Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
79
78
=---=---= )3(4)3()124()3(
22
babbaabababa
).4()3( baba --=
ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí
:4
22
yx
-+=-++=+
22222422444
)2(4)44(4
yxyxyyxxyx
).22()22()2(
22222
xyyxxyyxxy ++-+=-
n
58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí
àõ + b, ãäå à, b ÷èñëà
),0( ¹a
à õ ïåðåìåííàÿ,
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî-
÷ëåí
,
2
cbxax ++
ãäå à, b, ñ ÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòå-
ïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí
,
23
dcxbxax +++
ãäå à, b, ñ d ÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé
ñòåïåíè.
Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l,
m
÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí
mlxcxbxax
nnn
+++++
--
...
21
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì
n
-é ñòåïåíè (îòíîñèòåëü-
íî õ);
mlxbxax
nn
,,...,,
1
-
÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,
...,
ml,
êîýôôèöèåíòû;
n
ax
ñòàðøèé ÷ëåí
ìíîãî÷ëåíà; à êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå;
m
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî-
÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåí-
íîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøà-
þòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé
êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòå-
ëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò
æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé
ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè.
Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à)
;1553
23
-+- xxx
á)
;415320
2
xzxyyzx --+
â)
;127
22
baba +-
ã)
.4
44
yx +
q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðà-
çîì:
).155()3(
23
-+- xxx
 ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì
çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü
x
2
, âî âòîðîé îáùèé
ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì
)
.3
(
5
)
3
(
2
-+- xxx
Òåïåðü
ìíîãî÷ëåí (õ 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà
ñêîáêè: (õ 3) (x
2
+ 5). Òàêèì îáðàçîì,
).5()3(1553
223
+-=-+- xxxxx
á)
+-=--+ )1520(415320
22
xyxxzxyyzx
=---=-+ )34()34(5)43( yxzyxxxzyz
).5()34( zxyx --=
â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïî-
ÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî-
÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåç-
íûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â
âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðè-
ìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Â äàííîì ïðèìåðå
ïðåäñòàâèì
ab7
â âèäå
.43 abab -
Òîãäà ïîëó÷èì
=+--=+-
2222
1243127
bababababa
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
79
78
=---=---= )3(4)3()124()3(
22
babbaabababa
).4()3( baba --=
ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí
:4
22
yx
-+=-++=+
22222422444
)2(4)44(4
yxyxyyxxyx
).22()22()2(
22222
xyyxxyyxxy ++-+=-
n
58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí
àõ + b, ãäå à, b ÷èñëà
),0( ¹a
à õ ïåðåìåííàÿ,
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî-
÷ëåí
,
2
cbxax ++
ãäå à, b, ñ ÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòå-
ïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí
,
23
dcxbxax +++
ãäå à, b, ñ d ÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé
ñòåïåíè.
Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l,
m
÷èñëà
),0( ¹a
à õ
ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí
mlxcxbxax
nnn
+++++
--
...
21
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì
n
-é ñòåïåíè (îòíîñèòåëü-
íî õ);
mlxbxax
nn
,,...,,
1
-
÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,
...,
ml,
êîýôôèöèåíòû;
n
ax
ñòàðøèé ÷ëåí
ìíîãî÷ëåíà; à êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå;
m
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî-
÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåí-
íîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøà-
þòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé
êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòå-
ëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò
æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé
ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè.
Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à)
;1553
23
-+- xxx
á)
;415320
2
xzxyyzx --+
â)
;127
22
baba +-
ã)
.4
44
yx +
q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðà-
çîì:
).155()3(
23
-+- xxx
 ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì
çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü
x
2
, âî âòîðîé îáùèé
ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì
)
.3
(
5
)
3
(
2
-+- xxx
Òåïåðü
ìíîãî÷ëåí (õ 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà
ñêîáêè: (õ 3) (x
2
+ 5). Òàêèì îáðàçîì,
).5()3(1553
223
+-=-+- xxxxx
á)
+-=--+ )1520(415320
22
xyxxzxyyzx
=---=-+ )34()34(5)43( yxzyxxxzyz
).5()34( zxyx --=
â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïî-
ÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî-
÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåç-
íûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â
âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðè-
ìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Â äàííîì ïðèìåðå
ïðåäñòàâèì
ab7
â âèäå
.43 abab -
Òîãäà ïîëó÷èì
=+--=+-
2222
1243127
bababababa
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
81
80
ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
)(xS
è
)(xR
òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
),()()()( xRxSxQxP +=
(1)
ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà
)(xR
ìåíüøå ñòåïåíè
ìíîãî÷ëåíà
)(xQ
(ìíîãî÷ëåí
)(xR
íàçûâàþò îñòàò-
êîì).
Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàí-
äàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì»,
àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë
(ñì. ï. 3).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü
++=
34
23)(
xxxP
4370
2
-++ xx íà
.15)(
2
++= xxxQ
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
÷ëåí, íà ïîñëåäíåì ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò
ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòå-
ïåíü ìíîãî÷ëåíà ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà.
Íàïðèìåð,
1325
235
++- xxx
ìíîãî÷ëåí ïÿ-
òîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ
5
ñòàðøèé ÷ëåí, 1
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà.
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷å-
íèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Ð (õ) = õ
3
+ 2õ
2
7õ 2, òàê êàê Ð (2) = 2
3
+ 2 · 2
2
7 · 2 2 = 0.
59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåî-
ðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü,
óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîã-
äà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí.
À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí
),(xS
÷òî
),()()( xSxQxP =
òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ)
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
)(xQ
è íàçûâàþò Ð (õ) äåëè-
ìûì,
)(xQ
äåëèòåëåì, à
)(xS
÷àñòíûì.
Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí
1553)(
23
-+-= xxxxP
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
,5)(
2
+= xxQ
ïîñêîëüêó
-
3
x
);3()5(1553
22
-+=-+- xxxx
çäåñü â ÷àñòíîì ïî-
ëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí
.3)( -= xxS
Åñëè æå ìíîãî÷ëåí
)(xP
íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
),(xQ
òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîç-
ìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî
ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
)(xP
è
)(xQ
òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü
)(xP
íå ìåíüøå ñòåïåíè
),(xQ
Èòàê,
132133)(
2
+-= xxxS
÷àñòíîå,
=)(xR
132644 --= x
îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ
òîæäåñòâî
=-+++
"""""!"""""
)(
234
437023
xP
xxxx
132660132
2
++ xx
437023
234
-+++ xxxx
234
3153
xxx ++
436713
23
-++- xxx
xxx 136513
23
---
416132
2
-+ xx
15
2
++ xx
132133
2
+- xx
136644 -- x
6
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
81
80
ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
)(xS
è
)(xR
òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
),()()()( xRxSxQxP +=
(1)
ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà
)(xR
ìåíüøå ñòåïåíè
ìíîãî÷ëåíà
)(xQ
(ìíîãî÷ëåí
)(xR
íàçûâàþò îñòàò-
êîì).
Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàí-
äàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì»,
àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë
(ñì. ï. 3).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü
++=
34
23)(
xxxP
4370
2
-++ xx íà
.15)(
2
++= xxxQ
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
÷ëåí, íà ïîñëåäíåì ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò
ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòå-
ïåíü ìíîãî÷ëåíà ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà.
Íàïðèìåð,
1325
235
++- xxx
ìíîãî÷ëåí ïÿ-
òîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ
5
ñòàðøèé ÷ëåí, 1
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà.
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷å-
íèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Ð (õ) = õ
3
+ 2õ
2
7õ 2, òàê êàê Ð (2) = 2
3
+ 2 · 2
2
7 · 2 2 = 0.
59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåî-
ðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü,
óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîã-
äà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí.
À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí
),(xS
÷òî
),()()( xSxQxP =
òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ)
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
)(xQ
è íàçûâàþò Ð (õ) äåëè-
ìûì,
)(xQ
äåëèòåëåì, à
)(xS
÷àñòíûì.
Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí
1553)(
23
-+-= xxxxP
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
,5)(
2
+= xxQ
ïîñêîëüêó
-
3
x
);3()5(1553
22
-+=-+- xxxx
çäåñü â ÷àñòíîì ïî-
ëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí
.3)( -= xxS
Åñëè æå ìíîãî÷ëåí
)(xP
íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
),(xQ
òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîç-
ìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî
ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
)(xP
è
)(xQ
òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü
)(xP
íå ìåíüøå ñòåïåíè
),(xQ
Èòàê,
132133)(
2
+-= xxxS
÷àñòíîå,
=)(xR
132644 --= x
îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ
òîæäåñòâî
=-+++
"""""!"""""
)(
234
437023
xP
xxxx
132660132
2
++ xx
437023
234
-+++ xxxx
234
3153
xxx ++
436713
23
-++- xxx
xxx 136513
23
---
416132
2
-+ xx
15
2
++ xx
132133
2
+- xx
136644 -- x
6
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
83
82
Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæ-
íþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî
è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íà-
ïðàâî. Â êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò
ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåí-
íûì íà
a
÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà
êëåòêå íèæíåé ñòðîêè.
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäå-
ëèòü
534
23
+-+ xxx
íà õ 2.
q Ñîñòàâèì òàáëèöó:
=
.)136644()132133()15(
)()(
2
)(
2
""!""
"""!"""
""!""
xRxSxQ
xxxxx
--++-++
n
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
n
-é
ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä
++=
-1
10
)
(
nn
n
xaxaxP
,...
n
a
++
íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí
.
a-x
Òîãäà äåëå-
íèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçû-
âàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.
 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä
=+++
-
n
nn
axaxa
...
1
10
,
)
...
)(
(
1
2
1
1
0
rbxbxbax
n
nn
++++-=
-
--
(2)
ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü
,1-n
à îñòàòîê íóëå-
âóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê
ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2)
ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà,
âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäè-
íàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:
,
00
ba =
ò. å.
,
00
ab =
,
101
bba +a-=
ò. å.
,
011
bab a+=
,
212
bba +a-=
ò. å.
,
122
bab a+=
,
121
---
+a-=
nnn
bba
ò. å.
,
211
---
a+=
nnn
bab
,
1
rba
nn
+a-=
-
ò. å.
.
1
-
a+=
nn
bar
00
ba =
12 --
+a
nn
ab
rab
nn
=+a
-1
21
ab +a
10
ab +a
0
a
1
a
2
a
1-n
a
n
a
. . .
. . .
a
41
6
1
3 5
9
23
2
Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî
,96
2
++ xx
à îñòàòîê ðà-
âåí 23. n
Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà
äâó÷ëåí
a-x
ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ.
À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòà-
òîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
)(xP
íà äâó÷ëåí
a-x
ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè
a=x
(òåîðåìà
Áåçó).
Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì
+×-×+= 23242)2(
23
P
.235 =+
Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è
îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
83
82
Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæ-
íþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî
è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íà-
ïðàâî. Â êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò
ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåí-
íûì íà
a
÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà
êëåòêå íèæíåé ñòðîêè.
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäå-
ëèòü
534
23
+-+ xxx
íà õ 2.
q Ñîñòàâèì òàáëèöó:
=
.)136644()132133()15(
)()(
2
)(
2
""!""
"""!"""
""!""
xRxSxQ
xxxxx
--++-++
n
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
n
-é
ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä
++=
-1
10
)
(
nn
n
xaxaxP
,...
n
a
++
íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí
.
a-x
Òîãäà äåëå-
íèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçû-
âàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.
 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä
=+++
-
n
nn
axaxa
...
1
10
,
)
...
)(
(
1
2
1
1
0
rbxbxbax
n
nn
++++-=
-
--
(2)
ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü
,1-n
à îñòàòîê íóëå-
âóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê
ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2)
ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà,
âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäè-
íàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:
,
00
ba =
ò. å.
,
00
ab =
,
101
bba +a-=
ò. å.
,
011
bab a+=
,
212
bba +a-=
ò. å.
,
122
bab a+=
,
121
---
+a-=
nnn
bba
ò. å.
,
211
---
a+=
nnn
bab
,
1
rba
nn
+a-=
-
ò. å.
.
1
-
a+=
nn
bar
00
ba =
12 --
+a
nn
ab
rab
nn
=+a
-1
21
ab +a
10
ab +a
0
a
1
a
2
a
1-n
a
n
a
. . .
