Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 4
Подождите немного. Документ загружается.
МАТЕМАТИКА
в примерах и задачах
Часть 4
под общ. ред.
Л. И. Майсеня
МИНСК 2007
∫∫
+b
b+
aa
f(x)dxlimf(x)dx
∞
→∞
=
∫∫
udvuvvdu
=−
′
yp(x)yq(x)
+=
y
=
a
x
+
b
′
F(x,y,y)0
=
a
y
0
a
x
–a
–
a
МАТЕМАТИКА в примерах и задачах
4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
М А Т Е М А Т И К А
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
для учащихся колледжей
В шести частях
Под общей редакцией Л. И. Майсеня
ЧАСТЬ 4
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл. Несобственные интегралы
Дифференциальные уравнения
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования, и учащихся
учреждений, обеспечивающих получение среднего специального
образования по специальностям электротехники, радиотехники
и информатики
МИНСК 2007
УДК 51
ББК 22.1я7
М34
Рекомендовано к изданию кафедрой математики и Научно-
методическим советом Учреждения образования «Минский го-
сударственный высший радиотехнический колледж» (протокол
№ 3 от 4.11.2007 г.)
А в т о р ы:
Л. И. Майсеня, М. В. Ламчановская, Н. В. Михайлова
Р е ц е н з е н т ы:
А. В. Метельский, д-р физ.-мат. наук, профессор БНТУ,
кафедра высшей математики БГУИР
Математика в примерах и задачах : учеб. пособие для
М34 учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л. И. Майсе-
ня. – Мн. : МГВРК, 2006 – .
ISBN 978-985-6754-70-1
Ч. 4 : Неопределенный интеграл. Определенный инте-
грал. Несобственные интегралы. Дифференциальные урав-
нения / Л. И. Майсеня, М. В. Ламчановская, Н. В. Михай-
лова. – 2007. – 248 с.
ISBN 978-985-6851-25-7
Пособие написано с целью реализации непрерывного образования
в системе учебных заведений колледж–университет. Разработано в
соответствии с типовой программой дисциплины «Высшая математи-
ка» для специальностей электро-, радиотехники и информатики выс-
ших учебных заведений. Содержатся необходимые теоретические све-
дения, примеры с подробными решениями и задания 3-х уровней
сложности для самостоятельного решения.
УДК 51
ББК 22.1я7
© Майсеня Л. И., Ламчановская М. В.,
Михайлова Н. В., 2007
ISBN 978-985-6851-25-7 (ч. 4) © Оформление. Учреждение обра-
ISBN 978-985-6754-70-1 зования «Минский государствен-
ный высший радиотехнический
колледж», 2007
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Особенностью образовательной системы Республики Бела-
русь является становление и развитие учебных заведений раз-
личного типа, в том числе колледжей и высших колледжей.
В условиях многоуровневого образования в системе учебных за-
ведений колледж–университет актуальна реализация принципов
непрерывности и преемственности в обучении.
Предлагаемое учебное пособие «Математика в примерах и
задачах» в 6-ти частях призвано обеспечить процесс изучения ма-
тематики в высших колледжах и колледжах технического профи-
ля. Оно может быть использовано учащимися на практических
занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.
При создании настоящего пособия авторы ставили перед со-
бой несколько целей: во-первых, дать значительное количество
задач (типовых и оригинальных), которые бы достаточно полно
отображали суть основных математических понятий; во-вторых,
обеспечить необходимой теоретической информацией для их
решений; в-третьих, по каждой теме привести решение основ-
ных типов задач; в-четвертых, предлагаемый для решения набор
задач распределить по трем уровням сложности. Все эти цели и
определили структуру учебного пособия, которое делится на
главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа со-
держится необходимый справочный материал, затем – решение
нескольких задач и набор заданий трех уровней сложности.
Предлагаемая структура учебного пособия, по мнению авто-
ров, делает возможным самостоятельное изучение математики.
Его использование позволяет реализовать дифференцированный
подход в обучении – каждый учащийся может решать задания
доступного ему уровня сложности.
Пособие разработано и прошло апробацию в УО «Минский
государственный высший радиотехнический колледж» (МГВРК)
в процессе обучения учащихся после базовой школы.
