Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
121
Его решение ищется в виде:
t
св
Аеi
α
=
, (4.4)
где α - корень характеристического уравнения:
0=+α
L
R
. (4.5)
Определяют:
L
R
−=α
и
,AАi
t
t
L
R
св
ee
τ
−
−
== (4.6)
где τ называется постоянной времени, (с).
R
L
=τ
(4.7)
Напоминаем, что размерность индуктивности можно найти из
формулы:
dt
di
Lе
L
−=
, т.е.
А
сВ
L
⋅
=
, значит
с
А
В
А
сВ
R
L
=
⋅
==τ
.
е – основание натурального логарифма, равное 2,718.
Установившееся значение тока можно найти из уравнения (4.1),
в котором
0=
dt
di
, тогда
ERi
у
=⋅
,
R
E
i
у
=
.
Полное значение тока равно:
t
L
R
свупер
Ae
R
E
iii
−
+=+=
. (4.8)
Для определения коэффициента А воспользуемся первым зако-
ном коммутации, т. к. до замыкания выключателя ток в катушке индук-
тивности был равен нулю. Следовательно, в первый момент после замы-
кания выключателя ток также будет равен нулю:
00 =+= A
R
E
)(i
и
R
E
A −=
. Поэтому выражение (4.8) можно предствавить в виде:
−=+=
−− t
L
R
t
L
R
пер
e
R
E
e
R
E
R
E
i1
. (4.9)
Подставляя значения τ из (4.7) в уравнение (4.9), найдём значе-
ние тока в цепи. Данные расчетов приведены в табл. 4.1
122
Таблица 4.1
t, с 0
τ
2
τ
3
τ
i, А 0 0,63E/R 0,87E/R 0,95E/R
Итак:
−=
−=
τ
−
τ
−
t
уст
t
eie
R
E
i11
.
При t=0, i=i
уст
(1-e
0
)=I
уст
(1-1)=0.
При t=τ,
устустуст
i63,0
e
1
1ie1ii =
−=
−=
τ
τ
−
.
При t=2τ,
уст
2
уст
2
уст
i87,0
e
1
1ie1ii =
−=
−=
τ
τ
−
.
При t=3τ,
уст
3
уст
3
уст
i95,0
e
1
1ie1ii =
−=
−=
τ
τ
−
.
При t=∞,
R
E
ii
уст
==
.
Данные расчётов заносим в табл. 4.1.
На основании табл. 4.1 построим график зависимости i=F(t)
(рис.4.2).
i
i
уст
1 3 ЛУР
0,95 i
уст
0,87i
уст
2
0,63i
уст
I
уст
=E/R
τ
i=F(t)
t
0 τ t
2
2τ t
3
3τ
Рис.4.2
Полученная зависимость i=F(t) назывется экспоненциальной, а
τ (4.7) - называется постоянной времени, т. е. это время, в течение кото-
рого ток изменияется на 63% от пределов изменения. Из графика (рис.
123
4.2) можно определить постоянную времени τ. Для этого, из начала ко-
ординат проведём касательную к кривой i=F(t) до прерсечения её с ли-
нией установившегося режима (ЛУР). Спроецируем точку 1 на ось вре-
мени t и получим величину τ. Касательную можно провести к любой
точке кривой. Далее проецируем точки касания 2 и 3 на ось времени и
также получим τ=t
3
-t
2
.
При прохождении тока в катушке индуктивности накапливается
энергия в виде магнитного поля:
2
iL
W
2
м
⋅
=
, Дж. (4.10)
Напряжения на элементах можно найти, соответственно, из вы-
ражений:
−=⋅=
− t
L
R
R
eEiRU1
, (4.11)
τ
−
==
t
L
Ee
dt
di
LU
. (4.12)
Графики этих зависимостей представлены на рис.4.3.
Зависимость по формуле (4.12) называется падающей экспонен-
той, из которой также можно найти постоянную времени τ.
Рис.4.3
Для этого, проводим касательную к кривой U
L
=F(t), которая от-
сечёт отрезок на оси времени t. Переходный процесс считается закон-
ченным через время t≈3τ.
