Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 4
Подождите немного. Документ загружается.
119
1
1
22
2
0
0
1(4)1
1711617ln4116.
44
1(4)
dy
ydylyy
y
=−++=−+++
+
∫∫
Найдем длину дуги l из полученного равенства:
1
17ln(417).
4
ll=−++
Выражаем:
( )
1
4
17ln(417)
171
ln417.
228
l
++
==++
Пример 4. Найти длину:
1) астроиды
[ ]
3
3
cos,
0;2;
sin,
xat
t
yat
π
=
∈
=
2) дуги розы
sin;
a
ρϕ
=
3) первого витка спирали Архимеда
;
a
ρϕ
=
4) дуги логарифмической спирали
a
ϕ
ρ
=
(0,1)
aa
>≠
между
точками
4
,
4
Aa
π
π
и
3
2
3
,.
2
Ba
π
π
Решение. 1) Применим формулу (20.16). Астроида – симметрич-
ная кривая (рис. 20.22).
Рис. 20.22
Вычислим длину дуги, лежащей в первой координатной четверти.
Тогда для
0
x
=
имеем
,
2
t
π
= для
xa
=
имеем
0.
t
=
Вычисляем про-
изводные:
2
3cossin,
xatt
′
=
2
3sincos.
yatt
′
=
a
y
0
a
x
–
a
–
a
120
Получаем:
2
242242
0
49cossin9sincos
lattattdt
π
=+=
∫
( )
22
2
2222222
00
9
49cossincossin44cossin
4
a
attttdtttdt
ππ
=+=⋅=
∫∫
()
()
22
2
2
0
00
6sin26sin23cos23116.
atdtatdtataa
ππ
π
===−=−−=
∫∫
2) Кривая, определяемая уравнением
sin,
a
ρϕ
= имеет один лепе-
сток (рис. 20.23).
Рис. 20.23
Длину дуги лепестка получим, если φ изменяется от 0 до π. При-
меним формулу (20.18). Вычислим производную:
cos.
a
ρϕ
′
=
Получаем:
2222
0
00
sincos222.
laadadaa
ππ
π
ϕϕϕϕϕπ
=+===
∫∫
3) Длину первого витка спирали Архимеда (рис. 20.24) получим,
если φ изменяется от 0 до 2π. Применим формулу (20.18). Поскольку
,
a
ρ
′
=
то получаем:
2
22
2222
2
00
1,,
1
,
1
udvd
d
laadad
duv
ππ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
=+=
=+=+==
==
+
∫∫
a
x
y
0
121
22
22
2
22
22
0
00
11
1214
11
d
aad
ππ
π
ϕϕϕ
ϕϕππϕ
ϕϕ
+−
=+−=+−=
++
∫∫
22
22
2
00
2141
1
d
ad
ππ
ϕ
ππϕϕ
ϕ
=+−++=
+
∫∫
( )
2
22
0
214ln1
l
a
a
π
ππϕϕ
=+−+++=
(
)
22
214ln214.
l
a
a
ππππ
=+−+++
Найдем длину дуги l из полученного равенства
(
)
22
214ln214.
lalaππππ=+−+++
Выражаем:
(
)
22
14ln214.
2
a
laππππ=++++
Рис. 20.24
4) Логарифмическая спираль
a
ϕ
ρ
=
изображена на рис. 20.25.
Применим формулу (20.18). Точку
4
,
4
Aa
π
π
получим, если
,
4
π
ϕ =
точку
3
2
3
,
2
B à
π
π
получим, если
3
.
2
π
ϕ = Поэтому имеем:
333
222
22222
444
ln1ln1lnlaaadaadaad
πππ
ϕϕϕϕ
πππ
ϕϕϕ
=+=+=+=
∫∫∫
3
3
22
2
24
4
1ln1ln
.
lnln
aa
aaa
aa
π
ππ
ϕ
π
++
==−
0
х
122
Рис. 20.25
Пример 5. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим пара-
болоидом
22
22
xy
z
ab
=+ и плоскостью
.
zh
=
Решение. Если эллиптический параболоид
22
22
xy
z
ab
=+ пересечь
плоскостью
,
zconst
=
то в его сечении получим эллипс
22
22
1,
xy
zazb
+=
т. е.
22
22
1.
()()
xy
zazb
+=
Площадь эллипса найдена в примере 2 (см.
с. 115). Имеем
,
Szazbabz
ππ==
0.
zh
≤≤
Для вычисления объема
тела применим формулу (20.19):
2
2
0
0
.
2
h
h
abz
Vabzdzabh
π
ππ===
∫
Пример 6. Используя определенный интеграл, получить формулу
объема шара двумя способами.
Решение. 1-й способ. Поместим центр шара в начало координат
(рис. 20.26). Пересечем шар плоскостью, перпендикулярной оси Ox.
Вычислим площадь круга, полученного в сечении. Обозначим его ра-
диус через r. Тогда
22
.
rRx
=−
Площадь круга является функцией
переменной x и равна
222
(),
SrRx
ππ==− причем x изменяется от – R
до R. Для вычисления объема шара применим формулу (20.19):
2222
()()()
RRR
RRR
VSxdxRxdxRxdx
ππ
−−−
==−=−=
∫∫∫
333
2333
4
.
3333
R
R
xRR
RxRRR
πππ
−
=−=−−−+=
Р
φ
ρ
M
х
0
123
Рис. 20.26
2-й способ. Вычислим объем шара, рассматривая его как тело вра-
щения. Пусть окружность
222
xyR
+= вращается вокруг оси Ox, она
образует сферическую поверхность, которая является границей шара.
Для вычисления объема шара применим формулу (20.20). Поскольку
222
,
yRx
=− где
[
]
;,
xRR
∈− то получаем формулу объема шара:
3
2222
()
3
RR
R
R
RR
x
VydxRxdxRxπππ
−
−−
==−=−=
∫∫
33
333
4
.
333
RR
RRR
ππ
=−−−+=
Пример 7. Используя определенный интеграл, получить формулу
площади поверхности сферы.
Решение. Вычислим площадь поверхности сферы по формуле
(20.21). Так как
222
yRx
=−
(рис. 20.26), то
22,
yyx
′
⋅=−
,
x
y
y
′
=−
2222
2
222
11.
xyxRR
y
y
yyy
+
′
+=+===
Тогда
2
1.
R
yyyR
y
′
⋅+=⋅=
Получаем формулу площади поверхности сферы:
V
x
x
R
R
O
–
R
r
124
( )
( )
22
212224.
RR
R
R
RR
SyydxRdxRxRRRR
πππππ
−
−−
′
=+===−−=
∫∫
Пример 8. Найти объем тела:
1) образованного вращением вокруг оси Ox параболы
2
yx
=
и ог-
раниченного плоскостью
4;
x
=
2) образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
2
yx
=
и
2,
yx
=
вокруг оси Oy.
Решение. 1) Для вычисления объема тела (рис. 20.27) применим
формулу (20.20):
44
2
4
2
0
00
8.
2
x
Vydxxdx
π
πππ
====
∫∫
Площадь боковой поверхности вычислим по формуле (20.21). Вы-
разив y через x, получим
.
yx
=
Находим:
1
,
2
y
x
′
= и
2
141
11.
44
x
y
xx
+
′
+=+=
Тогда
( ) ( )
444
1
2
000
41
2141414
44
x
Sxdxxdxxdx
x
π
ππ
+
==+=++=
∫∫∫
()
()
(
)
( )
3
44
2
3
3
00
3
2
14
1417117171.
4666
x
x
ππππ
+
==+=−=−
Рис. 20.27
2
4
– 2
y
x
125
2) Построим графики функций
2
yx
=
и
2,
yx
=
заштрихуем обра-
зованную ими плоскую фигуру (рис. 20.28). Найдем пределы интегри-
рования, т. е. ординаты точек пересечения графиков функций. Для это-
го решим систему уравнений
2
,
2.
yx
yx
=
=
Рис. 20.28
Имеем:
1
0,
x
=
2
2,
x
=
тогда
1
0,
y
=
2
4.
y
=
Представив заданные
функции как функции переменной у, получим:
,
xy
=
,
2
y
x = где
[0;4].
y
∈
Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси
Oy, вычислим по формуле (20.26):
( )
44
2
223
4
2
0
00
24212
yyyy
Vydyydyπππ
=−=−=−=
∫∫
168
8.
33
π
π
=−=
Пример 9. Найти объем и площадь поверхности тела, образован-
ного вращением:
1) одной арки циклоиды
(sin),
02,
(1cos),
xatt
t
yat
π
=−
≤≤
=−
вокруг оси Ox;
2
4
– 2
y
x
0
126
2) кардиоиды
(1cos)
a
ρϕ
=+ вокруг полярной оси.
Решение. 1) Объем тела и площадь поверхности вычислим по
формулам (20.27) и (20.28).
Находим:
(1cos),sin.
tt
xatyat
′′
=−=
Тогда
( ) ( )
22
33
33
00
1cos1cos
Vatdtatdt
ππ
ππ
=−=−=
∫∫
( )
2
323
0
13cos3coscos
atttdt
π
π
=−+−=
∫
( )
2
32
0
3
13cos1cos2(1sin)cos
2
attttdt
π
π
=−++−−=
∫
2
32
0
53
4coscos2sincos
22
attttdt
π
π
=−++=
∫
2
3323
0
531
4sinsin2sin5;
243
atttta
π
ππ
=−++=
()
2
2222
0
21cos(1cos)sin
Satatatdt
π
π
=−−+=
∫
( )
2
222
0
21cos12coscossin
attttdt
π
π
=−−++=
∫
( ) ( )
22
2222
00
21cos21cos22sin4sin
22
tt
attdtadt
ππ
ππ
=−−==
∫∫
22
2322
00
8sin81cossin
222
ttt
adtadt
ππ
ππ
==−=
∫∫
3
2
2
222
0
0
2
cos
16cos1cos16cos
2232
t
ttt
ada
π
π
ππ
=−=−=
∫
127
22
1164
1611.
333
aa
ππ
=−+−+=
2) Объем тела, образованного вращением кардиоиды вокруг по-
лярной оси, вычислим по формулам (20.29) и (20.30) и учтем, что кар-
диоида – фигура, симметричная относительно полярной оси (поэтому
1
0,
ϕ
=
2
ϕπ
=
– пределы интегрирования).
Вычисляем
sin.
a
ρϕ
′
=− Тогда
( ) ( ) ( )
33
33
00
22
1cossin1cos1cos
33
Vadad
ππ
πϕϕϕπϕϕ
=+=−++=
∫∫
()
4
3
3
0
1cos
8
;
63
a
a
π
πϕ
π
+
=−=
()
22
0
21cossin((1cos))(sin)Saaad
π
πϕϕϕϕϕ
=+++−=
∫
( )
222
0
21cossin12coscossinad
π
πϕϕϕϕϕϕ
=++++=
∫
22224
00
22sin2sincos4sin16sincos
222222
adad
ππ
ϕϕϕϕϕϕ
πϕπϕ
===
∫∫
22
245
0
0
3232
32sinsinsin.
22525
aa
ad
π
π
ϕϕπϕπ
π===
∫
Пример 10. Найти силу давления жидкости на пластину, верти-
кально погруженную в жидкость, если пластина имеет форму полукру-
га радиусом R, диаметр которого находится на поверхности воды
(рис. 20.29).
C
A
R
O
y
dx
B
x
128
Рис. 20.29
Решение. Давление жидкости на полукруг ABC численно равно
удвоенному давлению испытываемому четвертью круга OBC. Уравне-
ние дуги BC имеет вид:
22
().
fxRx
=− Тогда по формуле (20.33) на-
ходим искомое давление
222222
00
2()
RR
PgxRxdxgRxdRxρρ
=−=−−−=
∫∫
2233
0
22
().
33
R
gg
RxR
ρρ
=−−=
Пример 11. Найти координаты центра масс однородной дуги
(1)
ρ
=
астроиды
3
cos,
xat
=
3
sin,
yat
= расположенной в первой
четверти.
Решение. Координаты
c
x
и
c
y
находим по формулам (20.41).
Имеем
2
()3cossin,
xtatt
′
=−
2
()3sincos.
ytatt
′
= Так как
0
x
=
при
,
2
t
π
=
xa
=
при
0,
t
=
то по формулам (20.37) получаем:
2
3242242
0
sin9cossin9sincos
x
Matattattdt
π
=+=
∫
22
242224
00
3sincoscossin3sincos
attttdtattdt
ππ
=+==
∫∫
2
252
24
2
0
0
3sin3
3sinsin;
55
ata
atdt
π
π
===
∫
2
3242242
0
cos9cossin9sincos
y
Matattattdt
π
=+=
∫
129
22
252
2424
2
0
00
3cos3
3cossin3coscos;
55
ata
attdtatdt
ππ
π
−
==−==
∫∫
2
242242
0
9cossin9sincos
Mattattdt
π
=+=
∫
22
22
00
3sincoscossin3sincos
attttdtattdt
ππ
=+==
∫∫
2
2
2
0
0
3sin3
3sinsin.
22
ata
atdt
π
π
===
∫
Тогда
2
3
5
3
2
2
;
5
y
c
a
a
M
a
x
M
===
2
3
5
3
2
2
.
5
x
c
a
a
M
a
y
M
===
Следовательно, центр масс имеет координаты
22
,.
55
Caa
Пример 12. Скорость автомобиля при торможении меняется по
закону
()305
Vtt
=−
(м/с). Определить, какой путь (м) пройдет авто-
мобиль от начала торможения до полной остановки.
Решение. Путь, пройденный автомобилем, вычислим по формуле
(20.31). Найдем время от начала торможения
1
0
t
=
до остановки
2
.
t
Из равенства
3050,
t
−=
находим
2
6.
t
=
Поэтому
( )
6
2
6
0
0
5
305301809090
2
t
Stdtt
=−=−=−=
∫
(м).
Задания
I уровень
1.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
130
1)
1
,
y
x
=
1
,
2
x
=
4,
x
=
0;
y
=
2)
2
1,
yx
=+
0,
x
=
2,
x
=
0;
y
=
3)
2
64,
yxx
=−+−
1,
x
=
4,
x
=
0;
y
=
4)
tg,
yx
=
0,
x
=
,
4
x
π
=
0;
y
=
5)
2
1232,
xyy=−+−
2,
y
=
6,
y
=
0.
x
=
1.2. Вычислите объем тела, полученного вращением фигу-
ры, ограниченной данными линиями, вокруг указанных осей ко-
ординат:
1)
2
,
yx
=
0,
x
=
2,
x
=
0
y
=
вокруг осей Ox и Oy;
2)
sin,
yx
=
[
]
0;,
x
π
∈
0
y
=
вокруг оси Ox;
3)
1,
yx
=−
2,
x
=
5,
x
=
0
y
=
вокруг оси Ox;
4)
,
x
ye
=
2,
x
=−
2
x
=
вокруг оси Ox;
5)
10,
xy
=
1,
x
=
10,
x
=
0
y
=
вокруг осей Ox и Oy.
1.3. Вычислите длину дуги кривой:
1)
lnsin
yx
=
от точки
6
x
π
=
до точки
2
;
3
x
π
=
2)
2
yx
=
от точки
1
x
=
до точки
3.
x
=
1.4. Скорость движения автобуса задается формулой
310
Vt
=+
(м/с). Определите, какой путь пройдет автобус за 10 с
от начала движения.
1.5. Найдите, какую работу нужно совершить, чтобы растя-
нуть пружину на 20 см, если сила в 10 Н растягивает пружину на
5 см (упругая сила по закону Гука равна ()
Fxkx
=
).
1.6. Найдите площадь поверхности вращения, если вращает-
ся кривая:
1) дуга синусоиды
sin,
yx
=
0 x
π
≤≤
вокруг оси Ox;
2) окружность
2sin
r
ϕ
=
вокруг полярной оси.
131
II уровень
2.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
3
,
yx
=
1,
x
=−
3,
x
=
0;
y
=
2)
2
48,
yxx
=−
4,
x
=
0;
y
=
3)
4,
xy
=
50;
xy
+−=
4)
3
,
yx
=
,
yx
=
2;
yx
=
5)
2
4,
yx
=−
2
64;
yxx
=−+−
6)
2
2,
yx
=
2
28;
yx
=−+
7) кардиоидой
(
)
1cos;
ra
ϕ
=− 8)
,
x
ye
=
,
x
ye
−
=
2;
x
=
9)
2
5,
yx
=−
1;
x
=
10)
arcsin,
yx
=
2;
xy
π
=
11)
( )
2
3,
yx=+
3
9;
2
yx
=−+
12) астроидой
3
3
cos,
sin;
xat
yat
=
=
13) эллипсом
4cos,
5sin;
xt
yt
=
=
14) эллипсом
22
1;
94
xy
+=
15)
10,
xy
−−=
2
1;
xy
=−
16)
2
6,
yx
=
2
6;
xy
=
17) лемнискатой Бернулли
22
2cos2;
ra
ϕ
=
18)
sin,
yx
=
3sin,
yx
=
0,
x
=
3
;
4
x
π
=
19) одним лепестком трехлепестковой розы
sin3;
ra
ϕ
=
20) одним лепестком четырехлепестковой розы
sin2;
ra
ϕ
=
21) спиралью Архимеда
ra
ϕ
=
и радиус-векторами
4
π
ϕ
=
и
2
.
3
π
ϕ =
2.2. Вычислите длину дуги кривой:
1) окружности
22
25;
xy+=
2) кардиоиды
(1cos);
ra
ϕ
=+
3)
2sin;
r
ϕ
=
4)
3cos,0;
12
r
π
ϕϕ=≤≤
132
5) астроиды
3
3
4
4
2cos,
2sin;
t
t
x
y
=
=
6) эллипса
4cos,
02;
3sin,
xt
t
yt
π
=
≤≤
=
7)
3
3
cos,
sin,
xt
yt
=
=
от
0
t
=
до
;
2
t
π
=
8)
cos,
sin,
t
t
xet
yet
=
=
от
0
t
=
до
1;
t
=
9) полукубической параболы
23
2
yx
=
от точки
0
x
=
до точки
2;
x
=
10)
2
yx
=
от вершины до точки с абсциссой
2;
x
=
11) циклоиды
{
(sin),
02;
(1cos),
xatt
t
yat
π
=−
≤≤
=−
12)
ln
yx
=
от точки
1
x
=
до точки
15.
x =
2.3. Вычислите объем тела, полученного вращением плоской
фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанных
осей координат:
1)
2
,
yx
=
2
yx
=
вокруг осей Ox и Oy;
2)
2
4,
yxx
=−+
0
y
=
вокруг оси Oy;
3)
,
x
yxe
=
1,
x
=
0
y
=
вокруг оси Ox;
4) лемнискаты Бернулли
22
cos2
ra
ϕ
= вокруг полярной оси;
5) астроиды
3
3
sin,
cos,
xat
yat
=
=
вокруг оси Ox;
6) одной арки циклоиды
{
2(sin),
02,
2(1cos),
xtt
t
yt
π
=−
≤≤
=−
вокруг оси Ox.
2.4. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:
133
1)
22
4,
xy
+=
1,
z
=
4;
z
=
2)
22
,
49
xy
z
+=
6;
z
=
3)
22
2
1,
925
xy
z
+−=
0,
z
=
2;
z
=
2.5. Найдите площадь поверхности вращения, если вращает-
ся кривая:
1) дуга параболы
2
2,
yx
=
[
]
0;4,
x∈ вокруг оси Ox;
2) одна арка циклоиды
{
3(sin),
3(1cos)
xtt
yt
=−
=−
вокруг оси Oy;
3) эллипс
22
22
1
xy
ab
+=
вокруг оси Ox;
4) дуга линии
sin,
0;,
cos,
2
t
t
xet
t
yet
π
=
∈
=
вокруг оси Ox;
5) астроида
3
3
cos,
sin
xat
yat
=
=
вокруг оси Ox;
6) кардиоида
{
2coscos2,
02,
2sinsin2,
xRtRt
t
yRtRt
π
=−
≤≤
=−
вокруг ее оси;
7) кардиоида
4(1cos)
r
ϕ
=+
вокруг полярной оси.
III уровень
3.1. Вычислите площадь фигур, на которые парабола
2
5
yx
=
разбивает круг
22
36.
xy+≤
3.2. Найдите площадь общей части круга
ra
≤
и плоской
фигуры, ограниченной кардиоидой
(1cos).
ra
ϕ
=−
3.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой
циклоиды
{
sin,
1cos
xtt
yt
=−
=−
и прямой
1
.
2
y
=
3.4. Найдите длину дуги спирали Архимеда
2,
r
ϕ
=
находя-
щейся внутри окружности
2.
r
π
=
134
3.5. Найдите объем тела, полученного вращением плоской
фигуры, ограниченной линиями:
а)
2
,
yx
=
4
y
=
вокруг прямой
2;
x
=
б)
3
,
yx
=
0,
x
=
1,
x
=
4
y
=
вокруг прямой
3.
x
=
134
21. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
21.1. Несобственный интеграл первого рода
Несобственный интеграл первого рода – это обобщение ин-
теграла на случай бесконечных промежутков числовой оси: на
полупрямые
[
)
;,
a
+∞
(
]
;,
b
−∞
,,
ab
∈
R
и на прямую
(;).
−∞+∞
Полагаем, что для любого числа
,
b
∈
R
,
ab
≤
существует
определенный интеграл
()().
b
a
Ô bfxdx
=
∫
Результат нахождения предела функции Ф(b) при
b
→+∞
назовем несобственным интегралом первого рода:
lim()().
b
b
aa
fxdxfxdx
+∞
→+∞
=
∫∫
(21.1)
Несобственный интеграл первого рода называется сходя-
щимся, если предел (21.1) существует. Если предел (21.1) не
существует, то несобственный интеграл называется расходя-
щимся. При этом за ним закрепляется значение
,
∞
если функ-
ция Ф(b) бесконечно большая на бесконечности, и не задается
никакого значения, если предел функции Ф(b) при
b
→+∞
не
определен.
Если для функции f (x),
[
)
;xa
∈+∞
можно найти первооб-
разную F(x) на каждом конечном отрезке
[
]
[
]
;;,
aba
⊂+∞
то
справедлива формула Ньютона-Лейбница
()lim()()().
b
a
a
fxdxFbFaFx
+∞
+∞
→+∞
=−=
∫
(21.2)
Аналогично определяется понятие несобственного интегра-
ла первого рода на промежутках
(
]
;,
b
−∞
(
)
;.
−∞+∞
Равенство
lim()()
bb
a
a
fxdxfxdx
→−∞
−∞
=
∫∫
(21.3)
135
(при условии, что предел существует) определяет сходящийся
несобственный интеграл на промежутке
(
]
;.
b
−∞ Соответст-
венно, расходящийся интеграл – если предел в левой части ра-
венства (21.3) не существует. Если F(x) – первообразная f(x) на
каждом конечном отрезке [a; b], то для данного случая справед-
лива формула Ньютона-Лейбница
()()lim()().
b
b
a
fxdxFbFaFx
→−∞
−∞
−∞
=−=
∫
Несобственный интеграл на промежутке
(;)
−∞+∞
рас-
сматривают как сумму несобственных интегралов на лучах
(
]
,
c
−∞ и
[
)
;,
c
+∞
где c – произвольная фиксированная точка
на числовой оси:
()()().
c
c
fxdxfxdxfxdx
+∞+∞
−∞−∞
=+
∫∫∫
(21.4)
Первый интеграл в правой части равенства (21.4) определяют
в смысле формулы (21.3), а второй – в смысле формулы (21.1).
