Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 4
Подождите немного. Документ загружается.
177
2
2
,
1
zdx
dz
x
z
=−
+
2
(10).
z +≠
Интегрируем последнее уравнение:
2
ln(1)ln||ln,
zxC
+=−+
т. е., используя свойства логарифма, имеем
2
1.
||
C
z
x
+=
Возвращаясь к старым переменным, получаем:
2
2
1
yC
x
x
+=
– об-
щий интеграл исходного уравнения.
Подставляем в него начальные условия
1,
x
=
1
y
=
и находим С:
1
1
11
C
+=
или
2.
C
=
Значит, решением задачи Коши является
2
2
2
1.
||
y
x
x
+=
2) Это уравнение однородное. Разделив его на x
(0),
x ≠ получаем:
2120.
yy
dxdy
xx
−++=
Делаем замену
,
y
z
x
=
где
(),
zzx
=
,
yxz
=
:
dyxdzzdx
=+
(2)(12)()0.
zdxzxdzzdx
−+++=
Приводим подобные:
2
(22)(12)0
zzzdxxzdz
−++++=
или
2
2(1)(12)0.
zzdxxzdz
+−++=
Разделяем переменные, считая
2
10:
zz
+−≠
2
122
0.
1
zdx
dz
x
zz
+
+=
+−
(22.13)
Далее интегрируем уравнение (22.13) и получаем:
2
ln12lnln.
zzxC
+−+=
Используем свойства логарифма и получаем:
22
(1).
zzxC
+−=
Возвращаемся к старым переменным:
2
2
2
1
yy
xC
x
x
+−=
или
22
.
yxyxC
+−=
Отсюда получаем:
178
22
yxyxC
+−=
– общий интеграл заданного уравнения. Подста-
вив в него начальные условия:
1,
x
=
3,
y
=
получим
11.
C
=
Решение задачи Коши:
22
11.
yxyx+−=
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения:
1)
246
;
3
xy
y
xy
−+−
′
=
+−
2)
21
;
423
xy
y
xy
++
′
=
+−
3)
21
.
422
xy
y
xy
++
′
=
++
Решение. 1) Это уравнение не является однородным, но сводится
к однородному дифференциальному уравнению. Так как
11
22
,
ab
ab
≠ т. е.
24
,
11
−
≠
сделаем замену переменных по формуле (22.10):
{
,().
xu
yvvvu
α
β
=+
=+=
(22.14)
Числа
α
и
β
найдем из системы уравнений (22.11):
{
2460,
30,
αβ
αβ
−+−=
+−=
откуда
{
1,
2.
α
β
=
=
Тогда система уравнений (22.14) примет вид
{
1,
2.
xu
yv
=+
=+
Подставив эту замену в заданное уравнение, получим:
2(1)4(2)6
123
dvuv
duuv
−+++−
=
+++−
или
24
dvuv
duuv
−+
=
+
– однородное дифференциальное уравнение.
Сделаем замену переменных:
,
v
z
u
=
где
();
zzu
=
,
vuz
=
.
dvudzzdu
=+
Подставив ее в последнее уравнение, получим:
24
udzzduuuz
duuuz
+−+
=
+
или
(24)(1)(),
zduzudzzdu
−+=++
2
(24)(1)(),
zduuzdzzzdu
−+=+++
2
(1)(32).
uzdzzzdu
−+=−+
Разделим переменные, полагая
2
320,
zz
−+≠
получим:
2
1
.
32
zdu
dz
u
zz
+
=−
−+
179
Преобразуем дробное выражение
2
1
,
32
z
zz
+
−+
представив его в
виде суммы простейших дробей:
2
132
.
21
32
z
zz
zz
+
=−
−−
−+
Тогда получаем:
32
.
21
du
dz
zzu
−=−
−−
Интегрируем последнее уравнение:
1
3ln22ln1lnln,
zzuC
−−−=−+
()
3
1
2
2
lnlnln,
1
z
uC
z
−
+=
−
3
2
(2)
.
