Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории

21

)]()([

)(

)()()()(

)(

0

2

1

2

21

1

0

21

1

2111

1

tite

R

RR

R

ti

RR

R

RR

te

R

te

R

tute

ti

R

+

=

+

−=

−

=

(1.7)

Пример 2. Расчет прямым

решением системы уравнений

Кирхгофа. Схема на рис. 1.8

имеет пять ветвей и три узла.

Обозначим токи по номерам

сопротивлений, а последнему,

текущему по источнику ЭДС E

2

присвоим пятый номер. Затем

выберем направления токов и

обозначим их на рисунке

стрелками. По закону токов

Кирхгофа можно записать только два независимых уравнения (3 – 1 = 2).

Выберем верхний и левый нижний узел. Тогда для верхнего узла

0

5321

=

−

−− iiii

, а для нижнего узла 0

142

=

−

+

iii . Теперь найдем

независимые контуры и запишем для них уравнения по закону напряжений

Кирхгофа. Таких контуров должно быть три (5 – (3 – 1) = 3). Возьмем в

качестве их следующие контуры: контур 1 состоит из ветвей с

сопротивлениями R

1

и R

2

; контур 2 образуется ветвями с сопротивлениями

R

2

и R

4

и ветвью с источником E

2

; контур 3 – из ветвей с E

2

и R

3

. Уравнения

запишем, совершая обход всех контуров по часовой стрелке. Тогда полная

система уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+−=−

+=

++−=

−−−=

.

,

,0

332

44222

22111

421

5321

iRE

iRiRE

iii

iiii

(1.8)

Решение этой системы уравнений можно проводить последовательной

подстановкой, а можно и с применением правила Крамера, записав ее в

матричной форме

E

1

E

2

R

1

R

2

R

3

R

4

i

3

i

1

i

2

i

4

i

5

Рис. 1.8

22

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5

4

3

2

1

3

42

21

2

1

0000

000

01011

10111

0

i

R

RR

E

. (1.9)

Тогда общее решение системы (1.9):

∑

=

Δ

=

n

i

ikik

Ei

1

, (1.10)

где Δ – определитель системы, Δ

ik

– алгебраические дополнения элементов.

Проведя математические преобразования, получаем

424121

22421

1

)(

RRRRRR

RERRE

i

++

−+

=

;

424121

1241

2

RRRRRR

RERE

i

++

+

=

; (1.11)

3

2

3

R

E

i =

;

424121

122

4

)(

RRRRRR

RRE

i

++

+

−= . (1.12)

Пример 3. Эквивалентная замена

идеального источника тока охва-

тывающего один или несколько узлов на

реальные источники напряжения. При

наличии идеального источника в ветви,

как это имеет место в схеме на рис. 1.9,его

невозможно прямо в ветви заменить

эквивалентным источником напряжения.

Тем не менее, такой источник всегда

охватывает один или несколько узлов (

в

данной цепи один узел), что позволяет осуществить эквивалентные

преобразования с заменой его на эквивалентные источники напряжения, а

следовательно провести расчеты с обычным применением законов

Кирхгофа. С этой целью представим источник тока в виде последовательно

соединенных одинаковых источников тока в количестве, превышающем на

один число охватываемых узлов (в данном случае двумя

). Тогда схема

допускает последовательные эквивалентные преобразования приведенные

на рис. 1.10.

Эквивалентность преобразования схемы на рис. 1.10 а к схеме на

рис. 1.10 б, обеспечивается тем, что токи во всех ветвях схем остаются без

изменения (уравнения, записаные по первому закону Кирхгофа, остаются

теми же самыми), а следоательно и не происходит изменения узловых

I

0

R

4

R

3

R

5

R

1

R

2

Рис. 1.9

23

напряжений. Переход от схемы на рис. 1.10 б к схеме схеме на рис. 1.10 в

осуществляется обычным преобразованием реальных источников тока (с

внутренними сопротивлениями

1

R

и

4

R

) в эквивалентные реальные

источники напряжения с

101

RIE

=

и

402

RIE

=

. Дальнейшие вычисления

проводятся стандартным способом: расставляется направления токов, и

записывается система уравнений

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−+=

++=

++−=

.

,

,0

5544332

5522111

541

iRiRiRE

iii

(1.13)

Индексы токов в системе (1.13) соответствуют индексам резисторов.

Первое уравнение записано для левого узла, а обход контуров при записи

второго и третьего уравненя проведен по часовой стрелке. Решив эту

систему, находят токи во всех сопротивлениях схемы. Эти токи

соответствуют токам исходной схемы только для резисторов R

2

, R

3

и R

5

.

Тогда как токи в резисторах R

1

и R

4

исходной схемы необходимо искать

непосредственно по схеме рис. 1.9, используя вычисленные токи в R

2

, R

3

и

R

5

. Эти токи рассчитываются с помощью первого закона Кирхгофа:

021

Iii −= и

043

Iii += .

Пример 4. Расчет без замены источников тока на источники

напряжения. Расчет проведем на примере схемы рис. 1.9. Пусть токи в

резисторах имеют те же самые направления, которые указаны на

рис. 1.10, в стрелками, а индексы соответствуют индексам резисторов.

Введем согласно уравнению (0.12) напряжение на источнике тока

0

U

и

рассмотрим три контура. Первый контур состоит из источника тока и

резисторов

R

1

, R

4

, второй из резисторов R

1

, R

2

и R

5

, третий из резисторов R

3

,

R

4

и R

5

. Уравнения по первому закону Кирхгофа запшем для трех верхних

узлов, а обход контуров проведем по часовой стрелке. Тогда система

уравнений Кирхгофа принимает вид

I

0

R

4

R

3

R

5

I

0

R

1

R

2

а

I

0

R

4

R

3

R

5

I

0

R

1

R

2

б

E

1

R

4

R

3

R

5

E

2

R

1

R

2

в

Рис. 1.10

24

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−+=

++=

−−=

++−=

−+=

.0

,0

554433

552211

22110

532

541

210

iRiRiR

iRiRU

iii

iiI

(1.13)

Для наглядности в системе (1.13) уравнения Кирхгофа записаны

прямым применением законов Кирхгофа с “мысленной” заменой

идеального источника тока на идеальный источник напряжения.

Неизвестными в системе являются

054321

,,,,, Uiiiii

количество, которых

в точности равно числу независимых уравнений. Для решения ее общим

методом Крамера преобразуем ее к матричному виду (1.14)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−−

−−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

5

4

3

2

1

543

521

21

0

000

1000

010110

011001

000011

0

U

i

RRR

RR

I

(1.14)

Простота схемы, использованной для примера, привела к множеству

нулей не только в векторе ЭДС, а в нашем случае в объединенном векторе

ЭДС с токами источников, но и в матрице. Тем не менее, матричный вид

системы позволяет наглядно представить необходимый объем вычислений

при решении данным спосом. Опустим эти вычисления и ограничимся

сравнением данного способа решения с приведенным в примере 3. Оно

сразу выявлвет основной недостаток способа: это необходимость работаты

с системами большлго ранга. Тогда как достоинством его служит простая

алгоритмизация написания полной системы уравнений Кирхгофа для

нахождения всех неизвестных.

Пример 4.

Расчет схемы с конденсаторами. Расчет проведем на

примере схемы рис. 1.11. Пусть токи в резисторах имеют те же самые

направления, которые указаны на рис. 1.11 стрелками и индексы

соответствуют индексам резисторов.

Отсутствие тока в ветви с кондесатором позволяет ее мысленно удалить

и для оставшейся схемы записать систему уравнений Кирхгофа. Учитывая

равенство токов в резисторах

R

1

и R

3

, она имет вид:

25

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+=

−−=

.

,

,0

222

13112

214

iRE

iRiRE

iii

(1.15)

Решая эту систему, находим все

токи:

31

2

1

RR

E

i

+

=

,

2

R

E

i =

и

231

3212

4

)(

RRR

RRRE

i

+

++

=

. Затем рас-

считываем напряжение на ветви с конденситором

2

31

1

E

RR

R

u

+

=

, а далее и

само напряжение на нем

12

31

1

EE

RR

R

u

C

−

+

=

.

Рассчитаем теперь токи и напряжение на конденсаторе прямым

введением неизвестного напряжения на кондесаторе. В этом случае система

уравнений Кирхгофа имеет вид

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+=

−−=

.

,

,0

222

13112

111

214

iRE

iRiRE

uiRE

iii

C

(1.16)

При записи этой системы сразу учтено равенство токов в резисторах

R

1

и R

3

. Количество независимых уравнений в системе равно числу

неизвестных

C

uiii ,,,

421

? Поэтому она может быть однозначно разрешена,

например, общим методом Крамера. Хотя для этого потребуется больший

объем вычислений, чем в первом случае. Достоинством такого способа

решения является простая алгоритмизация написания полной системы

уравнений Кирхгофа для нахождения всех неизвестных.

Задачи

1. Построить график изменения потенциала вдоль цепи при замкнутом

и разомкнутом ключе,

полагая, что точка a заземлена. В схеме найти точку

равнопотенциальную точке a. Определить, при замкнутом ключе, потен-

циал какой точки следует приравнять нулю, чтобы потенциалы всех осталь-

ных указанных точек были положительными. Параметры схемы:

E

1

= 25 B,

E

2

= 5 B, E

3

= 20 B, E

4

= 35 B, R

1

= 8 Ом, R

2

= 24 Ом, R

3

= 40 Ом, R

4

= 4 Ом.

Внутренние сопротивления источников: r

10

= 2 Ом, r

20

= 6 Ом, r

30

= 2 Ом,

r

40

= 4 Ом.

E

1

E

2

С

R

1

R

2

R

3

i

2

i

1

i

3

i

4

Рис. 1.11

26

E

3

R

4

E

2

R

1

R

2

R

3

E

1

c

g

f

e

d

i

b

a

h

E

4

E

1

E

2

E

3

R

1

R

2

R

3

Рис. к задаче 1 Рис. к задаче 2

2. Найти

E

2

, при которой потенциал точки между сопротивлением R

1

и

E

2

равен по величине и противоположен по знаку потенциалу точки между

сопротивлением R

2

и E

2

. Положить E

1

= 10,5 B, E

3

= 19,5 B, R

1

= 2 Ом,

R

2

= 3 Ом, R

3

= 5 Ом.

3. При условиях задачи 2 найти

E

2

, при которой по середине

сопротивления R

2

потенциал будет равен нулю.

4. Найти: 1) потенциал точки а, 2) потенциал точки а при соединении ее

с землей через сопротивление 2 Ом. Параметры схемы:

E

1

= 2 B, E

2

= 4 B,

E

3

= 24 B, R

1

= 3 Ом, R

2

= 8 Ом, R

3

= 2 Ом, R

4

= 1 Ом.

5. Найти напряжения источников

E

1

, E

2

и отдаваемую или

потребляемую ими мощность. R

1

= 9,5 Ом, R

2

= 2 Ом, R

3

= 5 Ом, R

4

= 1 Ом.

u

0

= 0, u

1

= 120 B, u

2

= 95 B, u

3

= 100 B. Внутренние сопротивления

источников:

r

10

= 1 Ом, r

20

= 2 Ом.

6. Найти u, E и

R: R

1

= R

6

= 4 Ом, R

2

= R

3

= R

4

= 3 Ом, R

5

= 1 Ом, i

1

= 5 A,

i

2

= 1 A, i

3

= 2 A.

E

1

E

2

E

3

R

1

R

2

R

3

a

E

1

E

2

R

1

R

2

R

3

R

4

u

1

u

2

u

0

u

3

Рис. к задаче 4 Рис. к задаче 5

27

E

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

u

i

1

i

2

i

3

E

1

E

2

R

1

R

2

R

4

R

3

R

5

R

6

R

7

R

i

2

i

1

i

3

Рис. к задаче 6 Рис. к задаче 7

7. Найти

R и E

2

, если E

1

= 42 B, i

1

= 1 A, i

2

= 0,5 A, i

3

= 3 A,

R

1

= R

3

= 10 Ом, R

2

= 20 Ом, R

4

= 5 Ом, R

5

= R

7

= 4 Ом, R

6

= 3.33 Ом.

8. Амперметр

A показывает 8 А. Определить токи во всех ветвях, и

какое направление тока показывает амперметр: E

1

= 120 B, E

2

= 6 B,

E

3

= 80 B, R

1

= R

2

= R

5

= 2 Ом, R

4

= R

3

= 6 Ом, R

6

= 3 Ом.

9. Не заменяя источника тока источником напряжения, найти какой

идеальный источник напряжения надо включить в ветвь с сопротивлением

R

2

, чтобы ток в сопротивлении R

5

был равен нулю при любых его

значениях. Параметры схемы: i

0

= 3,5 A, E

1

= 3 B, R

0

= 1 Ом, R

1

= 5 Ом,

R

2

= R

3

= 2 Ом, R

4

= 0,5 Ом.

10. Пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить, что

мощность, развиваемая всеми источниками, равна мощности рассеиваемой

в цепи. Параметры схемы:

E

1

= 15 B, E

2

= 70 B, E

3

= 5 B, R

1

= 5 Ом,

R

2

= 4 Ом, R

3

= 8 Ом, R

4

= 2,5 Ом, R

5

= 15 Ом. Внутренние сопротивления

источников: r

10

= r

20

= 1 Ом, r

30

= 2 Ом.

11. Пользуясь законами Кирхгофа, найти токи во всех ветвях.

E

1

E

2

E

3

R

1

R

4

R

2

R

5

R

3

R

6

A

E

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

1

R

0

i

0

Рис. к задаче 8 Рис. к задаче 9

28

12. Найти токи во всех ветвях, полагая

R

1

= R

2

= r, R

3

= R

4

= R

5

= R

6

= R.

13. Найти токи во всех ветвях.

14. На выходе генератора зависимость напряжения от тока

)5.01(20 iu −= В (ток в амперах). В номинальном (согласованном) режи-

ме генератор отдает мощность 10 Вт. Представить генератор экви-

валентными схемами: 1) реального источника напряжения; 2) реального

источника тока. Найти рабочий ток и напряжение генератора при макси-

мально развиваемой мощности (рабочую точку номинального режима).

15. Реальный источник тока с внутренним сопротивлением 2 Ом под-

ключен к

нагрузке из резистора (R

н

). Сопротивление резистора может ме-

няться от 0 до ∞. Найти аналитически и представить графиком: 1) зави-

симость тока в резисторе от величины его сопротивления; 2) зависимость

напряжения на нагрузке от тока в этой нагрузке. Найти рабочую точку

номинального режима.

E

1

E

2

E

3

R

1

R

3

R

2

R

4

R

5

E

1

E

2

R

1

R

2

R

3

R

4

Рис. к задаче 10 Рис. к задаче 11

E

1

R

5

R

6

R

2

E

2

R

3

R

4

R

1

i

0

R

4

R

5

R

3

R

1

R

2

Рис. к задаче 12 Рис. к задаче 13

E

1

E

2

R

1

R

2

R

3

E

1

R

1

R

2

i

0

R

3

Рис. к задаче 16 Рис. к задаче 17

29

16. Определить токи во всех ветвях, пользуясь эквивалентностью схем

реальных источников напряжения и источников тока. Параметры схемы:

E

1

= 120 B, E

2

= 100 B,

R

1

=6 Ом, R

2

= 4 Ом,

R

3

= 12 Ом.

17. Определить токи во

всех ветвях.

18. Пользуясь эквива-

лентностью схем источ-

ников напряжения и источ-

ников тока, найти ток в

сопротивлении

R

2

. Пара-

метры схемы:

i

01

=3 mA,

i

02

= 2 mA, G

1

= 0,05 сим, G

2

= 0,01 сим, R

1

= 5 Ом, R

2

=30 Ом.

19. Пользуясь эквивалент-

ностью схем источников на-

пряжения и источников тока,

найти показания амперметра

(

А). Параметры схемы:

E

0

= E

2

= 3 B, E

1

= 7 B,

E

3

= 4 B, E

4

= 5 B, R

1

= 4 Ом,

R

2

= R

3

= R

4

= 2 Ом.

20. Найти токи во всех со-

противлениях и величину за-

рядов на емкостях. Положить

R

1

= R

2

= R

3

= R.

21. Найти

R

5

, если при R

2

= R

6

= 4 Ом и R

3

= 40 Ом, показание

амперметра (

A) не изменяется при замыкании и размыкании ключа (K).

Положите для определенности E

1

= E

2

= 10 B, R

1

= R

4

= 4 Ом. Будет ли

зависеть результат определения R

5

от значений E

1

, E

2

и R

1

, R

4

.

R

1

R

2

G

2

G

1

i

02

i

01

Рис. к задаче 18

E

0

E

1

E

2

E

3

E

4

R

1

R

2

R

3

R

4

A

Рис. к задаче 19

L

1

R

1

С

2

С

3

R

2

R

3

C

4

E

C

1

E

1

R

5

R

6

R

4

E

2

K

R

2

R

3

R

1

A

Рис. к задаче 20 Рис. к задаче 21

30

§ 2. Электрические цепи синусоидального тока

При рассмотрении цепей переменного тока предполагается выполнение

условий квазистационарности, состоящих в том, что время τ

распространения элекромагнитной волны по всей цепи много меньше

периода наивысшей гармоники тока T. Для радиотехнических цепей,

длина которых не более метра, величина τ меньше 0,3 10

-8

с и токи можно

считать квазистационарными вплоть до частот f = 1/T порядка 100 МГц.

При этих частотах электрические поля в цепи можно считать статическими

и для расчетов мгновенных значений тока и напряжения использовать

закон Ома.

Напряжения и токи источников являются синусоидальными функциями

времени:

)sin()(

kkkk

tEte

ψ

ω

+

=

; (2.1)

)sin()(

nnnn

tIti

ψ

ω

+

=

, (2.2)

где E

k

и I

n

– амплитудные значения ЭДС и тока источников k и n;

nknk

f

,,

2

π

ω

= – частоты, на которых работают источники, и ψ

kn,

–

начальные фазы источников.

В комплексной форме ЭДС и ток источников (в электротехнике мнимая

единица обозначается буквой j):

tj

k

tj

kk

kkk

eEeEte

ωψω

&

==

+ )(

)( ; (2.3)

tj

n

tj

nn

nnn

eIeIti

ωψω

&

==

+ )(

)( , (2.4)

где

k

j

kk

eEE

ψ

=

&

,

n

j

nn

eII

ψ

=

&

(2.5)

являются комплексными амплитудами ЭДС и тока источников k и n.

Реальные ЭДС и токи источников соответствуют мнимым частям

комплексных значений (

[

]

)(Im)( tete

kk

&

=

,

[]

)(Im)( titi

nn

&

= ).

Регистрируемые (физические) амплитуды ЭДС и тока это – модули

комплексных амплитуд

kk

j

k

j

kkkkk

eEeEEEEE

ψψ

−

===

*

&&&

,

nnnn

IIII

&&&

==

*

, где знак “*”означает комплексное сопряжение.

Для расчета цепей с источниками, имеющими разную частоту (разные

гармоники), используют принцип суперпозиции. Справедливость этого

принципа основана на линейности электрической цепи. Согласно этому

принципу, каждый источник независимо от остальных создает в элементах

цепи свой ток и свое напряжение на них так, что реальный ток в

элементе

или напряжение на нем является алгебраической суммой (суперпозицией)

Мищенко А.М. Сборник задач по линейным электрическим цепям с кратким изложением теории

Подождите немного. Документ загружается.