Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 4
Подождите немного. Документ загружается.
158
1
12
2
2
55
33
3
2
00
0
2
5cos5cos
limlim
33
xx
π
π
ε
εε
π
ε
−
→+→+
+
=−−=
12
33
55
12
5
00
5
5cos5cos
22
551
limlim
33383
551
.
338
εε
ππ
εε
→+→+
−+
=−++⋅+=
=+
Пример 3. Исследовать интеграл на сходимость:
1)
1
1
2
;
ln
dx
x
∫
2)
1
2
4
22
0
sin
;
xdx
xxx
+
∫
3)
1
7
4
0
1
sin
.
x
dx
x
∫
Решение. 1) Подынтегральная функция имеет особенность в точке
1.
x
=
Сравним функцию
1
ln
x
с функцией
1
.
(1)
p
x−
По правилу Лопи-
таля вычислим предел
11
111
1
ln1
limlimlim.
(1)(1)(1)
ppp
xxx
x
x
xpxxpx
−−
→→→
==
−−−
Если
1,
p
=
то
1
ln
lim1.
1
x
x
x
→
=
−
Это означает, что функции
1
ln
x
и
1
1
x
−
эквивалентны при
1.
x
→
Поскольку расходится интеграл
1
1
2
1
dx
x
−
∫
(пример 1, с. 155–156), то расходится также интеграл
1
1
2
.
ln
dx
x
∫
2) Подынтегральная функция имеет особенность в точке
0.
x
=
Так как
sin~,
xx
22
sin~,
xx
99
44
4
22
4
1~
xxxxxx
+=+
при
0,
x
→
то
справедлива эквивалентность
1
4
2
4
22
sin
~
x
x
xxx+
при
0.
x
→
Поэтому из
159
сходимости интеграла
1
4
1
0
dx
x
∫
(пример 1, с. 141) следует сходимость ин-
теграла
1
2
4
22
0
sin
.
x
dx
xxx+
∫
3) Подынтегральная функция
()
7
4
1
sin
x
fx
x
= является знакопере-
менной функцией на промежутке (0; 1]. Исследуем интеграл на абсо-
лютную сходимость. Так как
1
sin1
x
≤
для любого
(
]
0;1,
x∈ то
111
4
77
44
7
000
1
sin
.
x
dxdx
dx
xx
x
≤=
∫∫∫
Поскольку показатель
4
1,
7
p
=<
то согласно формуле (21.16) ин-
теграл сходится.
Отсюда следует, что заданный интеграл сходится абсолютно.
Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла
5
1
.
2
dx
x
−
∫
Решение. Интеграл от функции
1
2
y
x
=
−
на отрезке [1; 5] расхо-
дится (пример 1, с. 155–156). Однако он сходится в смысле главного
значения.
525
0
112
V.p.lim
222
dxdxdx
xxx
ε
ε
ε
−
→+
+
=+=
−−−
∫∫∫
52
00
21
00
limln2limln2
limlnln1ln3limlnln3.
xx
ε
εε
ε
εε
εε
−
→+→+
+
→+→+
−+−=
=−+−=
160
Задания
I уровень
1.1. Вычислите несобственный интеграл второго рода или
установите его расходимость:
1)
1
2
0
;
dx
x
∫
2)
2
5
1
;
1
dx
x
−
∫
3)
1
;
ln
e
dx
xx
∫
4)
3
4
3
1
;
(3)
dx
x
−
∫
5)
3
2
;
2
dx
x
−
∫
6)
2
7
0
;
1
dx
x
−
∫
7)
3
1
;
ln
e
dx
xx
∫
8)
2
5
3
0
ln(25)
.
