Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории
Подождите немного. Документ загружается.
131
методом. Начальные значения тока в индуктивности и напряжения на
конденсаторе, после замыкания ключа (независимые начальные условия)
были уже найдены ранее:
)(
2120
RRERu
+
=
, )(
210
RREi +
=
.
Проведем преобразование Лапласа для уравнения Кирхгофа (5.26) и
получим алгебраическое уравнение:
p
u
pI
pC
LippLIpRI
p
E
o
++−+= )(
1
)()(
0
. (5.51)
Решая уравнение (5.51) находим изображение тока:
)2(
)(
2
0
2
00
ωβ
++
−+
=
ppL
upLiE
pI
, (5.52)
где квадратный трехчлен в знаменателе соответствует характе-
ристическому уравнению в классическом способе. Поэтому полюсами
изображения тока являются корни характеристического уравнения. Взятие
обратного преобразования при тех же предположениях о корнях приводит
к тому же самому выражению для тока (5.33).
Таким образом, метод Лапласа позволил избежать нахождения
зависимых условий и постоянных интегрирования. Тогда
как решение
характеристического уравнения проводиться как в классическом методе,
так и при использовании преобразования Лапласа. Поэтому здесь также
могут возникнуть уравнения третьего и более порядка решение, которых в
аналитическом виде не всегда возможно. Такие ситуации не редки при
расчетах разветвленных цепей.
Пример 5. Расчет
переходных процессов
с использованием опе-
раторного метода.
Расчет проведем для
случая рассмотренно-
го в примере 3. Ис-
пользуя ранее найден-
ные независимые
начальные условия,
построим оператор-
ную схему (рис. 5.6) на основании схемы приведенной на рис. 5.5. На
схеме рис. 5.6 для краткости опущены знаки “+”.
Метод Кирхгофа. Используем сначала общий метод Кирхгофа. В
качестве независимых контуров выберем те же самых контуры, что и в
примере 3: первый контур содержит катушку индуктивности и
конденсатор, второй – катушку индуктивности и резистор
2
R
. Полученная
система для оригиналов состоит из алгебраических уравнений:
Рис.5.6
R
1
p
L
Li
1
(0)
I
2
(p)
I
3
(p)
pC
1
I
1
(p)
p
E
p
u
C
)0(
R
2
132
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
++=+
++=−+
).()()(
),()()()0(
,
)0(
)()(
)(
)0(
321
221111
111
3
1
pIpIpI
pIRppLIpIRLi
p
E
p
u
ppLIpIR
Cp
pI
Li
p
E
C
(5.53)
Решим эту систему относительно тока в сопротивлении R
1
])([
)0())0((
)(
2112
2
2
12
1
RRpLRCRpCLRp
LpiECpRuE
pI
C
++++
++−
=
. (5.54)
Квадратичный трехчлен в квадратных скобках является характе-
ристическим уравнением (5.40). Предположим, как и в примере 3, что
корни квадратичного трехчлена различны (
21
pp
≠
). Поэтому оригинал
тока
)(
1
pI имеет три не кратных полюса при
1
pp
=
,
2
pp
=
и 0=p .
Тогда согласно теории вычетов
.
)(
)0())0((
)(
)0())0((
])([Res)(
2
1
122
1222
211
1121
21
1
3
1
1
tp
C
tp
C
pt
k
e
ppp
iLpERCpuE
e
ppp
iLpERCpuE
RR
E
epIti
−
++−
+
+
−
++−
+
+
=
==
∑
=
(5.55)
Данное решение аналогично решению системы уравнений (5.34) с
использованием прямого применения к ней преобразования Лапласа.
Поэтому использование операторной схемы для решения таким способом
имеет преимущество лишь в своей наглядности. Продемонстрируем
эффективность операторного метода, применив для решения другие
метода расчета.
Метод узловых потенциалов. В схеме (рис. 5.6) всего два узла, поэтому
для расчетов
потребуется решить только одно уравнение. Пусть нижний
узел имеет нулевой потенциал, тогда потенциал верхнего узла
определяется уравнением
0
)(
1
)0()())0()((
21
1
=−
−
−
+
−−
R
pU
pC
pupU
pLR
LipUpE
C
. (5.56)
Это уравнение записано без эквивалентных преобразований
источников ЭДС в источники тока, т. е. прямым использованием законов
Ома для определения токов в ветвях. Знаки в уравнении (5.56)
133
расставлены согласно направлениям тока, указанным на рис. 5.6. Решение
уравнения (5.56):
])([
)]0()()0([
)(
2112
2
2
211
RRpLRCRpCLRp
RpCupLRpLiE
pU
C
++++
+++
=
. (5.57)
Зная оригинал потенциала U(p), можно найти оригиналы токов в любой
ветви. Так оригинал тока в сопротивлении R
1
pLR
LipUpE
pI
+
−−
=
1
1
1
))0()((
)(
. (5.58)
Это выражение путем алгебраических преобразований с учетом
равенства (5.57) можно преобразовать в равенство (5.54). Однако этого
можно не проводить, а вычислить вычеты прямо по уравнению (5.58).
Метод эквивалентного генератора. Если необходимо найти ток только
одной ветви, (например все в том же сопротивлении R
1
), то более удобно
использовать метод эквивалентного генератора.
Разорвем ветвь с R
1
и найдем напряжение холостого хода
))0()(()(
11
LipU
p
E
pU
xx
−−= , (5.59)
где
pCR
pu
RpU
C
1
)0(
)(
2
21
+
=
(5.60)
напряжение на сопротивлении R
2
, возникшее при разрыве ветви.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора определяется
параллельным соединением сопротивлений R
2
и 1/pC:
)1(
22
+
=
pCRRZ
вн
. (5.61)
Тогда искомый оригинал тока:
)(
)(
)(
1
1
pLRZ
pU
pI
вн
xx
++
=
(5.61)
Используя равенства (5.59), (5.60) и (5.61), получаем ту же самую
зависимость оригинала тока (5.54). Нахождение реального тока
)(
1
ti по
оригиналу находится обычным способом.
134
Задачи
1. В цепи известны
все сопротивления,
индуктивности и токи в
ветвях до коммутации.
Определить токи в
ветвях в первый момент
времени после
коммутации.
Рассмотреть два случая:
1) ключ К размыкается;
2) ключ К замыкается.
2.
В цепи известны все номиналы элементов. Найти напряжения на
емкостях сразу после: 1) замыкания ключа К; 2) размыкания ключа К. Как
изменится решение при изменении полярности заряда на конденсаторе С
3
?
3.
В цепи известны все
номиналы элементов,
напряжение на емкости и
ток в индуктивности L
1
до
коммутации. Рассмотреть
два случая 1) ключ К
размыкают; 2) ключ К
замыкают, определить на
-
пряжение на емкости и токи
в ветвях после коммута-
ции. Как изменятся токи в
ветвях при отсутствии в
цепи конденсатора?
4.
В цепи известны все номиналы элементов, напряжения на емкостях
и токи в индуктивностях до коммутации. Для двух случаев (ключ К
R
1
R
3
R
2
R
4
L
1
L
3
L
2
L
4
K
i
4
i
2
i
3
i
1
e(t)
Рис. к задаче 1
E
R
1
K
C
1
R
3
R
2
C
2
C
3
L
1
R
1
R
2
L
2
K
e(t)
C
Рис. к задаче 2 Рис. к задаче 3
L
1
R
1
L
2
L
3
R
2
R
3
C
2
K
e(t)
C
1
Рис. к задаче 4
135
размыкают, ключ К замыкают) определить напряжения на конденсаторах
и токи в индуктивностях сразу после коммутации. Расчеты повторить при
отсутствии конденсатора С
1
и при отсутствии конденсаторов С
1
и С
2
.
5.
В цепи известны все номиналы элементов. Найти напряжение на
резисторе R
2
после замыкания ключа при 0
=
t . Будет ли в первый момент
его величина зависеть от значения R
2
? Расчеты провести для двух случаев,
полагая
RRR ==
21
, LLL
=
=
21
: 1) Ete
=
)( В.; 2) tEte
ω
sin)(
=
[В].
Кроме этого найти так же напряжение на индуктивности
1
L , а для первого
случая и ток в резисторе
1
R .
6.
В цепи известны все номиналы элементов. Найти: 1) токи во всех
ветвях после замыкания ключа; 2) ток в цепи после размыкания ключа.
Рассмотреть случай когда
0
2
=
R
.
7.
В цепи известны все номиналы элементов. Сколько тепла
выделиться в цепи после переключения ключа из положения 1 в
положение 2? (Устройство ключа обеспечивает отсутствие в нем пробоя.
Как это можно осуществить?). Равна ли эта энергия запасенной энергии в
индуктивности L
1
. Найти токи во всех ветвях после замыкания ключа и
объясните полученный результат.
8. В цепи известны все номиналы элементов. Сколько энергии
рассеется в цепи после коммутации и какую работу совершит источник
L
1
R
1
R
3
L
2
K
e(t)
R
2
L
1
R
1
L
2
K
E
R
2
Рис. к задаче 5 Рис. к задаче 6
L
1
R
1
R
2
L
2
K
E
2 1
C
1
R
1
R
2
C
2
K
E
1
21
E
2
Рис. к задаче 7 Рис. к задаче 8
136
напряжения
2
E ? Найти установившиеся напряжения на емкостях.
Емкость
2
C до коммутации была не заряжена. Найти ток в сопротивлении
R
2
после переключения ключа из положения 1 в положение 2. Решите
задачу двумя способами: 1) используя законы сохранения заряда и
энергии; 2) используя найденную зависимость тока в сопротивлении R
2
.
9.
В цепи известны все номиналы элементов. Сколько тепла
выделиться на каждом сопротивлении после переключения ключа из
положения 1 в положение 2?
10.
В цепи известны все номиналы элементов. Сколько тепла
выделиться на сопротивлении после переключения ключа из положения 1
в положение 2? Равно ли это тепло полной энергии рассеянной в цепи?
11.
В цепи известны все номиналы элементов. Найти: 1) сколько тепла
выделиться в цепи; 2) u
C
(t). Начальное значение тока равно i
0
, а
напряжения на емкости U. Направления тока i
0
и полярность U указаны на
рисунке. Диод считать идеальным.
12.
Перед размыканием ключа емкость имела заряд q, а в катушках
индуктивности L
1
и L
2
текут токи соответственно i
1
и i
2
(направление
начальных токов и полярности заряда указаны на рисунке). 1) Будет ли
зависеть выделившееся в цепи тепло от наличия активного сопротивления
в ветви с индуктивностью (R
1
≠ 0, R
2
= 0), или в ветви с емкостью(R
1
= 0,
R
2
≠ 0,)? Найти его в этих двух случаях и сравните. 2) Полагая R
1
= R
2
= 0,
C
1
R
1
R
2
C
2
K
E
1
2 1
E
2
R
3
C
3
R
C
1
C
2
K
E
2
1
Рис. к задаче 9 Рис. к задаче 10
L
R
C
E
i
0
R
1
C
L
2
K
L
1
R
2
i
1
i
2
Рис. к задаче 11 Рис. к задаче 12
137
найти токи в катушках индуктивности после размыкания ключа. Найти
энергию колебательного процесса.
13.
Найти ток в сопротивлении и напряжение на конденсаторе после
замыкания ключа. Диод считать идеальным, а конденсатор не
заряженным. Рассмотреть два случая: 1) диод расположен согласно
рисунку; 2) диод повернут в противоположную сторону.
14.
При распространении синусо-
идальных волн в бесконечной LС –
цепочке фаза колебаний в каждом
узле отстает на φ от фазы колебаний в
предшествующем узле. Определить
зависимость φ от ω, L, С. Чему равна
скорость распространения синусо-
идальных волн по LС - цепочке, если
длина ячейки l? Чему равна эта
скорость при
малых ω?
15. В цепи известны все номиналы элементов. Найти ток в цепи после
замыкания ключа при t = 0:
)/sin()(
ϕ
+= LCtEte .
L
R
C
E
K
Рис. к задаче 13
C
C
L
C
C
L
L
e(t)
C
L
R
2
R
1
K
Рис. к задаче 14 Рис. к задаче 15
R
C
L
e(t)
K
K L
e(t) C R
Рис. к задаче 16 Рис. к задаче 17
138
16.
В цепи известны все номиналы элементов. В момент t = 0 ключ
замыкают. 1) Найти u
C
(t) и максимальное значение u
C
при постоянном
источнике напряжения
Ete
=
)( . 2) Рассмотреть отдельно случай
синусоидального источника напряжения
)sin()( LCtEte = при
CLR >>
. 3) Сделать численный расчет для
200
=
E
В, R = 25 Oм,
L = 166,7 мГн, C = 5 мкФ.
17.
В цепи при t = 0 замыкают ключ. Найти u
C
(t), i
L
(t) и u
C макс.
, при
R = 1 кОм, L = 0,4 Гн, C = 100 мкФ и
)30314sin(2127)(
0
−= tte
[B].
18.
Дана цепь: E = 100 B, R
1
= R
3
= 100 Ом, R
2
= 300 Ом, L = 0,1 Гн,
С = 10 мкФ. Определить ток в R
1
, R
3
после замыкания ключа.
19.
Дана цепь: E
1
= 100 B, E
2
= 200 B, R = 25 Ом, L = 166,7 мГн,
С = 50 мкФ. В момент t = 0 замыкается ключ. Определить токи в ветвях.
20. В цепи известны все номиналы элементов. Найти u
C
(t) после
размыкания ключа.
21. В цепи задачи 20 включен синусоидальный источник напряжения
)sin()(
ϕ
ω
+= tEte , работающий на резонансной частоте. При
0
=
t
ключ
размыкается. Найти ток в сопротивлении R
1
, полагая CLR <<
2
,
CLR >>
1
.
