Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

101

Пример 3.4.

Рис.3.17

К нагрузке, соединённой по схеме симметричный треугольник

(рис. 3.17), подведено линейное напряжение U

=380 В (где R=60 Ом,

=80 Ом).

Решение:

1) Определим полное сопротивление фазы в схеме соединения

симметричный треугольник:

1008060

2222

=+=+===

LФCABCAB

XRZZZZ

Ом;

2) В этом режиме: U

=380 В;

3) Токи в фазах: I

=380/100=3,8 А;

4) Токи в линиях: I

58,68,33I3

=⋅=

А;

5) Суммарная активная мощность:

5,2598

100

58,63803cosIU3P

ЛЛ

=⋅⋅⋅=ϕ=Σ

Вт;

6) Суммарная реактивная мощность:

6,3464

100

58,63803sinIU3Q

ЛЛ

=⋅⋅⋅=ϕ=Σ

ВАр;

7) Суммарная полная мощность:

433158,63803IU3S

ЛЛ

=⋅⋅==Σ

ВА;

102

На рис. 3.18 представлена век-

торная диаграмма токов и напряже-

ний. Имеем в виду, что токи в фазах

отстают от напряжений на угол

===ϕ arctg

arctg

Пример 3.5. Несимметричный режим в схеме “треугольник”,

рис. 3.19.

Вариант 1.

Рис.3.19

Дано: U

=220 B, R

=110 Ом, R

=100 Ом, Х

ВС

=100 Ом,

СА

=60 Ом, Х

СА

=80 Ом.

Определить: I

, I

, ΣP, ΣQ, ΣS. Построить векторную диаг-

рамму.

Решение:

1) Определим полные сопротивления фаз нагрузки:

=110 Ом;

141100100

2222

=+=+=

BCBCBC

XRZ

Ом;

1008060

2222

=+=+=

CACACA

XRZ

Ом.

2) Определим токи в фазах I

. Имеем в виду, что в схеме

соединения “треугольник” U

-I

Рис.3.18

103

110

220

===

А;

56,1

141

220

=== А;

2,2

100

220

=== А.

3) Определяем суммарные активную, реактивную и полную мощ-

ности:

+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=Σ 10056,11102RIRIRIP

CABC

BCAB

;Вт9744,2904,243440602,2

=++=⋅+

8,14310056,1802,2XIXIQ

BCCA

=⋅−⋅=⋅−⋅=Σ

ВАр;

5,9848,143974QPS

2222

=+=Σ+Σ=Σ

ВА;

4) Токи в линиях I

можно определить из графического

построения векторной диаграммы. Для этого определим:

100

arctg

===ϕ

;

arctg

===ϕ

;

5) Пользуясь известными выражениями:











−=

.III

,III

BCCAC

ABBCB

CAABA

построим векторную диаграмму (рис.3.20) и, с учётом принятого масш-

таба, определим токи в линиях: I

=2,32 A, I

=2,22 A, I

=3,55 A.

0,5 А

-I

Рис.3.20

104

Вариант 2.

Предыдущую зада-

чу (пример 3.5) ре-

шим с применени-

ем комплексных

чисел. Введём обо-

значения. Для это-

го, построим век-

торную диаграмму

напряжений на

комплексной плос-

кости ( рис. 3.21).

В результате полу-

чим:











−

120

ФC

ФB

ФA

eUU











270

150

ЛCA

ЛBC

ЛAВ

eUU

еUU

(3.27)

1) Применительно к примеру 3.5 обозначим :

30220220

3030

∠===

ЛAB

eeUU

В;

ooo

90220220

9090270

−∠====

−−

ЛВС

eеUeUU

В;

150220220

150150

∠===

ЛCA

eeUU

В;

2) Полные сопротивления фаз:

110==

Ом;

45141141100100

−∠==−=−=

−j

BCBC

ejjXRZ

Ом;

;Ом

eejjXRZ

jarctg

CACA

53100

10080608060

∠

==+=+=+=

3) Определим фазные токи:

+Re

-Re

-J

Рис.3.21

105

30j

e0,2

110

e220

I ===

А;

;А4556,1)4590(56,1

))45(90(56,1

45141

90220

ooo

−∠=+−∠=

=−−−∠=

−∠

ooo

972,2)53150(2,2

53100

150220

∠=−∠=

∠

А;

4) Определим линейные токи:

;A5,3032,218,1j2

18.2j268,01j73,1)97sin2,2j97cos2,2(

30sin2j30cos2972,2302III

CAABA

oooo

&&&

−∠=−=

=−++=+−

−+=∠−∠=−=

;А8,25022,2180arctg22,2

1,2j73,01j73,11,1j1,1)1j73,1(

1,1j1,1)30sin2j30cos2()45sin(56,1j

)45cos(56,13024556,1III

73,0

1,2

ABBCB

ooo

&&&

∠=+

=−−=−−−=+−

−−=+−−+

+−=∠−−∠=−=

−

;А6,11255,3180

368,1

28,3

arctg55,328,3j368,1

1,1j1,118,2j268,0)1,1j1,1(18,2j268,0

))45sin(56,1j)45cos(56,1(97sin2,2j

97cos2,24556,1972,2III

BCCAC

ooo

&&&

∠=+

−

∠=+−=

=+−+−=−−+−=

=−+−−+

+=−∠−∠=−=

На основе расчётов построим векторную диаграмму напряже-

ний и токов. В соответствии с принятыми обозначениями отложим на-

пряжения

CABCAB

U,U,U

&&&

, расчётные значения токов

CABCAB

I,I,I

&&&

и линейные токи

CBA

I,I,I

&&&

106

+Re

-Re

-J

Рис.3.22

Если соблюдался масштаб и угловые положения векторов, то

можно проверить правильность выполнения расчётов на основе вектор-

ных уравнений для токов:











−=

.III

,III

BCCAC

ABBCB

CAABA

5) Расчёт мощностей в комплексной форме следует выполнять

по формуле:

∗

⋅=

ABABAB

IUS

, где

∗

- сопряжённый комплексный ток.

Таким образом:

44030230220S

=−∠⋅∠=

ВА = Р

АВ

;jQP

7,242j7,242)45sin(2,343j)45cos(2,343

452,3434556,190220IUS

BCBC

BCBCBC

−=

=−=−+−=

=−∠=∠⋅−∠=⋅=

∗

ooo

;JQP386j29153sin484j53cos484

53484972,2150220IUS

CACA

CACACA

+=+=+=

=∠=−∠⋅∠=⋅=

∗

ooo

Из результатов следует, что:

0,5 А

107

3,143j7,973

386j2917,242j7,242440S

CABCAB

=++−+=++=

Здесь ΣР=973,7 Вт; ΣQ=143,3 ВАр;

984QPS

=Σ+Σ=Σ

ВА.

Пример 3.6. К трёхфазной линии с линейным напряжением

=380 В подключены нагрузки, соединённые по схеме “симметричный

треугольник” и “звезда” с нейтральным проводом ( рис.3.23).Комплекс-

ное сопротивление фазы симметричной нагрузки Z

=20е

j15°

Ом. Мощно-

сти, потребляемые однофазными приемниками Р

=3500 Вт, Р

=3300 Вт,

=7700 Вт при cos ϕ=1. Сопротивление нейтрального провода Z

мало,

и им можно пренебречь.

Определить:

а) фазные и линейные токи в схеме “треугольник”;

б) токи в фазах, соединённых по схеме “звезда”;

в) активную, реактивную и полную мощности на зажимах линии.

г) построить топографическую диаграмму напряжений и вектор-

ную диаграмму токов.

д) пользуясь векторной диаграммой токов, определить показа-

ния каждого амперметра.

Рис.3.23

Решение:

1) Составим более полную эквивалентную схему замещения. Для

этого определим элементы в “треугольнике”:

)17,5j3,19(15sin20j15cos2020Z

15j

+=+==

Ом,

108

где R

=19,3 Ом, X

=5,17 Ом.

Реальную схему трёхфазной системы представим на рис. 3.24.

Примечание: Х

имеет положительное значение и значит име-

ем дело с индуктивным сопротивлением. Если бы Х

было отрицатель-

ным, то имело бы место емкостное сопротивление.

Рис.3.24

2) Задачу решаем графоаналитическим методом. Определим

фазные токи в “треугольнике”:

380

=======

ФCABCAB

IIII

А.

Имеем в виду, что фазный ток I

отстает от фазного напряжения

на 15°.

3) Определим ток в линии “треугольника”:

9321933.II

ФЛ

=⋅=⋅=

А;

4) Определим токи в фазах схемы соединения “звезда”. Из фор-

мулы Р

⋅cos ϕ можно определить фазные токи. Р

⋅cos ϕ

, т. к.

нагрузка на фазах активная, то cos ϕ

= cos ϕ

=1. Тогда получим

I =

, где

220

380

===

В.

Итак:

9,15

220

3500

А;

220

3300

===

А;

109

220

7700

===

А.

5) Суммарная активная мощность, потребляемая всей нагрузкой:

;Вт 35402

3,19193770033003500RI3PPPP

ФCBA

=⋅⋅+++=⋅+++=Σ

6) Суммарная реактивная мощность будет определяться только

нагрузкой “треугольника”:

560

17,5193sinIU3XI3Q

ЛЛФ

=⋅⋅=ϕ⋅⋅=⋅⋅=Σ

ВАр;

7) Суммарная полная мощность всей нагрузки:

35842560035402

2222

=+=Σ+Σ=Σ QPS

ВА;

8) Построение векторно-топографической диаграммы.

• Строим три вектора напряжений

CBA

U,U,U

- разнесён-

ных на угол 120°, равных 220 В. Вектора

CABCAB

U,U,U

отобража-

ют линейные напряжения 380 В;

• Далее, проводим вектора фазных токов

CBA

I,I,I

по направ-

лениям соответствующих напряжений;

• Под углом 15° в сторону отставания проводим вектора фазных

токов

∆∆∆ CABCAB

I,I,I

• Вектора линейных токов строим в соответствии с уравнениями:











−=

∆

.III

,III

BCCAC

ABBCB

CAABA

• Полные токи в линиях, измеряемые амперметрами, будут оп-

ределяться векторами

CBA

I,I,I

, построенными в соответствии с

уравнениями:











∆

.III

,III

CCC

BBB

AAA

110

Рис.3.25

Примечание:

Векторно-топографическую диаграмму надо строить последо-

вательно, в соответствии с изложением текста. Измерив длины векторов

CBA

I,I,I

можно подсчитать токи в линиях.

В завершение этого раздела приводится решение задачи, кото-

рая была на Новосибирской областной олимпиаде по электротехнике.

Пример 4.7. Дано: линейное напряжение U

=220 В, частота на-

пряжения сети f=50 Гц, С=30 мкФ, L=0,112 Гн, R=12,7 Ом.

Определить показания амперметров

CBA

I,I,I

Рис.3.26

Решение:

1) Определим емкостное сопротивление конденсатора:

106

30314

1030314

⋅

⋅⋅

⋅ω

−

Ом;