. . .
a
41
6
1
3 5
9
23
2
Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî
,96
2
++ xx
à îñòàòîê ðà-
âåí 23. n
Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà
äâó÷ëåí
a-x
ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ.
À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòà-
òîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
)(xP
íà äâó÷ëåí
a-x
ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè
a=x
(òåîðåìà
Áåçó).
Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì
+×-×+= 23242)2(
23
P
.235 =+
Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è
îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
85
84
61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà x
n
a
n
.
Èçâåñòíî, ÷òî
),()(
22
axaxax +-=-
(1)
).()(
2233
axaxaxax ++-=-
(2)
Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ à è
+++
223
xaaxx
,
3
a+
ïîëó÷èì
).()(
322344
axaaxxaxax +++-=-
(3)
Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìó-
ëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà
:
nn
ax
-
=-
nn
ax
)....()(
122321
-----
+++++-=
nnnnn
axaaxaxxax
Òàê,
).1()1(1
234567
++++++-=- xxxxxxxx
62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
(ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò
î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì)
ba +
âîçâåñòè â ëþ-
áóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü.
Åñëè
,1=n
òî
.)(
1
baba +=+
Åñëè
,2=n
òî
.2)(
222
bababa ++=+
Åñëè
,3=n
òî
.33)(
32233
babbaaba +++=+
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
´+=+
34
)()(
baba
),( ba +´
ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó
.464)(
4322344
babbabaaba ++++=+
Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí
)(xP
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí
a-x
òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
a
êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè
l
ìíîãî÷ëåí
66)(
24
+l++= xxxxP
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2?
q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðå-
áîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî 2
áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(2) = 16 + 24
,24662 l-=+l-
ò. å. ìíîãî÷ëåí
)(xP
ðàçäåëèòñÿ íà
õ + 2 ïðè óñëîâèè
.23=l
n
60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëè-
íåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ
1
è õ
2
êîðíè êâàäðàò-
íîãî òðåõ÷ëåíà
cbxax ++
2
(ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ
),0
2
=++ cbxax
òî
)
.
(
)
(
21
2
xxxxacbxax --=++
Ýòî ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ-
÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
6õ
2
õ 2.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâ-
íåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ
2
õ 2 = 0, íàõî-
äèì,
.
3
2
,
2
1
21
=-= xx
Çíà÷èò,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=--
3
2
3
2
1
2
3
2
2
1
626
2
xxxxxx
).23()12( -+= xx
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
85
84
61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà x
n
a
n
.
Èçâåñòíî, ÷òî
),()(
22
axaxax +-=-
(1)
).()(
2233
axaxaxax ++-=-
(2)
Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ à è
+++
223
xaaxx
,
3
a+
ïîëó÷èì
).()(
322344
axaaxxaxax +++-=-
(3)
Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìó-
ëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà
:
nn
ax
-
=-
nn
ax
)....()(
122321
-----
+++++-=
nnnnn
axaaxaxxax
Òàê,
).1()1(1
234567
++++++-=- xxxxxxxx
62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
(ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò
î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì)
ba +
âîçâåñòè â ëþ-
áóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü.
Åñëè
,1=n
òî
.)(
1
baba +=+
Åñëè
,2=n
òî
.2)(
222
bababa ++=+
Åñëè
,3=n
òî
.33)(
32233
babbaaba +++=+
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
´+=+
34
)()(
baba
),( ba +´
ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó
.464)(
4322344
babbabaaba ++++=+
Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí
)(xP
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí
a-x
òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
a
êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè
l
ìíîãî÷ëåí
66)(
24
+l++= xxxxP
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2?
q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðå-
áîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî 2
áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(2) = 16 + 24
,24662 l-=+l-
ò. å. ìíîãî÷ëåí
)(xP
ðàçäåëèòñÿ íà
õ + 2 ïðè óñëîâèè
.23=l
n
60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëè-
íåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ
1
è õ
2
êîðíè êâàäðàò-
íîãî òðåõ÷ëåíà
cbxax ++
2
(ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ
),0
2
=++ cbxax
òî
)
.
(
)
(
21
2
xxxxacbxax --=++
Ýòî ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ-
÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
6õ
2
õ 2.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâ-
íåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ
2
õ 2 = 0, íàõî-
äèì,
.
3
2
,
2
1
21
=-= xx
Çíà÷èò,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=--
3
2
3
2
1
2
3
2
2
1
626
2
xxxxxx
).23()12( -+= xx
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
87
86
ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé
äðîáüþ.
Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé:
.,
52
)
3
(
)
2
(
,
3
1
2
1
2
ba
d
c
b
a
cba
xx
x
x
-
+
++
-+
-
+
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðà-
æàåòñÿ òîæäåñòâîì
,
QR
PR
Q
P
=
ñïðàâåäëèâûì ïðè
óñëîâèÿõ
0¹R
è
;0¹Q
çäåñü
R
öåëîå ðàöèî-
íàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíà-
ìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî,
îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
=
++
+-
2
1
6
1
4
1
12
1
2
1
3
1
12
2
1
6
1
4
1
1
2
1
3
1
2
23
2
23
xx
xx
xx
xx
.
623
1264
2
23
++
+-
=
xx
xx
Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè
Q
P
óìíîæèòü íà 1, òî ïîëó-
÷èì
.
Q
P
Q
P
-
-
=
Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå
èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-
Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
...
)
(
22211
+++=+
--
baCbaCaba
n
n
n
n
nn
,......
11
nnn
n
kknk
n
babCbaC
++++
---
íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà.
Çäåñü
,...,
2
)1(
,,
210
-
==
nn
CncC
nnn
,...,
...321
)1)...(2()1(
k
knnnn
C
k
n
××
+---
=
1,
1
==
- n
n
n
n
cnC
áèíîìèàëüíûå êîýôôèöè-
åíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îä-
íîìó, äâóì,...,
nnk ,1,..., -
ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202,
203).
Íàïðèìåð,
+
××
××
+
×
×
++=+
3324566
321
456
21
56
6)(
bababaaba
=+
××××
××××
+
×××
×××
+
6542
54321
23456
4321
3456
babba
.61520156
6542332456
babbabababaa ++++++=
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî.
Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51)
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
,
Q
P
ãäå Ð è
Q
ðàöèîíàëü-
íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì
Q
îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò
C
C
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
87
86
ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé
äðîáüþ.
Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé:
.,
52
)
3
(
)
2
(
,
3
1
2
1
2
ba
d
c
b
a
cba
xx
x
x
-
+
++
-+
-
+
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðà-
æàåòñÿ òîæäåñòâîì
,
QR
PR
Q
P
=
ñïðàâåäëèâûì ïðè
óñëîâèÿõ
0¹R
è
;0¹Q
çäåñü
R
öåëîå ðàöèî-
íàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíà-
ìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî,
îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
=
++
+-
2
1
6
1
4
1
12
1
2
1
3
1
12
2
1
6
1
4
1
1
2
1
3
1
2
23
2
23
xx
xx
xx
xx
.
623
1264
2
23
++
+-
=
xx
xx
Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè
Q
P
óìíîæèòü íà 1, òî ïîëó-
÷èì
.
Q
P
Q
P
-
-
=
Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå
èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-
Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
...
)
(
22211
+++=+
--
baCbaCaba
n
n
n
n
nn
,......
11
nnn
n
kknk
n
babCbaC
++++
---
íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà.
Çäåñü
,...,
2
)1(
,,
210
-
==
nn
CncC
nnn
,...,
...321
)1)...(2()1(
k
knnnn
C
k
n
××
+---
=
1,
1
==
- n
n
n
n
cnC
áèíîìèàëüíûå êîýôôèöè-
åíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îä-
íîìó, äâóì,...,
nnk ,1,..., -
ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202,
203).
Íàïðèìåð,
+
××
××
+
×
×
++=+
3324566
321
456
21
56
6)(
bababaaba
=+
××××
××××
+
×××
×××
+
6542
54321
23456
4321
3456
babba
.61520156
6542332456
babbabababaa ++++++=
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî.
Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51)
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
,
Q
P
ãäå Ð è
Q
ðàöèîíàëü-
íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì
Q
îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò
C
C