25
x
dx
x
−
−
∫
1.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на
сходимость:
1)
4
3
cos
;
3
x
dx
x −
∫
2)
1
4
0
1
sin
;
x
dx
x
∫
3)
1
3
2
0
sin2
;
x
dx
x
∫
4)
2
6
tg.
xdx
π
π
∫
II уровень
2.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его
расходимость:
1)
1
4
0
;
1
xdx
x
−
∫
2)
2
4
0
;
16
xdx
x
−
∫
3)
( )
6
6
7
0
cos3
;
1sin3
x
dx
x
π
−
∫
4)
6
2
3
2
;
(3)
dx
x
−
∫
5)
2
2
0
;
cos
tgx
e
dx
x
π
∫
6)
2
1
;
1
xdx
x
−
∫
7)
1
2
4
3
1
53
;
x
dx
x
−
−
∫
8)
4
2
3
;
9
xdx
x
−
∫
9)
4
2
;
(2)(4)
dx
xx
−−
∫
10)
3
2
2
sin
;
cos
xdx
x
π
π
∫
11)
2
2
6
0
;
64
xdx
x
−
∫
12)
4
0
ctg;
xdx
π
∫
161
13)
3
2
3
;
1
xdx
x
−
−
∫
14)
7
2
3
;
(5)
dx
x −
∫
15)
3
4
.
1cos
dx
x
π
π
+
∫
2.2. Исследуйте несобственный интеграл второго рода на
сходимость:
1)
1
0
1
cos
;
x
dx
x
∫
2)
1
0
2
;
sin
x
x
e
dx
∫
3)
4
0
1cos
;
x
dx
x
π
−
∫
4)
3
1
0
;
1
x
dx
e
−
∫
5)
1
5
sin
0
ln(1)
;
1
x
x
dx
e
+
−
∫
6)
1
4 3
0
ln(1)
;
1
tgx
x
dx
e
+
−
∫
7)
1
0
;
sin
dx
xx
−
∫
8)
2
0
;
1cos2
dx
x
π
−
∫
9)
1
0
.
cos
x
dx
ex
−
∫
III уровень
3.1. Вычислите несобственный интеграл или установите его
расходимость:
1)
1
3
0
;
1
dx
x
−
∫
2)
3
2
2
1
;
32
dx
xx
−−
∫
3)
2
1
1arcsin
2
0
2
;
1
x
e
dx
x
π
π
−
−
∫
4)
1
2
1
;
(2)1
dx
xx
−
−−
∫
5)
2
2
1
;
321
dx
xxx
−−
∫
6)
1
2
0
.
1
dx
xx
+
∫
3.2. Найдите главное значение несобственного интеграла
второго рода:
1)
3
1
;
dx
x
−
∫
2)
3
1
;
2
dx
x
−
∫
3)
2
1
3
;
ln
dx
xx
∫
4)
1
3
1
;
dx
x
−
∫
5)
6
2
4
;
(5)
dx
x −
∫
6)
2
5
1
.
(1)
dx
x −
∫
162
3.3. Исследуйте несобственный интеграл на сходимость:
1)
1
0
;
tg
dx
xx
−
∫
2)
2
23
0
1
sin;
dx
xx
π
∫
3)
2
0
lnsin;
xdx
π
∫
4)
7
3
4
0
.
23
dx
xxx
++
∫
3.4. Вычислите несобственный интеграл второго рода, ис-
пользуя формулу интегрирования по частям:
1)
2
0
lnsin;
xdx
π
∫
2)
1
1
ln2
3
0
;
x
edx
x
∫
3)
1
0
arcsin
;
x
dx
x
∫
5)
1
2
0
ln
;
1
xdx
x
−
∫
4)
2
0
ctg;
xxdx
π
∫
6)
0
lnsin.
xxdx
π
∫
163
22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
22.1. Дифференциальные уравнения первого
порядка. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
Пусть x – независимая переменная, y(x) – функция от пере-
менной x, заданная на некотором промежутке.
Дифференциальным уравнением (обыкновенным диффе-
ренциальным уравнением) называется уравнение, связывающее
независимую переменную x, функцию y(x) и ее производные.
Порядком дифференциального уравнения называется наи-
высший порядок производной, входящей в него.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:
(,,)0,
Fxyy
′
=
(22.1)
где F – некоторое выражение относительно x, искомой
функции y(x) и ее производной, заданное в области
2
.
D ⊂
R
Если дифференциальное уравнение разрешено относительно
производной функции, то его общий вид:
(,),
yfxy
′
=
(22.2)
где f – некоторое выражение относительно x и y,
2
(,).
xyD∈⊂
R
В таком случае говорят, что дифференциальное
уравнение записано в нормальном виде.
Решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция
(),
yyx
=
которая обращает это
уравнение в тождество.
Поиск решения дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального уравнения, а график этого
решения – интегральной кривой.
Начальным условием (условием Коши) называется условие
00
()
yxy
=
(
)
00
,,
xy∈
R
которым задается дополнительное тре-
бование на решение y(x) дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения (22.2) в
области
(,)
Dxy
∋
называется функция
(,),
yxC
ϕ
=
удовлетво-
ряющая условиям:
164
1)
(,)
xC
ϕ
является решением данного дифференциального
уравнения при любом значении произвольной постоянной С;
2) для любого начального условия
00
(),
yxy
=
такого, что
00
(,),
xyD
∈
существует единственное значение
0
,
CC
=
при ко-
тором решение
0
(,)
yxC
ϕ
=
удовлетворяет начальному условию.
Общее решение
(,,)0,
Ф xyC
=
заданное в неявном виде, на-
зывается общим интегралом дифференциального уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения назы-
вается всякое решение, полученное из общего при конкретном
значении
0
.
CC
=
Задачей Коши называется задача отыскания частного реше-
ния дифференциального уравнения, удовлетворяющего задан-
ному начальному условию
(
)
00
.
yxy
= Геометрически общему
решению на координатной плоскости соответствует семейство
интегральных кривых
(,),
yxC
ϕ
=
зависящее от числового па-
раметра С, а частному решению – определенная интегральная
кривая, проходящая через точку
00
(,).
xy
Теорема Коши. Если функция f(x, y) непрерывна и имеет
непрерывную производную
f
y
∂
∂
в области D, то решение диффе-
ренциального уравнения (22.2) при начальном условии
00
(),
yxy
=
00
(,)
xyD
∈
существует и единственно.
Решение дифференциального уравнения, во всех точках ко-
торого не выполняется условие единственности, называется осо-
бым решением. Особое решение не может быть получено из
общего решения дифференциального уравнения ни при каком
значении произвольной постоянной C.
Дифференциальное уравнение вида
1122
()()()()0,
fxgydxfxgydy
+=
(22.3)
где
12
,
ff
– функции переменной x,
12
,
gg
– функции пере-
менной y, называется уравнением с разделяющимися пере-
менными.
Для решения уравнения (22.3) предполагают
2
()0
fx
≠
и
1
()0.
gy
≠
Почленным делением уравнения (22.3) на
21
()()
fxgy
⋅
его сводят к уравнению
165
12
21
()()
,
()()
fxgy
dxdy
fxgy
=− (22.4)
которое в левой части содержит выражение только от перемен-
ной x, а в правой – только от переменной y (этим объясняется
название данного типа дифференциальных уравнений). Далее
интегрируют равенство (22.4) (слева – по переменной x, а спра-
ва – по y) и получают общее решение.
Ограничения
2
()0,
fx
≠
1
()0
gy
≠
могут привести к потере
решений, поэтому следует решить уравнения
2
()0
fx
=
и
1
()0
gy
=
и установить подстановкой в заданное дифференци-
альное уравнение, являются ли они решением дифференциаль-
ного уравнения. Затем необходимо определить, входят ли они в
общее решение (или являются особыми).
Пример 1. Доказать, что функция
2
2
33
x
y
x
=+ является решением
дифференциального уравнения
(2)2.
yxyx
′
−=
Решение. Продифференцируем функцию:
2
22
.
3
3
x
y
x
′
=−+ Подста-
вим ее в заданное дифференциальное уравнение:
2
2
222
22;
333
3
xx
xx
x
x
+−−+=
22
4222
2.
3333
xx
x
xx
++−=
В итоге получаем тождество
2
2
x
x
⋅=
или
22.
=
Это доказывает, что функция
2
2
33
x
y
x
=+ является решением заданно-
го дифференциального уравнения.
Пример 2. Доказать, что равенство
22
(1)(1)
yxC
++=
является
общим интегралом дифференциального уравнения
22
()()0.
xxydxyyxdy
+++=
Решение. Вычислим производную неявной функции
22
(,)(1)(1)
FxyyxC
=++−
по формуле
:
x
x
y
F
y
F
′
′
=−
′
поскольку
2
2(1),
x
Fxy
′
=+
2
2(1),
y
Fyx
′
=+ то
166
22
22
2(1)(1)
.
2(1)(1)
x
xyxy
y
yxyx
++
′
=−=−
++
Подставим
x
y
′
и
x
dyydx
′
= в заданное дифференциальное урав-
нение:
2
2222
2
(1)
()()()0.
(1)
xy
xxydxyyxdxxxyxxydx
yx
+
+++−=+−−=
+
Получили тождество
00,
=
что и доказывает требуемое.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1)
2
4;
xyx
′
+=
2)
2
(1)0;
ydxxdy
++=
3)
cos1.
yy
′
+=
Решение. 1) Используем то, что
,
dy
y
dx
′
= и запишем исходное
дифференциальное уравнение в виде
2
4
dy
xx
dx
+=
или
2
4.
xdyxdx
+=
Так как
2
40
x
+≠
для всех
,
x
∈
R
то преобразуем уравнение к
виду
2
.
4
xdx
dy
x
=
+
Интегрируем последнее равенство:
2
.
4
xdx
dy
x
=
+
∫∫
Получаем
2
4
yxC
=++
– общее решение заданного дифференциального урав-
нения.
2) Предполагаем, что
0,
y
≠
а так как
2
10
x
+≠
для всех
,
x
∈
R
то
преобразуем заданное дифференциальное уравнение к виду
2
.
1
dxdy
y
x
−=
+
Интегрируем последнее равенство:
2
.
1
dxdy
y
x
−=
+
∫∫
Получаем:
arctg lnln,
xyC
−=+
0.
C
>
Произвольную константу записали в форме lnC для удобства
дальнейших преобразований:
lnarctg.
Cyx
=−
arctg
,
x
Cye
−
= т. е.
arctg
.
x
yCe
−
=
Заметим, что преобразования аналитических выражений произво-
167
дятся с точностью до константы C.
Таким образом,
arctg
x
yCe
−
= – общее решение исходного диффе-
ренциального уравнения.
Проверяем, является ли решением
0.
y
=
Подставляем в заданное
дифференциальное уравнение и видим, что
0
y
=
является решением
дифференциального уравнения. Однако оно не является особым, так
как получается из общего решения при
0.
C
=
Приходим к ответу:
arctg
x
yCe
−
= – общее решение, С = const.
3) Используя то, что
,
dy
y
dx
′
= запишем уравнение в виде
1cos.
dy
y
dx
=−
Предполагаем, что
1cos0
y
−≠
и преобразуем уравнение к виду
.
1cos
dy
dx
y
=
−
Используя формулу тригонометрии
2
2sin1cos,
2
α
α
=−
интегрируем последнее равенство:
,
1cos
dy
dx
y
=
−
∫∫
2
.
2sin
2
dy
dx
y
=
∫∫
Имеем:
ctg
2
y
xC
−=+
или
ctg.
2
y
Cx
=−
Таким образом, получаем
2arcctg()2,
yCxn
π
=−+
n
∈
Z
– общее
решение исходного дифференциального уравнения.
Проверяем, дает ли равенство
1cos0
y
−=
особые решения. Полу-
чаем,
2,
yk
π
=
k
∈
Z
– это есть особые решения исходного дифферен-
циального уравнения. Таким образом, решение заданного дифференци-
ального уравнения:
(
)
2arcctg2,
2,
yCxn
yk
π
π
=−+
=
,
n
∈
Z
.
k
∈
Z
Пример 4. Известно, что решением некоторого дифференциаль-
ного уравнения является семейство парабол
2
.
yxCx
=+ Определить
это дифференциальное уравнение.
Решение. Дифференцируя равенство
2
,
yxCx
=+ имеем
2.
yxC
′
=+
(22.5)
168
Выразим C из уравнения параболы:
2
,0.
yx
Cx
x
−
=≠
Подставив
найденное значение С в уравнение (22.5), получим
2
2,
yx
yx
x
−
′
=+
т. е.
1
.
yyx
x
′
−=
(22.6)
Заданное семейство парабол является решением дифференциаль-
ного уравнения (22.6).
Пример 5. Доказать, что
22
42
xxyyC
−++=
является общим ин-
тегралом дифференциального уравнения
(2)(1)0.
xdxydy
−++=
Оп-
ределить частные интегралы, если известно, что интегральные кривые
проходят соответственно через точки (0, – 1) и (2, 0), построить эти
кривые.
Решение. Вычислим производную неявной функции по формуле
,
x
x
y
F
y
F
′
′
=−
′
где
22
(,)42.
FxyxxyyC
=−++−
Тогда
242
.
221
x
xx
y
yy
−−
′
=−=−
++
Подставим
x
y
′
и
x
dyydx
′
= в задан-
ное дифференциальное уравнение:
( ) ( )
2
210
1
x
xdxydx
y
−
−++−=
+
или
(2)(2)0.
xdxxdx
−−−=
Получили тождество
00.
=
Это доказывает, что заданная неявно
функция является общим интегралом исходного дифференциального
уравнения. Для нахождения частных интегралов и проходящих через
заданные точки интегральных кривых подставляем координаты этих
точек в общий интеграл и определяем соответствующие константы.
Для точки (0, – 1) получаем:
1
21
C
−+=
или
1
1.
C
=−
Для точки
(2, 0) получаем:
2
48
C
−=
или
2
4.
C
=−
Тогда частными интегралами
будут:
22
4210
xxyy
−+++=
и
22
4240.
xxyy
−+++=
Интегральными кривыми являются концентрические окружности
с центром в точке
(
)
2,1
−
и радиусами 2 и 1 соответственно. Это вид-
но, если в полученных частных интегралах выделить полный квадрат
по x и по y:
169
22
(2)(1)4,
xy
−++=
22
(2)(1)1.
xy
−++=
Графики интегральных кривых изображены на рис. 22.1.
Рис. 22.1
Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения:
1)
2
2(1)0,
xdxxdy
−+=
(0)0;
y
=
2)
ln,
y
y
y
=
′
(
)
21;
y
=
3)
2sin,
x
yex
′
=
(
)
01.
y
=
Решение. 1) Разделив уравнение на
2
10,
x
+≠
получим:
2
2
.
1
x
dydx
x
=
+
Интегрируем левую и правую части:
2
2
;
1
x
ydx
x
=
+
∫
2
ln(1)ln.
yxC
=++
Получаем
2
ln(1)
yCx
=+ – общее решение исходного дифферен-
циального уравнения. Подставляем начальное условие
(0)0
y
=
и на-
ходим константу С:
0ln
C
=
или
1.
C
=
Нашли частное решение
2
ln(1).
yx
=+
2) Преобразуя заданное уравнение с учетом того, что
,
dy
y
dx
′
= по-
лучаем
ln
.
y
dxdy
y
= Далее интегрируем:
ln
y
dxdy
y
=
∫∫
или
2
ln
2
y
xC
=+
– это общий интеграл исходного
уравнения.
–
1
1
–
3
1
2
–
2
x
y
0
170
Используем начальное условие: в полученное решение подставля-
ем
2
x
=
и
1.
y
=
Находим константу С:
2
ln1
2,
2
C
=+
т. е.
2.
C
=
Значит,
2
ln
2,
2
y
x
=+
откуда получаем:
(
)
2
22ln
xy
−= – искомое частное решение (частный интеграл).
3) С учетом равенства
dy
y
dx
′
= получаем
2sin.
x
dyexdx
= Интег-
рируем: 2sin
x
dyexdx
=
∫∫
или
2sin.
x
yexdxC
=+
∫
Вычисляем по-
следний интеграл, дважды интегрируя по частям:
,
sincoscos
sin,cos
xx
xxx
ueduedx
exdxexexdx
dvxdxvx
==
==−+=
==−
∫∫
,,
cossinsin.
cos,sin
xx
xxx
ueduedx
exexexdx
dvxdxvx
==
==−+−
==
∫
Отсюда получаем
( )
2sinsincos.
xx
exdxexx
=−
∫
Таким образом, (sincos)
x
yexxC
=−+
– общее решение исходно-
го дифференциального уравнения. Подставляя в него
0,
x
=
1,
y
=
на-
ходим С:
0
1(sin0cos0),
eC
=−+
т. е.
2.
C
=
Частным решением явля-
ется
(sincos)2.
x
yexx
=−+
Задания
I уровень
1.1. Докажите, что данная функция является решением соот-
ветствующего дифференциального уравнения:
1)
cos4,
yxx
=+
4sin;
yx
′
=−
2)
23
ln,
yxx
=
2
32;
xyxy
′
=−
3)
( )
3
2
(1)
1,
3
x
yx
−
=+−
2
33
74;
3
(1)
yy
x
x
x
′
+=−
−
−
4)
,
x
ye
−
=
2
20.
x
yeyy
′
−+=
1.2. Решите уравнение:
1)
2
3
3;
yy
′
= 2)
tgtg;
yxy
′
=⋅
3)
(3)(3)0;
ydxxdy
−+−=
171
4)
2
8
;
16
y
x
′
=
−
5)
2
sin;
yyx
′
= 6)
2
.
1
x
y
x
′
=
−
1.3. Найдите частное решение уравнения:
1)
3
8,
yx
′
=
(0)0;
y
=
2)
2
120,
xdyxdx
−−=
(0)2;
y
=−
3)
sin0,
yx
′
+=
()1;
y
π
=
4)
4(1)(1)0,
xdxydy
++−=
(0)1.
y
=
II уровень
2.1. Докажите, что заданная неявно функция является реше-
нием соответствующего дифференциального уравнения:
1)
22
0,
yxy
−−=
22
()20;
yxyxy
′
+−=
2)
22
210,
xy
+−=
20;
xyy
′
+=
3)
(ln)1,
yxxy
++=
2
ln0;
xyyxy
′
−+=
4)
,
m
yx
=
.
xymy
′
=
2.2. Решите уравнение:
1)
22
(1)(1)0;
yxyxy
′
+++=
2)
(1)0;
xx
edxeydy
−+=
3)
2
(2)1;
yx
′
=+−
4)
2cos.
x
yex
′
=
2.3. Решите задачу Коши:
1)
0,
y
yy
e
x
′
+=
(
)
10;
y
=
2)
(
)
22
120,
xyxy
′
−+=
(
)
01;
y
=
3)
2
,
ln
y
xy
x
′
=
(
)
1;
ye
=
4)
(
)
2
0,
xyydxxdy
+−=
(
)
11.
y
=
5)
(3)(4)0,
ydxxdy
−++=
(3)4;
y
−=
2.4. Докажите, что параметрически заданная функция
,
t
t
xte
ye
−
=
=
является решением уравнения
(
)
2
10.
xyyy
′
++=
2.5. Докажите, что соотношение (1)
yxC
−=
является об-
щим решением (общим интегралом) дифференциального урав-
нения
(1)0.
xyy
′
−+=
Определите частные решения (частные
172
интегралы), если интегральные кривые проходят через точки
(0, 0), (0, – 1) и (2, 1), постройте эти кривые.
III уровень
3.1. Постройте интегральные кривые дифференциального
уравнения:
1)
2
;
xy
dy
dxxy
= 2)
;
3
dyxy
dxxy
−
=
−
3)
;
yy
dy
dxxx
+
=−
+
4)
{
0, åñëè ,
1, åñëè .
dy
yx
yx
dx
≠
=
=
3.2. Составьте дифференциальное уравнение заданных се-
мейств кривых:
1)
22
0;
xyCy
+−=
2)
sincos;
yCxx
=+
3)
22
1;
4
xy
C
+=
4)
.
x
yx
yCex
−
+=
3.3. Составьте дифференциальное уравнение семейства ок-
ружностей с общим центром O(3, 1).
3.4. Составьте дифференциальное уравнение семейства па-
рабол, которые проходят через точку (1, 0) и для которых ось
абсцисс является осью симметрии.
3.5. Материальная точка движется по прямой со скоростью,
обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный
момент движения точка находилась на расстоянии 2 м от начала
отсчета пути и имела скорость 30 м/с. Найдите пройденный путь
и скорость точки через 10 с после начала движения.
22.2. Однородные дифференциальные
уравнения. Уравнения, сводящиеся
к однородным
Дифференциальное уравнение вида
(
)
(
)
12
,,0
fxydxfxydy
+=
(22.7)
173
называют однородным, если обе функции
1
f
и
2
f
являются од-
нородными функциями одной и той же степени n, т. е. для пара-
метра t выполняются:
11
(,)(,),
n
ftxtytfxy
=
22
(,)(,).
n
ftxtytfxy
=
Однородное уравнение может быть сведено к виду
,
y
y
x
ϕ
′
=
(22.8)
где
ϕ
– некоторое выражение относительно
.
y
x
Для решения однородного уравнения его сводят вначале к
виду (22.8), а затем заменяют
,
y
z
x
=
где
().
zzx
=
Этой заменой
дифференциальное уравнение (22.8) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать
замену
,
x
z
y
=
где
().
zzy
=
Дифференциальное уравнение вида
111
222
axbyc
yf
axbyc
++
′
=
++
(22.9)
при определенных значениях
121212
,,,,,
aabbcc
сводится к од-
нородному уравнению. Рассмотрим три возможных случая ко-
эффициентов:
1. Если
11
22
,
ab
ab
≠ то делают замену переменных:
{
,
,(),
xu
yvvvu
α
β
=+
=+=
(22.10)
где числа
α
и
β
находят как решение системы уравнений
{
111
222
0,
0.
abc
abc
αβ
αβ
++=
++=
(22.11)
Этой заменой дифференциальное уравнение (22.9) сводится
к уравнению
11
22
.
aubv
dv
f
duaubv
+
=
+
Далее его решают как однородное.
174
2. Если
111
222
,
abc
k
abc
==≠ то уравнение (22.9) записывают в виде
221
222
()
,,
kaxbyc
yfk
axbyc
++
′
=∈
++
R
и затем заменяют
22
,
zaxby
=+
где
().
zzx
=
Эта замена приво-
дит к дифференциальному уравнению с разделяющимися пере-
менными.
3. Если
111
222
,,
abc
kk
abc
===∈
R
то имеем
222
222
()
,
kaxbyc
yf
axbyc
++
′
=
++
т. е.
().
dyfkdx
=
Далее интегрируют.
Пример 1. Решить уравнение:
1)
(2)0;
xydxxdy
+−=
2)
22
;
xyxyy
′
=−+
3)
sinsin0.
xx
yxdyydx
yy
+−=
Решение. 1)
1
(,)2,
fxyxy
=+
2
(,).
fxyx
=−
Так как
1
(,)(2),
ftxtytxy
=+
2
(,)(),
ftxtytx
=−
то
1
f
и
2
f
– однородные функции первой степени.
