Мосин В.Г. Математические основы компьютерной графики: Монография

Подождите немного. Документ загружается.

5.2. Производные 121

Теорема 58 (о дифференцировании частного) Пусть функции f(x) и

g(x) имеют производные в точке x

. Тогда их частное также имеет произ-

водную в точке x

, причем:







g − fg



Доказательство Пусть y = f/g. Придадим переменной x бесконечно ма-

лое приращение ∆x в точке x

. Тогда функция y получит приращение ∆y,

причем:

y +∆y =

f +∆f

g +∆g

Выразим отсюда инетересующее нас приращение функции y:

∆y =

f +∆f

g +∆g

−

∆fg − f∆g

+ g∆g

Для вычисления производной функции y в точке x

воспользуемся опреде-

лением (см. опр. 53, стр. 117):









= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

(∆f/∆x) · g − f · (∆g/∆x)

+ g∆g

lim ∆f/∆x · g − f · lim ∆g/∆x

+ g lim ∆g



g − fg



В течение всей выкладки мы так же, как и в доказательстве предыду-

щей теоремы (см. теор. 57, стр. 120), пользовлись свойствами пределов (см.

теор. 48, стр. 109) и доказанными выше свойствами непрерывных функций.

(см. теор. 51, стр. 114).

Теорема доказана.

5.2.3 Производные простейших элементарных функций

В предыдущем разделе мы установили, что при помощи правил дифферен-

цирования можно сводить вычисления производных сумм функций, произ-

ведений функций и частных функций к вычислению производных отдель-

ных функций.

В данном разделе мы докажем формулы для вычисления производных

простейших элементарных функций. Комбинируя эти формулы с прави-

лами дифференцирования, мы получим инструмент дифференцирования

довольно-таки широкого (хотя и не окончательного

) набора функций.

Теорема 59 (о производной постоянной) Функция, являющаяся тож-

дественной константой y = C, дифференцируема в любой точке, причем



=0.

Последний шаг в развитии техники дифференцирования мы сделаем в следующем

разделе (см. раздел 5.2.4, стр. 129), когда получим формулы для дифференцирования

сложных функций.

122 Глава 5. Математический анализ

Доказательство Очевидно, что если функция является тождественной

константой, то ее приращение в любой точке равно нулю. Отсюда



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

0=0.

Теорема доказана.

Теорема 60 (о производной независимой переменной) Функция

y = x является дифференцируемой в любой точке, причем



=1.

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x =

, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция

y получит приращение ∆y =∆x.Отсюда



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

∆x

= lim

∆x→0

1=1.

Теорема доказана.

Теорема 61 (о производной степенной функции) Функция y = x

яв-

ляется дифференцируемой в любой точке, причем

)



= nx

n−1

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x =

, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция

y получит приращение

∆y = y(x

+∆x) − y(x

)=(x

+∆x)

− x

= x

+ nx

n−1

∆x +

n(n − 1)

n−2

∆

x + ···+∆

x − x

= nx

n−1

∆x + o(∆x) ,

где o(x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆x. Разделим

полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу. Тогда:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

n−1

∆x + o(∆x)

∆x

= n lim

∆x→0

n−1

∆x

+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x

= n lim

∆x→0

n−1

+0=nx

n−1

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48,

стр. 109), а так же сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48,

стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x

, полученная формула дифферен-

цирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана

Мы доказали теорему в частном случае — мы предполагали, что показатель сте-

пенной функции является натуральным число n и воспользовались для доказательства

формулой бинома Ньютона. Более сложные рассуждения (которые мы не будем здесь

приводить) позволяют доказать справедливость этой формулы для любого показателя.

5.2. Производные 123

Теорема 62 (о производной показательной функции) Функция

y = a

является дифференцируемой в любой точке, причем

)



= a

ln a.

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x

и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y

получит приращение

∆y = y(x

+∆x) − y(x

)=a

+∆x

− a

= a

∆x

− 1) .

Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их

помощью мы можем представить скобку (a

∆x

− 1) в следующей форме:

∆x

− 1=∆x ln a + o(∆x) ,

где o(∆x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆x. Следо-

вательно, окончательное выражение для приращения функции таково:

∆y = a

(∆x ln a + o(∆x)) .

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно

убывающем приращении аргумента. Тогда:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

(∆x ln a + o(∆x))

∆x

= a



lim

∆x→0

∆x ln a

∆x

+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x



= a

ln a lim

∆x→0

∆x

+0=a

ln a.

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48,

стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48,

стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x

, полученная формула дифферен-

цирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 63 (о производной синуса) Функция y =sinx является диф-

ференцируемой в любой точке, причем

(sin x)



=cosx.

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x = x

и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция y

получит приращение

∆y = y(x

+∆x) − y(x

)=sin(x

+∆x) − sin x

=sinx

cos ∆x +cosx

sin ∆x − sin x

=sinx

(cos ∆x − 1) + cos x

sin ∆x.

Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их

помощью мы можем представить скобку (cos ∆x − 1) в следующей форме:

cos ∆x − 1=−

∆

+ o(∆

x) ,

124 Глава 5. Математический анализ

где o(∆

x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆

x. Кроме

того, в силу все тех же асимптотических формул,

sin ∆x =∆x + o(∆x) .

Следовательно, окончательное выражение для приращения функции тако-

во:

∆y =sinx



−

∆

+ o(∆



+cosx

(∆x + o(∆x)) .

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно

убывающем приращении аргумента. Тогда:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

sin x



−∆

x/2+o(∆



+cosx

(∆x + o(∆x))

∆x

=sinx



lim

∆x→0

−∆

2∆x

+ lim

∆x→0

o(∆

∆x



+cosx



lim

∆x→0

∆x

+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x



=sinx

(0 + 0) + cos x

(1 + 0) = cos x

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48,

стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48,

стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x

, полученная формула дифферен-

цирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 64 (о производной косинуса) Функция y =cosx является диф-

ференцируемой в любой точке, причем

(cos x)



= −sin x.

Доказательство Зафиксируем произвольное значение переменной x =

, и придадим переменной x приращение ∆x в этой точке. Тогда функция

y получит приращение

∆y = y(x

+∆x) − y(x

)=cos(x

+∆x) − cos x

=cosx

cos ∆x − sin x

sin ∆x − cos x

=cosx

(cos ∆x − 1) − sin x

sin ∆x.

Далее поступим так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы.

Воспользуемся асимптотическими формулами (см. теор. 50, стр. 112). С их

помощью мы можем представить скобку (cos ∆x − 1) в следующей форме:

cos ∆x − 1=−

∆

+ o(∆

x) ,

где o(∆

x) — бесконечно малая более высокого порядка, нежели ∆

x. Кроме

того, в силу все тех же асимптотических формул,

sin ∆x =∆x + o(∆x) .

5.2. Производные 125

Следовательно, окончательное выражение для приращения функции тако-

во:

∆y =cosx



−

∆

+ o(∆



− sin x

(∆x + o(∆x)) .

Разделим полученное равенство на ∆x и перейдем к пределу при бесконечно

убывающем приращении аргумента. Тогда:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

cos x



−∆

x/2+o(∆



− sin x

(∆x + o(∆x))

∆x

=cosx



lim

∆x→0

−∆

2∆x

+ lim

∆x→0

o(∆

∆x



−

− sin x



lim

∆x→0

∆x

+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x



=cosx

(0 + 0) − sin x

(1 + 0) = −sin x

Здесь мы, как обычно, пользовались свойствами пределов (см. теор. 48,

стр. 109), а также сравнением бесконечно малых функций (см. опр. 48,

стр. 112).

В силу произвольности выбора точки x

, полученная формула дифферен-

цирования является справедливой в любой точке.

Теорема доказана.

Теорема 65 (о производной тангенса) Функция y =tgx является диф-

ференцируемой в пределах своей области определения, причем

(tg x)



cos

Доказательство Воспользуемся теоремой о производной частного (см.

теор. 58, стр. 121) и только что доказанными теоремами о производных

синуса (см. теор. 63, стр. 123) и косинуса (см. теор. 64, стр. 124)





sin x

cos x





(sin x)



cos x − sin x(cos x)



cos

x +sin

cos

Теорема доказана.

Теорема 66 (о производной котангенса) Функция y =ctgx является

дифференцируемой в пределах своей области определения, причем

(ctg x)



= −

sin

Доказательство Так же, как и выше, воспользуемся теоремой о произ-

водной частного (см. теор. 58, стр. 121) и теоремами о производных синуса

(см. теор. 63, стр. 123) и косинуса (см. теор. 64, стр. 124)





cos x

sin x





(cos x)



sin x − cos x(sin x)



sin

−sin

x − cos

sin

= −

sin

126 Глава 5. Математический анализ

Теорема доказана.

Понятно, что мы еще не исчерпали весь спектр простейших элементарных

функций. Его следует пополнить еще теоремами о производных логариф-

мической и обратных тригонометрических функций. Для доказательства

этих теорем мы применим прием дифференцирования обратных функций.