124
4.3. Анализ перходных процессов при
отключеннии катушки индуктивности от
источника постоянного напряжения и замыкания
её на резистор
До переключения пере-
ключателя П ток в катушке ин-
дуктивности L и сопротивлении
R
к
определяется напряжением
на зажимах цепи и сопротивле-
нием катушки (рис.4.4). В слу-
чае использования источника
постоянного напряжения U этот
ток равен:
к
R
U
I
=
0
. (4.13)
После переключения переключателя П в позицию 2 ток в ка-
тушке в первый момент времени остаётся неизменным, проходит в том
же самом направлении и будет замыкаться через резистор R
1
.
Ток переходного процесса будет определяться выражением:
t
L
RR
0пер
1K
eIi
+
−
=
. (4.14)
Если резистор R
1
имеет большее сопротивление, чем R
k
, то на-
пряжение на нём
()
UnIRU
011
⋅=⋅=
будет больше чем U в «n» раз, где
K1
RRn =
. Это обстоятельство следует учитывать.
При отсутствии R
1
отключение катушки сопровождается возник-
новением дуги между кантактами, разрывающими цепь, т.к ток в катуш-
ке не может мгновенно снизиться до нуля, в соответствии с первым зако-
ном коммутации. Однако уменьшение тока в катушке вызывает наведе-
ние ЭДС самоиндукции и повышение напряжения в её витках. При этом
энергия магнитного поля катушки преобразуется в энергию электричес-
кого поля. Быстрый рост напряжения на катушке приводит к пробою изо-
ляционного промежутка. Для устранения дуги устанавливают дугогася-
щие устройства.
Рис.4.4
+
−
U
П
1
2
I
0
R
1
L
R
к
125
4.4. Переходные процессы в цепи с
последовательным соединением конденсатора и
резистора
Будем считать, что
до включения источника
ЭДС, напряжение на конден-
саторе было равно нулю.
После замыкания выключа-
теля П в цепи возникает ток
и конденсатор заряжается до
тех пор, пока напряжение на
нём достигнет ЭДС источни-
ка Е.
Согласно второму закону Кирхгофа уравнение электрического
состояния этой цепи в переходном режиме имеет вид:
EUiR
cпер
=+⋅
. (4.15)
Используя известное соотношение
dt
dU
Ci
c
=
, уравнение (4.15)
можно записать так:
ЕU
dt
dU
CR
c
с
=+⋅
. (4.16)
Решение данного уравнения позволяет найти закон изменения
напряжения на конденсаторе:
−=
τ
−
t
Cпер
eEU1
, (4.17)
а ток в цепи равен:
τ
−
=
t
e
R
E
i
, (4.18)
где
CR ⋅=τ
.
На рис.4.6 показаны графики переходных процессов напряже-
ния и тока от времени при заряде конденсатора:
)t(FU
С
=
и
)t(Fi
C
=
.
Рис.4.5
П R
Е I С U
c
126
U
C
, i
3Е U
c
3Е
Е
i
С
t
0 τ 2τ 3τ
Рис.4.6
По мере увеличения напряжения на конденсаторе ток в цепи
уменьшается. Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком,
поскольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это
необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения под-
ключается цепь, содержащая конденсатор. Если активное сопротивле-
ние невелико, то ток в момент включения источника напряжения может
быть очень большим и значительно превышать номинальное значение.
4.5. Переходные процессы при разряде
конденсатора емкостью С, заряженного до
напряжения U
C
=U
0
, на резистор с
сопротивлением R
Установившееся напряжение на конденсаторе U
су
=0 и переход-
ное напряжение U
с
=U
С
св
. Ток при разряде не совпадает по направлению
с напряжением U
c
, поэтому
dt
dU
Ci
c
−=
. (4.19)
Уравнение электрического состояния имеет вид:
0=+⋅
С
С
U
dt
dU
CR
. (4.20)
Его решение позволяет найти
закон изменения напряжения на кон-
денсаторе:
RC
t
С
eUU
−
⋅=
0
. (4.21)
Ток переходного процесса:
R i
П +
--
U
c
Рис.4.7
127
RC
t
Cпер
пер
e
R
U
dt
dU
Ci
−
=−=
0
. (4.22)
При разряде конденсатора запасённая в нём энергия электри-
ческого поля преобразуется в теплоту, выделяющуюся в резисторе R.
Длительность переходного процесса при разряде конденсатора , так же
как и при его заряде, зависит от постоянной времени
CR ⋅=τ
.
Примечание: Произведение
CR ⋅=τ
имеет размерность време-
ни. Размерность
А
В
R =
,
В
сА
С
⋅
=
,
с
В
сА
А
В
=
⋅
⋅=τ
.
4.6. Подключение катушки индуктивности к
источнику синусоидального напряжения
Пусть катушка индуктивности L, имеющая сопротивление R
(рис.4.8.) подключается к источнику синусоидального напряжения:
)tsin(Uu
иm
ψ+ω= . (4.23)
Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи име-
ет вид:
uiR
dt
di
L
пер
пер
=⋅+
. (4.24)
Установившийся ток:
)tsin(Ii
mу
ϕ−ψ+ω=
. (4.25)
где
22
m
m
)L(R
U
I
ω+
=
,
R
L
arctg
ω
=ϕ
.
Уравнение для свободного тока:
0=⋅+
св
св
iR
dt
di
L
, (4.26)
свустпер
iii +=
.
Полное решение уравнения (4.24) позволяет найти ток переход-
ного процесса:
.e)sin(I)tsin(Ii
t
L
R
mmпер
−
ϕ−ψ−ϕ−ψ+ω=
(4.27)
128
Анализ показывает, если
0=ϕ−ψ
,
то согласно уравнению (4.27),
0=
св
i
. Сле-
довательно, коммутация не повлечёт за со-
бой переходного процесса, а сразу же после
включения переходный ток будет равен ус-
тановившемуся току:
tsinIii
mупер
ω==
.
При наиболее неблагоприятном ре-
жиме , когда
o
90±=ϕ−ψ
и большой посто-
янной времени
R
L
=τ
, максимальное значе-
ние переходного тока может почти в два раза превосходить амплитуду
установившегося тока I
m
в момент времени t
1
(рис. 4.9).
i
i
пр
t
1
i
пер
t
0
i
св
Рис.4.9
4.7. Переходные процессы при подключении
заряженного конденсатора к цепи с
последовательным соединением
индуктивности и резистора
Считаем, что конденсатор был заряжен до значения Е (рис.4.10).
Электрическое состояние этой цепи в переходном режиме описывается
уравнением
0=++
CRL
UUU
, или:
П
L
U
i
R
Рис.4.8
129
.0dti
С
1
Ri
dt
di
L
пер
пер
пер
∫
=+
++
(4.28)
Для удобства анализа
преобразуем это уравнение в
однородное дифференциальное
уравнение второго порядка :
0
2
2
=
⋅
+⋅+
CL
i
dt
di
L
R
dt
id
. (4.29)
В зависимости от соотношения параметров R, L, C возможны
различные варианты переходных процессов:
- колебательный переходный процесс
tsine
L
E
i
t
L2
R
nер
ω⋅
ω
−=
−
, (4.30)
где
LC
1
=ω
;
- апериодический переходный процесс
t
пер
etsin
L
E
i
α−
⋅⋅β
β
=
, (4.31)
где
L
R
2
=α
и
2
1
α−=β
LC
. (4.32)
Вышеуказанные процессы изображены на рис.4.11, 4.12.
Рис.4.11 Рис.4.12
Пример 4.1.
Катушка с активным сопротивлением R=10 Ом и индуктивнос-
тью L=0,1 Гн подключается к источнику постоянной ЭДС, Е=100 В.
В L R
+
С I
-
Рис.4.10
130
Построить зависимость тока и ЭДС самоиндукции в катушке от
времени. Определить энергию, запасённую катушкой через 0,02 с от мо-
мента её подключения к источнику.
Решение:
−=
τ
−
t
пер
e1
R
E
i
, где
01,0
10
1,0
R
L
===τ
с.
10
10
100
===
уст
i
R
E
А,
−=
−
01,0
t
пер
e110i
.
Задавая значения t
1
=0; t
2
=τ=0,01 с; t
3
=2τ=0,02 с; t
4
=0,03 с; t
5
=∞
соответственно, определим значения токов и ЭДС е
L
. ЭДС самоиндук-
ции:
dt
di
Le
L
−=
. Применительно к примеру:
t
L
R
пер
e
R
E
R
E
i
−
−=
,
t
L
R
t
L
R
пер
L
EeL
L
R
e
R
E
dt
di
Le
−−
−=
⋅
−−=−= 0
.
По данным расчётов строим графики
)t(Fi =
,
)t(Fe
L
= .
i
)t(Fi =
10A
10==
R
E
уст
I
0 τ 2τ 3τ
)t(Fe
L
=
e
L
=100 В
Рис.4.13