(1)
uz
C
z
−
=
−
Возвращаемся к старым переменным:
3
2
2
1
2
1
(1)2
.
1
y
x
y
x
x
C
−
−
−
−
−−
=
−
После упрощения получаем:
32
(2)(1)
yx Сyx
−=−−
– общий ин-
теграл заданного дифференциального уравнения.
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения
будет
2
320
zz
−+=
или
2
yx
=
и
1.
yx
=+
Решение
2
yx
=
входит в общий интеграл при С = 0. Таким обра-
зом, искомое решение дифференциального уравнения
( ) ( )
32
21,
1.
yxCyx
yx
−=−−
=+
2) Так как
111
222
1
,
2
abc
abc
==≠ то заданное уравнение приводится к
уравнению
21
2(2)3
xy
y
xy
++
′
=
+−
.
Заменяем
2,
zxy
=+
где
(),
zzx
=
2,
yzx
=−
2.
yz
′′
=−
Получим:
1
2.
23
z
z
z
+
′
−=
−
180
Разделяем переменные:
5(1)
23
dzz
dxz
−
=
−
или
23
5,
1
z
dzdx
z
−
=
−
(считаем
1
z
≠
), т. е.
1
25.
1
dzdx
z
−=
−
Интегрируем:
2ln15.
zzxC
−−=+
Возвращаемся к старым переменным и получаем общий интеграл:
2ln21.
yxyxC
−+−−=
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения
будет
1
z
=
или
21,
xy
+=
т. е.
12.
yx
=−
Таким образом, искомое ре-
шение дифференциального уравнения:
2ln21,
12.
yxyxC
yx
−+−−=
=−
3) Так как
111
222
,
abc
abc
== т. е.
211
,
422
== то заданное уравнение
сводится к уравнению
( )
21
.
221
dyxy
dxxy
++
=
++
После сокращения имеем
2.
dydx
= Интегрируем и получаем об-
щее решение исходного дифференциального уравнения:
2.
yxC
=+
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1)
22
()20;
xydyxydx
−+=
2)
2(2)0;
xdyxydx
−+=
3)
4343
(2)(2)0.
yxydxxxydy
−+−=
1.2. Решите задачу Коши:
1)
,(1)1;
2
xy
yy
xy
−
′
==
−
2)
2,(1)0;
xyyxy
′
=−=
3)
22
,(1)0.
yxy
yy
x
++
′
==
181
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1)
1
;
224
xy
y
xy
+−
′
=
+−
2)
321
;
642
xy
y
xy
++
′
=
++
3)
2
;
24
y
y
xy
+
′
=
+−
4)
737
.
373
xy
y
xy
−+−
′
=
−−
2.2. Решите задачу Коши:
1)
(1)(571)0,(0)1;
xydxxydyy
+−−−+==
2)
(1)(221)0,(0)1;
xydxxydyy
++−+−==
3)
(21)(21)0,(0)1.
xydyxydxy
++−−+==
III уровень
3.1. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку
(– 1; – 1) так, что расстояние от начала координат до любой ка-
сательной к этой кривой равно абсциссе точки касания.
3.2. Докажите, что интегральные кривые уравнения
24224
2
25
2
yxxyy
y
x
−++
′
= пересекают прямую
2
yx
=
под уг-
лом
.
4
π
ϕ =
22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
()(),
ypxyqx
′
+=
(22.15)
где
(),()
pxqx
– заданные непрерывные функции, называет-
ся линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если
()0,
qx
≡
то уравнение (22.15) имеет вид:
()0
ypxy
′
+=
(22.16)
и называется линейным однородным дифференциальным
уравнением. Если
()0,
qx
≠
то уравнение (22.15) называют ли-
нейным неоднородным дифференциальным уравнением.
182
Однородное уравнение (22.16) решают, разделяя переменные:
().
dy
pxdx
y
=−
Его общее решение имеет вид
()
,
pxdx
yCe
−
∫
=
где С – произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (22.15)
можно найти одним из следующих методов.
Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа):
1) находим общее решение соответствующего линейного
однородного уравнения
()
,
pxdx
yCe
−
∫
=
,
Cconst
=
;
C
∈
R
2) общее решение линейного неоднородного уравнения
ищем в виде
()
(),
pxdx
yCxe
−
∫
= (22.17)
где
()
CCx
=
– некоторая функция, которую необходимо
найти;
3) подставляем функцию (22.17) в уравнение (22.15) и нахо-
дим функцию C(x):
()
()(),
pxdx
CxCqxedx
∫
=+
∫
где С – произвольная постоянная;
4) общее решение уравнения (22.15) записываем в виде
()
()
().
pxdx
pxdx
yeCqxedx
−
=+
∫
∫
∫
(22.18)
Метод Бернулли:
1) ищем общее решение дифференциального уравнения (22.15)
в виде
,
yuv
=⋅
(22.19)
где
(),
uux
=
()
vvx
=
– некоторые функции, которые надо
найти;
2) подставляем функцию (22.19) и ее производную в урав-
нение (22.15), получаем:
()()
uvuvpxuvqx
′′
++=
или
(())();
uvvpxuvqx
′′
++=
(22.20)
183
3) функцию v(x) подбираем как частное решение (при
0
C
=
) дифференциального уравнения
()0;
vvpx
′
+=
(22.21)
4) при условии (22.21) решаем уравнение (22.20), которое
приобретает вид
()
uvqx
′
=
как дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-
ными (находим его общее решение);
5) общее решение исходного уравнения (22.15) записываем как
произведение найденных функций u(x) и v(x), т. е. в виде (22.19).
З а м е ч а н и е. При решении дифференциальных уравнений ме-
тодами Лагранжа и Бернулли реализуем «пошагово» описанные алго-
ритмы.
Уравнение вида
()(),
m
ypxyqxy
′
+= (22.22)
где
,
m
∈
R
называется уравнением Бернулли.
Если
0,
m
=
то это линейное дифференциальное уравнение,
если
1
m
=
– уравнение с разделяющимися переменными.
Если
0;1,
m
≠
то при решении таких уравнений также при-
меняют метод Лагранжа или метод Бернулли.
Пример 1. Решить уравнение двумя способами:
1)
4
42;
xyyx
′
−= 2)
3
2.
y
yx
x
′
−=−
Решение. 1) Преобразуем уравнение (полагая
0
x
≠
) к виду ли-
нейного неоднородного дифференциального уравнения
3
4
2.
yyx
x
′
−=
1-й способ. Решим методом Лагранжа. Найдем общее решение со-
ответствующего ему однородного уравнения
4
0,
yy
x
′
−=
4
.
dydx
yx
=
Интегрируем и получаем:
ln||4ln||ln
yxC
=+
или
4
,
yCx
= где
.
Cconst
=
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем
искать в виде
4
,
yCx
= (22.23)
184
где
()
CCx
= – функция от переменной x.
Найдем C(x). Для этого дифференцируем (22.23):
43
4.
yCxCx
′′
=+
Подставляем функцию (22.23) и ее производную в исходное диф-
ференциальное уравнение:
4344
(4)42.
x
С xCxCxx
′
+−=
Упрощаем полученное уравнение и решаем относительно
.
C
′
По-
лучаем:
2
.
C
x
′
=
Далее интегрируем:
2
(),
CxdxC
x
=+
∫
()2ln;
CxxC
=+
2
()ln.
CxxC
=+
Подставляем
найденное выражение вместо C в равенство (22.23). Тогда общее ре-
шение исходного дифференциального уравнения имеет вид
24
(ln).
yxCx
=+
2-й способ. Ищем общее решение исходного уравнения в виде
(22.19). После подстановки получим:
3
4
2.
uvvuvx
x
′′
−⋅+=
(22.25)
Подбираем функцию v как частное решение (при
0
C
=
) уравнения
4
0,
v
v
x
′
−=
т. е.
4
.
dvdx
vx
=
Вследствие интегрирования имеем:
ln4ln,
vx
=
4
.
vx
=
Подставляем найденную функцию v в (22.25), получаем:
43
2.
uxx
′
=
Находим общее решение последнего уравнения, разделяя пере-
менные:
2
.
dudx
x
=
Интегрируем и получаем:
2ln
uxC
=+
или
2
ln,
uxC
=+
где
.
Cconst
=
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид (в соответ-
ствии с (22.19)):
24
(ln).
yxCx
=+
Вывод: в данном примере решение методом Бернулли (2-й способ)
оказалось более рациональным, так как быстрее привело к ответу.
185
2) 1-й способ. Решим уравнение методом Лагранжа. Находим об-
щее решение соответствующего ему однородного уравнения
0,
y
y
x
′
−=
т. е.
.
dydx
yx
=
Интегрирование дает:
lnlnln
yxC
=+ или
,
yCx
=
.
Cconst
=
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем
искать в виде
,
yCx
=
(22.26)
где
().
CCx
=
Дифференцируем функцию (22.26):
.
yCxC
′′
=+
Подставляем функцию (22.26) и ее производную в исходное диф-
ференциальное уравнение:
3
2,
Cx
CxCx
x
′
+−=−
3
2,
Cxx
′
=−
2
2.
Cx
′
=− Интегрирование по-
следнего равенства дает нам
()
3
2
,
3
x
CxC
=−+
где
.
Cconst
=
Подставляем найденное выражение вместо C(x) в (22.26). Получа-
ем общее решение заданного уравнения:
3
2
,
3
yxCx
=−+
т. е.
4
2
.
3
yCxx
=−
2-й способ. Ищем общее решение в виде
yuv
=
(метод Бернулли),
где
(),
uux
=
()
vvx
= – функции, которые надо найти. Вычисляем про-
изводную
yuvuv
′′′
=+ и подставляем ее вместе с функцией
yuv
=
в
исходное уравнение. Получаем:
3
2,
uv
uvuvx
x
′′
+−=− т. е.
3
2.
v
uvuvx
x
′′
−+=−
(22.27)
Согласно методу, полагаем
0.
v
v
x
′
−=
Из этого уравнения (как из
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными) най-
дем функцию v(x). Интегрируем равенство
dvdx
vx
= и находим
lnln
vx
= (константу C полагаем равной нулю).
186
Из последнего уравнения имеем:
.
vx
=
Возвращаемся к уравне-
нию (22.27). С учетом равенства нулю выражения в скобках и найден-
ной функции v(x) оно имеет вид:
3
2
uxx
′
=− или
2
2.
duxdx
=−
Интегрируем последнее равенство. Получаем:
23
2
2,
3
uxdxxC
=−=−+
∫
где
.
Cconst
=
Тогда общее решение
yuv
=⋅
исходного дифференциального
уравнения имеет вид:
3
2
,
3
yxCx
=−+
т. е. приходим к ответу:
4
2
.
3
yCxx
=−
Вывод: более рациональным оказался метод Лагранжа (1-й спо-
соб), так как быстрее привел к общему решению исходного дифферен-
циального уравнения.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:
1)
1,(0)1;
yyxy
′
+=+=
2)
3,(0)0.
x
yyey
′
−==
Решение. 1. Найдем общее решение методом Лагранжа. Рассмот-
рим соответствующее однородное уравнение
0.
yy
′
+=
Решаем его как дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, т. е.
.
dy
dx
y
=−
Его решением является
,
x
yCe
−
= где
.
Cconst
=
Ищем общее решение заданного дифференциального уравнения
в виде
,
x
yCe
−
= (22.28)
где
()
CCx
= – некоторая функция.
Найдем функцию
().
Cx
Дифференцируем выражение (22.28):
.
xx
yCeCe
−−
′′
=−
Подставляем найденную производную и функцию (22.28) в задан-
ное уравнение, получаем:
1,
xxx
CeCeCex
−−−
′
−+=+
т. е.
187
1
x
Cex
−
′
=+
или
()(1).
x
Cxex
′
=+
Тогда
()(1).
x
CxexdxC
=++
∫
Интегрируя по частям, получим:
(),
x
CxxeC
=+
где
.
Cconst
=
Найденное выражение С (x) подставляем в равенство (22.28), по-
лучаем:
.
x
yxCe
−
=+
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если
0
x
=
и
1,
y
=
то
1.
C
=
Значит, частное решение имеет вид:
.
x
yxe
−
=+
2) Найдем общее решение методом Бернулли, т. е. в виде
.
yuv
=⋅
После подстановки производной
yuvuv
′′′
=+ и самой функции
yuv
=
в исходное дифференциальное уравнение получаем:
3,
x
uvuvuve
′′
+−= т. е.
(
)
3.
x
uvvuve
′′
−+= (22.29)
Полагаем
30.
vv
′
−=
Интегрируем это уравнение как дифферен-
циальное уравнение с разделяющимися переменными и находим v(x):
3,
dv
v
dx
=
3,
dv
dx
v
=
ln3
vx
=
(полагаем
0
C
=
) или
3
.
x
ve
=
Возвращаемся к дифференциальному уравнению (22.29):
3
,
xx
uee
′
=
2
,
x
ue
−
′
=
2
.
x
du
e
dx
−
=
Имеем уравнение
2
,
x
duedx
−
= которое интегрируем, и получаем:
2
2
,
2
x
x
e
uedxC
−
−
==−+
∫
где
.
Cconst
=
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения
имеет вид:
2
3
2
x
x
e
yCe
−
=−+
или
3
.
2
x
x
e
yCe=−
Найдем частное решение, используя начальное условие. Если
0
x
=
и
0,
y
=
то
1
.
2
C
=
Значит, частное решение имеет вид:
3
.
2
xx
ee
y
−
=
188
Пример 3. Решить уравнение:
1)
2
ln
;
5
yx
xyy
′
+= 2)
2
cos.
yxyyxy
′′
+=
Решение. 1) Это уравнение Бернулли. Будем искать общее реше-
ние методом Бернулли, т. е. в виде
.
yuv
=⋅
После подстановки получим:
( )
22
ln
.
5
uvx
xuvuvuv
′′
++=
После упрощения имеем:
22
ln
().
5
uvx
uxvvuvx
′′
++= (22.30)
Полагая
0,
xvv
′
+=
находим функцию
():
vvx
=
,
dvdx
vx
=−
lnln,
vx
=−
1
v
x
=
(полагаем
0
C
=
).
Подставляем найденную функцию
1
v
x
=
в дифференциальное
уравнение (22.30):
2
2
1
ln
1
5
x
ux
ux
x
⋅
′
⋅⋅= или
22
ln
.
5
dux
dx
ux
=
Интегрируем последнее уравнение:
2
1ln
.
5
x
dx Ñ
u
x
−=+
∫
После интегрирования по частям получаем:
( )
11
ln1,
5
xC
ux
−=−++
откуда
5
.
ln15
x
u
xxC
=
++
Тогда общее решение заданного дифференциального уравнения
имеет вид:
5
.
ln51
y
xCx
=
++
2) Запишем заданное уравнение в виде
2
cos.
dydy
xyyx
dxdx
+=
Это уравнение не является линейным дифференциальным уравне-
нием вида (22.15) или уравнением Бернулли вида (22.22). Умножим за-
189
данное уравнение на
,
dx
dy
получим:
2
cos.
dx
xyyx
dy
+=
Разделим его на y (
0
y
≠
) и получим уравнение Бернулли
2
1
cos,
dxx
xy
dyyy
−=− (22.31)
решением которого является функция
().
xxy
= Ищем общее решение
последнего дифференциального уравнения в виде
,
xuv
=⋅
где
(),
uuy
=
().
vvy
= Находим производную
xuvuv
′′′
=+
и подставляем
ее вместе с функцией в уравнение (22.31):
22
cos
uvuv
uvuvy
yy
′′
+−=− или
22
cos.
vuv
uvuvy
yy
′′
−+=−
(22.32)
Найдем v(y), решая уравнение
0,
v
v
y
′
−=
т. е.