Характерной особенностью методического подхода к изуче-
4
нию математики в МГВРК является построение интегрирован-
ного курса математических дисциплин. Этим объясняется то об-
стоятельство, что определенные темы высшей математики вве-
дены в контекст элементарной математики. Поскольку на прак-
тике широко реализуется непрерывное образование в системе
учебных заведений колледж–университет (в том числе МГВРК
интегрирован с Белорусским государственным университетом
информатики и радиоэлектроники), то при разработке данного
учебного пособия авторы использовали (как и в реальном учеб-
ном процессе) в качестве типовых программу изучения матема-
тики в средних школах Беларуси и программу изучения высшей
математики для высших учебных заведений по специальностям
электро-, радиотехники и информатики.
Таким образом реализуются основы непрерывного продол-
жения обучения в университете. Кроме того, предлагаемое
учебное пособие может быть использовано в колледжах при
изучении математики по различным базовым и рабочим про-
граммам – менее или более полным.
«Математика в примерах и задачах. Часть 4» является непо-
средственным продолжением учебного пособия «Математика в
примерах и задачах. Части 1–3». В этих изданиях принята еди-
ная нумерация глав. Предлагаемое пособие (четвертая часть) со-
стоит из четырех глав (гл. 19–22). В отношении авторства отме-
тим, что они подготовлены следующим образом:
М. В. Ламчановская – гл. 19 «Неопределенный интеграл»,
гл. 20 «Определенный интеграл», гл. 21 «Несобственные инте-
гралы»;
Н. В. Михайлова – гл. 22 «Дифференциальные уравнения».
Научно-методическое редактирование осуществила Л. И. Май-
сеня, она является соавтором всего пособия.
Авторы благодарны рецензентам учебного пособия – доктору
физ.-мат. наук, профессору А. В. Метельскому и сотрудникам ка-
федры высшей математики БГУИР, особенно зав. кафедрой, док-
тору физ.-мат. наук В. В. Цегельнику и профессору А. А. Карпу-
ку, за очень внимательное прочтение рукописи и ряд ценных за-
мечаний, устранение которых улучшило наше издание.
Надеемся, что предлагаемое издание будет содействовать ак-
тивизации мыслительной деятельности учащихся и повышению
эффективности учебного процесса при изучении математики.
5
19. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
19.1. Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на не-
котором промежутке
,
X
⊂
R
если F(x) дифференцируема на
промежутке X и для всех
Xx
∈
выполняется
()().
Fxfx
′
=
(19.1)
Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на проме-
жутке X, то любая другая ее первообразная имеет вид
(),
FxC
+
где C – произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом от функции f(x):
()().
fxdxFxC
=+
∫
(19.2)
В равенстве (19.2) использован знак интеграла
.
∫
Функция
f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынте-
гральное выражение, x – переменная интегрирования.
Операция нахождения всех первообразных функции f(x) на-
зывается интегрированием этой функции.
Всякая непрерывная на множестве X функция имеет на этом
множестве первообразную, а значит, неопределенный интеграл.
Геометрически неопределенный интеграл представляет со-
бой семейство кривых
(),
yFxC
=+
.
C
∈
R
График каждой пер-
вообразной называется интегральной кривой.
Таблица основных интегралов:
0;
dxC
⋅=
∫
1
1
x
xdxC
α
α
α
+
=+
+
∫
(1),
α
≠−
(19.3)
в частности,
1;
dxdxxC
⋅==+
∫∫
(19.4)
6
ln(0);
dx
xCx
x
=+≠
∫
(19.5)
log(0,1),
ln
x
xx
a
a
adxCaeCaa
a
=+=+>≠
∫
(19.6)
в частности,
;
xx
edxeC
=+
∫
(19.7)
sincos;
xdxxC
=−+
∫
(19.8)
cossin;
xdxxC
=+
∫
(19.9)
2
tg;
cos
dx
xC
x
=+
∫
(19.10)
2
ctg;
sin
dx
xC
x
=−+
∫
(19.11)
shch;
xdxxC
=+
∫
(19.12)
chsh;
xdxxC
=+
∫
2
th;
ch
dx
xC
x
=+
∫
2
cth;
sh
dx
xC
x
=−+
∫
22
1
arctg,
dxx
C
aa
ax
=+
+
∫
(19.13)
в частности,
2
arctg;
1
dx
dxxC
x
=+
+
∫
22
arcsin,
dxx
C
a
ax
=+
−
∫
(19.14)
в частности,
2
arcsin;
1
dx
xC
x
=+
−
∫
7
22
1
ln;
2
dxxa
C
axa
xa
−
=+
+
−
∫
(19.15)
22
22
ln.
dx
xxaC
xa
=+±+
±
∫
(19.16)
Свойства неопределенного интеграла
1.
