Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
68
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
69
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ
èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå
ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè-
÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.
Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿ-
þòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7.
Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðà-
öèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå
âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è
äðîáíûå.
52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæå-
íèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíè-
ÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà-
÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ.
Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷å-
íèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæå-
íèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51.
Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíà-
òåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï.
51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå
âûðàæåíèå 4 ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé
à = 0, b = 0.
Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îò-
ðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä
çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîç-
âåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå
âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè
êîòîðûõ
,0³+ ba
à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå
7 òîëüêî ïðè
0³a
è
0³b
(ñì. ï. 51).
Ðàçäåë II
ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë
è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòà-
íèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëü-
íóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.
Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé:
1)
);(32
22
baabba +-
2)
;
5
c
ba ++
3)
;
1
133
2
-
++
a
aa
4)
;
3
11
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
c
ba
5)
;ba +
6)
;
)
2
(
4
3
x-
7)
.
2
3
2
3
ba -
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äå-
ëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðå-
ìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîá-
íûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç
íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1,
2 è 6.
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç
÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòó-
ðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçó-
åòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîá-
íûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4.
Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèî-
íàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàí-
íûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ
1, 2, 3, 4 è 6.
68
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
69
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ
èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå
ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè-
÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.
Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿ-
þòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7.
Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðà-
öèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå
âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è
äðîáíûå.
52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæå-
íèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíè-
ÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà-
÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ.
Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷å-
íèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæå-
íèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51.
Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíà-
òåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï.
51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå
âûðàæåíèå 4 ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé
à = 0, b = 0.
Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îò-
ðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä
çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîç-
âåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå
âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè
êîòîðûõ
,0³+ ba
à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå
7 òîëüêî ïðè
0³a
è
0³b
(ñì. ï. 51).
Ðàçäåë II
ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë
è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòà-
íèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëü-
íóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.
Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé:
1)
);(32
22
baabba +-
2)
;
5
c
ba ++
3)
;
1
133
2
-
++
a
aa
4)
;
3
11
3
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
c
ba
5)
;ba +
6)
;
)
2
(
4
3
x-
7)
.
2
3
2
3
ba -
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äå-
ëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðå-
ìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîá-
íûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç
íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1,
2 è 6.
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç
÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòó-
ðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçó-
åòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîá-
íûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4.
Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèî-
íàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàí-
íûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ
1, 2, 3, 4 è 6.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
71
70
Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé,
ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè
âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðà-
æåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæ-
äåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïó-
ñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ.
Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ
5
è õ
2
· õ
3
,
cba ++
è
,abc ++
2
)2(
ab
è
.4
22
ba
Ïðèìåðû òîæäåñòâ:
+=++=+ aaaabba (,0,
+ b) c = ac + bc,
,1 aa =×
.
325
xxx ×=
Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32)
)
1
(
5
10
1
2
-
=
- a
a
a
a
åñòü òîæ-
äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó
ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü,
ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ
bc
ac
âûðàæåíèåì
b
a
(ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåí-
íîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ
bc
ac
ïðè îãðàíè÷åíè-
ÿõ
.0,0 ¹¹ cb
Çíà÷èò,
b
a
bc
ac
=
òîæäåñòâî ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå
.0,0 == cb
Âåðíûå
÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè.
Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî
ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðà-
çîâàíèåì âûðàæåíèÿ.
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëå-
íîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò
÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç-
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì
ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî-
âîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà-
÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
ba
ba
-
+
2
3
2
ïðè
à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:
.
8
3
210
27
252
25
3
3
2
=
-
=
-×
+
53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âû-
ðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ
xxxf 2)(
2
-=
è
.54)( -= xxg
Ïðè õ = 2 èìååì
=)2(f
;0222
2
=×-=
.3524)2( =-×=g
×èñëà 0 è 3 íàçû-
âàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæå-
íèé
xx 2
2
-
è
54 -x
ïðè õ = 2.
Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðà-
æåíèé ïðè õ = 1:
;1121)1(
2
-=×-=f
;1514)1( -=-×=g
ïðè õ = 0:
;0020)0(
2
=×-=f
.5504)0( -=-×=g
Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìî-
ãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì
ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
)1()1( gf =
), à ìîãóò
è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìå-
ðå
)0()0();2()2( gfgf ¹¹
).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
71
70
Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé,
ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè
âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðà-
æåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæ-
äåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïó-
ñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ.
Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ
5
è õ
2
· õ
3
,
cba ++
è
,abc ++
2
)2(
ab
è
.4
22
ba
Ïðèìåðû òîæäåñòâ:
+=++=+ aaaabba (,0,
+ b) c = ac + bc,
,1 aa =×
.
325
xxx ×=
Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32)
)
1
(
5
10
1
2
-
=
- a
a
a
a
åñòü òîæ-
äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó
ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü,
ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ
bc
ac
âûðàæåíèåì
b
a
(ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåí-
íîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ
bc
ac
ïðè îãðàíè÷åíè-
ÿõ
.0,0 ¹¹ cb
Çíà÷èò,
b
a
bc
ac
=
òîæäåñòâî ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå
.0,0 == cb
Âåðíûå
÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè.
Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî
ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðà-
çîâàíèåì âûðàæåíèÿ.
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëå-
íîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò
÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç-
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì
ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî-
âîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà-
÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
ba
ba
-
+
2
3
2
ïðè
à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:
.
8
3
210
27
252
25
3
3
2
=
-
=
-×
+
53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âû-
ðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ
xxxf 2)(
2
-=
è
.54)( -= xxg
Ïðè õ = 2 èìååì
=)2(f
;0222
2
=×-=
.3524)2( =-×=g
×èñëà 0 è 3 íàçû-
âàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæå-
íèé
xx 2
2
-
è
54 -x
ïðè õ = 2.
Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðà-
æåíèé ïðè õ = 1:
;1121)1(
2
-=×-=f
;1514)1( -=-×=g
ïðè õ = 0:
;0020)0(
2
=×-=f
.5504)0( -=-×=g
Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìî-
ãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì
ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
)1()1( gf =
), à ìîãóò
è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìå-
ðå
)0()0();2()2( gfgf ¹¹
).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
73
72
Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí
)3(
32
cab-
â
÷åòâåðòóþ ñòåïåíü.
q
.81)()()3()3(
1284434244432
cbacbacab =×××-=-
n
Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó,
íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëü-
êî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ.
Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîá-
íûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå
è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâå-
äåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ.
Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü
32
18
yzx
è
.8
32
yzx-
q 5x
2
yz
3
+ (8x
2
yz
3
) = (5 + (8)) x
2
yz
3
= 3x
2
yz
3
. n
55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó
îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â
ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå
÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà.
Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â
ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà â ýòîì ñîñòîèò öåëü
ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíî-
ãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à)
;)4(2353 bbbaabba ×+-×++×
á)
);42()253( cbacba +-+-+
â)
);43()5(
2222
abbaabba --+
âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä
÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð,
),5,2(3
3
aa ×
85,0)2(),4,0()5(
232
×-×× zyxdcab
îäíî÷ëåíû, òîãäà
êàê âûðàæåíèÿ
c
ab
ba ,+
íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè.
Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðò-
íîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è
ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæè-
òåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íà-
çûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêà-
çàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïå-
íüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïî-
ñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íà-
çûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ.
Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðè-
âîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó.
Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óì-
íîæåíèå îäíî÷ëåíîâ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâà-
íèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí
)5,2(3
3
aa ×
ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó.
q
.5,7)()5,23()5,2(3
433
aaaaa =×××=×
n
Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû
32
24
cdab
è
.3,0
32
cba
q
=× )3,0(24
3232
cbacdab
.2,7)()()()3,024(
32533322
dcbadccbbaa =××××××××=
n
5
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
73
72
Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí
)3(
32
cab-
â
÷åòâåðòóþ ñòåïåíü.
q
.81)()()3()3(
1284434244432
cbacbacab =×××-=-
n
Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó,
íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëü-
êî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ.
Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîá-
íûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå
è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâå-
äåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ.
Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü
32
18
yzx
è
.8
32
yzx-
q 5x
2
yz
3
+ (8x
2
yz
3
) = (5 + (8)) x
2
yz
3
= 3x
2
yz
3
. n
55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó
îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â
ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå
÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà.
Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â
ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà â ýòîì ñîñòîèò öåëü
ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíî-
ãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à)
;)4(2353 bbbaabba ×+-×++×
á)
);42()253( cbacba +-+-+
â)
);43()5(
2222
abbaabba --+
âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä
÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð,
),5,2(3
3
aa ×
85,0)2(),4,0()5(
232
×-×× zyxdcab
îäíî÷ëåíû, òîãäà
êàê âûðàæåíèÿ
c
ab
ba ,+
íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè.
Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðò-
íîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è
ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæè-
òåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íà-
çûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêà-
çàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïå-
íüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïî-
ñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íà-
çûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ.
Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðè-
âîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó.
Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óì-
íîæåíèå îäíî÷ëåíîâ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâà-
íèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí
)5,2(3
3
aa ×
ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó.
q
.5,7)()5,23()5,2(3
433
aaaaa =×××=×
n
Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû
32
24
cdab
è
.3,0
32
cba
q
=× )3,0(24
3232
cbacdab
.2,7)()()()3,024(
32533322
dcbadccbbaa =××××××××=
n
5
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
75
74
Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åð-
êíóòû). Ïîëó÷èì
.932124
322223
xyxyyxyxyx ++++
n
56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Â íåêî-
òîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàí-
äàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì òîæäåñòâ:
,)()(
22
bababa -=-+
(1)
,2)(
222
bababa ++=+
(2)
,2)(
222
bababa +-=-
(3)
,)()(
3322
babababa +=+-+
(4)
,)()(
3322
babababa -=++-
(5)
,33)(
32233
babbaaba +++=+
(6)
.33)(
32233
babbaaba -+-=-
(7)
Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåí-
íîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) ðàçíîñòüþ êâàä-
ðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) ñîîòâåòñòâåííî êâàäðà-
òîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4)
è (5) ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìó-
ëû (6) è (7) êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíî-
ãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à) (3x
2
+ 4y
3
)(3x
2
- 4y
3
);
á)
;)53(
232
ba -
â)
).139)(13(
2
+-+ aaa
ã)
);35,0(4
22
+- xxx
ä)
).132()32(
22
+++ yxxyyx
q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå-
íû ìíîãî÷ëåíà:
2
8315
bababab +-+
. Ïðèâåäÿ ïî-
äîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà
.10
2
bab +
á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîá-
êè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
+-++=+-+-+ )5()23(42253 bbaacbacba
.245)42( cbacc ++=+-+
â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «», òî ñêîá-
êè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
=+-+
2222
435
abbaabba
.52)4()35(
222222
abbaababbaba +=++-=
ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî
ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâå-
äåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:
=×+×-×=+- 345,04435,04
222232
xxxxxxxx
.1224
243
xxx +-=
ä)
=+++++ )132(3)132(2
22
yxxyyxyx
=+++++= )396()264(
23222223
xyxyyxyxyxyx
2
= 4x
2
y + 6x
2
y
2
+ 2x
2
y + 6x
2
y
2
+ 9xy
3
+ 3xy
2
.
3
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
75
74
Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åð-
êíóòû). Ïîëó÷èì
.932124
322223
xyxyyxyxyx ++++
n
56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Â íåêî-
òîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàí-
äàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì òîæäåñòâ:
,)()(
22
bababa -=-+
(1)
,2)(
222
bababa ++=+
(2)
,2)(
222
bababa +-=-
(3)
,)()(
3322
babababa +=+-+
(4)
,)()(
3322
babababa -=++-
(5)
,33)(
32233
babbaaba +++=+
(6)
.33)(
32233
babbaaba -+-=-
(7)
Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåí-
íîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) ðàçíîñòüþ êâàä-
ðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) ñîîòâåòñòâåííî êâàäðà-
òîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4)
è (5) ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìó-
ëû (6) è (7) êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíî-
ãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à) (3x
2
+ 4y
3
)(3x
2
- 4y
3
);
á)
;)53(
232
ba -
â)
).139)(13(
2
+-+ aaa
ã)
);35,0(4
22
+- xxx
ä)
).132()32(
22
+++ yxxyyx
q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå-
íû ìíîãî÷ëåíà:
2
8315
bababab +-+
. Ïðèâåäÿ ïî-
äîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà
.10
2
bab +
á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîá-
êè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
+-++=+-+-+ )5()23(42253 bbaacbacba
.245)42( cbacc ++=+-+
â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «», òî ñêîá-
êè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
=+-+
2222
435
abbaabba
.52)4()35(
222222
abbaababbaba +=++-=
ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî
ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâå-
äåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:
=×+×-×=+- 345,04435,04
222232
xxxxxxxx
.1224
243
xxx +-=
ä)
=+++++ )132(3)132(2
22
yxxyyxyx
=+++++= )396()264(
23222223
xyxyyxyxyxyx
2
= 4x
2
y + 6x
2
y
2
+ 2x
2
y + 6x
2
y
2
+ 9xy
3
+ 3xy
2
.
3
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
77
76
ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ
ìíîãî÷ëåíà.
2.
Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæå-
íèÿ. Ôîðìóëû (1) (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííû-
ìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ
ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæè-
òåëè.
Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à)
;1
6
-x
á)
.16164
524334
bababa ++
q à) Èìååì
.1)(1
2236
-=- xx
Ïðèìåíèâ ôîðìó-
ëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì
).1()1(
33
-+ xx
Äà-
ëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êó-
áîâ, íàõîäèì
).1()1()1()1(
22
++-+-+ xxxxxx
Èòàê,
).1()1()1()1(1
226
+++--+=- xxxxxxx
á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êî-
ýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòå-
ïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâ-
ëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì
).44(4
2232
bababa ++
Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì
,)2(44
222
bababa +=++
ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïî-
ëó÷àåì
.)2(416164
232524334
bababababa +=++
n
3.
Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïå-
ðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ
ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷-
íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ-
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
.169)4()3(
642322
yxyx -=-
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì
.25309)5(532)3(
6324233222
bbaabbaa +-=+××-
â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì
.1271)3(
33
+=+ aa
n
57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâå-
äåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé ìíîãî÷ëåíîâ èëè
îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íà-
çûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòå-
ëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà
êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíî-
ãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
1.
Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî
ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåä-
ñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñ-
òè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëå-
âî»):
).( bacbcac +=+
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
.3528
43
xx -
q
).54(757473528
33343
xxxxxxx -=×-×=-
n
Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîá-
êè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíî-
ãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòî-
ðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýô-
ôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå
êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
77
76
ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ
ìíîãî÷ëåíà.
2.
Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæå-
íèÿ. Ôîðìóëû (1) (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííû-
ìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ
ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæè-
òåëè.
Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à)
;1
6
-x
á)
.16164
524334
bababa ++
q à) Èìååì
.1)(1
2236
-=- xx
Ïðèìåíèâ ôîðìó-
ëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì
).1()1(
33
-+ xx
Äà-
ëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êó-
áîâ, íàõîäèì
).1()1()1()1(
22
++-+-+ xxxxxx
Èòàê,
).1()1()1()1(1
226
+++--+=- xxxxxxx
á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êî-
ýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòå-
ïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâ-
ëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì
).44(4
2232
bababa ++
Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì
,)2(44
222
bababa +=++
ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïî-
ëó÷àåì
.)2(416164
232524334
bababababa +=++
n
3.
Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïå-
ðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ
ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷-
íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ-
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
.169)4()3(
642322
yxyx -=-
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì
.25309)5(532)3(
6324233222
bbaabbaa +-=+××-
â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì
.1271)3(
33
+=+ aa
n
57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâå-
äåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé ìíîãî÷ëåíîâ èëè
îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íà-
çûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòå-
ëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà
êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíî-
ãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
1.
Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî
ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåä-
ñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñ-
òè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëå-
âî»):
).( bacbcac +=+
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
.3528
43
xx -
q
).54(757473528
33343
xxxxxxx -=×-×=-
n
Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîá-
êè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíî-
ãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòî-
ðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýô-
ôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå
êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé