Медведев А.В. и др. Математический практикум. І курс: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
41
г) угол между стороной АВ и медианой АМ;
д) координаты точки пересечения медианы АМ и высоты ВН;
е) расстояние от вершины С до стороны АВ.
Решение.
а) Известны координаты двух точек. Поэтому воспользуемся уравнени-
ем (4).
2
1
2
2
3
2
+
+
=
−
−
yx
;
3
2
1
2
+
=
−
yx
-каноническое уравнение прямой АВ. При-
ведем это уравнение к общему виду.
2
)
2
(
3
+
=
−
y
x
;
0
8
3
=
−
−
y
x
- искомое
уравнение в общем виде.
б) Медиана АМ делит сторону ВС пополам. Найдем координаты точки
М. Используем формулы координат середины отрезка.
2
21
xx
x
+
= ,
2
21
yy
y
+
= , где
);(
11
yx
и
);(
22
yx
координаты концов отрезка. 5,0
2
43
−=
−
=x ;
5,1
2
21
=
+
=y . М(-0,5;1,5). Уравнение медианы запишем с помощью уравне-
ния прямой (4), проходящей через две данные точки.
25,1
2
25,0
2
+
+
=
−−
−
yx
;
5,3
2
5,2
2
+
=
−
−
yx
. Или, в общем виде,
0
2
5
,
2
5
,
3
=
−
+
y
x
.
Умножим обе части уравнения на 2. Уравнение медианы АМ:
0
4
5
7
=
−
+
y
x
.
в) Высота ВН треугольника АВС перпендикулярна к стороне АС. Сле-
довательно, вектор
{ }
0;6−=
→
АС является нормальным для прямой ВН. Ис-
пользуем уравнение (2).
0
)
1
(
0
)
3
(
6
=
−
+
−
−
y
x
. Уравнение высоты ВН:
0
3
=
−
x
. Прямая ВН па-
раллельна оси ОУ.
г) Нормальные векторы прямых АМ и АВ
{ }
5;7
1
=
→
N и
{ }
1;3
2
−=
→
N соот-
ветственно.
21
21
NN
NN
αсos
rr
r
r
⋅
⋅
= . 16)1(537
21
=−⋅+⋅=⋅NN
r
r
, 7457
22
1
=+=N
r
,
10)1(3
22
2
=−+=N
r
.
42
185
8
537
8
1074
16
=
⋅
==αсos ;
185
8
arccos=α .
д) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых АМ и ВН, ре-
шим систему из уравнений этих прямых
=−
=
−
+
03
;0457
x
yx
−=
=
4,3
;3
y
x
.
е) расстояние от точки С(-4;-2) до прямой АВ:
0
8
3
=
−
−
y
x
находим по
формуле
22
00
BA
CByAx
d
+
+
+
= . 108,1
10
18
)1(3
8)2()4(3
22
==
−+
−
−
−
−
⋅
=d .
Пример 2.
Найти координаты точки В, симметричной точке А(2;-3) от-
носительно прямой
0
13
5
3
:
=
+
−
y
x
l
. Составить уравнение прямой, прохо-
дящей через точку В параллельно прямой
l
.
Решение.
Точка В лежит на прямой
m
, перпендикулярной прямой
l
, проходящей
через точку А. Составим уравнение этой прямой.
Угловой коэффициент прямой
l
:
5
3
1
=k , тогда угловой коэффициент
перпендикулярной прямой
3
51
1
2
−=−=
k
k . Воспользуемся уравнением прямой
(6).
)2(
3
5
3 −−=+ xy ;
10
5
9
3
+
−
=
+
x
y
;
0
1
3
5
=
−
+
y
x
. Точка пересечения
прямых
l
и
m
является проекцией точки А на прямую
l
, а также, серединой
отрезка АВ. Ее координаты являются решением системы уравнений
=−+
=
+
−
.0135
;01353
yx
yx
Решение системы
2
;
1
=
−
=
y
x
.
Тогда координаты точки В можно найти, используя формулы коорди-
нат середины отрезка
2
21
xx
x
+
=
;
2
21
yy
y
+
=
.
-1=
2
2
2
x
+
;
2
3
2
2
y
+
−
=
; 4
2
−
=
x , 7
2
=
y . Точка В имеет координаты
(-4;7).
43
Составим уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно
прямой
l
. Так как прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны.
Используем уравнение прямой (6).
)4(
5
3
7 +=− xy ;
12
3
35
5
+
=
−
x
y
;
0
47
5
3
=
+
−
y
x
искомое уравнение.
Задачи для самостоятельного решения.
1.
В треугольнике АВС составить уравнения медианы и высо-
ты, проведенных из вершины А.
( 4;2)
A
−
,
( 7;7)
B
−
,
( 13; 13)
C
− −
.
2.
В треугольнике АВС составить уравнение прямой, прохо-
дящей через вершину А перпендикулярно медиане
BM
.
(0;4)
A
,
(2;6)
B
,
(8; 2)
C
−
.
3.
В треугольнике АВС найти проекцию вершины В на сторо-
ну АС.
(2;4)
A
,
(4;10)
B
,
(6; 2)
C
−
.
4.
Составить уравнения прямых, проходящих через точку
(2;1)
A
:а) параллельно прямой
3 2 5 0
x y
+ − =
; б) перпендикулярно пря-
мой
(2;1)
A
3х+4у-2=0.
5.
Зная координаты вершины
(1;3)
A
треугольника АВС и
уравнения двух его медиан
2 1 0
x y
− + =
;
1 0
y
− =
составить уравнения
всех сторон треугольника.
6.
Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на
прямых, имеющих следующие уравнения:
1 0
x y
+ + =
;
4 9 0
x y
− − =
;
6 1 0
x y
+ + =
. Составить уравнения высоты, проведенной из вершины
А.
7.
Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на
прямых, имеющих следующие уравнения:
2 2 0
x y
+ − =
;
5 2 0
x y
+ − =
;
1
x
=
. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины В.
8.
Найти точку В* симметричную точке
(3;5)
B
относительно
прямой, проходящей через точки
(0;1)
A
и
(8; 3)
C
−
.
9.
Даны координаты вершин четырехугольника АВСD :
(0;1)
A
,
(3;6)
B
,
(8;2)
C
,
(5; 2)
D
−
. Найти угол между диагональю АС и
стороной АD.
10.
Даны вершина
(2;6)
A
треугольника АВС и уравнения вы-
сот
y x
=
и
2
y x
= −
, проходящих через вершины В и С. Написать урав-
нение стороны ВС треугольника АВС.
11.
Одна из сторон квадрата лежит на прямой
3 2 7 0
x y
+ − =
, а
координаты одной из вершин квадрата
( 2;3)
A
−
. Найти площадь этого
квадрата.
44
12.
Одна из вершин квадрата
(1;2)
A
лежит на стороне, уравне-
ние которой
2 4 0
x y
+ − =
. Написать уравнение диагонали квадрата,
выходящей из точки А.
13.
Найти точку А
*
симметричную точке
(2;4)
A
относительно
прямой
2 3 12 0
x y
+ − =
. Сделать чертеж.
14.
В треугольнике АВС:
( 2;2)
A
−
,
(2;5)
B
,
(6; 4)
C
−
. Написать
уравнение биссектрисы, выходящей из вершины А.
15.
Даны координаты трех последовательных вершин паралле-
лограмма АВСD:
( 4;2)
A
−
,
(0;6)
B
,
(6; 2)
C
−
. Найти координаты верши-
ны D. Написать уравнение диагонали ВD.
16.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
(2; 3)
A
−
и точку М, делящую отрезок ВС в отношении
3: 2
, где
(4;1)
B
,
(6;4)
C
.
17.
Найти точку пересечения медиан треугольника АВС:
(0;2)
A
,
(4;1)
B
,
(2; 6)
C
−
.
3.2 Плоскость и прямая в пространстве.
Плоскость. Общее уравнение плоскости: ,
где A, B, C - координаты нормального вектора.
Если в этом уравнении D = 0, то плоскость проходит через начало коорди-
нат, и ее уравнение примет вид
.
Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им
виды ее уравнения.
1.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпенди-
кулярно вектору
:
.
2.
Уравнение плоскости в «отрезках
»
:
,
где a, b, c абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоско-
стью координатных осей Ох, Оу Оz соответственно.
3.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
, , :
45
,
4.
Нормальное уравнение плоскости:
,
где
- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на
плоскость;
, , – углы, образованные единичным вектором , име-
ющего направление указанного перпендикуляра, с осями Ох, Оу и Оz
(
).
Рассмотрим простейшие задачи.
I.
Пусть даны две плоскости
,
.
