Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории
Подождите немного. Документ загружается.
161
сти имеет дельтообразную зависимость, затем станет равным значению до
коммутации. В отсутствии конденсатора задача аналогична задаче 1.
4. 1) Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях не изменяться.
Ток в емкости C
3
скачком станет равным току в
3
L , а в емкости C
1
равным
разности токов в индуктивностях
1
L и
2
L . Ток источника станет равным
току в
2
L . 2) Токи в индуктивностях не изменяться. Напряжения на емко-
стях станут равными:
)0()]0()0([)0(
121
21
1
21
2
−
+
−−+
+
=+
CCC
u
CC
C
ue
CC
C
u ,
)0(
)(
)2(
)0(
2
)0()0(
122
212
11
21
21
21
1
−
+
+
−−
+
+
+
+
=+
CCC
u
CCC
CCC
u
CC
CC
e
CC
C
u
. Знаки
напряжений на емкостях до коммутации выбраны в соответствии с указан-
ными полярностями зарядов. В отсутствии конденсатора
1
C задача анало-
гична задаче 3. В отсутствии двух конденсаторов случай замыкания ключа
аналогичен задаче 1. При замыкании же ключа пробой в ключе не позво-
лит однозначно определить начальные условия.
5. В первый момент времени напряжение на R
2
равно нулю и не зави-
сит от его величины.
1)
)1(
3
1
)(
3
2
t
L
R
R
eEtu
−
−=
,
t
L
R
e
E
tu
L
3
1
2
)(
−
−= ; )1(
6
1
2
)(
3
1
−+=
− t
L
R
eE
R
E
ti
L
2)
]cossin3[
9
)(
3
222
2
tLtRLe
L
R
ER
tu
t
L
R
R
ωωωω
ω
−+
+
=
−
,
,)0(]sin4cos)3[(
))(9(
)(2)9(2
3
)(
1
1
222
222222
222
3
222
t
L
R
L
t
L
R
t
L
R
L
eRitLRtLRE
LRLR
LR
Ee
LR
LR
Ee
LR
LR
tu
−
−−
−+−
++
+
+
+
+
+
=
ωωωω
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
где
ψ
ω
sin
2
)0(
222
1
LR
E
i
L
+
=
,
R
L
tg
ω
ψ
= .
6. 1)
)1()(
1
1
21
2
1
t
L
R
L
e
RR
R
R
E
ti
−
+
−=
, ))(
2
2
2
21
t
L
R
L
e
RR
E
ti
−
+
=
,
)()()(
21
tititi
LLK
−= ,
162
2)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
=
+
+
− t
LL
RR
e
LLR
RLRL
RR
E
ti
21
21
)(
1
)(
)(
211
1221
21
.
При
0
2
=R
: 1)
1
)(
1
R
E
ti
L
= ,
1
)(
2
R
E
ti
L
= ,
0)(
=
ti
K
;
2)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−=
+
− t
LL
R
e
LL
L
R
E
ti
21
1
)(2
1)(
21
2
1
.
7.
)(
2
21
2
2
1
2
1
LL
L
R
EL
Q
+
=
Эта энергия меньше начальной энергии в ин-
дуктивности L
1
на оставшуюся энергию в индуктивностях.
]
)(
exp[)(
21
212
1
2
t
LL
LLR
R
E
ti
R
+
−=
,
}1]
)(
{exp[)(
21
212
21
1
1
1
+
+
−
+
= t
LL
LLR
LL
L
R
E
ti
L
,
]}
)(
exp[1{)(
21
212
2
1
21
1
1
2
t
LL
LLR
L
L
LL
L
R
E
ti
L
+
−−
+
=
.
8.
)(2
)(
21
2
1221
CC
EECC
Q
+
−
=
,
)(
)(
21
12221
2
CC
EEECC
A
E
+
−
=
,
21
2211
1
CC
ECEC
u
C
+
+
=
,
21
121
)(
2
CC
EEC
u
C
+
−
=
, )exp()(
221
21
2
21
2
t
RCC
CC
R
EE
ti
R
+
−
−
=
.
9.
)(2
)(
21
2
1221
21
2
1
CC
EECC
RR
R
Q
+
−
+
=
,
)(2
)(
21
2
1221
21
1
2
CC
EECC
RR
R
Q
+
−
+
=
.
10. , Вся рассеянная энергия:
2
2
1
CEQ =
, энергия перешедшая в тепло:
2
108
25
CEQ =
.
11. Для
ρ
2>R :
22
)(
2
0
2
LiUEC
Q +
−
=
,
163
)()
2
()(
2121
21
210
2
21
21
ττττ
ττ
ττ
τ
ττ
ττ
tttt
C
ee
i
eeUtu
−−−−
+
+
−−
+
+
= ,
1)2(
2
1
2
0
1
−−=
ρω
τ
R
L
R
,
1)2(
2
1
2
0
2
−+=
ρω
τ
R
L
R
, LC1
0
=
ω
,
CL=
ρ
;
для
ρ
2
2
<R
:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−
−
−−
=
−
)2cos()1(
)(sin2
)(
0
2
0
22
0
2
23
0
2
2
0
1
ψϕτωωτωτ
ϕψωτ
τ
t
e
L
RiUE
Q ,
где
R
L2
=
τ
,
τ
ω
ψ
1
=tg ,
2
201
)2(1
ρωω
R−= ,
1
1
ω
ϕπ
−
=t
,
φ − главное значение
01
0
2
2
Li
RiE
ctg
ω
ϕ
−
=
,
Ue
RiUE
tu
t
C
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
−
−−
=
−
)]sin(
)(sin
)(
0
1
2
0
ψϕ
ω
ω
ϕψ
τ
при
1
tt
≤
.
12. 1) При
0
1
≠R , 0
2
=
R
C
qiLiL
Q
222
2
2
22
2
11
++= ;
При
0
1
=R , 0
2
≠R
C
q
LL
iiLL
Q
2)(2
)(
2
21
2
2121
+
+
+
= ,
2)
)sin(
sin
)(
0
21
221
21
2211
1
ϕω
ϕ
+
+
+
+
+
−
= t
LL
Lii
LL
iLiL
ii
L
,
)sin(
sin
)(
0
21
121
21
1122
2
ϕω
ϕ
+
+
+
+
+
−
= t
LL
Lii
LL
iLiL
ii
L
направление токов соот-
ветствует начальным значениям, где
CLL
LL
21
21
0
+
=
ω
,
21
0
ii
q
ctg
+
−=
ω
ϕ
;
C
q
LL
iiCLL
W
кол
2)(2
)(
2
21
2121
+
+
+
= ;
164
13. 1) Для
2
ρ
>R ])1
4
4
(1[)(
1
2
2
2
0
τ
ρ
τω
τ
t
she
R
R
E
ti
t
R
−
−−= ,
1
2
2
2
0
)1
4
4
()(
τ
ρ
τω
τ
t
she
R
tu
t
C
−
−= , где LC1
0
=
ω
,
CL=
ρ
,
RC=
τ
,
1
4
1
2
2
01
−=
R
ρ
ωτ
;
для
2
ρ
>R
)]sin(
1
1[)(
1
2
1
ψω
τω
τ
+−=
−
te
R
E
ti
t
R
при
1
0 tt
≤
≤
,
]})
2
(exp[
1
1{)(
1
0
t
L
R
t
L
RL
R
E
ti
R
−−−−=
ττω
при
1
tt ≥ ,
)]sin()(
1
2
1
ψω
τω
τ
+=
−
te
E
tu
t
C
при
1
0 tt
≤
≤
,
τ
τω
2
0
)(
t
C
e
E
tu
−
=
при
1
tt ≥ ,
2
2
01
4
1
R
ρ
ωω
−= ,
1
1
2
2
ω
ψπ
−
=t
,
1
2
1
τω
ψ
=tg ; 2) )1()(
t
L
R
R
e
R
E
ti
−
−= ,
0)( =tu
C
14.
)
2
arcsin(2
LC
ω
ϕ
= ,
ϕ
ω
l
V =
при
LC
2
<
ω
;
LC
l
V =
при
LC
1
<<
ω
.
15.
[]
)sin(1)(
)(
sin
)(
2
1
212
1
ϕωϕωτ
ϕ
τ
++−−
+
=
−
−
t
R
E
ectgt
RRR
ER
ti
t
;
2
2
R
L
=
τ
.
16. 1) при
2
ρ
>R , ( CL=
ρ
, LC1
0
=
ω
)
21
)()2[(
)(
)(
122112
12
ττ
ττττττ
ττ
tt
C
eRCeRCRC
RC
E
Etu
−−
−+−−
−
−= ,
165
где
2
0
1
4
1
2
11
ω
τ
−+−=
RCRC
,
2
0
2
4
1
2
11
ω
τ
−−−=
RCRC
, Eu
C
=
max
;
при
2
ρ
<R )sin(1)(
1
2
1
2
ϕωωτ
τ
+−+=
−
teEEtu
t
C
, где RC2=
τ
,
1
τω
ϕ
−=tg
,
ττωω
22
01
1−= ,
)
2
2
exp(1
1
2
1
2
max
τω
ϕπ
ωτ
−
−−+= EEu
C
;
при
2
ρ
=R
τ
τ
t
C
e
t
EEtu
−
−−= )1()( , где
RC2
=
τ
,
)2exp(
max
−
+
= EEu
C
; 2) при
ρ
>>R резонансная частота равна ω
0
,
)]1)(sin(1[)(
0
τ
ω
ρ
t
C
et
R
Etu
−
−−≅
,
)]}
4
exp(1[1{
max
R
R
Eu
C
πρ
ρ
−−−=
.
17. Решение аналогично задаче 15. Целесообразно использовать метод
узловых потенциалов.
18.
)22510cos(424,05,0)(
310
3
1
o
−+=
−
teti
t
R
, [А],
)31510cos(424,05,0)(
310
3
3
o
−+=
−
teti
t
R
, [А],
19.
8)105,3sin(107,1)(
74005
−⋅⋅=
−−
teti
t
L
, [А],
)105,3cos(4)105,3sin(102,6)(
740074005
teteti
tt
C
⋅+⋅⋅=
−−−
, [А],
8)105,3cos(4)105,3sin(105,4)(
740074005
+⋅+⋅⋅=
−−−
teteti
tt
C
, [А].
20.
++−
+
≅
−−
−
te
R
R
Ete
R
R
Etu
tt
C
ωω
ωτ
ω
ττ
cos)cos1()(
1
2
2
0
2
2
0
1
2
te
L
LR
R
R
CR
E
t
ω
τω
τ
ω
τ
sin)](
2
[
0
2
1
2
10
−
−
−+
, где LC1
0
=
ω
,
CRL
R
1
2
2
1
2
1
−=
τ
.
21.
)sin(
sin
sin
)[sin()(
00
2
21
2
ψω
ψ
ϕ
ϕω
ρ
τ
+−+
+
≅
−
tet
RR
ER
ti
t
, где
0012
0
2
21
1
]
)1)((
1[
τωωρ
ρωρ
ϕψ
+
−+
+=
CRR
CRR
ctgctg ,
CRL
R
1
2
2
1
2
1
−=
τ
,
LC1
0
=
ω
.
166
22.
])sin()[sin(
)(
)(
1
2
21
2
1
2
τ
ψϕψϕω
ω
t
et
LLR
E
ti
−
−−−+
++
= ,
−−−−+
++
=
−
τ
ψϕψϕω
ω
t
et
LLR
E
ti )]sin()[sin(
)(
)(
2
2
21
2
2
2
]cos
)(
212
ϕ
ω
τ
t
e
LL
E
−
+
−
, где
21
21
1
LCL
LL +
=
ω
,
2
2
1
CL
=
ω
,
21
LL
R
+
=
τ
,
R
LL
tg
)(
21
+
=
ω
ψ
.
23.
2
6,1
28
5
ππ
ω
ϕ
±≈±−=
CR
arctg т. е. включить, когда прину-
жденное напряжение равно нулю, а принужденный ток максимален. Мате-
матически это соответствует отсутствию свободного слагаемого напря-
жения на емкости.
24.
4,1≈=
R
L
arctg
ω
ϕ
при включении и отключении принужденный
ток должен быть равен нулю.
25.
)2(
RC
t
C
e
RC
t
R
E
i
−
−=
. При решении задач 25-29 целесообразно
использовать метод узловых потенциалов или метод эквивалентного гене-
ратора.
26.
RC
t
C
RC
t
L
RC
t
C
e
RC
t
ue
C
ti
e
RC
t
Eu
111
)1)((
)(
])1(1[
111
−−−
−+++−=
τ
τ
, где
τ
−= tt
1
, t − время от первой коммутации, )1()(
RC
L
e
RCR
E
i
τ
τ
τ
−
+= ,
])1(1[)(
RC
C
e
RC
Eu
τ
τ
τ
−
−−=
.
27.
Etutu
C
+
+
= )sin()(
00
ψ
ω
, где время от второй коммутации,
LC1
0
=
ω
,
ψ
τ
cos
)(
0
L
Ri
u =
,
)(
)(
τ
τ
ψ
L
C
Ri
Eu
tg
−
=
, )1()(
RC
L
e
RCR
E
i
τ
τ
τ
−
−=
])1(1[)(
RC
C
e
RC
Eu
τ
τ
τ
−
−−=
.
167
28.
])
2
1(1[)(
RC
t
L
e
RC
t
ti
−
+−= .
29.
)sin()(
00
ψ
ω
+= tutu
L
, где время от второй коммутации,
LC1
0
=
ω
,
ψ
τ
cos
)(
0
L
Ri
u =
,
)(
)(
τ
τ
ψ
L
C
Ri
Eu
tg
−
=
,
])
2
1(1[)(
RC
L
e
RCR
E
i
τ
τ
τ
−
+−=
,
])1(
2
)(
RC
C
e
RC
E
u
τ
τ
τ
−
−=
.
30. При 0 ≤ t ≤ t
0
)cos1()(
00
tIti
L
ω
−
=
, tIti
C 00
cos)(
ω
=
,
tICLtu
L 00
sin)(
ω
=
;
при t ≥ t
0
))(sin(
))(()(
)()(
00
0
2
000
2
αω
ω
ω
+−
+
=−= tt
L
tLitu
titi
LC
CL
,
))(cos())(()()(
00
2
000
2
αωω
+−+= tttLitutu
LCC
, где LC1
0
=
ω
,
)(
)(
0
00
tu
tLi
tg
C
L
ω
α
= . Численный случай при 2
0
Tt
=
. tti
L
cos1)( −
=
,
tti
C
cos)( =
,
ttu
L
sin)( =
при 0 ≤ t ≤ π, )
2
3
sin(2)()(
π
−=−= ttiti
CL
,
)
2
3
cos(2)(
π
−= ttu
C
.
31. При положительных амплитудах приложенного напряжения
(0 ≤ t≤ T
1
)
1
2
12
1
12
]1
2
2
)[()(
2
Uee
TT
sh
T
sh
UUtu
t
T
C
+−
+
+=
−−
ττ
τ
τ
;
при отрицательных амплитудах приложенного напряжения (Т
1
≤ t≤ T
2
)
2
12
1
2
2
12
2
2
)()(
21
Ue
TT
sh
T
sh
eUUtu
t
TT
C
−
+
+=
−
+
ττ
τ
τ
, где RC
=
τ
.
32. При положительных амплитудах приложенного напряжения
(0 ≤ t≤ T
1
)
168
1
2
12
1
12
2
1
]1
2
2
)[(
2
1
)(
2
Uee
TT
sh
T
sh
UUtu
t
T
C
+−
+
+=
−−
ττ
τ
τ
;
при отрицательных амплитудах приложенного напряжения (Т
1
≤ t≤ T
2
)
2
2
12
1
2
12
2
1
2
2
)(
2
1
)(
21
Ue
TT
sh
T
sh
eUUtu
t
TT
C
−
+
+=
−
+
ττ
τ
τ
, где RC
=
τ
. Частный
случай одних импульсов положительной полярности. При подаче импуль-
са (0 ≤ t≤ T
1
)
1
2
12
1
1
2
1
]1
2
2
[
2
1
)(
2
Uee
TT
sh
T
sh
Utu
tT
C
+−
+
=
−−
ττ
τ
τ
; в промежут-
ке между импульсами (Т
1
≤ t≤ T
2
)
ττ
τ
τ
tTT
C
e
TT
sh
T
sh
eUtu
2
12
1
2
1
2
2
2
1
)(
21
−
+
+
=
.
33.
RC
t
C
RC
t
at
e
R
u
ee
aRC
aCe
ti
−−
−
−−
−
=
)0(
)(
1
)(
0
,
RC
t
C
RC
t
at
C
euaRCee
aRC
e
etu
−−
−
+−
−
−= )0()(
1
)(
0
0
;
1)
)(2)(
200100 tt
eeti
−−
−= , )5,0(200100)(
200100 tt
C
eetu
−−
−−= ;
2)
)2(2)(
200100 tt
eeti
−−
−= , )(200100)(
200100 tt
C
eetu
−−
−−= .
34.
}])1(1[{
)1(
)(
12
12
2
121
2
12
at
RC
t
C
e
CR
t
CaRe
CaRR
CAR
tu
−
−
−+−
−
= ,
где
21
21
12
RR
RR
R
+
=
.
35.
2
3
=R
Ом,
12
1
=C
Ф, 1
=
L Гн.
36.
1
1
=
R
Ом,
1
2
=R
Ом,
1
3
=
R
Ом, 3
=
L Гн.
169
37.
)]exp(1[)exp()0()(
1
t
L
R
R
u
t
L
R
iti
в
в
в
LL
−−+−= , где
3412
RRR
в
+= ,
21
21
12
RR
RR
R
+
=
,
43
43
34
RR
RR
R
+
=
,
1124
12
)(
)0(
RRR
ER
i
L
+
=
,
))((
4321
1432
1
RRRR
RRRR
Eu
++
−
=
.
38.
)exp()0()]exp(1[)(
1
CR
t
u
LR
t
uti
в
C
в
L
−−−−= , где
3412
RRR
в
+
=
,
21
21
12
RR
RR
R
+
=
,
43
43
34
RR
RR
R
+
=
, E
RR
R
u
C
)(
)0(
43
4
+
=
,
))((
4321
1432
1
RRRR
RRRR
Eu
++
−
=
.
170
Библиографический список
1. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Ли-
нейные электрические цепи: М.: Энергия, 1970 (другие годы издания).
593 с.
2. Попов В. П. Основы теории цепей. М.: Высш. шк., 1998. 575 с.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электри-
ческие цепи. М.: Гардарики, 1999 (другие годы издания). 638 с.
4. Мищенко А
. М. Линейные электрические цепи: Учебное пособие.
Новосибирск: НГУ, 1999. 68 с.
5. Бычков Ю. А. и др. Основы теории электрических
цепей / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев. СПб.: Лань,
2002. 464 с.
6. Мищенко А. М. Лекции по электротехнике: Учебное пособие
Новосибирск: НГУ, 2003. 100 с.
7. Демирчян К. С., Нейман Л. Р
., Коровкин Н. В., Чечурин В. Л.
Теоретические основы электротехники. Т.1. СПб.: Питер, 2006, 463 с.
8. Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В., Чечурин В. Л.
Теоретические основы электротехники. Т.2. СПб.: Питер, 2006, 576 с.
9. Зайцев И. А., Лурье А. Г. Задачник по теоретическим основам
электротехники. М.: Госэнергоиздат. 1961.
10. Задачник по
теоретическим основам электротехники (теория
цепей) / Под ред. К. М. Поливанова. М.: Госэнергоиздат, 1962. 160 с.
11. Сборник задач по расчету электрических цепей / Под ред.
С. И. Куренева, М. И. Пинеса. М.: Высш. шк., 1967. 384 с.
12. Гольдин О. Е. Задачник по теории электрических цепей. М.:
Высш. шк., 1969.
13. Бирюков В. Н. и.др. Сборник
задач по теории
цепей. / В. Н. Бирюков, В. Н. Попов, К. М. Семенцев: Высш. шк., 1985.
14. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. и др.Сборник
задач и практикум по основам теории электрических цепей. СПб.: Питер,
2005, 304 с.