Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории

Подождите немного. Документ загружается.

этих токов, а реальное напряжение на элементе является алгебраической

суммой (суперпозицией) этих напряжений:

∑

eItI

)( ,

∑

eUtU

)( , (2.6)

где

eII

eUU

– комплексные амплитуды, а U

, I

–

действительные (регистрируемые) амплитуды напряжения и тока (модули

комплексных амплитуд), φ

и ψ

– фазы напряжения и тока (аргументы

комплексных амплитуд) соответствуют определенному источнику,

работающему на частоте ω

Для упрощения записи точка над комплексной амплитудой будет

опускаться там, где ее нельзя спутать с действительной амплитудой.

Вольтметры и амперметры электромагнитной системы

непосредственно регистрируют среднеквадратичные (действующие

IU , ) значения (

dtu

U ==

∫

dti

I ==

∫

). Дей-

ствующие значения напряжения и тока в

раз меньше амплитудных

значений. При работе нескольких источников с разной частотой

результирующие действующие значения равны сумме действующих

значений связанных с работой каждого источника.

Мгновенная мощность для элемента или ветви цепи равна

произведению тока на напряжение и в случае одной частоты определяется

формулой

)],2cos()[cos(

)sin()sin()(

ψψωψψ

ψωψω

++−−=

=++=

tIU

tItUtp

(2.7)

а средняя мощность за период:

,cos)cos(

)cos(

ϕψψ

ψψ

DDmm

IUIU

pdt

=−=

=−==

∫

(2.8)

где

– разность фаз между напряжением и током. Ваттметр измеряет

среднюю мощность.

При работе нескольких источников с разной частотой принцип

суперпозиции и усреднение по времени приводят к результирующей

средней мощности равной сумме средних мощностей связанных с работой

каждого источника

∑∑

nDnDn

nmnmn

IUIUP )cos()cos(

ϕϕ

, (2.9)

где

U и

I – амплитуды напряжения и тока (

DnDn

IU , –действующие

амплитуды) созданные в элементе цепи (или ветви) источниками энергии

(или группой источников) работающими на частоте ω

– разность фаз

между напряжением и током с частотой ω

. Суммирование в выражении

(2.9) идет по всем источникам (или группам источников) имеющих

частоту ω

Зависимости, связывающие напряжение и ток в пассивных элемен-

тах электрической цепи в комплексной форме. Закон Ома в комплек-

сной форме

Расчеты электрических цепей эффективно проводят с применением

функций комплексных переменных. Напряжения и токи выражаются через

комплексные амплитуды:

]Im[]Im[)sin()(

tjtjj

eUeeUtUtu

ωωψ

ψω

==+= ; (2.10)

]Im[]Im[)sin()(

tjtj

eIeeItIti

ωω

ψω

==+= , (2.11)

где

eUU =

eII =

– комплексные амплитуды, а U

, I

–

действительные амплитуды напряжения и тока (модули комплексных

амплитуд), ψ и ψ

– фазы напряжения и тока (аргументы комплексных

амплитуд). Переход от комплексных значений тока и напряжения к

реальным значениям осуществляется взятием мнимой части.

Используя выражения (2.10), (2.11) и записывая закон Ома для

резистора (0.1) через комплексные функции

]Im[]Im[)(]Im[)(

eIReIRtRieUtu

ωωω

&&&

⋅==== . (2.12)

получаем для резистора закон Ома в комплексной форме

IRU

. (2.13)

Ток в резисторе и напряжение на нем имеют одну и ту же фазу.

Говорят, что они находятся в фазе. Действительные амплитуды

напряжения и тока или их действующие значения связаны выражением

RRRRR

RIIRIRUU ====

&&&

Для случая индуктивности воспользуемся зависимостью, связывающую

напряжение и ток (закон Ленца (0.2)). Записывая её с помощью

комплексных функций, получаем

]Im[}]{Im[

]}{Im[)(]Im[)(

eILjeI

Lti

LeUtu

ωω

===

. (2.14)

Откуда следует

ILjU

. (2.15)

При записи выражения (2.14) использована перестановка операций

взятия мнимой части и дифференцирования

{}

)cos()sin(]}{Im[

ψωωψω

+=+= tItI

).cos(

)

sin(]Im[]Im[}]{Im[

ψωω

ψωωωω

ωω

=++===

tIeIeeIjeI

tjtj

&&&

Напряжение на индуктивности имеет фазу на π/2 больше фазы тока.

Говорят, что напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на π/2.

Действительные амплитуды напряжения и тока или их действующие

значения на индуктивности связаны формулой

LIU

По аналогии с резистором вводят сопротивление индуктивности

LjZ

, (2.16)

а выражение (2.15) называют законом Ома в комплексной форме для

индуктивности. Сопротивление индуктивности является чисто мнимым и

линейно зависит от частоты.

Для случая емкости аналогично с использованием формул (0.5) или

(0.7) получаем

]

Im[]

Im[]Im[

)(

]Im[)(

dteI

dtti

eUtu

&&&

ωω

===

∫∫

∫

(2.17 а)

или

]Im[}]{Im[

]}{Im[)(]Im[)(

eUCjeU

Ctu

CeIti

ωω

====

(2.18 б)

Откуда следует

. (2.19)

При записи выражения (2.18) использована перестановка операций взятия

мнимой части и интегрирования (2.17 а) или взятия мнимой части и

дифференцирования (2.17 б).

Напряжение на емкости имеет фазу на π/2 меньше фазы тока. Говорят,

что напряжение на индуктивности отстает от тока по фазе на π/2.

Действительные амплитуды напряжения и тока или их действующие

значения

связаны формулой

= .

По аналогии с резистором вводят сопротивление емкости

−= . (2.19)

Это сопротивление так же является чисто мнимым, но в отличие от

сопротивления индуктивности имеет обратно пропорциональную

зависимость от частоты.

Выражения (2.15) и (2.19) называют законами Ома в комплексной

форме для индуктивности и емкости. В общем случае для произвольного

комплексного сопротивления Z запись закона Ома в комплексной форме

совпадает по виду с записью

закона Ома для постоянного тока:

IZU

⋅= . (2.20)

При расчетах схем в зависимости от ситуации используется различная

запись комплексного сопротивления и проводимости

)sin(cos

ψψ

jXReZjXRZ

++==+= ; (2.21)

)(

222222

jXR

jyg

−+

−

=+==

; (2.22 а)

))sin((cos

ψψ

−+== j

, (2.23 б)

где ψ – аргумент комплексного сопротивления; R – вещественная часть

комплексного сопротивления, ее называют активным сопротивлением; X –

мнимая часть комплексного сопротивления, ее называют реактивным

сопротивлением; аналогично, g – активная проводимость; y – реактивная

проводимость. Связь аргумента с вещественной и мнимой частью

комплексного сопротивления:

tg =

;

cos

;

sin

. (2.24)

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

∑

I 0

, (2.25)

где суммирование ведется по всем ветвям, образующим узел.

Закон напряжений Кирхгофа в комплексной форме:

∑

, (2.26)

где суммирование ведется по всем источникам ЭДС и пассивным

элементам, входящим в выделенный замкнутый контур. При наличии в

цепи источников с разной частотой пользуются принципом суперпозиции.

Расчет токов ветвей на основании законов Ома и Кирхгофа

Полная система уравнений для расчета токов в ветвях для случая цепей

синусоидальных источников аналогична системе уравнений для

постоянного тока. Она получается заменой токов и ЭДС на

соответствующие комплексные амплитуды, а сопротивления R

– на

комплексные сопротивления пассивных элементов Z

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−∈=

−∈=

∑∑

∑

ksksks

qpsIZE

qmI

).1,1(,

),1,1(,0

. (2.27)

Эта система уравнений записана для источников ЭДС, работающих на

одной и той же частоте. При наличии в схеме источников с разной

частотой, необходимо воспользоваться принципом суперпозиции. Расчет

проводят раздельно для каждой группы источников с одинаковой

частотой. Остальные источники из электрической цепи удаляются, путем

отключения их электродвижущей силы (замены источников ЭДС

проводами с нулевым сопротивлением). Тогда как, элементы схемы,

соответствующие внутренним сопротивлениям источников, остаются

включенными в схему. Реальные токи находят суперпозицией

рассчитанных токов.

При наличии в цепи источников тока их обычно заменяют

эквивалентными источниками напряжения. В более сложных случаях

используют способы, изложенные в § 3.

Комплексная мощность

Полная мощность S для участка цепи:

).sin()cos(

)sin(

)cos(

)(

ψψψψ

ψψψ

−+−=

=−+−=

==⋅=⋅=

−−

∗

DDDD

mmmm

IjUIU

IUjIU

eIUeIeUIUS

(2.28)

Действительная часть (P) полной мощности (S) является активной

мощностью, рассеиваемой в данном участке цепи, а мнимая (Q) –

реактивной мощностью, указывающей скорость накопления энергии в

данном участке цепи. Последняя строчка записана с использованием

вместо амплитудных значений напряжения и тока их действующих

значений.

Наиболее часто используемые выражения:

)cos()cos(

)Re(

ψψψψ

−=−==

DDmm

IUIUPS ; (2.29)

)sin()sin(

)Im(

ψψψψ

−=−==

DDmm

IUIUQS ; (2.30)

2222

DDDm

jXIRIIZIZIIZIUS +=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

∗∗

&&&&

; (2.31 а)

2222

DDDm

jyUgUYUYUYUUIUS +=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=

∗∗∗∗∗

&&&&

; (2.32 б)

222222

222

DDDmmm

Z +==+==

; (2.33)

222222

222

DDDmmm

Y −==−==

∗∗

. (2.34)

Полная мощность, развиваемая идеальным источником напряжения:

∗

DDE

IEIES

&&&&

. (2.35)

Полная мощность, развиваемая идеальным источником тока:

∗

DDI

UIUIS

&&&&

. (2.36)

Направление тока в источнике напряжения соответствует переносу

положительного заряда сторонними силами, т. е. перемещению от минуса

к плюсу. Тогда как в присоединенной нагрузке положительный заряд

переноситься электрическим полем от большего потенциала к меньшему.

Напряжение на источнике тока определяется нагрузкой. Оно

отсчитывается от клеммы, куда из нагрузки втекает ток.

При

0)Re( >S источник поставляет во внешнюю цепь энергию, а при

0)Re( <S потребляет. В последнем случае источник уже не генератор,

вырабатывающий электричество, а мотор, вращаемый внешним

генератором. Для реальных источников необходимо учитывать потери на

внутренних сопротивлениях. Поэтому в источнике тока даже при

отсоединенной нагрузке идет рассеивание энергии. Для определения

полной мощности поставляемой (развиваемой источником) во внешнюю

цепь необходимо пользоваться общим выражением (2.28), где

ток и

напряжение соответствуют значениям на клеммах источника.

При расчете линейных цепей с источниками, имеющими разную

частоту, используют принцип суперпозиции. Согласно этому принципу и

усреднению по времени полная мощность для участка цепи является

суммой полных мощностей созданных источниками (или группой

источников) работающими на одинаковой частоте

∗∗

∑∑∑

===

Dnn

IUIUSS

&&&&

, (2.37)

где

– суммарные комплексные амплитуды напряжения и тока

(

, –действующие амплитуды) созданные в элементе цепи

источниками энергии (или группой источников) работающими на частоте

, т.е.

∑

, k – количество источников с частотой ω

Суммирование в выражении (2.37) идет по всем источникам (или группам

источников) имеющих частоту ω

Полная мощность, развиваемая источником напряжения, при наличии в

цепи других источников работающих на разных частотах определяется

только током, имеющим частоту равную частоте его ЭДС. Такой ток

создается как самим источником, так и другими источниками

работающими на той же частоте. Аналогично, полная мощность

развиваемая источником тока определяется только напряжением на нем

имеющим частоту равную частоте работы его генератора. При этом такое

напряжение создается как самим источником тока, так и другими

источниками энергии, работающими в цепи на той же самой частоте.

Векторные диаграммы

Векторные диаграммы напряжений и токов строятся на комплексной

плоскости, где коплексным амплитудам напряжения и тока соответствуют

радиусы-векторы. Длина радиус-вектора равна действующему или

амплитудному значению, а угол поворота от вещественной оси (оси

абсцисс) равен фазе. Учет временной зависимости напряжений и токов

приводит к вращению данных векторов со своей частотой. Поэтому

векторные диаграммы применяют для нахождения лишь определенной

составляющей (гармоники) напряжения или тока. Тогда построенные

диаграммы соответствуют заданному (выбронному) моменту времени,

фиксирующему расположение векторов на комплексной плоскости.

Дальнейшее построения диаграмм ведут по правилам сложения векторов.

На рис. 2.1, а приведена векторная диаграмма напряжений

цепи с

последовательно соединенными R, L, C и заданным током

IeI =

. На

диаграмме кроме векторов напряжений приведен и вектор тока, для

наглядности все векторы построены выходящими из начала координат.

(Обычно построение начинают от узла, в котором потенциал выбран

равным нулю. Тогда, двигаясь от элемента к элементу, последующий

вектор напряжения строят от конца предыдущего.) Векторы

коллинеарны и они на даннй диаграмме накладываются друг на друга, а

векторы

, и

перпендикулярны вектору

, а следовательно

перпендикулярны и вектору

. Полное напряжение на цепи

UeU =

есть сумма напряжений на каждом элементе.

На рис. 2.1, б приведена векторная

диаграмма токов цепи с

параллельным соединением R, L, C,

под напряжением

UeU =

Построения выполнены аналогично

предыдущему случаю. Полный ток

цепи

IeI =

равен сумме токов в

элементах. (Векторы

и U

- U

- I

Рис. 2.1, а,б

Рис. 2.2

коллинеарные, а

, и

перпендикулярны вектору U

Пример 1. Расчет мощностей. Расчет проведем для схемы на рис. 2.2.

Сопротивление нагрузки идеального источника ЭДС:

)(

)(1

jXR

LjRLR

ZRZ

ЭФ

+−=

−

+−=

++=

ωω

(2.38)

где

)(

ЭФ

– эффективное активное сопротивление

нагрузки,

)(

+−=

– эффективное мнимое сопротивление

нагрузки, которое можно рассматривать кок последовательное соединение

емкости с эффективной индуктивностью

)( RL

ЭФ

Ток, развиваемый источником, есть

))(exp(

ЭФ

arctgj

I −

=−===

ϕψϕ

, (2.39)

где для общности введена фаза источника (φ).

Мощность, развиваемая источником, (ЭДС источника считаем

действующей)

,)cos(

))exp(

Re()Re()Re(

EIEP

ЭФ

===

&&&

(2.40)

где использовано выражение

cos

ЭФ

. Эта мощность равна

мощности рассеиваемой во всей нагрузочной цепи. Действительно,

используя выражение для напряжения на нагрузке

IZU

= , получаем

)Re()Re(

RIRZIIUP

ЭФ

ЭФЭФ

====

. (2.41)

Рассеиваемая мощность минимальна при частотах, близких к нулю. В

пределе постоянной ЭДС ток через нагрузку не течет, и потребления

энергии нет. Максимальное потребление энергии в единицу времени

происходит при частоте, на которой реактивная составляющая

сопротивления равна нулю. Эта частота есть

−

LCLR

−= , где LC1

, CL=

. Отсюда максимальная

потребляемая мощность

ЭФ

. (2.42)

Для определения рассеиваемой мощности на сопротивлении R

необходимо найти протекающий через него ток. Для этого найдем

напряжение в верхнем узле (нижний узел заземлен):

eRL

LRj

RLj

LRj

&&&&

)( +

. (2.43)

Тогда, используя выражение (2.3.4б), находим искомую рассеиваемую

мощность:

)(

ЭФ

. (2.44)

Покажем, что полная рассеиваемая мощность есть сумма мощностей

рассеиваемыми резисторами. Мощность, выделяемая на сопротивлении R

уже найдена. Найдем теперь мощность, которая рассеивается на

сопротивлении R

IRP

ЭФ

. (2.45)

Тогда имеем

222

121

)

)(

(

EIRI

RPPP

ЭФ

+=+=

. (2.46)

Таким образом, найти полную мощность, рассевающуюся в нагрузке,

можно двумя способами: 1) найти потребляемый ток, взять от него модуль

и квадрат его умножить на активное сопротивление нагрузки; 2) найти

мощности, рассеиваемые на каждом резисторе нагрузки и их

просуммировать.