Величина угла
между плоскостями и вычисляется на основа-
нии формулы
,
где
и - нормальные векторы данных плоско-
стей.
Условие перпендикулярности данных плоскостей:
, или .
Условие параллельности двух плоскостей:
.
II.
Расстояние d
от точки до плоскости
,
вычисляется по формуле
.
Пример 1.
Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходя-
щей через точки
и .
Используем уравнение плоскости
и
координаты точки
, получим
.
46
Так как плоскость параллельна оси Ох, то . Уравнение плоскости
примет вид
.
Подставляя в это уравнение координаты точки
, получим
, , .
Искомое уравнение примет вид
.
Поделив обе части уравнения на
( , так как если , то и ,
но нормальный вектор
не может быть нулевым вектором), получим
,
,
,
уравнение, которое и является искомым уравнением плоскости.
Пример 2
. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости .
Так как искомая плоскость параллельна данной, то нормальный вектор иско-
мой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости, т.е.
. Используя уравнение плоскости
и координаты точки
, получим
,
или
.
Пример 3.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и параллельной векторам .
Воспользовавшись уравнением плоскости
, получим
.
Так как плоскость параллельна векторам
и , то в качестве ее нормального
вектора
можно взять вектор . Используя формулу
,
получим
47
.
Подставляем в уравнение
,
упрощаем и получим искомое уравнение
.
Эту задачу можно решить другим способом.
Возьмем произвольную точку искомой плоскости -
. Найдем ко-
ординаты вектора
. Векторы , и компла-
нарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.
,
раскрывая определитель, получим
.
Прямая в пространстве. В зависимости от способа задания прямой в про-
странстве рассматриваются различные способы ее задания.
1.
Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку
параллельно вектору :
,
где
направляющий вектор этой прямой.
2.
Параметрические уравнения прямой:
где
переменный параметр, .
3.
Уравнения прямой, проходящей через две точки и
:
.
4.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Две пересекающиеся плоскости определяют прямую:
где нормальные вектора этих плоскостей не коллинеарные. Направляющий
вектор этой прямой находится по формуле
48
.
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых в простран-
стве. Пусть даны две прямые
и ,
а также плоскость
.
Для двух прямых в пространстве возможен один из вариантов взаимного
расположения
a)
параллельны;
b)
совпадают;
c)
пересекаются;
d)
скрещиваются.
В любом случае прямые образуют некоторый угол (между их направляющи-
ми векторами
и ):
,
где
и - направляющие векторы данных
прямых.
Отсюда следует условие перпендикулярности прямых:
или .
Условие параллельности прямых
имеет вид:
,
а
условие их совпадения
,
где
и точки, принадлежащие прямым и .
Необходимое и достаточное
условие пересечения непараллельных прямых
(
), запишется в виде:
или ,
если это условие не выполняется, то прямые скрещивающиеся.
Расстояние h от точки
до прямой, проходящей через точку
параллельно вектору вычисляется по формуле
49
.
Пример 4
. Преобразовать общие уравнения прямой к каноническому виду
Для решения этой задачи необходимо найти направляющий вектор
и ка-
кую-нибудь точку, принадлежащую этой прямой.
Направляющий вектор находим по формуле
.
Точку на прямой будем искать следующим образом: примем
, тогда
система примет вид
Решив эту систему, найдем
, , получим точку ,
лежащую на прямой.
Канонические уравнения прямой запишутся в виде:
.
Пример 5.
Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку
, параллельно вектору .
Используя данные условия задачи, запишем канонические уравнения пря-
мой:
.
Приравняем каждое из отношений к параметру
t, получим
-
параметрические уравнения прямой.
Пример 6
. Найти расстояние от точки до прямой
.
По условию, прямая проходит через точку
в направлении векто-
ра
. Найдем координаты вектора и выполним
необходимые вычисления, используя формулу
50
,
,
,
,
.
Прямая и плоскость в пространстве. Пусть даны прямая
,
где
направляющий вектор этой прямой, и плоскость
,
где
- нормальный вектор плоскости.
Угол между прямой
и плоскостью определяется по формуле
Условие параллельности прямой (l) и плоскости (
) имеет вид
Am + Вn + Ср = 0 ;
условие их перпендикулярности:
.
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользо-
ваться параметрическими уравнениями прямой
координаты точки пересечения находятся из системы уравнений
Условие, при котором прямая (l) лежит в плоскости
: