Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории
Подождите немного. Документ загружается.
101
последовательного контура (рис. 4.1) или обратно пропорциональна
добротности (
ρ
1
R ) простого параллельного контура (рис. 4.5). На
рис. 4.16 для иллюстрации приведены АЧХ токов в зависимости от
Q .
Характер изменений в АЧХ хорошо согласуется с представлениями о
зависимости ширины экстремумов от величины добротности. Для
последовательных резонансов увеличение добротности (
1
RQ
ρ
=
)
вызывает сужение экстремумов, тогда как для параллельных резонансов
увеличение
1
R
ρ
будет вызывать расширение экстремумов.
Особенность
АЧХ тока во втором
связанном контуре
используют для со-
здания широкопо-
лосных фильтров и
фильтров высокой
избирательности.
Действительно, вы-
бирая
1
≈
kQ и уве-
личивая коэффи-
циент связи можно в
принципе создать
фильтр с широкой
полосой пропуска-
ния. Однако при
этом потребуется
уменьшить
Q , что
увеличит либо поте-
ри, либо затруднит
снятие выходного
сигнала со второго
контура. Увеличить
же
Q невозможно
из-за появления в
АХЧ провала нару-
шающего пропуска-
ние в желаемом диа-
пазоне частот. Эти трудности являются основными при создании
широкополосных фильтров на связанных контурах с пассивными эле-
Ё
Рис. 4.16. Амплитудно-частотные характеристики
токов в связанных контурах: а) ток первого кон-
тура; б) ток второго контура. k = 10, R
1
=100 Oм,
Кривые: 1 – Q = 5; 2 – Q = 25; 1 – Q = 250;
Ι
1
(a)
ω
,
c
-1
Ι
2
(б)
ω
,
c
-1
102
ментами. Преодоление их требует численного моделирования с исполь-
зованием в фильтре большого количества связанных контуров.
Фильтры со связанными контурами широко применяются и для со-
здания узкополосных фильтров с малыми потерями величины сигнала.
Это связано с тем, что при той же самой ширине полосы амплитуда изме-
нений сигнала в экстремуме у
связанного контура значительно больше,
чем у простого контура имеющего ту же ширину спектра. Например,
рассматриваемый связанный контур может обеспечить сигнал в
kQ раз
больший, чем в аналогичном простом последовательном контуре.
В настоящее время, с развитием микроэлектроники широкое
распространение получили фильтры с использованием операционных
усилителей (активные фильтры). В таких фильтрах индуктивности могут
заменяться схемами, применяющими только конденсаторы. Это
значительно упрощает технологию их изготовления особенно для
фильтров низкочастотного диапазона.
Наличие сопротивления во втором контуре
приводит к значительным
усложнениям анализа формы амплитудно-частотных характеристик. Для
облегчения решения имеющихся в сборнике задач ниже приводятся АЧХ
тока во втором контуре для случая:
RRR
=
=
21
,
CCC =
=
21
,
LLL ==
21
.
).()()(
1
1
1
1
)1()1(
1
)1()1(
22
22222222
22222222
2
ωωω
ω
ω
FIF
xQ
R
E
xQnxQn
R
M
R
E
XR
M
nXnR
E
I
m
m
=
+
=
=
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−++
=
=
+−++
=
(4.52)
В формуле (4.51) использованы следующие обозначения:
x
C
L
X
ρ
ω
ω
ω
ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
0
0
;
22
22
22
1
1
xQ
R
M
XR
M
n
+
=
+
=
ωω
; )(
ω
m
I –
спектральная зависимость амплитуды тока простого последовательного
контура (4.2); функция
)(
ω
F является множителем, заключенным в
квадратные скобки. Функция
)(
ω
F , в знаменателе которой стоит модуль
входного сопротивления связанного контура, определяет все отличия
АЧХ тока связанного контура от АЧХ тока простого контура.
103
Задачи
1. Найти: 1) сопротивление X
L
при котором цепь будет находиться в
состоянии резонанса (остальные параметры считать известными);
2) соотношение между сопротивлениями X
С
и R, при котором данный
контур не может быть настроен в резонанс путем изменения X
L
.
2. Для контура задачи 1 найти: 1) резонансную частоту;
2) добротность контура и декремент затухания тока при условии
1
R
C
L
<< ; 3) токи во всех ветвях на резонансной частоте. Установить,
при каком соотношении между R
1
, L и C резонанс в цепи не может
возникнуть.
3. При каком соотношении R
1
, R
2
, L и C цепь находится в состоянии
резонанса, независящем от частоты.
4. В последовательном контуре с помощью вольтметра с бесконечно
большим сопротивлением определили добротность контура. Она
оказалась равной 100. Какое напряжение на емкости измерит вольтметр с
внутренним сопротивлением 10 Ом. Активное сопротивление контура
равно 10 Ом. На вход контура в обоих случаях подается
напряжение
одной и той же амплитудой 1 В и частотой. При данной частоте в первом
случае наблюдается резонанс.
5. Амплитуда напряжения, снимаемого с емкости
последовательного контура, равна 60 В, а амплитуда ЭДС генератора
равна 0,4 В. Контур находится в резонансе с частотой 500 кГц и имеет
активное сопротивление 4 Ом. Определить индуктивность и емкость
контура, амплитуду
тока и напряжения на всех элементах. Построить
качественно АЧХ напряжения на сопротивлении и напряжения
снимаемого с участка ветви, содержащего емкость и индуктивность
E
R
С
R
1
L
L
R
2
R
1
C
E
Рис. к задаче 1 Рис. к задаче 3
104
6. В последовательном контуре произведено частичное
подключение нагрузки R
н
. Зная R, C, L
1
= (1-k)L, L
2
= kL
и считая
добротность контура без нагрузки Q >> 1, найти, добротность и выходное
напряжение при нагрузочном сопротивлении, обеспечивающем
максимальную потребляемую мощность.
7. Найти величины конденсаторов С
1
, С
2
, обеспечивающие
максимальную потребляемую мощность в нагрузке
R
н
= 10 кОм.
Положить
R = 10 Ом,
)(
21
CCL +=
ρ
= 1 кОм.
8. В последовательном контуре задачи 7 произведено частичное
подключение нагрузки R
н
. Зная R, C, X
C1
= (1-k)С, X
C2
= kС
и считая
добротность контура без нагрузки Q >> 1, найти, добротность и выходное
напряжение при нагрузочном сопротивлении, обеспечивающем
максимальную потребляемую мощность.
9. Цепь находиться в состоянии резонанса; действующие значения
напряжений:
40=E В,
30
=
L
U
В,
50
=
R
U
В. Мощность, потребляемая
цепью,
200
=
Р Вт. Найти: X
L
, X
С
и R. Можно ли решить задачу без
знания напряжения на индуктивности?
10. Какое будет установившееся напряжение на емкости, если
вначале конденсатор заряжен согласно рисунку до напряжения U, а ток
отсутствует. Диод считать идеальным: в прямом направлении его
сопротивление равно нулю, а в обратном – бесконечности.
11. Найти установившееся напряжение на емкости, при включении в
контур постоянного источника ЭДС. В начальный момент конденсатор
заряжен до напряжения U, а ток отсутствует. Сколько тепла выделиться в
контуре. Рассмотреть случаи: 1) (приведен на рисунке) U > 0; 2) U < 0 а)
E > U, б) E < U.Обсудить результаты при больших и малых значениях R.
Диод считать идеальным.
E
L
1
L
2
R
H
R
C
E
C
1
C
2
R
H
R
L
Рис. к задаче 6 Рис. к задаче 7
105
12. Простой параллельный колебательный контур питается
генератором напряжения на резонансной частоте. Найти: 1) резонансную
частоту; 2) добротность контура; 3) сопротивление контура и токи во всех
ветвях на резонансной частоте, 4) декремент затухания тока. Считать
параметры элементов известными. Построить амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) тока генератора и напряжения на емкости.
13. Считая параметры элементов известными, найти
1) резонансную
частоту и сопротивление контура при резонансе; 2)установить, при каком
соотношении между R
1
, L и C резонанс в цепи не может возникнуть;
3) определить добротность контура.
14. Цепь находится в состоянии резонанса. Даны действующие
значения токов I
1
и I. Найти действующий ток в индуктивности (I
2
).
15. Цепь находится в резонансе. По заданным
)sin(
ϕ
ω
−
=
tEE
, R
1
и
R
2
определить: L; мгновенные токи i
E
(t), i
С
(t), i
L
(t); потребляемую
мощность. Показать, что при резонансной частоте средняя энергия
конденсатора равна средней энергии индуктивности. Численные расчеты
провести для X
С
= 2 Oм, R
1
= R
2
= 1 Oм, E = 24√2 В, ω = 2·10
3
Гц,
φ = 0,25π.