()(),.
afxdxafxdxaconst
==
∫∫
2.
1212
(()())()().
fxfxdxfxdxfxdx
+=+
∫∫∫
3.
(())().
fxdxfx
′
=
∫
4.
()().
dfxdxfxdx
=
∫
5.
()().
dFxFxC
=+
∫
6. Если
()(),
fxdxFxC
=+
∫
то
1
()(),0.
faxbFaxbCa
a
+=++≠
∫
Непосредственным интегрированием называют интегри-
рование с помощью таблицы неопределенных интегралов, пер-
вого и второго свойств неопределенного интеграла и тождест-
венных преобразований подынтегральной функции.
Пример 1. Проверить, является ли функция
1
()cos75
7
Fxx
=−+
первообразной для функции
()sin7.
fxx
=
Решение. Найдем производную функции F(x):
11
cos75(sin7)7sin7.
77
xxx
′
−+=−⋅−⋅=
Согласно формуле (19.1) функция F(x) является первообразной
функции f(x).
Пример 2. Проверить, является ли функция
2
()
Fxx
=
первооб-
разной для функции
()2,
fxx
= найти неопределенный интеграл и на-
8
рисовать интегральные кривые из семейства первообразных для
0,
C
=
1,
C
=
2,
C
=−
3.
C
=
Решение.
2
()2.
xx
′
= По формуле (19.2) неопределенный интеграл
имеет вид:
2
2.
xdxxC
=+
∫
Построим интегральные кривые (рис. 19.1).
Рис. 19.1
Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неоп-
ределенные интегралы:
1)
2
3
51
;
xx
dx
x
+−
∫
2)
2
35
;
2
xx
x
dx
−
∫
3)
2
;
cos2sin
dx
xx
+
∫
4)
2
;
9
dx
x
+
∫
5)
2
cos;
2
x
dx
∫
6)
2
.
3
dx
x
−
∫
Решение. 1) Используя первое и второе свойства неопределенного
интеграла и формулы (19.3) и (19.5) таблицы интегралов, получаем:
1
2
22
3
3
3
51511
5
xxxx
dxdxxxdx
xxx
−
+−+−
==+−=
∫∫∫
2
1
2
11
3
3
2
3
5
5ln
11
1
dxxx
xdxxdxxC
x
−+
+
−
=+−=+−+=
+
−+
∫∫∫
1
22
3
3
11
15ln15ln.
22
xxxCxxxC
=+−+=+−+
2) Используя второе свойство неопределенного интеграла и фор-
мулу (19.6) таблицы интегралов, имеем:
– 2
0
1
3
5
10
y
x
F
=
x
2
+
3
F
=
x
2
+
1
F
=
x
2
F
=
x
2
–
2
9
2
35959595
2222
22
xxxx
xxxx
xx
dxdxdxdxdx
−−
==−=−=
∫∫∫∫∫
()()() ()
11
4,52,54,52,5.
ln4,5ln2,5
xxxx
dxdxC
=−=−+
∫∫
3) Применяя формулу
22
cos2cossin
xxx
=− и формулу (19.10)
таблицы интегралов, получаем:
22222
tg.
cos2sincossinsincos
dxdxdx
xC
xxxxxx
===+
+−+
∫∫∫
4) С помощью формулы (19.13) таблицы интегралов находим:
222
1
arctg.
33
93
dxdxx
C
xx
==+
++
∫∫
5) Применяя формулу
2
1cos
cos,
22
xx
+
= первое и второе свойства
неопределенного интеграла, формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегра-
лов, получаем:
2
1cos1111
coscoscos
222222
xx
dxdxxdxdxxdx
+
==+=+=
∫∫∫∫∫
1111
cossin.
2222
dxxdxxxC
=+=++
∫∫
6) С помощью формулы (19.14) таблицы интегралов находим:
222
arcsin.
3
3(3)
dxdxx
C
xx
==+
−−
∫∫
Пример 4. Используя интегрирование дифференциала, найти:
1)
( )
;
dx
∫
2)
( )
lnsin;
dx
∫
3)
( )
sin4;
dx
∫
4)
( )
2
3.
dxx
−+
∫
Решение.
1)
( )
.
dxxC
=+
∫
2)
( )
lnsinlnsin.
dxxC
=+
∫
3)
( )
sin4sin4.
dxxC
=+
∫
4)
( )
22
3.
dxxdxxxC
−+=−++
∫
10
Пример 5. Используя шестое свойство неопределенного интегра-
ла, найти:
1)
( )
sin2;
xdx
−
∫
2)
2
;
x
edx
∫
3)
;
25
dx
x
−
∫
4)
( )
9
81;
xdx
+
∫
5)
( )
2
;
3125
dx
x−+
∫
6)
( )
sh53.
xdx
+
∫
Решение. 1) По формуле (19.8) таблицы неопределенных интегра-
лов получаем:
( ) ( )
sin2cos2.
xdxxC
−=−−+
∫
2) По формуле (19.7) таблицы неопределенных интегралов имеем:
222
1
2
1
2.
xxx
edxeCeC
=+=+
∫
3) Используем формулу (19.5) таблицы неопределенных интегра-
лов. Тогда
1
ln25.
255
dx
xC
x
=−−+
−
∫
4) По формуле (19.3) таблицы неопределенных интегралов полу-
чаем:
( )
( ) ( )
1010
9
8181
1
81.
81080
xx
xdxCC
++
+=⋅+=+
∫
5) По формуле (19.13) таблицы неопределенных интегралов имеем:
2
1131131
arctgarctg.
355155
(31)25
dxxx
CC
x
−−
=⋅+=+
−+
∫
6) Используем формулу (19.12) таблицы неопределенных интегра-
лов. Тогда
( ) ( )
1
sh53ch53.
5
xdxxC
+=++
∫
Задания
I уровень
1.1. Докажите, что функция F(x) является первообразной
функции f(x) и найдите неопределенный интеграл:
1)
1
(),();
2
Fxxfx
x
==
11
2)
2
2
25
()ln58,();
58
x
Fxxxfx
xx
−
=−+=
−+
3)
2
121
()arctg,();
33
413
x
Fxfx
xx
+
==
++
4)
( )
4
5
5
1513sin
9cos
(),();
4
13sin
x
x
Fxfx
x
+
==
+
5)
2
4
1
()arcsin,().
22
4
xx
Fxfx
x
==
−
1.2. Найдите совокупность всех первообразных функции f(x)
и нарисуйте интегральные кривые для заданных значений C:
1)
2
()3,0,2,3;
fxxCCC
====−
2)
()sin,0,3,1;
fxxCCC
====−
3)
1
(),0,1,2.
1
fxCCC
x
====−
+
1.3. Используя интегрирование дифференциала, найдите:
1)
1
arctg;
d
x
∫
2)
( )
tg5;
dx
∫
3)
( )
2
21;
dxx++
∫
4)
( )
3
56.
dx−
∫
1.4. Найдите функцию F(x), график которой проходит через
точку М, если:
1)
() ( )
2
1
2,;0;
cos
FxM
x
π
′
=+ 2)
()
2
1
1,;0;
2
sin
FxM
x
π
′
=+−
3)
() ( )
2
2
4
3,2;16;
FxxM
x
′
=− 4)
() ( )
1
2,1;2.
FxxM
x
′
=+−
II уровень
2.1. Найдите интеграл непосредственным интегрированием:
1)
(
)
2
1;
xdx
−
∫
2)
2
;
4
dx
x
−
∫
3)
2
1cos
;
1cos2
x
dx
x
+
+
∫
12
4)
2
;
925
dx
x
−
∫
5)
2;
xx
edx
∫
6)
( )
3
1
;
xdx
xx
−
∫
7)
( )
( )
2
2
1
;
1
x
dx
xx
+
+
∫
8)
2
tg;
xdx
∫
9)
3
2
5cos
;
cos
x
dx
x
−
∫
10)
sin2
;
cos
x
dx
x
∫
11)
2
;
16
dx
x −
∫
12)
4
322
2
sin
.
x
xxxxe
dx
x
−+
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл, используя свойства
интеграла:
1)
( )
101
3;
xdx
−
∫
2)
ch;
3
x
dx
∫
3)
( )
sin43;
xdx
+
∫
4)
;
95
dx
x
+
∫
5)
2
;
25
dx
xx
−+
∫
6)
2
;
68
dx
xx
−−
∫
7)
( )
2
;
sin32
dx
x −
∫
8)
2
;
43
dx
xx
++
∫
9)
( )
cos58.
xdx
−
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
11
32
;
5
xx
x
dx
+−
−
∫
2)
2
1
;
1
x
x
e
dx
e
−
+
∫
3)
2
2
;
4
x
dx
x −
∫
4)
22
2
;
xx
dx
x
−
++
∫
5)
( )
2
ctg35;
xdx
+
∫
6)
2
;
41225
dx
xx−+
∫
7)
( )
2
4sin27;
xdx
−
∫
8)
2
;
69
dx
xx
−
∫
9)
2
3
3
2.
xdx
x
+
∫
3.2. Представьте подынтегральное выражение в виде диф-
ференциала некоторой функции и, используя свойства неопре-
деленного интеграла, найдите интеграл:
1)
cos
;
2
x
dx
x
∫
2)
3
21
3;
x
xedx
+
∫
3)
22
2
;
sin
x
dx
x
−
∫
13
4)
4
52
3
5
;
3(6)
x
dx
x −
∫
5)
2
21
;
1
x
dx
xx
+
+−
∫
6)
2
9
.
19
x
dx
x
−
−
∫
19.2. Методы вычисления неопределенного
интеграла
Приведем основные методы вычисления неопределенного
интеграла.
1. Метод замены переменной
Его использование базируется на следующей «цепочке» ра-
венств:
()
( )
()
()
()(),
()
tgx
fgxgxdxftdtFtC
dtgxdx
=
′
===+
′
=
∫∫
где F(t) первообразная функции f(t). Далее необходимо под-
ставить вместо t выражение g(x).
2. Метод подстановки
Описывается равенством
()
( )
()
()
().
()
xgt
fxdxfgtgtdt
dxgtdt
=
′
==
′
=
∫∫
Этот метод используют в том случае, если последний инте-
грал вычисляется проще чем заданный.
3. Метод поднесения под знак дифференциала
Для вычисления интеграла используют определение диффе-
ренциала:
()
( )
() ()
( )
()
( )
()
( )
.
fgxgxdxfgxdgxFgxC
′
==+
∫∫
Согласно этому методу не делают явно замену переменной,
подразумевая, что g(x) играет роль новой независимой переменной.
При использовании метода поднесения под знак дифферен-
циала, метода замены переменной, метода подстановки удобно
использовать простейшие преобразования дифференциала:
1)
()
dxdxb
=+
(b – произвольная постоянная величина);
2)
1
()
dxdax
a
= (постоянная
0
a
≠
);
3)
( )
1
dxdaxb
a
=+
(постоянная
0).
a
≠
14
Пример 1. Найти неопределенный интеграл:
1)
13;
xdx
−
∫
2)
sin
;
x
dx
x
∫
3)
2
6
;
4
xdx
x
−
∫
4)
5
2
arctg3
.
19
xx
dx
x
+
+
∫
Решение. 1) 1-й способ. Используем метод замены переменной.
Положим
13.
xt
−=
Тогда
( )
1
1,
3
xt
=−
1
.
3
dxdt
=− Имеем:
3
1
2
3
2
3
2
1112
13
3339
t
xdxtdttdtCtC
−=⋅−=−=−⋅+=−+=
∫∫∫
()
3
2
13.
9
xC
=−−+
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы
неопределенных интегралов.
2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциа-
ла. Представим данный интеграл в следующем виде:
( )
1
13133.
3
xdxxdx
−=−−⋅−
∫∫
Учитывая, что
(
)
313,
dxdx
−=− по формуле (19.3) таблицы неоп-
ределенных интегралов получаем:
( ) ( ) ( )
( )
3
2
1
2
3
2
13
11
13131313
33
x
xdxxdxC
−
−−=−−−=−+=
∫∫
()
3
2
13.
