Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 4
Подождите немного. Документ загружается.
237
Пример 2. Методом интегрируемых комбинаций решить систему
1,
1.
dx
y
dt
dy
x
dt
=−
=−
Решение. Воспользуемся методом интегрируемых комбинаций.
Сложив оба уравнения системы, получим:
2
dxdy
xy
dtdt
+=+−
или
()2.
xyxy
′
+=+−
Обозначим
,
xyz
+=
где
(),
zzt
= получим:
2
zz
′
=−
– уравнение
с разделяющимися переменными. Запишем его в виде
2
dz
z
dt
=−
или
.
2
dz
dt
z
=
−
Отсюда находим
1
2.
t
zCe
=+
Возвращаемся к старым переменным:
1
2.
t
xyCe
+=+
Выразим теперь y через x:
1
2.
t
yCex
=+−
Продифференцируем это равенство и подставим вместо
dy
dt
во 2-е
уравнение системы:
1
.
t
yCex
′′
=−
После подстановки:
1
1
t
Cexx
′
−=−
или
1
1
t
xxCe
′
+=+
– это линейное уравнение 1-го
порядка. Решим его методом Бернулли.
Пусть
,
xuv
=
тогда
1
1.
t
uvuvuvCe
′′
++=+
Отсюда
,
t
ve
−
=
2
1
2
,
2
tt
C
ueeC
=++ тогда
()
()
1
2
1
2
1,
2
1.
2
tt
tt
C
xteCe
C
yteCe
−
−
=++
=−+
Это и есть общее решение исходной системы.
238
22.9. Системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Система дифференциальных уравнений вида
1
1111221
2
2112222
1122
...,
...,
.......................................,
...,
nn
nn
n
nnnnn
dy
ayayay
dx
dy
ayayay
dx
dy
ayayay
dx
=+++
=+++
=+++
(22.78)
где
11
,...,
nn
aa
– числа, называется системой линейных од-
нородных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами. Решение системы (22.78) ищут в виде
1122
,,...,,
xxx
nn
yeyeye
λλλ
γγγ=== (22.79)
где
12
,,...,,
n
γγγλ
– постоянные, которые подбираются по
системе (22.78). Подставляя эти функции в систему (22.78), по-
лучаем систему n алгебраических уравнений с n неизвестными
1111221
2112222
1122
()...0,
()...0,
........................................
..............
...()0.
nn
nn
nnnnn
aaa
aaa
aaa
λγγγ
γλγγ
γγλγ
−+++=
+−++=
+++−=
(22.80)
Чтобы система (22.80) имела ненулевое решение, необходи-
мо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:
11121
21222
12
...
...
0.
............
...
n
n
nnnn
aaa
aaa
aaa
λ
λ
λ
−
−
=
−
(22.81)
Уравнение (22.81) называется характеристическим урав-
нением системы (22.78). Оно имеет n корней, вид которых опре-
деляет решение системы (22.78).
Правило нахождения общего решения системы
линейных однородных уравнений
1. Любому простому действительному корню
1
λ
характери-
стического уравнения (22.81) соответствует решение
239
111
1111212111
,,...,,
xxx
nn
yeyeye
λλλ
γγγ===
где коэффициенты
n
γγγ ,,,
21
K определяют из системы
(22.80) при найденном
1
,
λ
т. е.
11111221
21122122
11221
()...0,
()...0,
........................................
..............
...()0.
nn
nn
nnnnn
aaa
aaa
aaa
λγγγ
γλγγ
γγλγ
−+++=
+−++=
+++−=
(22.82)
Тогда общее решение системы (22.78) записывают в виде
11112121
...,
nn
yCyCyCy
=+++
21212222,
...
nn
yCyCyCy
=+++
........................................
........,
1122
,
nnnnnn
yCyCyCy
=+++
K
где
12
,,...,
n
CCC
– произвольные постоянные.
2. Каждому комплексному корню
1
abi
λ
=+
и ему сопря-
женному
2
abi
λ
=−
соответствуют два линейно-независимых
действительных решения. Для построения этих решений нахо-
дим комплексное решение по формуле (22.79) для корня
1
,
λ
как
и в случае 1, и выделяем действительную и мнимую части этого
решения (корень
2
λ
уже не рассматриваем, так как новых реше-
ний системы (22.78) он не дает).
3. Если
0
λλ
=
– корень кратности k, то решение, соответст-
вующее этому корню, ищут в виде
(
)
(
)
(
)
000
12
11211
(),(),...,(),
n
xxx
kknk
yPxeyPxeyPxe
λλλ
−−−
=== (22.83)
где
(
)
1
()
i
k
Px
−
– многочлен с неопределенными коэффициента-
ми степени
1,1,.
kin
−=
Чтобы найти коэффициенты многочленов
(
)
1
(),
i
k
Px
−
1,,
in
=
подставляем решение (22.83) в систему (22.78) и приравниваем
коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравне-
ний. Выразив все коэффициенты через любые k, полагаем по оче-
реди один из них равным единице, а остальные равными нулю.
Пример 1. Решить систему однородных дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами:
240
1)
1
12
2
12
8,
;
dy
yy
dx
dy
yy
dx
=+
=−
2)
3,
5.
dx
xy
dt
dy
yx
dt
=+
=−
Решение. 1) Характеристическое уравнение системы имеет вид:
18
0.
11
λ
λ
−
=
−−
Вычисляя определитель, получаем
2
9,
λ
=
откуда
1
3,
λ
=−
2
3
λ
=
– простые действительные корни. Частные решения системы
ищем в виде
11
(),
x
yxe
λ
γ=
22
().
x
yxe
λ
γ=
При
1
3
λ
=−
система (22.82) имеет вид:
{
12
12
480,
20.
γγ
γγ
+=
+=
Эта система имеет бесконечное множество решений. Для опреде-
ленности положим
1
2,
γ
=−
тогда
2
1.
γ
=
Получаем частные решения:
3
11
()2,
x
yxe
−
=−
3
21
().
x
yxe
−
=
При
2
3
λ
=
система (22.82) принимает вид:
{
12
12
280,
40.
γγ
γγ
−+=
−=
Положим
1
4,
γ
=
тогда
2
1.
γ
=
Значит, корню
2
3
λ
=
соответствуют частные решения:
3
12
()4,
x
yxe
=
3
22
().
x
yxe
=
Общее решение исходной системы запишется в виде
33
112
33
212
()24,
().
xx
xx
yxCeCe
yxCeCe
−
−
=−+
=+
2) Характеристическое уравнение системы
31
0,
15
γ
λ
−
=
−−
которое приобретает вид
(3)(5)10
λλ
−−+=
или
2
8160.
λλ
−+=
Уравнение имеет двукратный корень
4.
λ
=
Ему соответствует реше-
ние вида
4
()(),
t
xtAtBe
=+
4
()().
t
ytCtDe
=+
Продифференцируем функции x(t) и y(t) и подставим в исходную
систему:
241
44
44
(44)(33),
(44)(55).
tt
tt
eAAtBeAtBCtD
eCCtDeAtBCtD
++=+++
++=−−++
Сокращаем на
4
0
t
e
≠
и группируем. Получаем систему для коэф-
фициентов
0,
0,
0.
AC
ABD
BCD
−=
+−=
+−=
Так как кратность корня
4
λ
=
равна двум (k = 2), то выразим все
коэффициенты последней системы через любые два, например, через
A и B:
{
,
.
CA
DAB
=
=+
Полагая
1,
A
=
0,
B
=
находим
1,
C
=
1.
D
=
Полагая
0,
A
=
1,
B
=
находим
0,
C
=
1.