E
L
R
C
L
D
C
L
D
E
R
C
Рис. к задаче 9 Рис. к задаче 10 Рис. к задаче 11
R
L
C
E
C
L
R
2
R
1
Рис. к задаче 12 Рис. к задаче 13
106
16. Для схемы, находящейся в резонансе при частоте ω, потребляемая
мощность равна P, амплитуда тока в емкости равна I
C
, а амплитуда тока в
индуктивности – I
L
. Сопротивление R
1
= R
2
= R. Показать, что при
резонансной частоте средняя энергия конденсатора равна средней энергии
индуктивности. Найти: R, L, C, E, I
E
. Численные расчеты провести для
I
C
= 4 А, I
L
= 3 А, P = 100 Вт, ω = 5·10
3
Гц.
17. Цепь находиться в состоянии резонанса. Мощность потребляемая
цепью 80 Вт, действующие значения тока в индуктивности равно 4 А, а в
емкости равно 5 А. Найти: X
С
, X
L
и R.
18. Рассчитать параметры и резонансное сопротивление
параллельного контура, если известно, что частота (f) параллельного
резонанса равна 700 Гц, добротность равна 150, а сопротивление
резистора контура равно 4 Ом.
19. Параллельный контур, имеющий индуктивность 40 мкГн, емкость
100 пФ и сопротивление потерь R
2
= 7 Ом, подключен к генератору с
внутренним сопротивлением R
1
= 200 кОм. Определить полосу
пропускания контура. Каким активным сопротивлением надо
зашунтировать контур, чтобы увеличить полосу пропускания в три раза.
20. Контур с емкостью 200 пФ и сопротивлением потерь 7 Ом
питается генератором с амплитудой ЭДС 300 В и внутренним
сопротивлением 40 кОм. При резонансе амплитуда напряжения на
R C
L
I
1
I
2
I
R
1
R
2
X
C
X
L
E
Рис. к задаче 14 Рис. к задаче 15
R
1
R
2
L
C
E
R
L
C
E
Рис. к задаче 16 Рис. к задаче 17
107
контуре 120 В. Определить индуктивность и добротность контура, токи в
контуре и генераторе.
21. Цепь находиться в состоянии резонанса. Действующие значения
ЭДС равно 50 В, частота – 150 Гц, R
1
= 8 Ом, R
2
= 5 Ом, X
L
= 6 Ом. Найти:
С, ток генератора.
22. Цепь находиться в состоянии резонанса. Найти показания
амперметра.
23. В задаче 21 замените амперметр на вольтметр и найдите его
показания, полагая наличие резонанса.
24. Найти резонансные частоты контура, считая малым
сопротивление R. Какая ширина амплитудно-частотной характеристики
(АЧХ) тока контура в области параллельного резонанса. Построить
частотную характеристику сопротивления контура при R = 0.
25. Определить амплитуды ЭДС и тока генератора, питающего
контур, если известно, что внутреннее сопротивление генератора
R
0
= 2 кОм, амплитуда тока в контуре 1 А. Контур находиться в резонансе.
Параметры контура: L
1
= 10 мкГн, L
2
= 20 мкГн, C = 250 пФ, R
1
= 2,5 Ом,
R
2
= 3,5 Ом.
26. Параллельный контур в задаче 24 без учета внутреннего
сопротивления источника (R
0
), имеет на резонансной частоте 1 МГц
R
1
R
2
L
C
E
R
1
L
C
E
R
2
Рис. к задаче 19 Рис. к задаче 21
R
R
L
E
R
C
A
C
1
C
2
L
R
Рис. к задаче 22 Рис. к задаче 24
108
сопротивление 25 кОм. Емкость контура равна 250 пФ, логарифмический
декремент затухания (без учета R
0
) равен 0,008. Определить
индуктивность ветвей и сопротивление потерь контура. Построить
качественно АЧХ тока генератора и напряжения на контуре, пренебрегая
сопротивлениями потерь контура. Как влияет на вид АЧХ внутреннее
сопротивление генератора.
27. Параллельный контур имеет резонансную длину волны 40 м при
параметрах: L
1
= 9 мкГн, L
2
= 7 мкГн, C
1
= 90 пФ, R
1
= 2 Ом, добротность
контура (без учета сопротивления генератора R
0
) 90. Определить: C
2
, R
2
и
резонансное сопротивление контура. Построить качественно АЧХ тока
генератора и напряжения на контуре, пренебрегая сопротивлениями
потерь контура. Как влияет на вид АЧХ тока внутреннее сопротивление
генератора.
28. Колебательный контур имеет полную индуктивность 150 мкГн,
емкость 600 пФ, сопротивление потерь 10 Ом. Определить, как
необходимо распределить индуктивность контура между ветвями (L
1
, L
2
),
чтобы его резонансное сопротивление стало равным 10 кОм.
29. Контур задачи 24 настроений на основную частоту
16
108,3
−
⋅= c
ω
, должен иметь сопротивление 10 кОм при сопротивлении
R
0
R
1
L
2
E
R
2
L
1
C
R
0
R
1
L
2
E
R
2
L
1
C
2
C
1
Рис. к задаче 25 Рис. к задаче 27
L
1
L
2
C
R
R
L
1
C L
2
E
Рис. к задаче 28 Рис. к задаче 30
109
потерь 5 Ом. Найти все параметры контура при условии, что контур
предназначен для подавления второй гармоники.
30.
На схеме параметры равны: E = 50 B, R = 25 Ом, L
1
= 2 мГн,
L
2
= 0,4 мГн, С = 1мкФ. Найти: 1) резонансные частоты, 2) токи во всех
ветвях при резонансных частотах. Показать для резонансных частот, что
максимальные значения энергий магнитного и электрического поля равны
между собой. Построить качественно частотную характеристику
напряжения на резисторе. Как она будет меняться с изменением величины
его сопротивления.
31.
Определите коли-
чество резонансов в
контуре и постройте
качественно АЧХ напря-
жения на резисторе (R).
Сделайте построения для
двух значений R. (R
1
> R
2
).
Объясните полученный
результат.
32. Определите коли-
чество резонансов в
контуре и постройте
качественно АЧХ на-
пряжения на контуре.
Сделайте построения
для двух значений
внутреннего сопротив-
ления генератора R.
(R
1
> R
2
). Объясните
полученный результат.
С
1
L
1
C
2
L
2
E
R
C
2
L
1
C
1
L
2
E
R
C
2
Рис. к задаче 31 Рис. к задаче 32
С
1
L
1
C
2
L
2
E
R
Рис. к задаче 33
C
2
E
1
C
1
R
L
1
I
01
L
2
М
Рис. к задаче 34
110
33.
Определите количество резонансов в контуре и постройте
качественно АЧХ напряжения на резисторе (R). Сделайте построения для
R > ρ, R < ρ и R = ρ, C
1
= C
2
= C, L
1
= L
2
= L.
34.
При какой частоте работы источников ток в резисторе не зависит
от его сопротивления.
35.
Мгновенная мощность, развиваемая источником тока
)602cos(2020)(
0
++= ttp
ω
Вт. Мгновенная мощность в
индуктивности
)602sin(200)(
0
+= ttp
L
ω
Вт. Максимальная амплитуда
тока в емкости равна 20 А. Найти: R, амплитуду тока источника и его
фазу.
36.
Источник тока имеет I = 3 А и работает либо на частоте ω, либо
на частоте 0,5ω. Сопротивление емкости на частоте ω равно 4 Ом. Полная
комплексная мощность, развиваемая источником на частоте ω S = 12 Вт, а
на частоте 0,5ω S = 18 Вт. Найти: R
1
, R
2
и сопротивления индуктивностей
при частоте ω.
37.
ЭДС источника напряжения )sin(3)sin(21
21
ttE
ω
ω
+
+
=
[В],
R
1
= 2R
2
. Полагая известной величину индуктивности, найти C
1
и C
2
,
если напряжение на сопротивлении R
2
равно )sin(
2
t
ω
[В].
38.
ЭДС источника напряжения
)3sin(10)sin(1525 ttE
ω
ω
+
+
=
[В],
R = 20 Ом,
1
100
−
= c
ω
. Сопротивление реактивных элементов на первой
гармонике:
1
L
X = 6 Ом,
2
L
X = 1 Ом,
1
C
X = 6 Ом,
2
C
X = 9 Ом.
Определить показание приборов электромагнитной системы.
39.
В цепи катушки индуктивности включены встречно, E = 120 B,
f = 0,5 кГц, R
1
= 6 Ом, R
2
= 8 Ом, L
1
= L
2
= 15 мГн, М = 5 мГн. При каком
значении емкости С цепь будет находиться в состоянии резонанса
(напряжение и ток источника не сдвинуты по фазе)? Найти резонансный
ток и потребляемою мощность.
R
X
2
С
I
01
М
R
1
L
1
L
2
I
01
C
R
2
М
Рис. к задаче 35 Рис. к задаче 36