9
xC
=−−+
2) Поскольку
( )
1
,
2
dxdx
x
= то
sin
2sin.
2
xdx
dxx
xx
=⋅
∫∫
Поднесение под дифференциал приводит далее к интегралу
( )
2sin2cos.
xdxxC
=−+
∫
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.8) таблицы
неопределенных интегралов.
3) Очевидно, что
(
)
32
3.
dxxdx
= Значит,
223
6632
131()
.
33
444()
xdxxdxdx
xxx
==
−−−
∫∫∫
Применяя формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем ответ:
15
3
1
arcsin.
32
x
C
+
4) Используя второе свойство неопределенного интеграла, пред-
ставим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:
55
12
222
arctg3arctg3
()().
191919
xxxdxx
dxdxIxIx
xxx
+
=+=+
+++
∫∫∫
Вычислим полученные интегралы отдельно. Так как
2
(19)18,
dxxdx
+= то, используя далее формулу (19.5) таблицы инте-
гралов, получаем:
( )
2
2
1
222
1181(19)1
()ln19.
181818
191919
xdxxdxdx
IxxC
xxx
+
====++
+++
∫∫∫
Так как
2
3
(arctg3),
19
dx
dx
x
=
+
то по формуле (19.3) таблицы инте-
гралов имеем:
( )
5
55
2
22
arctg3131
arctg3arctg3arctg3
33
1919
xdx
Idxxxdx
xx
==⋅==
++
∫∫∫
66
1arctg3arctg3
.
3618
xx
CC
=⋅+=+
Подставив найденные значения интегралов I
1
(x) и I
2
(x) в первона-
чальный интеграл, приходим к ответу:
26
11
ln(19)arctg3.
1818
xxC
+++
Пример 2. Методом подстановки найти интеграл:
1)
2
4;
xdx
−
∫
2)
2
6
;
(2)
xdx
x +
∫
3)
22
.
1
dx
xx
+
∫
Решение. 1) Используем метод подстановки. Положим
2sin,
xt
=
тогда
2cos.
dxtdt
=
( )
2
22
442sin2cos244sincos
xdxttdtttdt
−=−⋅=−=
∫∫∫
( )
222
1cos2
241sincos4coscos4cos4
2
t
ttdtttdttdtdt
+
=−====
∫∫∫∫
( )
21cos222cos22cos2(2)
tdtdttdtttdt
=+=+=+=
∫∫∫∫
2sin222sincos.
ttCtttC
=++=++
Для вычисления последних интегралов использовали формулы
(19.4) и (19.9) таблицы интегралов. Выразим переменную t через пере-
менную x.
16
sin,
2
x
t =
arcsin.
2
x
t = Тогда
sinarcsin,
22
xx
=
222
2
44
cosarcsin1sinarcsin1.
22442
xxxxx
−−
=−=−==
Получаем ответ:
2
2arcsin4.
22
xx
xC
+−+
2) Применим подстановку
2,
xt
=−
тогда
,
dxdt
=
2.
tx
=+
Та-
ким образом,
( )
( )
2
22
666456
2
44144
2
t
xdxtt
dtdtdt
ttttt
x
−
−+
===−+=
+
∫∫∫∫
( )
345
456
44
44
345
ttt
tttdtC
−−−
−−−
=−+=−++=
−−−
∫
( ) ( ) ( )
345345
114114
.
35
32252
CC
ttt
xxx
=−+−+=−+−+
+++
Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы
интегралов.
3) Применим подстановку
tg,
xt
=
тогда
2
.
cos
dt
dx
t
= Получаем:
2
2222
1
.
cos
1tg1tg
dxdt
t
xxtx
=
++
∫∫
Используя тригонометрическое тождество
2
2
1
1tg,
cos
x
x
+= имеем:
(
)
2
22
22
2
2
1
sin1
cos
coscos
sin
cos
sinsin
sin
cos
t
t
tt
dt
dtdttdt
tt
t
t
====
⋅
⋅⋅
∫∫∫∫
()
()
1
2
sin
1
sinsin.
1sin
t
tdtCC
t
−
−
==+=−+
−
∫
Вернемся к переменной x, для чего выразим t через x из подста-
новки
tg:
xt
=
arctg.
tx
=
Тогда
22
tgarctg
sinsinarctg.
1tgarctg1
xx
tx
xx
===
++
Таким образом,
2
22
1
.
1
dxx
C
x
xx
+
=−+
+
∫
17
Задания
I уровень
1.1. Найдите неопределенный интеграл, используя метод за-
мены переменной:
1)
31
5
2;
x
dx
−
∫
2)
5
;
(37)
dx
x
−
∫
3)
( )
cos83;
xdx
+
∫
4)
;
58
dx
x
+
∫
5)
( )
3
11
32;
xdx
−
∫
6)
( )
4
1
5;
41
xdx
x
++
−
∫
1.2. Найдите неопределенный интеграл, используя метод
поднесения под знак дифференциала:
1)
2
;
449
dx
x
−
∫
2)
2
;
75
dx
x
−
∫
3)
2
;
925
dx
x
+
∫
4)
2
;
35
dx
x
+
∫
5)
2
;
94
dx
x
−
∫
6)
3
3
;
x
xx
eeedx
−
++
∫
7)
2
;
169
dx
x
−
∫
8)
2
;
145
dx
x
+
∫
9)
2
2
2
11
.
sin2
cos
x
dx
x
+
∫
1.3. Найдите неопределенный интеграл, используя метод за-
мены переменной или метод подстановки:
1)
( )
3
2
2;
(2)
xdx
tx
x
=+
+
∫
2)
( )
( )
2
122;
xxdxtx−+=+
∫
3)
( )
2
3;
3
xdx
tx
x
=−
−
∫
4)
( ) ( )
17
3131;
xxdxtx
+=+
∫
5)
( )
2
1sin;
xdxxt
−=
∫
6)
( )
2
.
(1)
dx
xt
xx
=
+
∫
II уровень
2.1. Найдите неопределенный интеграл разными способами:
1)
2
2
;
6
x
x
e
dx
e+
∫
2)
3ln4
;
x
dx
x
+
∫
3)
3
sincos;
xxdx
∫
18
4)
7
2
tg5
;
cos5
x
dx
x
∫
5)
2
35
;
(1)
xdx
x+
∫
6)
2
arccos
;
1
x
dx
x−
∫
7)
2
;
4
x
x
edx
e
+
∫
8)
3
;
x
dx
x
∫
9)
.
(21)ln(21)
dx
xx
−−
∫
2.2. Найдите неопределенный интеграл:
1)
2
2
arcsin4
;
116
xx
dx
x
−
−
∫
2)
2
;
x
xedx
∫
3)
7
sincos
;
(cossin)
xx
dx
xx
−
+
∫
4)
3
2
2
arcsin7
;
149
x
dx
x−
∫
5)
ctg;
xdx
∫
6)
423
8;
xxdx
+
∫
7)
( )
2
;
1arcctg
dx
xx
+
∫
8)
5
cos2
;
sin2
xdx
x
∫
9)
2
;
1625ln3
dx
xx
−
∫
10)
2
11
cos;
dx
x
x
∫
11)
arcsin
2
;
1
x
e
dx
x−
∫
12)
sin3
;
1cos3
x
dx
x+
∫
13)
2
arctg3
;
19
xx
dx
x
+
+
∫
14)
( ) ( )
4
11
.
31ln31
dx
xx
−−
∫
2.3. Найдите неопределенный интеграл, предварительно
преобразовав подынтегральное выражение:
1)
2
1
3sin
;
x
x
dx
x
−
∫
2)
22
5
(cossin)
;
3sin2
xx
dx
x
−
+
∫
3)
;
xx
dx
ee
−
+
∫
4)
tg
2
5sin3sin2
.
cos
x
xxe
dx
x
−+
∫
III уровень
3.1. Найдите неопределенный интеграл:
1)
;
sin
dx
x
∫
2)
2
3sin3
sin6;
x
exdx
+
∫
3)
tglncos;
xxdx
∫
4)
4
;
1
xdx
x
+
∫
5)
22
ln
;
xx
dx
x
+
∫
6)
( )
3
1
2
1
;
x
dx
xx
+
+
∫