Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории
Подождите немного. Документ загружается.
71
Нижеследующие задачи решить оптимальными методами..
13. Найти токи в сопротивлениях R
2
и R
3
, а также напряжение u(t),
если
)sin()(
ϕ
ω
+
=
tte [B], )sin(20)( tti
ω
=
[A], R
1
= R
2
= R
3
= 8 Ом.
14.
Найти токи во всех ветвях при E
1
= 4 B, E
2
= 10 B, I
01
= 1 A,
R
1
= 1 Oм, R
2
= R
3
= R
4
= 2 Oм.
15.
Найти токи в R
3
и R
5
.
E
1
= 16 B, E
2
= 8 B, R
1
= R
2
=
=
R
4
= R
5
= R
6
= 3 Oм.
16.
Найти показания ам-
перметра.
E
1
= 2 B, E
2
= 2j B,
X
1
= 1 Ом R
1
= R
2
= R
3
= R
4
=
=
X
2
= X
3
= 2 Oм.
17.
Найти ток в ветви
сопротивления R
6
.
18.
Электрическая цепь
находится под действием ис-
E
1
R
1
E
2
R
2
R
3
R
4
I
01
Рис. к задаче 13 Рис. к задаче 14
R
1
R
2
E
2
R
3
R
4
R
6
E
1
R
5
R
1
R
4
X
2
E
1
X
3
R
3
R
2
X
1
E
2
A
Рис. к задаче 15 Рис. к задаче 16
E
2
R
4
R
2
R
1
R
3
R
5
R
6
E
1
Рис. к задаче 17
e(t)
R
1
R
2
R
3
u(t)
i(t)
72
точников напряжения
E и тока I
0
; Z
1
= 2 + 2j [Ом], Z
2
= 1 + 2j [Ом], Z
3
= 2 –
2j [Ом],
Z
4
= 2 Ом. При разомкнутом ключе вольтметр, присоединенный к
узлам
a и b, показывает 10 В. Определить установившиеся токи, прохо-
дящие в ветвях Z
2
и Z
3
при замкнутом ключе.
19.
Найти
комплексные токи
во всех ветвях,
мощность потре-
бляемую цепью и
мощности разви-
ваемые источни-
ками. Рассмотреть
два случая: 1) ис-
точники работают
на одной частоте и 2) на разных (ω
1
, ω
2
= 2ω
1
) для ω = ω
1
R
1
= R
2
= R
3
= X
1
=
=
X
2
= 0,5X
3
= R.
E
1
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
I
0
a
b
Рис. к задаче 18
R
1
X
2
X
1
R
3
I
01
X
3
R
2
I
02
E
2
E
1
R
4
R
1
R
1
R
2
R
3
i
кз
E
3
R
6
R
5
Рис. к задаче 19 Рис. к задаче 20
E
4
Z
4
E
3
E
2
Z
3
R
1
Z
1
Z
2
E
1
A
Z
1
E
1
E
3
Z
3
Z
2
E
2
Z
4
Z
5
М
Рис. к задаче 22 Рис. к задаче 23
73
20.
Найти ток короткого замыкания I
кз
в заземлении. E
1
= E
3
= 2 B,
E
2
= 4 B, R
4
= 4 Oм, R
1
= R
2
= R
3
= 6 Oм, R
5
= R
6
=2 Oм.
21.
Найти ток короткого замыкания I
кз
в схеме приведенной к задаче
20 с теми же номиналами элементов, если заземление присоединено к
правому узлу.
22.
Найти показания амперметра. E
1
= 5 B, E
2
= j B, E
3
= -j B, E
1
= 4 B,
R
1
= 5 Oм, Z
1
= 1+j [Ом], Z
2
= 1-j [Ом], Z
3
= Z
4
= 2j Oм.
23.
Найти токи во всех ветвях и мощности развиваемые источниками.
E
1
= j B, E
2
= 1 B, E
3
= -j B, Z
1
= -j Ом, Z
2
= Z
3
= Z
5
= 1 Oм, Z
4
= j Ом.
24.
При разомкнутом
ключе вольтметр показывает
4 В. Какой установившийся
ток будет показывать ампер-
метр при замкнутом клю-
че.
I
01
= 1 B, I
02
= 2 B,
E
2
= 1 B, Z
1
= 1+j [Ом], Z
2
=
=
Z
7
= 2 [Oм], Z
3
= Z
5
= 2j Oм,
Z
4
= -j Ом, Z
6
= 1+7j [Ом].
E
1
Z
1
Z
4
Z
6
Z
5
I
02
I
01
Z
7
Z
2
E
2
Z
3
V
A
Рис. к задаче 24
Z
6
Z
3
I
01
E
2
Z
2
E
1
Z
1
Z
4
E
3
Z
5
I
02
V
A
Рис. к задаче 25
R
1
X
4
E
2
X
1
E
1
X
2
X
3
R
2
ba
Рис. к задаче 26
74
25.
При разомкнутом ключе вольтметр показывает 2 В. Какой
установившийся ток будет показывать амперметр при замкнутом ключе.
I
01
= 1 А, I
02
= -j А, Z
1
= 1+j [Ом], Z
2
= 1 Oм, Z
3
= 1+4j [Ом], Z
4
= 1-j [Ом],
Z
5
= j Oм, Z
6
= 2 Oм, E
2
= 3 B, E
3
= j B.
26.
Определить напряжение между точками a и b. Параметры схемы:
E
1
= 6 B, E
1
= 6
)2(exp
π
j
[B], X
1
= X
2
= 3 Oм, X
3
= 3 Oм, X
4
= 1,5 Ом,
R
1
= R
2
= 3 Ом.
27.
По приведенной ске-
летной схеме цепи и матрице
сопротивлений
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−+−
−+
=
jj
jjj
jj
Z
1,2,0
2,21,2
0,2,22
определить: 1) входное сопротивление цепи; 2) коэффициент передачи по
току
13
IIK
I
&&
=
E
I
1
I
3
Рис. к задаче 27
E
1
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
E
1
E
1
R
1
R
2
Z
1
Z
2
I
01
Рис. к задаче 28 Рис. к задаче 29
R
1
X
2
X
1
R
3
R
2
I
01
E
R
1
E
2
R
4
R
3
R
5
R
2
E
1
A
Рис. к задаче 30 Рис. к задаче 31
75
28.
Найти: 1) токи во всех участках цепи; 2) мощности развиваемые
источниками.
E
1
= 24 B, E
2
= 6 B, Z
1
= 6 Ом, Z
2
= -12j Ом, Z
3
= -3j Oм,
Z
4
= 4j Ом.
29.
Найти условия на E
1
, I
01
, Z
1
и Z
2
. Обеспечивающие отсутствие рас-
сеивания мощности резистором
R
2
.
30.
Найти мощность рассеиваемую в цепи и мощности, развиваемые
источниками.
)4sin(
01
π
ω
+
= tII
,
tEE
ω
sin
=
, R
1
= R
2
= R
3
= X
1
=
=
X
2
= R.
31.
Найти показания амперметра, считая E
1
= E
2
= E, R
1
= R
2
= R
3
=
=
R
4
= R
5
= R.
32.
Найти показания амперметров.
1)
X
1
= X
2
= ρ, X
3
≠ X
4
,
CL=
ρ
; 2) X
1
=
=
X
2
= X
3
= X
4
= ρ. Изменяться ли показания
амперметров, если
X
3
и X
4
поменять
местами?
33.
При какой частоте работы источ-
ников ток в резисторе не зависит от вели-
чины его сопротивления. Найдите на этой
частоте ток в источнике ЭДС.
34.
Найти сопротивления R
1
и R
2
, если
известно, что при
I
01
= 2 мА, I
02
= 4 мА
ток в резисторе
R
2
равен 1 мА, а при
I
01
= -2 мА, I
02
= -4 мА ток в резисторе R
2
равен 3 мА и его направление
не меняется.
E
1
= 2 мB, E
2
= 10 мB. Рассчитайте ток в источнике ЭДС E
1
для первого случая.
R
X
3
X
2
E
X
4
X
1
A
1
A
2
R
С
2
L
2
E
L
1
I
01
С
1
М
Рис. к задаче 32 Рис. к задаче 33
R
1
I
01
E
2
R
2
E
1
I
02
М
Рис. к задаче 34
76
§ 4. Резонанс в электрической цепи
Изменение частоты источника или параметров схемы может
приводить к появлению резонансных явлений. В обычном понимании,
при наличии резонанса в системе один или несколько её параметров
достигают своих экстремальных значений. Однако, в теории
электрических цепей под состоянием резонанса понимается ситуация при
которой напряжение на цепи (содержащей
индуктивности и емкости) и
втекающий в неё ток имеют одну и туже фазу. Поэтому токи и
напряжения при определяемом таким образом резонансе не обязательно
имеют экстремальные значения. Цепи, содержащие емкостные и
индуктивные сопротивления и работающие в области резонанса,
называются резонансными цепями или колебательными контурами.
Принято разделять колебательные контуры на два
типа:
последовательный колебательный и параллельный колебательный
контур. Такое разделение условно связано со способом подключения
резонансной цепи к источнику электрической энергии. Если после
подключения ветви с емкостью и индуктивностью образуют с источником
замкнутый контур, то данная цепь называется последовательным
колебательным контуром. Если источник при подсоединении к цепи
оказывается параллельно подключенным к
ветви с емкостью и к ветви с
индуктивностью, то такая цепь называется параллельным колебательным
контуром. Для описания работы колебательного контура используются
параметры: резонансная частота, собственная частота, характеристи-
ческое (волновое) сопротивление, добротность и др.
Последовательный колебательный контур
Вынужденные колебания. Резонанс напряжений. В стационарном
состоянии в последовательном колебательном контуре под действием
источника
напряжения происходят вынужденные колебания тока. Этот
ток наиболее просто находятся методом
комплексных амплитуд. В схеме
простого колебательного контура
(рис. 4.1) источник напряжения с ЭДС
)sin()(
ψ
ω
+= tEte
m
и внутреннем
сопротивлении
0
R создает ток
)sin()(
1
ψ
ω
+= tIti
m
, (4.1)
где
R
0
L
C
e(t)
R
1
Рис. 4.1
77
22
1
1
0
1
xQ
R
E
eZ
eE
Z
eE
Z
E
eII
m
j
j
m
j
m
j
mm
+
=====
ψ
ψψ
ψ
&
(4.2)
амплитуда тока. В формуле (4.2)
CjLjRZ
ω
ω
1
+
+
=
– комплексное
сопротивление контура,
10
RRR
+
=
– активное сопротивление контура
с учетом внутреннего сопротивления генератора, Ψ и Ψ
1
– фазы тока и
напряжения ЭДС (или контура), а Ψ
0
– аргумент комплексного со-
противления контура. При преобразовании модуля комплексного
сопротивления контура введен параметр
Q , который называется
добротностью контура и определяется формулой
RR
CL
Q
ρ
==
/
, (4.3)
где использовано обозначение
/LC
ρ
= , (4.4)
которое называется волновым сопротивлением контура. Зависимость
амплитуды тока от частоты реализуется через относительную расстройку
)(
0
0
ω
ω
ω
ω
−=x , (4.5)
где
LC1
0
=
ω
(4.6)
является собственной частотой контура. Сдвиг фаз (или разность фаз)
между током и напряжением контура равен аргументу комплексного
сопротивления контура (с учетом внутреннего сопротивления источника
напряжения)
Qx
R
CL
tgtg =
−
==−
ωω
ψψψ
1
)(
01
. (4.7)
При
0
ω
ω
= модуль комплексного сопротивления минимален и
амплитуда тока имеет максимальное значение
/
mo m
I
ER
=
. На рис. 4.2
приведены амплитудно-частотные характеристики тока для различных
значений добротности, рассчитываемой по формуле (4.3). Она полностью
определяется частотной зависимостью модуля комплексной
проводимости контура.
По ширине амплитудно-частотные характеристики тока определяют
полосу пропускания контура
ω
Δ
. Условились считать, что она
78
соответствует ширине спектра на уровне
120,707≅
от максимального
значения. При малых значениях
ω
Δ
, когда относительная расстройка
приближенно равна
00
0
)(2
ω
ω
ω
ω
ω
Δ
=
−
≈x , полоса пропускания связана с
введенной добротностью контура простым выражением
Q
1
0
=
Δ
ω
ω
. (4.8)
Формулу (4.8) на
практике используют
для эксперименталь-
ного определения до-
бротности контура.
Однако необходимо
помнить, что получа-
емые с помощью её
значения могут отли-
чаться от значений,
вычисляемых по фор-
муле (4.3). Величина
расхождений наиболее
существенна для кон-
туров с малой доброт-
ность (≤10). Тем не менее, в радиотехнике, где обычно имеют
дело с
контурами большой добротности ≥ 10
2
, формула (4.8) часто используется
для взаимного определения полосы пропускания и добротности.
Согласно формулам (4.3) и (4.8) полоса пропускания определяется
выражением
ρ
ω
ω
R=Δ
0
. Следовательно, увеличение, как
сопротивления потерь контура, так и внутреннего сопротивления
источника напряжения расширяет полосу пропускания контура. Поэтому
во избежание ухудшения параметров последовательные резонансные
контуры используют с источниками, у которых активное внутреннее
сопротивление много меньше активного сопротивления контура.
Разность фаз (
ψ
ψ
−
1
) между током и приложенным к контуру
напряжением равна нулю при частоте
0
ω
ω
=
. Поэтому частота
ω
0
является ещё и резонансной, т. е
р
ω
ω
=
0
. Обычно говорят, что ток и
напряжение в цепи при резонансе находятся в фазе. Именно это условие в
электронике является основным для определения резонансных частот.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
00,511,52
ω/ω
o
I/I
mo
Q=2,5
Q=5
Q=10
Q=25
Q=50
Рис. 4.2
79
Математически для последовательного колебательного контура оно
соответствует требованию равенства нулю реактивной (мнимой) части
полного комплексного сопротивления
0)(Im
=
р
Z
ω
(4.9)
Для простого последовательного колебательного контура, изобра-
женного на рис. 4.1, условие (4.9) дает
LC
р
1=
ω
и обеспечивает
минимальное значение модуля его комплексного сопротивления. На этой
резонансной частоте модули напряжений на емкости и на индуктивности
равны и находятся в противофазе (имеют разные знаки):
EjQejQECjIU
j
mC
&&&
−=−==
ψ
ω
0
, .
0
EjQejQEILjU
j
mL
&&&
===
ψ
ω
Поэтому о резонансе в последовательном контуре принято говорить как о
резонансе напряжений. Векторная диаграмма на рис. 4.3 наглядно иллю-
стрирует это состояние
контура.
При резонансной час-
тоте
р
ω
напряжение на
резисторе имеет макси-
мальное значение равное
приложенному напря-
жению (
m
E ). Тогда как
на конденсаторе и индук-
тивности не смотря на то,
что напряжения в
Q раз
больше приложенного,
тем не менее они не явля-
ются максимальными.
Максимальная амплитуда
0
1
2
3
4
5
6
00,511,52
ω/ω
o
U
c
/E
Q=1,
Q=1,5
Q=2,5
Q=5,
а)
0
1
2
3
4
5
6
00,511,52
ω/ω
o
UL/E
Q=1,
Q=1,5
Q=2,5
Q=5,
б)
Рис. 4.4
U
R
=RI
U
C
I
U
L
+j
+
Рис. 4.3
80
напряжения на емкости достигается при
2
0
211 Q
C
−=
ωω
, а на
индуктивности – при
2
0
211 Q
L
−=
ωω
, в чем можно убедиться
приравниванием нулю производных от модуля напряжений
ZC
E
d
d
U
d
d
m
C
ωωω
=
&
и
Z
LE
d
d
U
d
d
m
L
ω
ωω
=
&
. На рис. 4.4 приведены
амплитудно-частотные характеристики напряжений на емкости (а) и
индуктивности (б) при различных значениях добротности.
Для контуров с большой добротностью, которые обычно
используются на практике, различий между
ω
C
,
ω
L
и
ω
0
или
ω
р
практически нет. С этим, по-видимому, связана практическая причина
определения резонанса в электрических цепях не по нахождению
экстремальных значений параметров, а по отсутствию сдвига фаз
между напряжением и током контура, когда комплексное
сопротивление цепи становиться чисто вещественным.
Свободные (собственные) колебания. Физический метод
определения параметров колебательного контура. Собственные
колебания в
последовательном контуре возникают в отсутствии
принуждающего переменного напряжения. Например, в случае, когда
заряженная емкость разряжается через последовательное соединение
емкости с резистором. Ток контура определяется интегро-дифферен-
циальным уравнением, вытекающим их второго закона Кирхгофа
0)0(
1
0
=+++
∫
c
t
uidt
C
Ri
dt
di
L , (4.10)
где
)0(
C
u
– напряжение на конденсаторе в начальный момент времени
(t = 0). Уравнение (4.10) дифференцированием по времени сводиться к
однородному дифференциальному уравнению второго порядка решение,
которого
tptp
eIeIti
21
21
)( +=
, (4.11)
где
2
0
2
2
2
0
2
2
2,1
1
2
1
4
2
ωδδ
ρ
ω
−±−=−±−=
=−±−=
R
L
R
LC
L
R
L
R
p
(4.12)