Делаем замену. Очевидно, что делением на
x
(
)
0,
x ≠ уравнение
сводится к виду
120,
y
dxdy
x
+−=
т. е.
12
dyy
dxx
=+ или
12.
y
y
x
′
=+
Заменяем
,
y
z
x
=
где
(),
zzx
= откуда
yxz
=⋅
и
.
yzxz
′′
=+ Подстав-
ляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
12,
zxzz
′
+=+
т. е.
1.
dz
xz
dx
=+
Разделяем переменные (при условии
10
z
+≠
):
.
1
dxdz
xz
=
+
Интег-
рируем:
1
dxdz
xz
=
+
∫∫
или
lnln1ln.
xzC
=++ Отсюда
.
1
x
C
z
=
+
Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выра-
175
жение
.
y
x
Тогда общий интеграл исходного дифференциального урав-
нения имеет вид:
2
.
x
C
xy
=
+
Рассмотрим отдельно возможные решения
0
x
=
и
10,
z
+=
кото-
рые мы исключали. В последнем случае имеем
10,
y
x
+=
т. е.
.
yx
=−
Подставляем
0
x
=
и
yx
=−
в заданное дифференциальное уравнение
и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом ре-
шение
0
x
=
содержится в формуле общего интеграла при
0.
C
=
Ре-
шение
yx
=−
не содержится в полученной формуле общего интеграла.
Поэтому окончательное решение:
2
,
.
x
C
xy
yx
=
+
=−
2) Разделив дифференциальное уравнение на x
(0),
x ≠ получаем:
2
1
yy
y
xx
′
=−+
– это однородное дифференциальное уравнение.
После замены
,
y
z
x
=
где
(
)
,
zzx
= имеем
2
1.
zxzzz
′
+=−+
Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая
2
10,
z
−≠
т. е.
1.
z
≠±
Получаем
2
.
1
dzdx
x
z
=
−
Интегрируем и получа-
ем
arcsinln.
zxC
=+
Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:
arcsinln.
y
xC
x
=+
Анализируем, являются ли решениями
0
x
=
и
1,
z
=±
т. е.
.
yx
=±
Подставляем
0,
x
=
,
yx
=
yx
=−
в заданное дифференци-
альное уравнение и убеждаемся, что
0
x
=
не является решением за-
данного дифференциального уравнения, а
,
yx
=
yx
=−
являются ре-
шениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим
к решению исходного дифференциального уравнения:
arcsinln,
.
y
xC
x
yx
=+
=±
176
3) Запишем заданное уравнение в виде
sinsin0.
xxdx
yxy
yydy
+−=
Делим его на y
(0):
y ≠
1sinsin0.
xxx
x
yyy
′
+−=
(22.12)
Делаем замену
,
x
z
y
=
где
(),
zzy
= т. е.
xyz
=
и
.
xzyz
′′
=+ По-
сле подстановки в уравнение (22.12) получаем:
(1sin)sin()0,
zzzzyz
′
+−+=
т. е.
(1sin)sin()0.
zzdyzydzzdy
+−+=
После упрощения имеем
sin0.
dyyzdz
−=
Делим переменные:
sin.
dy
zdz
y
=
Интегрирование дает:
lncos
yzC
=−+
или
lncos.
yzC
+=
Возвращаемся к старым переменным, используя
.
x
z
y
=
Тогда об-
щий интеграл имеет вид:
lncos.
x
yC
y
+=
Пример 2. Решить задачу Коши:
1)
22
()20,(1)1.
yxdxxydyy
−−==
2)
(2)(2)0,(1)3.
yxdxxydyy
−++==
Решение. 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное урав-
нение на
2
,
x
0,
x
≠
получаем:
2
2
120.
yy
dxdy
x
x
−−=
Делаем замену
,
y
z
x
=
dyxdzzdx
=+ где
(
)
:
zzx
=
2
(1)2()0
zdxzxdzzdx
−−+=
или, приведя подобные,
2
(1)20.
zdxzxdz
−+−=
Разделяем переменные: