Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

161

Ф, [Вб] +В

4,53⋅10

-4

+В

m

а

В

-Н

max

H

c

+H

max

0 +H

0 I

⋅

W, [А]

1000 -B

m

Рис.6.7 Рис.6.8

При использовании катушки индуктивности в цепях перемен-

ного тока идёт сложный процесс перемагничивания ферромагнитного

сердечника, представляющего собой замкнутую кривую, известную под

названием петля гистерезиса (рис. 6.8).

Участок “оа” – основная кривая намагничивания, которая ис-

пользуется для расчёта магнитных цепей. Процесс циклического пере-

магничивания требует затраты энергии. Эта энергия пропорциональна

площади петли гистерезиса. Мощность, затрачиваемая на гистерезис:

2

м

ггист

10000

В

100

f

GР













⋅⋅⋅σ=

Вт , (6.8)

где

г

σ

- коэффициент, характеризующий затраты мощности на перемаг-

ничивание одного килограмма ферромагнитного материала;

G - масса сердечника, кг;

f - частота переменного тока;

В

т

- максимальная индукция в сердечнике.

В связи с этим следует, что магнитопроводы для трансформато-

ров и асинхронных двигателей надо выполнять из ферромагнитных ма-

териалов, имеющих узкую петлю гистерезиса. Такие свойства достига-

ются путём добавки в сплав небольшого количества кремния Si, (до 5%)

и других компонентов.

При работе в цепях переменного тока наряду с явлением гисте-

резиса в ферромагнитных сердечниках возникают явления, связанные с

вихревыми токами. Эти потери можно подсчитать по формуле:

2

м

.т.в.т.в

10000

В

100

f

GР













⋅⋅⋅σ=

Вт, (6.9)

где

.т.в

σ

- коэффициент, характеризующий потери на вихревые

токи, Вт/кг;

162

В целом потери будут равны:

Р

гист

+ Р

вт

= Р

ст

, (6.10)

где Р

ст

– потери в стали.

Для уменьшения потерь на вихревые токи сердечники трансфор-

маторов выполняют из тонких листов электротехнической стали, изоли-

рованных друг от друга слоем лака или тонкой изоляционной бумагой.

Для определения мощности потерь в магнитопроводах из элект-

ротехнической стали применяются справочные таблицы, в которых дана

зависимость мощности суммарных потерь от сорта стали, амплитуды

магнитной индукции и находится в пределах (0,5-3,5) Вт/кг.

7. Трансформаторы

7.1. Общие понятия, расчет трансформатора

[7], [9], [10], [11]

Трансформатор представляет собой статический электромагнит-

ный аппарат с двумя (или более) обмотками, предназначенный для пре-

образования переменного тока одного напряжения в переменный ток той

же частоты другого напряжения. Принцип действия трансформатора ос-

нован на явлении взаимной индукции. Если первичную обмотку вклю-

чить в сеть переменного тока, по ней пройдет ток I

1

, который создаст

переменный магнитный поток. Этот поток пронизывает витки вторич-

ной обмотки и в ней будет индуктироваться ЭДС Е

2

. Если вторичную

обмотку подключить к нагрузке ( например, к лампе накаливания), то

под действием ЭДС Е

2

по этой обмотке и нагрузке пойдёт ток I

2

.

Для улучшения магнитной связи между первичной и вторичной

обмотками они размещаются на стальном сердечнике марки Э –41, Э-42,

Э-43, Э-44, Э-310 и т. д. В обозначении: Э – электротехническая сталь;

цифра после буквы – 1 - низколегированная, 2 – среднелегированная, 3 –

повышенного легирования, 4 – высоколегированная; вторая цифра – 1 –

пониженные потери, 2 – низкие потери.

Стали Э–43, Э–44 применяются для трансформаторов повышен-

ной частоты (на 800 или 1200 Гц). В зависимости от конструкции транс-

форматоры делятся на стержневые (рис.7.1) и броневые, (рис.7.2).

Действующие значения ЭДС первичной и вторичной обмоток

определяются соответственно выражениями:

Е

1

=4,44⋅W

1

⋅f⋅Ф

m

, В, (7.1)

163

Е

2

=4,44⋅W

2

⋅f⋅Ф

m

, В, (7.2)

где W

1

и W

2

– число витков первичной и вторичной обмоток;

Ф

m

– амплитудное значение магнитного потока в сердечнике

трансформатора, Вб.

Ф/2

W

1

W

2

Ф

W

1

W

2

Рис.7.2

В обмотках трансформатора падения напряжения малы и мож-

но считать, что напряжение первичной обмотки U

1

=Е

1

, а напряжение вто-

ричной обмотки U

2

=Е

2

.

Отношение напряжений на зажимах первичной и вторичной об-

моток трансформатора называется коэффициентом трансформации и

обозначается буквой К. Таким образом:

2

1

m2

m1

2

1

2

1

W

ФfW44,4

Е

U

К =

⋅⋅⋅

=≅=

. (7.3)

Если W

1

больше W

2

, то трансформатор будет понижать напря-

жение U

2

=U

1

/К, (К= W

1

/ W

2

).

При отсутствии нагрузки (I

2

=0) в первичной обмотке проходит

ток холостого хода I

0

, составляющий примерно 0,05⋅I

1н

(I

1н

– номиналь-

ный ток первичной обмотки).

При работе трансформатора под нагрузкой ток I

1

≈I

2

/К, т. к. U

1

≈Е

1

,

то магнитный поток

const

fW44,4

U

Ф

1

m

=

⋅⋅

= и практически не зависит

от величины и характера нагрузки.

Поэтому потери в стали можно легко определить из режима хо-

лостого хода. Эксперимент короткого замыкания, когда вторичная об-

Рис.7.1

164

мотка замкнута, а на первичную обмотку подаётся такое напряжение,

при котором ток I

1k

, будет равен номинальному I

1н

. В этом режиме на-

пряжение, подаваемое на первичную обмотку, составит примерно

(0,05-0,07)⋅U

1н

. Значит потерями в стали можно пренебречь, а по дан-

ным измерений мощности, напряжения короткого замыкания, номиналь-

ному току – можно определить основные параметры трансформатора.

После изучения настоящего раздела студенты должны знать:

1) принцип действия трансформатора, выражение коэффициен-

та трансформации, уравнения Кирхгофа для электрического и магнит-

ного состояния;

2) понимать назначение опыта холостого хода и эксперимента

короткого замыкания, а также сущность приведённого трансформатора,

знать принцип построения векторных диаграмм и причины изменения

напряжения на вторичной обмотке трансформатора. Трехфазные транс-

форматоры [7].

Пример 7.1. Для трёхфазного трансформатора мощностью

S

н

=100 кВА, соединение обмоток Y/Y

0

– 0, известно: номинальное на-

пряжение на зажимах первичной обмотки трансформатора U

1н

=6000 В,

напряжение холостого хода на зажимах вторичной обмотки трансфор-

матора U

20

=400 В, напряжение короткого замыкания U

к

=5,5%, мощность

короткого замыкания Р

к

=2400 Вт, мощность холостого хода Р

0

= 600 Вт,

ток холостого хода I

0

=0,07⋅I

1н

.

Определить: сопротивления обмоток трансформатора r

1

, r

2

, х

1

,

х

2

; эквивалентное сопротивление Z

0

(намагничивающей цепи) и его со-

противления r

0

, х

0

, которыми заменяется магнитная цепь трансформато-

ра, а также определить угол магнитных потерь δ.

