи);

4. Находим входное (эквивалентное) сопротивление R

экв

со сто-

роны зажимов разомкнутой ветви;

27

5. Ток в исследуемой ветви определяется согласно выражению :

I

n

= [(Uхх ± E

экв

) / (R

n

+ R

экв

)], (1.36)

где R

n

– сопротивление ветви, в которой определяется ток.

При совпадении направления тока с направлением действия ЭДС

в числителе знак «плюс», при противоположных направлениях – «минус».

Пример. Про-

изведём расчёт тока в

ветви «ВС» для схемы

рис. 1.26.

Е

1

= 20 В, Е

2

= 12 В,

Е

3

= 6 В, Е

4

= 24 В,

R

1

= R

2

= R

4

= 2 Ом,

R

3

= 1 Ом, R

5

= 10 Ом.

Решение :

Определяем напряже-

ние холостого хода

Uхх

ВС

на зажимах

разомкнутой ветви

«ВС». Схема для

этого случая при-

мет вид (рис. 1.27).

Для опре-

деления искомого

напряжения Uхх

ВС

необходимо вы-

числить ток I

4

в

контуре (R

4

E

4

R

5

) и напряжение между точками «А» и «В» (U

АВ

):

I

4

= Е

4

/(R

4

+ R

5

) = 24 / (2+10) = 2 А.

U

АВ

= [(Е

1

·G

1

+ E

2

·G

2

) / (G

1

+ G

2

)] = [(20·0,5 + 12·0,5) / (0,5 + 0,5)] = 16 B.

Uхх

ВС

= I

4

·R

5

– U

АВ

= 2·10 – 16

= 4 В.

Для определения R

экв

найдём входное сопротивление относи-

тельно зажимов «В» и «С» при закороченных источниках ЭДС (Е

1

, Е

2

,

Е

3

- отсутствуют) :

Ом 67,2

102

22

RR

R

54

21

экв

=

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

=

. (1.37)

Определяем неизвестный ток :

I

ВС

= [(Uхх

ВС

+ E

3

)/(R

3

+ R

экв

)]=[(6 – 4)/(1 + 2,67)]=0,55 А. (1.38)

E

1

E

2

E

3

E

4

R

3

R

4

R

5

R

2

R

1

вс

А

Рис. 1.26

Рис. 1.27

E

1

E

2

E

4

R

4

R

5

R

2

R

1

А

вс

+

−−

−

28

1.4. Указания по выполнению контрольных

работ [2]

К решению контрольных задач по разделу «Электрические цепи

постоянного тока» следует приступать, изучив соответствующий раздел

настоящего методического указания и раздела «Электрические измере-

ния».

Контрольные задания по разделу 1, глава 1

Задача 1. Воль-

тметр в электрической

цепи, изображённой на

рис.1.28, показывает

напряжение U. Сопро-

тивления схемы и ЭДС

E

2

известны. Найти токи

во всех ветвях схемы и

ЭДС E

1

.

Таблица 1.1

Данные к задаче № 1 Вариант

U, B R

1

, Ом R

2

, Ом R

3

, Ом R

4

, Ом Е

2

, В

1 8 1 3 4 4 6

2 5 3 8 2 5 3

3 15 5 11 11 3 2

4 10 2 11 2 5 5

5 20 6 12 4 4 5

6 25 8 2 3 5 20

7 5 2 5 2 1 30

8 10 3 5 8 2 12

9 12 8 3 5 3 15

10 24 3 5 3 6 25

11 18 12 8 6 4 12

12 30 18 14 25 8 20

13 8 12 16 18 9 6

14 6 8 8 12 16 8

15 24 18 25 14 12 30

16 16 28 14 12 26 24

17 35 14 18 12 8 40

18 5 12 9 14 8 4

19 24 9 8 6 5 18

20 30 8 8 15 12 20

E

1

E

2

V

R

4

R

3

R

2

R

1

2

Рис. 1.28

29

Задача 2. В элект-

рической цепи, изображён-

ной на рис.1.29, известны

показания ваттметра Р, а

также сопротивления

резиcторов. Рассчитать токи

во всех ветвях цепи и напря-

жения на резисторах, а так-

же U

0

.

Таблица 1.2

Данные к задаче № 2 Вариант

Р, Вт R

1

, Ом R

2

, Ом R

3

, Ом R

4

, Ом

1 75 2 6 3 3

2 80 10 15 10 20

3 45 8 16 3 5

4 144 3 12 2 4

5 15 8 10 5 15

6 24 2 2 4 6

7 72 10 20 2 8

8 250 3 15 5 10

9 48 2 10 2 3

10 16 10 36 8 4

11 24 8 12 5 6

12 95 15 18 12 14

13 28 10 22 35 16

14 120 80 40 25 30

15 80 15 35 18 8

16 55 30 18 24 16

17 34 8 6 14 12

18 22 14 18 9 15

19 40 8 12 12 8

20 25 18 9 15 9

U

0

R

4

R

3

R

2

R

1

Р

+

−−

−

Рис. 1.29

30

Задача 3. В электри-

ческой цепи, изображённой

на рис. 1.30, известны сопро-

тивления резисторов и мощ-

ность Р, показываемая ват-

тметром. Рассчитать токи,

протекающие через резисто-

ры, и напряжение U на зажи-

мах схемы.

Таблица 1.3

Данные к задаче № 3 Вариант

Р, Вт R

1

, Ом R

2

, Ом R

3

, Ом R

4

, Ом R

5

, Ом

1 40 4 7 8 5 4

2 60 9 14 7 15 6

3 80 14 26 10 24 35

4 35 25 13 18 8 4

5 80 5 18 8 16 6

6 45 11 7 28 5 30

7 90 40 22 14 38 26

8 48 3 18 6 21 14

9 25 8 11 6 33 10

10 50 25 12 34 14 8

11 60 14 42 12 18 5

12 120 50 15 9 34 48

13 100 7 26 16 40 15

14 15 5 11 33 18 28

15 80 12 32 10 8 24

16 50 22 11 6 34 6

17 110 55 8 16 22 38

18 35 5 3 2 8 11

19 40 11 24 9 18 36

20 60 22 34 44 21 13

U

R

4

R

3

R

2

R

1

Р

R

5

Рис. 1.30

Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.