D
=
Получаем два линейно-независимых частных решения:
4
1
4
1
(),
()(1)
t
t
xtte
ytte
=
=+
и
4
2
4
2
(),
().
t
t
xte
yte
=
=
Общее решение исходной системы имеет вид:
44
12
44
12
(),
()(1).
tt
tt
xtCteCe
ytCteCe
=+
=++
Пример 2. Найти частное решение системы
2,
2,(0)1,(0)1.
dx
xy
dt
dy
xyxy
dt
=−
=+==−
Решение. Характеристическое уравнение системы
21
0,
12
λ
λ
−−
=
−
т. е.
2
(2)10.
λ
−+=
Оно имеет корни
1
2,
i
λ
=+
2
2.
i
λ
=−
Для корня
1
2
i
λ
=+
составляем
систему (22.82):
{
12
12
0,
0.
i
i
γγ
γγ
−−=
−=
Полагаем
1
1,
γ
=
тогда
2
.
i
γ
=−
Частное комплексное решение системы:
()
(
)
2
,
it
xte
+
=
()
(
)
2
.
it
ytie
+
=−
Выделяем в полученных функциях действительные (Re) и мнимые
(Im) части.
242
Поскольку
( )
2
2
()(cossin),
it
t
xteetit
+
==+ то
22
Recos,Imsin;
tt
xetxet
==
(2)2
()(cossin),
itt
ytieietit
+
=−=−+ тогда
2
Resin,
t
yet
=
2
Imcos.
t
yet
=−
Сопряженный корень
2
2
i
λ
=−
новых линейно-независимых ре-
шений не дает, поэтому не рассматривается. Таким образом, общее
решение исходной системы:
22
12
22
12
12
()cossin,
()sincos,
,.
tt
tt
xtCetCet
ytCetCet
CCconst
=+
=−
=
Найдем частное решение для заданных начальных условий. Полу-
чаем:
{
1
2
10,
10,
C
C
=+
−=−
откуда находим
12
1,1.
ÑÑ
==
Искомое частное решение системы:
2
2
()(cossin),
()(sincos).
t
t
xtett
ytett
=+
=−
Задания
I уровень
1.1. Решите систему дифференциальных уравнений:
1)
1
2
2
1
2,
2;
dy
y
dx
dy
y
dx
=−
=−
2)
1
12
2
12
2,
23;
dy
yy
dx
dy
yy
dx
=+
=+
3)
1
12
2
21
,
;
dy
yy
dx
dy
yy
dx
=−
=−
4)
1
12
2
12
,
43.
dy
yy
dx
dy
yy
dx
=+
=−−
1.2. Решите задачу Коши:
1)
() ()
1
12
2
2112
2,
32,02,03;
dy
yy
dx
dy
yyyy
dx
=−
=−==
243
2)
() ()
1
12
2
1212
3,
,01,02;
dy
dx
dy
dx
yy
yyyy
=−
=+==
3)
() ()
4,
2,01,01;
dx
dt
dy
dt
xy
yxxy
=+
=−==
4)
() ()
34,
2,02,01.
dx
dt
dy
dt
xy
xyxy
=−−
=+=−=−
II уровень
2.1. Решите систему:
1)
2,
42;
dx
dt
dy
dt
xy
xy
=−
=+
2)
1
21
2
21
3,
4;
dy
dx
dy
dx
yy
yy
=−
=−
3)
cos,
2;
dx
dt
dy
dt
xyt
xy
=−+
=−
4)
3,
32.
dx
dt
dy
dt
xy
yxt
=−
=−+
2.2. Решите задачу Коши:
1)
() ()
1
12
2
1212
43,
23,04,03;
dy
dx
dy
dx
yy
yyyy
=−
=−==
2)
() ()
,
55,01,05;
dx
dt
dy
dt
xy
xyxy
=−
=−+==−
3)
() ()
3,
4,02,02;
dx
dt
dy
dt
yx
yxxy
=−
=−==−
244
4)
() ()
1
12
2
1212
7,
5,01,02.
dy
dx
dy
dx
yy
yyyy
=−
=+==
III уровень
3.1. Найдите частное решение системы дифференциальных
уравнений:
1)
() () ()
1
23
2
13
3
12123
,
,
,01,01,04;
dy
dx
dy
dx
dy
dx
yy
yy
yyyyy
=+
=+
=+===
2)
() () ()
1
12
2
123
3
123123
2,
3,
23,00,01,01;
dy
dx
dy
dx
dy
dx
yy
yyy
yyyyyy
=+
=+−
=−++===
3)
() () ()
1
12
2
123
3
12123
4,
3,
,01,00,04.
dx
dt
dx
dt
dx
dt
xx
xxx
xxxxx
=−
=+−
=+===
3.2. Решите систему дифференциальных уравнений методом
интегрируемых комбинаций:
1)
,
;
dxx
dtxy
dyy
dtxy
−
−
=
=
2)
2
2
cos,
;
dx
dt
dy x
dty
yt
=−
=
3)
22
22
100,
1030;
dydx
dtdt
dydx
dtdt
x
y
++=
++=
4)
,
,
;
dx
dt
dy
dt
dz
dt
yz
xyt
xzt
=−
=++
=++
245
5)
312
231312
;
dy
dydy
yyyyyy
==
+++
6)
312
222
1223
213
;
22
dy
dydy
yyyy
yyy
==
−−
7)
312
123231312
.
()()()
dydydy
yyyyyyyyy
==
−−−
246
Содержание
Предислов
ие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
19. Неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
19.2. Методы вычисления неопределенного интеграла . . .
13
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
19.3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих
квадратный трехчлен
2
axbxc
++
. . . . . . . . . . . . . . . .
19
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
19.4. Метод интегрирования по частям
. . . . . . . . . . . . . . . .
25
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
19.5. Рациональные функции. Интегрирование
простейших дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
19.6. Интегрирование тригонометрических выражений . . .
48
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
19.7. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . .
64
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
19.8. Интегралы от дифференциальных биномов . . . . . . . .
74
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
20. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
83
20.1. Понятие определенного интеграла и его свойства . . .
83
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
20.2. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования
по частям и замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
20.3. Геометрические и физические приложения
определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
247
21. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
134
21.1. Несобственный интеграл первого рода . . . . . . . . . . .
134
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
21.2. Несобственный интеграл второго рода . . . . . . . . . . .
152
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
22. Дифференциальные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
22.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
22.2. Однородные дифференциальные уравнения.
Уравнения, сводящиеся к однородным . . . . . . . . . . .
172
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли . . . . . . .
181
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
22.4. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . .
191
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
22.5. Понятие дифференциальных уравнений высших
порядков. Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . .
196
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
22.6. Линейные однородные дифференциальные
уравнения высших порядков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
22.7. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
22.8. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . .
232
22.9. Системы линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
. . . . . . .
238
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
Учебное издание
М А Т Е М А Т И К А
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
для учащихся колледжей
В шести частях
ЧАСТЬ 4
Майсеня Людмила Иосифовна
Ламчановская Марина Валерьевна
Михайлова Наталия Викторовна
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл. Несобственные интегралы
Дифференциальные уравнения
Зав. ред.-издат. отд. О. П. Козельская
Редактор Г. Л. Говор
Корректор Н. Г. Михайлова
Компьютерная верстка Н. М. Олейник, А. П. Пучек
План изданий 2007 г. (поз. 42)
Изд. лиц. № 02330/0131735 от 17.02.2004.
Подписано в печать 29.12.2007. Формат 60×84
1
/
16
.
Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 14,42. Уч.-изд. л. 12,40. Тираж 500 экз. Заказ 238.
Издатель и полиграфическое исполнение Учреждение образования
«Минский государственный высший радиотехнический колледж»
220005, г. Минск, пр-т Независимости, 62.