Определение 57 (обратные функции) Пусть функция y = f(x) опре-

делена, неперерывна и строго монотонна на отрезке [a, b],ипустьf(x) при-

нимает значения на отрезке [f(a),f(b)] (для определенности мы предполо-

гаем, что f (x) строго возрастает).

Тогда для любого значения y из области значений функции f(x) существует

единственное значение x из области ее определения такое, что f(x)=y.

Сопоставляя таким образом каждому значению y из области значений функ-

ции f значение переменной x из области ее определения, получим новую

функцию g(y), которая называется обратной к функции f(x).

Пример 79 Функция y = e

удовлетворяет условиям определения (см. опр. 57,

стр. 126). Действительно, это функция, определенная, непрерывная и строго воз-

растающая на всей числовой оси. Она принимает произвольные положительные

значения. Поэтому, если y>0, то функция x =lny является обратной к ис-

ходной функции. Заметим, что аналитическое выражение для нее получается из

выражения для исходной функции путем его логарифмирования.

Теорема 67 (о производной обратной функции) Пусть y = f(x) и x =

g(y) — две взаимнообратные функции. Тогда



где нижний индекс указывает переменную, по которой ведется дифферен-

цирование.

Доказательство Зафиксируем произвольно значение x

из области опре-

деления функции f(x). Тогда значение производной функции y, вычислен-

ное в этой точке, согласно определению (см.опр. 53, стр. 117) это следующий

предел:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0

∆x/∆y

= lim

∆y→0

∆x/∆y

lim

∆y→0

∆x/∆y



Комментария здесь требует лишь одно звено, а именно — тот момент, ко-

гда от предела по бесконечно убывающему приращению ∆x мы перешли к

пределу по ∆y. Этот переход возможен, так как по определению обратных

функций (см. пор. 57, стр. 126) они должны быть непрерывными, и, следо-

вательно (см. теор. 51, стр. 114) бесконечно малому приращению аргумента

должно отвечать бесконечно малое же приращение функции.

Теорема доказана.

Теорема 68 (о производной логарифма) Функция y = log

x является

дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(log



x ln a

5.2. Производные 127

Доказательство Функцией, обратной к y = log

x служит x = a

(см.

опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 62, стр. 123).

Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции (см. теор. 67,

стр. 126), получим:



ln a

x ln a

Теорема доказана.

Теорема 69 (о производной арксинуса) Функция y =arcsinx являет-

ся дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arcsin x)



√

1 − x

Доказательство Функцией, обратной к y =arcsinx,служитx =siny

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 63,

стр. 123). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции

(см. теор. 67, стр. 126), получим:



cos y



1 − sin

√

1 − x

где в процессе выкладки мы воспользовались основным тригонометриче-

ским тождеством: sin

x +cos

x =1.

Теорема доказана.

Теорема 70 (о производной арккосинуса) Функция y = arccos x явля-

ется дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arccos x)



= −

√

1 − x

Доказательство Функцией, обратной к y = arccos x,служитx =cosy

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 64,

стр. 124). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции

(см. теор. 67, стр. 126), получим:



−sin y

= −



1 − cos

= −

√

1 − x

где в процессе выкладки мы воспользовались основным тригонометриче-

ским тождеством: sin

x +cos

x =1.

Теорема доказана.

Теорема 71 (о производной арктангенса) Функция y =arctgx явля-

ется дифференцируемой в любой точке своей области определения, причем:

(arctg x)



1+x

128 Глава 5. Математический анализ

Доказательство Функцией, обратной к y =arctgx,служитx =tgy

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 65,

стр. 125). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции

(см. теор. 67, стр. 126), получим:



1/ cos

=cos

y =

1+tg

1+x

где в процессе выкладки мы воспользовались известным тригонометриче-

ским соотношением: cos

y =1/(1 + tg

y).

Теорема доказана.

Теорема 72 (о производной арккотангенса) Функция y = arcctg x яв-

ляется дифференцируемой в любой точке своей области определения, при-

чем:

(arcctg x)



= −

1+x

Доказательство Функцией, обратной к y = arcctg x,служитx =ctgy

(см. опр. 57, стр. 126). Ее производная нам уже известна (см. теор. 66,

стр. 125). Поэтому, пользуясь теоремой о производной обратной функции

(см. теор. 67, стр. 126), получим:



1/(−sin

= −sin

y = −

1 + ctg

= −

1+x

где в процессе выкладки мы воспользовались известным тригонометриче-

ским соотношением: sin

y =1/(1 + ctg

y).

Теорема доказана.

Резюмируя сказанное выше, сведем полученные формулы в единое утвер-

ждение (таблицу производных простейших элементарных функций).

