Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

Мищенко А.М.

Сборник задач по линейным электрическим

цепям с кратким изложением теории

Учебное пособие

Новосибирск

2008

УДК 621.3.01

ББК 31.27-01

Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с

кратким изложением теории. Новосибирск., Издательство НГУ., 2008 —

172 с.

Сборник задач охватывает основные разделы теории линейных

электрических цепей: законы Кирхгофа, эквивалентные преобразования

цепей, методы расчета стационарных и не стационарных процессов, а так

же резонансные явления в цепях. Каждый

раздел имеет свой набор задач,

который сопровождается кратким изложением теории с примерами

решений задач. Сборник снабжен приложениями со сведениями по

применению и свойствам комплексных чисел и с таблицей оригиналов и

изображений по преобразованию Лапласа для основных функций,

используемых в расчетах переходных процессов.

Сборник задач предназначен в основном для студентов физического

факультета

и факультета информационных технологий Новосибирского

государственного университета. Он может быть использован студентами

электротехнических, радиотехнических вузов и факультетов, а так же

инженерно-техническими работниками, для активного овладения теорией

расчетов линейных электрических цепей.

Рецензенты: доктор физ.-мат. наук зав. лаб. Института автоматики СО

РАН К. П. Комаров,

канд. физ.-мат. наук, ст

. науч. сотр. Института ядерной

физики СО РАН, доц. кафедры радиофизики НГУ

Г. М. Федотов

Издание подготовлено в рамках выполнения инновационно-

образовательной программы «Инновационные образовательные

программы и технологии, реализуемые на принципах партнерства

классического университета, науки бизнеса и государства»

национального проекта «Образование»

Печатается по решению методической комиссии

физического факультета НГУ

университет, 2008

ISBN © А.М. Мищенко

Предисловие

Сборник состоит из введения пяти глав и двух приложений. Он

охватывает основные разделы теории линейных электрических цепей:

законы Кирхгофа и эквивалентные преобразования цепей, методы расчета

стационарных и не стационарных процессов, а так же резонансные

явления в цепях. Сборник задач выгодно отличается от обычных

сборников наличием краткого теоретического материала

с примерами

решения задач для каждого раздела. При этом в теоретическом изложении

выделены основные моменты для проведения расчетов наиболее

эффективными методами. Оригинальные и подобранные из различных

сборников задачи методически выстроены так, что позволяют усвоить

материал на основе достаточно простых задач и углубить знания на

задачах повышенной сложности. При этом многие задачи

направлены не

на шаблонное выполнение расчетов по определенным алгоритмам, а

требуют подхода с использованием физического мышления. Данный набор

задач сложился в результате многолетнего опыта проведения

практических занятий, контрольных, зачетов и экзаменов. Все задачи,

требующие оригинальное решение, снабжены ответами.

Сборник содержит 170 задач имеющие разные электрические схемы.

При этом многие задачи состоят

из нескольких пунктов, которые зачастую

являются самостоятельными задачами. В целях использования пособия

для проведения контрольных, в наборе задач по каждой теме имеются

несколько парных задач одинаковой сложности.

В приложениях приведены краткие сведения по применению и

свойствам комплексных чисел и таблица оригиналов и изображений по

преобразованию Лапласа для основных функций, используемых в

расчетах

переходных процессов.

Введение

Данный сборник содержит задачи по линейным электрическим цепям,

в которых сопротивления, индуктивности и ёмкости не зависят от величин

и направлений токов и напряжений. В таких цепях напряжение и ток

связаны линейными (алгебраическими или дифференциальными)

уравнениями первого порядка.

Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.

Активные элементы являются источниками

электрической энергии; к ним

относятся источник напряжения e(t) и источник тока i

(t). Пассивные

элементы – это резистор (сопротивление) R, катушка индуктивности

(индуктивность) L и конденсатор (ёмкость) C. Графическим изображением

электрической цепи является электрическая схема. Она показывает способ

соединения элементов электрической цепи. При описании электрической

схемы пользуются понятиями ветвь, узел, контур. Ветвь – один или

несколько последовательно соединенных элементов. Узел – место

соединения нескольких

ветвей. Узлы подразделяют на устранимые, когда

соединены только две ветви, и неустранимые, когда соединяются три и

более ветви. Контур – это замкнутый путь, проходящий по нескольким

ветвям. Электрический ток в элементе или ветви определяется скоростью

переноса заряда (q), т. е. i(t) = dq/dt. В электротехнике полагают, что ток в

цепи переносят

положительные заряды, направление движений которых и

определяет направление (знак) тока. Расчет цепи начинают с

произвольного выбора направления токов в ветвях и обычно указывают

стрелкой. Положительный знак тока, полученный при расчете, означает

правильность выбранного направления. В противном случае реальный ток

направлен противоположно. Разность электрических потенциалов (φ) на

концах элемента равно напряжению

на элементе, а разность электрических

потенциалов на концах ветви – напряжению ветви. Знак напряжения

выбирают по направлению тока. В этом направлении потенциалы узлов

убывают, и оно считается положительным или согласованным. На схеме

часто указывают стрелкой направление уменьшения потенциалов

(направление падения напряжения). Положительное направление падения

напряжения на ветви или пассивном элементе отображается

порядком

расположения индексов. Например, напряжение u

соответствует разности

потенциалов узлов k и n, причём условно предполагают, что потенциал

узла k выше потенциала узла n, т. е.

nkkn

−

. Аналогично, для

пассивного элемента u

соответствует разности потенциалов на концах

элемента, причём потенциал φ

выше потенциала φ

. В случае, когда

напряжение на схеме приводится от одного узла, потенциал которого

принимают за нуль, узловое напряжение (u

) имеет один индекс,

соответствующий номеру узла (k).

Зависимости, связывающие напряжение и ток в пассивных эле-

ментах электрической цепи

Для резистора или просто для сопротивления, зависимость

связывающая напряжение и ток определяется законом Ома:

)()()()()(

2112

tiRtttutu

⋅

−

, (0.1)

где u

(t) и φ

(t), φ

(t) и i(t) – мгновенные значения напряжения и

потенциалов на концах резистора, i(t) – мгновенное значене протекающего

тока, R –сопротивление резистора. Индексы потенциалов на концах

резистора расставлены в возрастающем порядке в направлении протекания

тока. Поэтому направление (знак) u

(t) совпадает с направлением тока

(φ

(t) > φ

(t)). Величины u

, φ

измеряются в вольтах (В), а i и R

измеряются в амперах (А) и омах (Ом).

Для идеальной катушки индуктивности или просто для индуктивности

зависимость связывающая напряжение и ток определяется законом

Фарадея и правилом Ленца:

Ltttutu

=−== )()()()(

2112

ϕϕ

, (0.2)

где u

(t) и φ

(t), φ

(t) – мгновенные значения напряжения и потенциалов на

концах элемента, i(t) – мгновенное значене протекающего тока, L –

индуктивность катушки. Индексы потенциалов на концах индуктивности

расставлены в возрастающем порядке в направлении протекания тока.

Поэтому положительное направление u

(t) совпадает с положительным

направлением i(t) (φ

(t) > φ

(t)). Величина L измеряется в генри (Гн). В

интегральном виде эта зависимость имеет вид

∫

= dtu

)(

(0.3)

или, используя определенный интеграл

∫

dtu

iti

)0()(

, (0.4)

где i(0) – ток в начальный момент времени (t = 0).

Для идеального конденсатора или просто емкости зависимость

связывающая напряжение и ток следует из определения емкости, как

отношения накопленного положительного заряда к напряжению на этом

элементе:

∫

==−== idt

tttutu

)()()()(

2112

ϕϕ

(0.5)

где u

(t) и φ

(t), φ

(t) – мгновенные значения напряжения и потенциалов на

концах конденсатора, i(t) – мгновенное значене тока, q – накопленный на

емкости C заряд. Направление u

(t) соответствует направлению тока i(t),

обеспечивающему накоплению положительного заряда, что выполняется

при φ

(t) > φ

(t). Если полагать, что емкость состоит из двух пластин

разделенных диэлектриком, то направление напряжения соответствует

направлению от положительно заряженной пластины к отрицательно

заряженной. Величина С измеряется в фарадах (Ф). При использовании

определенного интеграла, зависимость (0.5) приобретает вид

∫

idt

utu

)0()(

. (0.6)

где u

(0) – напряжение на емкости в начальный момент времени (t = 0) В

дифференциальной форме эта зависимость имеет вид

==)( . (0.7)

Мгновенные мощности в пассивных элементах электрической

цепи

Мощность p(t), поступающая в резистор, рассеивается в нем в виде

тепла. Величина мощности

)()()()()(

tuGtiRtitutp

⋅=⋅=⋅= , (0.8)

где G = 1/R – проводимость, измеряемая в сименсах (сим).