Несобственный интеграл
()
fxdx
+∞
−∞
∫
называется сходящим-
ся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (21.4),
и расходящимся, если хотя бы один интеграл в правой части ра-
венства (21.4) расходящийся.
Несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке
(;)
−∞+∞
можно задать также равенством
()lim()lim()lim(),
cbb
aba
b
aca
fxdxfxdxfxdxfxdx
+∞
→−∞→+∞→−∞
→+∞
−∞
=+=
∫∫∫∫
где величины a и b стремятся к бесконечности независимо друг
от друга. Для вычисления несобственного интеграла на проме-
жутке
(;)
−∞+∞
используют формулу Ньютона-Лейбница
()lim()lim()(),
ba
fxdxFbFxFx
+∞
+∞
→+∞→−∞
−∞
−∞
=−=
∫
где F(x) – первообразная функция f (x).
136
Несобственный интеграл
()
fxdx
+∞
−∞
∫
сходится в смысле
главного значения, если существует конечный предел
lim().
a
a
a
fxdx
→+∞
−
∫
Этот предел называется главным значением не-
собственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и
обозначается:
V.p.
()lim().
a
a
a
fxdxfxdx
+∞
→+∞
−∞−
=
∫∫
(21.5)
З а м е ч а н и е 1. Для интеграла
()
fxdx
+∞
−∞
∫
следует различать
сходимость, определяемую равенством (21.4), от сходимости в смысле
главного значения (см. далее решение примера 4, с. 144–145).
Свойства несобственных интегралов
1. Если сходится интеграл
(),
a
fxdx
+∞
∫
то сходится и интеграл
(),
c
fxdx
+∞
∫
где
,
ca
>
и наоборот. При этом выполняется
()()().
c
aac
fxdxfxdxfxdx
+∞+∞
=+
∫∫∫
2. Если интеграл
()
a
fxdx
+∞
∫
сходится, то
lim()0.
A
A
fxdx
+∞
→+∞
=
∫
3. Свойство линейности: если сходятся интегралы
()
a
fxdx
+∞
∫
и
(),
a
gxdx
+∞
∫
то при произвольных постоянных ,
αβ
∈
R
сходится
137
также интеграл
( )
()()
a
fxgxdx
αβ
+∞
+
∫
и справедлива формула
( )
()()()().
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
αβαβ
+∞+∞+∞
+=+
∫∫∫
4. Если для любого
[
)
;xa
∈+∞
справедливо неравенство
()()
fxgx
≤
и интегралы
(),
a
fxdx
+∞
∫
()
a
gxdx
+∞
∫
сходятся, то
()().
aa
fxdxgxdx
+∞+∞
≤
∫∫
5. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производ-
ные на промежутке
[
)
;a
+∞
и существует
lim(()()),
x
uxvx
→+∞
то из
сходимости одного из интегралов
()(),
a
uxvxdx
+∞
′
∫
()()
a
vxuxdx
+∞
′
∫
вытекает сходимость другого интеграла и справедлива формула
интегрирования по частям:
()()lim()()()()()().
x
aa
uxvxdxuxvxuavavxuxdx
+∞+∞
→+∞
′′
=−−
∫∫
(21.6)
6. Пусть выполняются следующие условия:
1) функция f (x) непрерывна на промежутке
[
)
;;
a
+∞
2) на промежутке
[
)
;α
+∞
определена строго монотонная
функция
(),
xgt
=
множеством значений которой является полу-
прямая
[
)
;,
a
+∞
и
();
ga
α
=
3) функция g(t) имеет непрерывную производную на проме-
жутке
[
)
;.
α
+∞
Тогда из сходимости одного из интегралов
(),
a
fxdx
+∞
∫