.
dvdy
vy
=
Интегрирование дает:
ln||ln||,
vy
= т. е.
vy
=
(полагаем
0
C
=
).
Подставляем найденную функцию v в уравнение (22.32):
22
cos,
uy
uyy
y
′
=−
2
cos.
du
ydy
u
=− Интегрируя последнее уравне-
ние, получим:
1
sin
yC
u
−=−+
или
1
.
sin
u
Cy
=
+
Получаем общее решение (общий интеграл) заданного дифферен-
циального уравнения:
sin
y
x
Cy
=
+
или
(
)
sin.
yxCy
=+
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1)
23;
yyx
′
+=
2)
2
3;
x
yye
′
−= 3)
4;
xyyx
′
+=−
4)
43.
yxyx
′
−=
190
1.2. Решите задачу Коши:
1)
3
2,
x
yye
′
+=
(0)0;
y
=
2)
cossin1,
yxyx
′
−=
(0)1;
y
=
3)
2,
x
xyyxe
−
′
+=
(0)0;
y
=
4)
4
22,
yxyx
′
−=
(0)1.
y
=
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1)
2
2tgctg;
yxyx
′
+⋅= 2)
sin
cos2;
x
yyxe
−
′
+=
3)
3
tg;
cos
yyx
x
′
+=− 4)
2
ln
.
2
yx
xyy
′
+=
2.2. Решите задачу Коши:
1)
,
ln
y
y
xy
′
=
+
(
)
01;
y
=
2)
(
)
2
30,
yxyy
′
−−=
6
1;
5
y
=
3)
( )
(
)
2
22
2140,
yyyy
′′
+−−=
(
)
01;
y
=
4)
sin222cos,
yxyx
′
−=
2.
4
y
π
=
III уровень
3.1. Составьте уравнение кривой
(),
yyx
=
проходящей че-
рез точку A(a, a) и обладающей свойством: если в любой точке
N(x, y) кривой с ординатой, равной |BN| (рис. 22.2) провести ка-
сательную до пересечения с осью ординат в точке С, то площадь
трапеции OCNB будет постоянной и равна
2
.
a
Рис. 22.2
3.2. Составьте уравнение кривой
(
)
,
yyx
= проходящей че-
a
a
B
C
A
N
О
y
x
191
рез точку
(
)
0,0
O и обладающей свойством: середина отрезка ее
нормали, заключенного между любой точкой кривой и осью
абсцисс, лежит на параболе
2
.
2
x
y
=
22.4. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида
(,)(,)0
PxydxQxydy
+=
(22.33)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его ле-
вая часть есть полный дифференциал некоторой функции
(,),
uuxy
=
т. е.
(,)(,).
duPxydxQxydy
=+
(22.34)
Тогда уравнение (22.33) равносильно уравнению
0,
du
=
общий интеграл которого определяется формулой
(,),
uxyC
=
(22.35)
где С – произвольная постоянная.
Для того чтобы дифференциальное уравнение (22.33) было
уравнением в полных дифференциалах, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось тождество
PQ
yx
∂∂
=
∂∂
(22.36)
при условии, что
y
P
′
и
x
Q
′
– непрерывны.
При решении уравнения (22.33) следует сделать следующее:
1) проверить выполнение равенства (22.36);
2) если равенство (22.36) выполняется, следует определить
функцию
(,)
uuxy
=
из системы уравнений
(,),
(,);
u
Pxy
x
u
Qxy
y
∂
=
∂
∂
=
∂
(22.37)
3) общий интеграл уравнения (22.33) получают в виде (22.35).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
1)
(35)(53)0;
xydxxydy
++−=
2)
()(1)0.
x
eydxyxdy
−+−+=
192
Решение. 1) Это уравнение вида (22.33), где
(,)35,
Pxyxy
=+
(,)53.