E
C
L
R
1
R
2
R
3
K
R
C
L
E
2
K
E
1
Рис. к задаче 18 Рис. к задаче 19
R
1
R
2
L
C
E
K
R
L
1
C
L
2
e(t)
K
Рис. к задаче 20 Рис. к задаче 22
139
22.
В цепи известны все номиналы элементов. Найти ток после
размыкания ключа при
0
=
t . Источник напряжения )sin()(
ϕ
ω
+
=
tEte .
Расчеты выполнить для резонансных частот.
23.
Определить фазы, в которых нужно включить (внутреннее
сопротивление источника R
1
остается) синусоидальное напряжение, чтобы
отсутствовал переходной процесс. (
ω
= 340 рад/с, C = 0,05 мкФ,
R
1
= R
2
= R
3
= R
4
= R
5
= 10 Ом).
24.
Определить фазы, в которой нужно включить (внутреннее
сопротивление источника остается) синусоидальное напряжение, чтобы
отсутствовал переходной процесс. (
ω
= 50 Гц, L = 10
-3
Гн,
R
1
= R
2
= R
3
= R
4
= R
5
= 100 Ом).
25.
В цепи
C
L
RR ==
21
. Ключи К
1
, К
3
и К
4
замкнуты, а ключ К
2
разомкнут. Найти ток в конденсаторе после замыкания ключа К
2
.
26.
В цепи задачи 25 ключи К
1
, К
3
и К
4
замкнуты, а ключ К
2
разомкнут. В момент t = 0 замыкается ключ К
2
, а в момент t = τ ключ К
3
размыкают. Найти напряжение на конденсаторе после второй коммутации.
27. В цепи задачи 25 ключи К
1
, К
3
и К
4
замкнуты, а ключи К
2
разомкнут. В момент t = 0 замыкается ключ К
2
, а в момент t = τ ключи К
1
и
R
2
R
3
R
4
R
5
C
R
1
e
(
t
)
R
5
R
3
R
1
R
2
R
4
L
e(t)
Рис. к задаче 23 Рис. к задаче 24
L
R
2
R
1
C
K
3
K
1
E
K
2
K
4
LC
I
0
Рис. к задаче 25 Рис. к задаче 30
140
К
3
размыкают. Найти напряжение на конденсаторе после второй
коммутации
28. В цепи задачи 25 ключи К
1
, К
2
и К
3
замкнуты, а ключ К
4
разомкнут. Найти ток в индуктивности после замыкания ключа К
4
.
29.
В цепи задачи 25 ключи К
1
, К
2
и К
3
замкнуты, а ключ К
4
разомкнут. В момент t = 0 замыкается ключ К
4
, а в момент t = τ ключи К
1
и
К
3
размыкают. Найти напряжение на индуктивности после второй
коммутации.
30. В цепи источник тока создает одиночный импульс прямоугольной
формы с амплитудой I
0
и длительностью t
0
. Определить i
L
(t), i
C
(t), u
C
(t).
Рассмотреть отдельно случаи: t
0
= T/2, t
0
= T, t
0
= 3T/2, где
LCT
π
2=
,
L = 1 Гн, C = 1 Ф, и полагая I
0
= 1 A.
31.
На вход цепи подаются импульсы напряжения прямоугольной
формы с последовательно чередующейся полярностью. Длительность
импульсов с положительной полярностью U
1
равна Т
1
, а отрицательной
полярностью U
2
равна Т
2
. Найти установившееся напряжение на
конденсаторе.
32.
На вход цепи подаются импульсы напряжения прямоугольной
формы с последовательно чередующейся полярностью. Длительность
импульсов с положительной полярностью U
1
равна Т
1
, а отрицательной
полярностью U
2
равна Т
2
. Найти установившееся напряжение на
конденсаторе. Для упрощения положить R
1
= R
2
. Рассмотреть отдельно
случай периодических импульсов одной положительной полярности U
1
.
Длительность импульсов равна T
1
, скважность – Т
2
, (период – Т
2
+ T
1
).
Проанализируйте изменения пределов напряжения на конденсаторе 1) от
длительности импульса при постоянном периоде; 2) и от периода
импульсов при постоянной длительности.
33.
В цепи в момент t = 0 замыкается ключ. ЭДС генератора
напряжения изменяется по закону
)1()(
0
at
eete
−
−= . Определить ток в
сопротивлении и напряжение на конденсаторе. Сделать численный расчет
при e
0
= 100 B, a = 100 c
-1
, R = 50 Ом, С = 100 мкФ для: 1) u
C
(0) = 0;
2) u
C
(0) = 100 B.
C u(t) u
c
(t)
R
u(t) u
c
(t)
R
1
R
2
C
Рис. к задаче 31 Рис. к задаче 32