Построить характеристики трансформатора U

2

=f

1

(β), напряже-

ния U

2

от нагрузки – внешняя характеристика; зависимость η=f(β), ко-

эффициента полезного действия от нагрузки, где β - коэффициент на-

грузки (принять cosϕ

2

=0,75). Построить векторную диаграмму транс-

форматора при нагрузке, составляющей 0,8 от номинальной мощности

трансформатора S

н

и cos ϕ

2

= 0,75. Составить Т-образную схему замеще-

ния трансформатора.

Решение:

Определяем номинальный ток первичной обмотки:

69

60003

1000100

3

1

,

U

S

I

н

=

⋅

=

⋅

=

А.

Определяем ток холостого хода и cos ϕ

0

:

165

I

0

=0.07I

1н

=0,07⋅9,6=0,67 А;

086,0

67,060003

600

IU3

Р

cos

0н1

0

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=ϕ

; ϕ

0

=85°.

Определяем угол магнитных потерь: δ=90° - ϕ

0

=90° - 85°=5°.

Определяем сопротивления обмоток:

1) Сопротивление короткого замыкания:

919

693

60000550

,

I

U

Z

кф

к

=

⋅

==

Ом,

78

693

2400

3

22

,

,I

Р

r

к

=

⋅

=

⋅

=

Ом,

91778919

2222

,,,rZх

ккк

=−=−=

Ом.

2) Сопротивление первичной обмотки:

354

2

78

2

21

,

r

rr

к

/

====

Ом,

958

2

917

2

21

,

х

хх

к

/

ss

====

Ом.

3) Сопротивление вторичной обмотки:

01930

225

354

2

,

К

r

/

===

Ом,

03980

225

958

2

,

К

х

/

s

===

Ом,

где

15

400

6000

20

1

===

U

К

н

.

Определяем сопротивления намагничивающей цепи:

5180

6703

6000

0

=

⋅

==

,

I

U

Z

ф

нф

Ом,

447

67,03

600

I3

Р

r

22

0

=

⋅

=

⋅

=

Ом,

51604475180

222

0

2

00

=−=−= rZx

Ом.

Для построения внешней характеристики U

2

=f(β) определяем

потерю напряжений во вторичной обмотке трансформатора:

∆U

2%

=β(U

а%

⋅cos ϕ

2

+ U

р%

⋅sin ϕ

2

), (7.4)

где U

а%

, U

р%

- соответственно активное и реактивное падения напряже-

ний; U

а%

=U

к%

⋅cos ϕ

к

, cos ϕ

к

= r

к

/Z

к

, U

а%

= 5,5⋅8,7/19,9 = 2,4%

%,,,)U()U(U

%а%к%р

9544255

2222

=−=−=

.

Напряжение на зажимах вторичной обмотки трансформатора

равно

166

)U(

U

%2

20

2

100

∆−=

, В. (7.5)

Задаваясь различными значениями β, по формулам (7.4), (7.5) оп-

ределяем U

2

.

Для построения зависимости η=f(β) – расчёт коэффициента

полезного действия производим по формуле:

кн

н

РРcosS

cosS

⋅β++ϕ⋅⋅β

ϕ⋅⋅β

=η

2

02

2

(7.6)

Таблица 7.1

№ п/п

β

∆

U

2

, %

U

2

, В

η

1 0,01 - - 0,555

2 0,025 - - 0,757

3 0,05 - - 0,904

4 0,1 0,507 397,97 0,924

5 0,2 1,014 395,94 0,956

6 0,3 1,521 393,92 0,965

7 0,4 2,028 391,89 0,967

8 0,5 2,535 389,86 0,969

9 0,6 3,042 387,83 0,967

10 0,7 3,549 385,80 0,966

11 0,8 4,056 383,78 0,964

12 0,9 4,563 381,75 0,963

13 1,0 5,070 379,72 0,962

η U

2

, В

1,0

400 η

U

2

η

max

0,5

0

β

Рис.7.3

Результаты расчёта сведены в табл. 7.1. Полученные характери-

стики показаны на рис.7.3.

Определяем, при какой нагрузке трансформатор имеет макси-

мальный КПД.

167

50

2400

6000

0

,

Р

к

м

===β

; η

м

= 0,969.

Построение векторной диаграммы (рис. 7.4 ) начнём с вектора

фазного напряжения

/

ф

U

2

, величина которого для β = 0,8 и cos ϕ

2

= 0,75

будет равна:

222

3

78383

2

==

,

U

ф

В.

Приведённое значение вторичного напряжения:

330015222

2

=⋅=⋅= КUU

ф

/

ф

В.

Вектор тока

/

I

2

отстаёт по фазе от вектора

/

ф

U

2

на заданный

угол ϕ

2

и равен

6,115

40073,1

1000100

8,0

U3

S

8,0I8,0I

H2

H

H2

2

=

⋅

⋅=⋅=⋅=

А,

727

15

6115

2

,

К

I

/

===

А.

Падение напряжения на вторичной обмотке:

6,3372,735,4Ir

/

2

/

2

=⋅=⋅

В,

3,6872,795,8Ix

/

2

/

02

=⋅=⋅

В.

Электродвижущую силу

/

Е

2

находим из уравнения электричес-

кого состояния, составленного по второму закону Кирхгофа для вторич-

ной цепи:

//

s

////

IjxIrUE

222222

&&&&

⋅+⋅+=

, (7.7)

I

0

jx

2

/

2

I

′

&

2

I

′

&

1

I

&

Z

1

jx

13

1

I

&

1

I

&

r

1

2

I

′

&

r

2

/

1

U

&

2

E

′

&

=-

1

E

&

ф2

U

′

&

2

I

′

&

1

I

&

ϕ

2

0

I

&

90°

Ф

m

δ

Рис.7.4

168

r

1

x

1s

r

2

/

x

2s

/

1

I

&

2

I

′

&

r

0

1

U

&

2

U

′

&

Z

H

/

0

I

&

X

0

Рис.7.5

Вектор потока

m

Ф

&

отстаёт от вектора

2

E

&

на 90°, а ток холостого

хода

0

I

&

опережает поток Ф

m

на угол потерь δ. Ток в первичной обмотке

трансформатора получаем из уравнения намагничивающих магнитодви-

жущих сил:

.III

0

/

21

&&

+=

(7.8)

где

К/II

/

22

&&

−=

.

Вектор напряжения первичной обмотки трансформатора

1

U

&

определяем из уравнения электрического состояния, составленного по

второму закону Кирхгофа для первичной цепи:

111111

IjxIrEU

s

&&&&

⋅+⋅+−=

. (7.9)

Током холостого хода

0

I

&

можно пренебречь, так как он мал, и

принять

/

II

21

&&

=

или определить по диаграмме. Тогда падения напряже-

ний в первичной обмотке будут:

r

1

⋅I

1

= 4,35⋅7,76 = 33,8 В, x

1s

⋅I

1

= 8,95⋅7,76 = 69,4 В.

Векторная диаграмма трансформатора приведена на рис.7.4 , Т-

образная схема замещения трансформатора изображена на рис.7.5.

Пример 7.2. Расчёт трансформатора малой мощности. Тре-

буется рассчитать трансформатор мощностью S

H

= 60 ВА, при напряже-

нии первичной и вторичной обмотки U

1

= 127 В и U

2

= 12 В, частота тока

сети f = 50 Гц, сердечник броневого типа.

При расчёте зададимся отношением веса стали к весу меди

(а = 5,5) , магнитной индукцией В = 13000 Гс и плотностью тока

169

j = 2,5 А/мм

2

. Примечание: В инжнерных расчетах магнитную индук-

цию часто измеряют в Гауссах [Гс], а магнитный потолк в максвеллах

[Мкс]: 1 Тл = 10

4

Гс; 1 Вб = 10

8

Мкс.

Решение:

1) Определяем коэффициент трансформации

6,10

12

127

U

К

2

1

===

;

2) Ток вторичной обмотки:

5

12

60

2

===

U

S

I

H

А;

3) Ток первичной обмотки:

56,0

12785,0

60

U

S

I

1

H

1

=

⋅

=

η

=

А (КПД счи-

таем η=0,85);

4) Поперечное сечение проводов первичной и вторичной обмотки:

22,0

5,2

56,0

j

I

g

1

/

1

=== мм

2

,

2

5,2

5

j

I

g

2

/

2

===

мм

2

.

По табл. 7.2 выбираем ближайшие стандартные сечения прово-

дов и выписываем их диаметры с изоляцией и без неё:

g

1

=0,24 мм

2

, d

1

/

= 0,55 мм, d

1

= 0,59 мм

g

2

=2,22 мм

2

, d

2

/

= 1,68 мм, d

2

= 1,74 мм.

5) Действительная плотность тока в обмотках:

33,2

24,0

56,0

g

I

j

1

===

А/мм

2

,

26,2

22,2

5

g

I

j

2

===

А/мм

2

.

Средняя плотность тока

3,226,233,2Jjj

21

=⋅=⋅=

А/мм

2

.

6) Поперечное сечение стержня сердечника:

10

3,21300050

105,560

7,0

jBf

10aS

CS

6

H

c

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=

см

2

, где С - коэффициент

при броневом сердечнике равный 0,6÷0,8.

По приближённой формуле

10603,1S3,1S

Hc

===

см

2

;

7) Магнитный поток в стержне сердечника Ф = В⋅S

c

= 10⋅13000 =

=1,3⋅10

5

Мкс.

8) Число витков в обмотке:

440

3,1

1275,4

Ф

10U5,4

W

5

1

=

⋅

=

⋅⋅

=

,

42

3,1

125,4

Ф

10U5,4

W

5

2

=

⋅

=

⋅⋅

=

.

170

ЭДС в одном витке:

286,0

42

12

440

127

W

U

W

U

e

2

1

=====

В.

9) Площадь окна сердечника:

685

30

22242240440

2211

=

⋅+⋅

=

⋅+⋅

=

,

,,

К

WgWg

Q

окна

мм

2

,

(К

окна

принимаем равным 0,3).

10) Размеры сердечника:

Меньшая сторона поперечного сечения сердечника (рис. 7.6 ):

()

295,22

22,1

10100

22,1

100S

а

с

÷=

÷

⋅

=

÷

⋅

=

мм.

Из табл. 7.3 выбираем стандартные пластины УШ – 26, имею-

щие следующие размеры: а=26 мм; у=17 мм; с=17 мм; h=47 мм;

Q

окна

= 799 мм

2

; l=94 мм; H=81 мм.

Площадь окна выбранных пластин больше необходимой для раз-

мещения обмоток, вычисленной в п. 9 (Q

окна

=685 мм

2

) и, следовательно,

выбранные пластины позволяют разместить обмотки в окне сердечника.

Большая сторона поперечного сечения стержня:

=

⋅

=

а

100S

в

с

4,37

а

10100

=

⋅

=

мм; число пластин:

107

350

437

==

∆

=

,

,в

n

.

10) Размещение обмоток на сердечнике:

Высота обмотки: h

об

=h – 4,4=47 – 4,4=42,6 мм.

Число витков в обмотке по высоте стержня:

72

59,0

6,42

d

h

W

1

об

/

1

===

,

24

74,1

6,42

d

h

W

2

об

/

2

===

.

Число рядов обмоток по ширине окна:

4

72

440

1

===

/

W

К

,

2

24

42

2

===

/

W

К

( с округлением до ближайшего числа). Толщина ка-

тушек по ширине окна сердечника:

в

1

= К

1

⋅d

1

= 7⋅0,59 = 4,15 мм, в

2

= К

2

⋅d

2

= 2⋅1,74 = 3,5мм.

Мухин В.И. Электротехника с основами электроники. Учебное пособие. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.