Теорема 73 (таблица производных) Простейшие элементарные функ-

ции дифференцируются в соответствии со следующими формулами, кото-

рые мы из соображений удобства объединили по блокам:

1. Производная константы: C



=0, а также — производная перменной,

по которой ведется дифференцирование: x



=1.

2. Производная степенной функции:

( x

)



= αx

α−1

, где α — любое вещественное число;

в частности,



√





√







= −

3. Производные тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и

котангенс:

(sinx )



=cosx, (cosx )



= −sin x,

(tgx )



cos

, (ctgx )=−

sin

5.2. Производные 129

4. Производные обратных тригонометрических функций арксинус, арк-

косинус, арктангенс и арккотангенс:

(arcsinx )



√

1 − x

, ( arccos x )



= −

√

1 − x

(arctgx )



1+x

, ( arcctg x )



= −

1+x

5. Производные показательных и логарифмических функций:

( a

)



= a

ln a, в частности, ( e

)



= e

( log

x )



x ln a

, в частности, (lnx )



Пример 80 Продифференцируем, например, пользуясь таблицей производных

и правилами дифференцирования, следующую функцию:



+ x





+ x)



− (x

+ x)(2

)



)

(2x +1)2

− (x

+ x)2

ln 2

)

2x +1−(x

+ x)ln2

Здесь на первом шаге выкладки мы применили правило дифференцирования

частного (см. теор. 58, стр. 121), а затем — табличные формулы для дифферен-

цирования степенных и показательных функций (см. теор. 73, стр. 128).

5.2.4 Производная сложной функции

Последний шаг в развитии техники дифференцирования — дифференциро-

вание сложных функций. Этому приему посвящен настоящий раздел.

Теорема 74 (о приращении дифференцируемой функции) Пусть

функция f(x) такова, что существует ее производная в точке x

.Тогдаее

приращение в этой точке может быть представлено в виде:

∆f = f



)∆x + o(∆x) .

Доказательство

lim

∆x→0

∆f − f



)∆x

∆x

= lim

∆x→0

∆f

∆x

− f



)=f



) − f



)=0.

Из полученного соотношения, пользуясь определением бесконечно малой

более высокого порядка (см. опр. 48, стр. 112), заключаем:

∆f − f



)∆x = o(∆x) , откуда ∆f = f



)∆x + o(∆x) .

Теорема доказана.

Теорема 75 (производная сложной функции) Пусть сложная функ-

ция y = f(g(x)) такова, что существует производная функции g в точке

130 Глава 5. Математический анализ

и существует производная функции f в точке g(x

). Тогда существует

производная функции y в точке x

, причем:



= f



· g



где нижние индексы указывают на переменные, по которым ведется диф-

ференцирование.

Доказательство Существование производных означает в силу теоремы о

приращении дифференцируемой функции (см. теор. 74, стр. 129), что

∆g = g



∆x + o(∆x) , и ∆f = f



∆g + o(∆g) .

Поэтому

∆y = f



∆g+o(∆g)=f



∆x+o(∆x))+o(g



∆x+o(∆x)) = f



∆x+o(∆x) .

Перейдем к пределу в последнем равенстве при бесконечно убывающем ∆x:



= lim

∆x→0

∆y

∆x

= lim

∆x→0



∆x + o(∆x)

∆x

= f



· g



+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x

= f



· g



Теорема доказана.

Пример 81 Пусть, например, требуется продифференцировать сложную функ-

цию y =lnsinx. Мы можем представлять дифференцируемую функцию следую-

щим образом:

y =lng, где g =sinx.

Поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной функции (см. теор. 75,

стр. 129), производная сложной функции y имеет следующий вид:



· g



, где g =sinx.

Подставим вместо g выражение этой функции через независимую переменную

x, после чего вычислим производную элементарной функции g(x)=sinx просто

воспользовавшись таблицей производных (теор. 73, стр. 128):



sin x

· (sin x)



sin x

· (cos x)=ctgx.

Правило дифференцирования сложной функции можно применять к супер-

позициям большего числа элементарных функций, как, например, в следу-

ющем примере.

Пример 82 Продифференцировать следующую функцию:

y =sin



(ln x)



Мы можем представить данную функцию в виде:

y =sing, g= h

,h=lnx.

Применяя правило дифференциорвания сложной функции (см. теор. 75, стр. 129)

к функции y =sing, получим:



=cosg · g



=cos



(ln x)





(ln x)





Далее мы можем применить это правило к функции g = h



=3h

· h



=3ln

x ·(ln x)



Таким образом, окончательно имеем:



=cos



(ln x)



· 3ln

x ·(ln x)



=cos



(ln x)



· 3ln

x ·