Мгновенная мощность для индуктивности

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⋅=⋅=

)()()()(

tiLtitutp

. (0.9)

Она определяет скорость изменения энергии магнитного поля в катушке

индуктивности.

Мгновенная мощность для емкости

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⋅=⋅=

)()()()(

CCC

tuCtitutp

. (0.10)

Она определяет скорость изменения энергии электрического поля в

конденсаторе.

Идеальные катушки индуктивности и конденсаторы не рассеивают

энергию в виде тепла, как резисторы, а осуществляют обмен энергией с

внешней цепью. В них энергия накапливается и вновь возвращаться во

внешнюю электрическую цепь.

Источники напряжения и тока

Напряжение на выходе идеального источника напряжения

при любой

нагрузке равно электродвижущей силе источника (ЭДС) и будет

обозначаться е(t). Потенциалы на клеммах идеального источника

напряжения связаны уравнением (рис. 0.1)

)()()()(

1221

tttute

−

. (0.11)

Индексы потенциалов на выводах источника расставлены в возрастающем

порядке в направлении действия сторонних сил. Напряжение на источнике

противоположно направлению сторонних сил в источнике. Работа этих сил

обеспечивает перенос положительного заряда от меньшего потенциала к

большему, поставляя тем самым энергию во внешнюю электрическую

цепь. Идеальный источник напряжения (источник ЭДС) может создавать

как угодно большой ток, а, следовательно, развивать бесконечную

мощность.

В случае синусоидального сигнала e(t) заменяется комплексной

амплитудой

, а в частном случае постоянного сигнала комплексная

амплитуда становиться чисто вещественной. В электрических схемах

идеальный источник напряжения будет изображаться кружком внутри,

которого знак “~” указывает на переменный характер напряжения, а знак

“=” – на постоянный. Знаки “+” и “-” указывают положительное

направление e(t) или полярность постоянного источника (рис. 1, а, б). Для

переменного

источника положительное направление соответствует

положительному напряжению на источнике в произвольный момент

времени, взятый за начало расчетов процессов в схеме.

Идеальный источник тока

создает на выходе ток не

зависимо от величины нагрузки.

Этот ток будет обозначаться i

(t).

В случае синусоидального

сигнала i

(t) заменяется

комплексной амплитудой

, а в

частном случае постоянного

сигнала комплексная амплитуда

становиться чисто вещественной.

На электрических схемах

идеальный источник тока будет

обозначаться квадратиком со

стрелкой, которая указывает

направление тока i

(t) или

полярность источника (рис. 0.1. в, г). В этом направлении происходит

перемещение положительного заряда для тех моментов времени, когда ток

(t) положителен. Внутри квадратика в переменных источниках

изображается “~”, а в постоянных – “=”.

Рис. 0.1

e(t)

(t)

Напряжение на идеальном источнике тока определяется величиной

нагрузки и его значение выражается через потенциалы на выводах

уравнением

)()()()(

12210

tttutu

−

. (0.12)

Как и в случае с источником ЭДС напряжение на источнике

противоположно направлению сторонних сил в источнике. Работа этих сил

обеспечивает перенос положительного заряда от меньшего потенциала к

большему, поставляя тем самым энергию во внешнюю электрическую

цепь. Идеальный источник тока может развивать сколь угодно большое

напряжение на своих выводах. Поэтому он

может развивать бесконечную

мощность.

Идеальные источники тока и напряжения в общем случае можно

соединить тремя способами, приведенными на рис. 0.2, 0.3 и 0.4.

Первый спо-

соб соединения

(рис. 0.2) явля-

ется недопусти-

мым. При парал-

лельном соеди-

нение идеаль-

ных источников

и E

(рис. 2.а), когда

≠ E

, в источниках возникает бесконечно большой ток при

неопределенной величине результирующей ЭДС. При последовательном

соединении ис-

точников тока

и i

(рис. 0.2.

б) неопределена

результирующая

величина тока,

тогда как на

каждом из ис-

точнике будет

развиваться бес-

конечное напря-

жение.