Qxyxy
=− Проверим выполнение условия (22.36):
5,
P
y
∂
=
∂
5,.
QPQ
xyx
∂∂∂
==
∂∂∂
Значит, заданное уравнение – в полных дифференциалах. Опреде-
лим функцию u(x, y) из системы уравнений (22.37)
35,
53.
u
xy
x
u
xy
y
∂
=+
∂
∂
=−
∂
(22.38)
Интегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной величиной:
( ) ()
2
3
(,)355,
2
x
uxyxydxxyCy
=+=++
∫
(22.39)
где в качестве произвольной постоянной относительно переменной x
выступает функция
(),
CCy
= которую нужно найти. Для этого функ-
цию (22.39) дифференцируем по y:
()
5.
u
xCy
y
∂
′
=+
∂
Правую часть полученного равенства приравниваем к правой час-
ти второго уравнения системы (22.38):
(
)
553,
xCyxy
′
+=−
откуда получаем
(
)
3.
Cyy
′
=−
Интегрируем последнее равенство:
() ( )
2
1
3
3,
2
y
CyydyC
=−=−+
∫
где
1
.
Cconst
=
Подставляем найденную функцию C(y) в (22.39):
22
1
33
(,)5.
22
xy
uxyxyC
=+−+
Согласно формуле (22.35), получаем:
( )
22
12
3
5,
2
xyxyCC
−++=
где
2
,
Cconst
= т. е.
( )
22
3
5,
2
xyxyC
−+=
()
Cconst
= – общий интеграл заданного
дифференциального уравнения.
193
2) В заданном примере имеем
1,
P
y
∂
=−
∂
1.
Q
x
∂
=−
∂
Значит, это
уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из сис-
темы уравнений
,
1.
x
u
ey
x
u
yx
y
∂
=−
∂
∂
=−+
∂
(22.40)
Интегрируем первое уравнение системы:
(,)()(),
x
uxyeydxCy
=−+
∫
т. е.
(
)
(
)
,,
x
uxyexyCy
=−+ где C(y) – функция от y, которую надо
найти. Дифференцируем последнее равенство по y:
(()),
x
u
exyCy
y
∂
′
=−+
∂
()
.
u
xCy
y
∂
′
=−+
∂
Используя полученное равенство и второе равенство системы
(22.40), приравниваем их правые части:
()1
xCyyx
′
−+=−+
или
(1).
dCydy
=+
Интегрированием получаем далее
( )
2
1
()1,
2
y
CyydyyC
=+=++
∫
где
1
.
Cconst
=
Тогда
2
1
(,).
2
x
y
uxyexyyC
=−+++
Общий интеграл заданного дифференциального уравнения:
2
.
2
x
y
exyyC
−++=
Пример 2. Решить задачу Коши:
1)
2
(sin2)(cos)0,
xxydxxydy
−−+=
()
0;
2
y
π
=
2)
2
(2)(2)0,
xy
yedxxedy
−
−++=
(
)
00.
y
=
Решение. 1) В заданном примере
2,
P
x
y
∂
=−
∂
2.
Q
x
x
∂
=−
∂
Значит,
это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x, y) из
194
системы уравнений
2
sin2,
cos.
u
xxy
x
u
xy
y
∂
=−
∂
∂
=−−
∂
(22.41)
Интегрируем первое уравнение системы:
( ) ()
(,)sin2.
uxyxxydxCy
=−+
∫
Получаем:
2
(,)cos(),
uxyxxyCy
=−−+
где C(y) – функция от y, которую надо найти. Дифференцируем
последнее равенство по y:
2
().
u
xCy
y
∂
′
=−+
∂
Используем полученное равенство и второе равенство системы
(22.41), приравниваем их правые части:
22
()cos
xCyxy
′
−+=−− или
cos.
dCydy
=−
Интегрированием получаем:
1
()sin,
CyyC
=−+
где
1
.
Cconst
=
Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения
имеет вид:
2
cossin,
xyxyC
++=
где
.
Cconst
=
Используем начальное условие
0,
x
=
2
y
π
=
и находим константу C:
cos0sin0
22
C
ππ
++⋅=
или
2.
C
=
Поэтому решением задачи Коши является
2
cossin2.
xyxy
++=
2) Проверяем условие (22.36):
2,
P
y
∂
=
∂
2,
Q
x
∂
=
∂
значит, заданное
дифференциальное уравнение является уравнением в полных диффе-
ренциалах. Находим функцию u(x, y) из системы уравнений
2
2,
2.
x
y
u
ye
x
u
xe
y
−
∂
=−
∂
∂
=+
∂
(22.42)
195
Интегрируем первое уравнение системы:
2
(,)(2)().
x
uxyyedxCy
−
=−+
∫
Получаем:
2
(,)2(),
2
x
e
uxyxyCy
−
=++
где C(y) – неизвестная функция от y, которую надо найти. Диффе-
ренцируем последнее равенство по y:
2().
u
xCy
y
∂
′
=+
∂
Используя полученное равенство и второе равенство системы
(22.42), приравниваем правые части:
22()
y
xexCy
′
+=+ или
.
y
dCedy
=
Интегрированием получаем:
1
(),
y
CyeC
=+ где
1
.
Cconst
=
Тогда общий интеграл заданного дифференциального уравнения
имеет вид:
2
1
2,
2
y
x
xyeC
e
++=
где
.
Cconst
=
Используя начальное условие
0,
x
=
0,
y
=
находим константу С:
0
0
1
2
eC
e
+=
или
3
.
2
C
=
Тогда решением задачи Коши является:
2
13
2
2
2
y
x
xye
e
++=
или
2
423.
xy
xyee
−
++=
Задания
I уровень
1.1. Решите уравнение:
1)
232
()30;
xydxxydy
−−=
2)
222
(3)(32)0;
xxydxxyydy
−−+−=
3)
(4)0;
xx
xeydxedy
−−
+−=
4)
4
(3cos2)(sin)0.
y
xxdxyedy
−+−=
1.2. Решите задачу Коши:
1)
32233
(237)(144)0,
xxyydxxxyydy
+++++=
(2)0;
y
=
2)
222
(63)(32)0,
yxyxdxxxydy
+−++=
(1)1;
y
=
196
3)
2
(2ln)50,
x
xyydxxdy
y
−−−+=
(0)1.
y
=−
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1)
2
23
10;
xx
dxdy
yy
+−=
2)
2
3
()0;
2
xxydxxyydy
−−+=
3)
2222
0.
yx
xdxydy
xyxy
++−=
−−
2.2. Решите задачу Коши:
1)
22
3()(32)0,
xyxdxxyxdy
+++=
(1)2;
y
=
2)
22
2(1)0,
xydxyxydy
−−+−=
(1)1;
y
=
3)
(cossin)(cossin)0,
yxydxxyxdy
+++=
1.
2
y
π
=
III уровень
3.1. Определите тип дифференциального уравнения и реши-
те его:
1)
(2)0;
yxyxy
′
−+=
2)
(1);
xx
eyye
′
+=
3)
(lnln)0;
xyxxyx
′
++−=
4)
sinln;
xdyyydx
=
5)
22
0;
xdyydx
xdxydy
xy
−
++=
+
6)
tg0.
y
xyxx
x
′
++=
22.5. Понятие дифференциальных уравнений
высших порядков. Дифференциальные
уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальным уравнением n-го порядка,
,
n
∈
N
на-
зывается уравнение вида
()
(,,,,...,)0.
n
Fxyyyy
′′′
=
(22.43)
Если уравнение (22.43) можно разрешить относительно