Второй спо-

соб соединения

не имеет смысла

(рис. 0.3). При

параллельном

Рис. 0.2

(t)

e(t)

(t)

e(t)

Рис. 0.3

(t)i

(t)

(t) e

(t)

Рис. 0.4

(t)

соединении источника тока и источника ЭДС для внешней цепи такой

источник будет являться источником ЭДС E

(рис. 0.3. а), а при

последовательном соединении источника тока и источника ЭДС

(рис.0.3. б) основную роль будет играть источник тока i

Третий способ соединения (рис. 0.4. а,б) является правильным и

основным. Здесь последовательно соединенные источники напряжения и

параллельно соединенные источники тока суммарно действуют на

внешнюю цепь.

Реальные источники энергии развивают конечную мощность. На

схемах они изображаются либо источниками напряжения, либо

источниками тока ограниченной мощности. В источнике напряжения

ограниченной мощности (реальном источнике

напряжения) ток короткого

замыкания ограничен внутренним сопротивлением. Поэтому на схемах

такой источник изображают цепью из последовательно соединенного

источника ЭДС и пассивного элемента. В реальном источнике тока

(источнике тока ограниченной мощности) напряжение на выходе

ограничено внутренним сопротивлением. При отключенной нагрузке −

режим холостого хода напряжение на реальном источнике тока имеет

конечное

значение. Поэтому реальный источник тока на схемах

представляют цепью из идеального источника тока, соединенного

параллельно с пассивным элементом.

Источники напряжения и источники тока ограниченной мощности

считаются эквивалентными, если при взаимной замене они во внешней

электрической цепи создают одинаковые напряжения, токи и мощности.

При этом на внутренних сопротивлениях у таких источников напряжения

токи и рассеиваемые мощности могут отличаться.

На практике используемые источники энергии на схемах представляют

либо источником напряжения ограниченной мощности, если его

внутреннее сопротивление существенно меньше сопротивления нагрузки,

либо источником тока ограниченной мощности, если, наоборот, его

внутреннее сопротивление существенно больше сопротивления нагрузки.

Закон Ома для ветви и законы Кирхгофа

Закон Ома

для j – й ветви, которая соединяет i – й и k – й узлы и

состоит из источника ЭДС

)(te

и произвольного пассивного

эквивалентного элемента, имеет вид

)()()()(

tetututu

jjki

−

, (0.13)

где

)(tu

и )(tu

– потенциалы (напряжения) узлов i и k, )(

– падение

напряжения на пассивном эквивалентном элементе. Знак “+” при ЭДС

соответствует направлению ЭДС от i – ого узла к k –ому, а знак “–” –

наоборот от k –ого к i – ому. Отметим, что пассивный эквивалентный

элемент состоит либо из одного, либо из нескольких реальных физических

элементов (резистор, катушка индуктивности, конденсатор). В последнем

случае напряжение на нем равно сумме напряжений на каждом

физическом элементе.

Первый закон Кирхгофа, который для определенности будем так же

называть законом токов Кирхгофа, утверждает, что алгебраическая сумма

токов в любом узле электрической

цепи равна нулю:

∑

ti 0)( . (0.14)

Знак тока, втекающего в узел, принимают положительным, а знак

вытекающего – отрицательным. Физический смысл закона связан с

сохранением заряда при протекании его по электрическим цепям и с

отсутствием в узле накопления и утечки заряда во внешнюю среду.

Второй закон Кирхгофа, который для определенности будем так же

называть законом напряжений Кирхгофа, утверждает,

что алгебраическая

сумма ЭДС источников в любом замкнутом контуре (k) электрической

цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных

элементах данного контура:

)()( tute

knkn

∑

= . (0.15)

Обход контура можно производить в произвольном направлении. Знак

(t) берут положительным, если направление ЭДС источника совпадает с

направлением обхода (потенциал на концах источника увеличивается по

направлению обхода), и отрицательным, если эти направления не

совпадают.

Физический смысл закона

связан с потенциальностью

электрического поля, а сам

закон непосредственно следует

из закона Ома для ветви,

состоящей из последовательно

соединенного источника ЭДС

с пассивными элементами. В

чем легко убедиться, просум-

мировав формулы (0.13) для

ветвей составляющих зам-

кнутый контур. Пусть, напри-

мер, имеем простой контур,

приведенный на рис. 0.5. Тогда

система уравнений для ветвей контура, записанных по закону Ома, будет

Рис. 0.5

(t)

-e

(t)