Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð,

K (15, 16) = 15 · 16 = 240.

7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,

íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòó-

ðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ

ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ

ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè.

Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ

anM

, îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ

íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà).

Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëà-

ãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ

ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñ-

òè ñóììû).

Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

åñëè

,,, akanam MMM

òî è

.)( aknm M++

Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëà-

ãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóì-

ìà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà

37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ

êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè

âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñ-

ëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.

Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæè-

òåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâå-

äåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìî-

ñòè ïðîèçâåäåíèÿ).

Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåð-

æäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà

5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5.

Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ

íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2).

6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòó-

ðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïè-

øåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .

Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18:

18, 36, 54,72, ... .

Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:

36, 72, ... .

Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷è-

ñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36)  íàè-

ìåíüøèì îáùèì êðàòíûì.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå

êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ

K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå

÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b).

×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íå-

ñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðî-

ñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó-

÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ

ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056).

q Èìååì 3780 = 2

· 3

· 5 · 7; 7056 = 2

· 3

· 7

(ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 2

· 3

· 5 · 7

ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â

ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056.

Èòàê, K (3780, 7056) = 2

· 3

· 5 · 7

= 105 840. n

Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî

ðàâåíñòâî

D (a, b) · K (a, b) = ab.

Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå,

ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî

íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð,

K (15, 16) = 15 · 16 = 240.

7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,

íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòó-

ðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ

ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ

ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè.

Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ

anM

, îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ

íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà).

Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëà-

ãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ

ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñ-

òè ñóììû).

Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

åñëè

,,, akanam MMM

òî è

.)( aknm M++

Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëà-

ãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóì-

ìà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà

37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ

êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè

âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñ-

ëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.

Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæè-

òåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâå-

äåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìî-

ñòè ïðîèçâåäåíèÿ).

Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåð-

æäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà

5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5.

Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ

íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2).

6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòó-

ðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïè-

øåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .

Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18:

18, 36, 54,72, ... .

Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:

36, 72, ... .

Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷è-

ñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36)  íàè-

ìåíüøèì îáùèì êðàòíûì.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå

êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ

K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå

÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b).

×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íå-

ñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðî-

ñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó-

÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ

ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.

Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056).

q Èìååì 3780 = 2

· 3

· 5 · 7; 7056 = 2

· 3

· 7

(ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 2

· 3

· 5 · 7

ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â

ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056.

Èòàê, K (3780, 7056) = 2

· 3

· 5 · 7

= 105 840. n

Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî

ðàâåíñòâî

D (a, b) · K (a, b) = ab.

Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå,

ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî

íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà

27. Òàê êàê

927M

, òî ïî òåîðåìå 1.10 è

.977526 M

Äàëåå, òàê êàê

2575M

òî ïî òåîðåìå 1.8 è

.2577526 M

Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî

K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11

çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n

8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.

Â àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñû-

âàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå

ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå

âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 =

= 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî,

ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíè-

åì. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ)

âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåí-

íûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì.

Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî

ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû

íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ

ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî

èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî

ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. 

âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî. Â ðàâåíñòâå

7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5;

ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåð-

íîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì  íåâåðíîå.

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðà-

âèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ

äðîáü  ýòî ÷èñëî âèäà

, ãäå m è n  íàòóðàëü-

Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0,

ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5).

Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðè-

çíàê äåëèìîñòè íà 10).

Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ

öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñ-

ëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê

äåëèìîñòè íà 4).

Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå

÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëü-

êó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4.

Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ

öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñ-

ëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê

äåëèìîñòè íà 25).

Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3

(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3).

Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà

åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3. Â òî æå âðåìÿ

17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å.

÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3.

Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9

(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9).

Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äå-

ëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ

íàèìåíüøåå êðàòíîå.

Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü,

äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225.

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà

27. Òàê êàê

927M

, òî ïî òåîðåìå 1.10 è

.977526 M

Äàëåå, òàê êàê

2575M

òî ïî òåîðåìå 1.8 è

.2577526 M

Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî

K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11

çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n

8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.

Â àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñû-

âàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå

ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå

âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 =

= 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî,

ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíè-

åì. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ)

âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåí-

íûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì.

Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî

ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû

íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ

ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî

èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî

ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. 

âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî. Â ðàâåíñòâå

7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5;

ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåð-

íîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì  íåâåðíîå.

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðà-

âèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ

äðîáü  ýòî ÷èñëî âèäà

, ãäå m è n  íàòóðàëü-

Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0,

ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5).

Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðè-

çíàê äåëèìîñòè íà 10).

Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ

öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñ-

ëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê

äåëèìîñòè íà 4).

Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå

÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëü-

êó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4.

Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ

öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñ-

ëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê

äåëèìîñòè íà 25).

Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3

(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3).

Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà

åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3. Â òî æå âðåìÿ

17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å.

÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3.

Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9

(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9).

Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äå-

ëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ

íàèìåíüøåå êðàòíîå.

Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü,

äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà

öåëàÿ

÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà

Âñÿêóþ íåïðà-

âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî

÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îá-

ðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðè-

ìåð,

4 ==+=+=

10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðî-

áè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè

ñ÷èòà-

þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ-

ëÿþòñÿ äðîáè

(òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9),

(ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24).

Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðî-

áè

ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü

èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîé-

ñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíà-

÷èò,

ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è

òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâ-

íàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîé-

ñòâîì äðîáè.

íûå ÷èñëà, íàïðèìåð

×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ-

ëèòåëåì äðîáè, n  çíàìåíàòåëåì. Â ÷àñòíîñòè,

ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä

íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå

íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûê-

íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü



äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n.

Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëü-

íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü

íàçûâàåòñÿ ïðàâèëü-

íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íå-

ïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ

èëè ðàâåí åìó.

Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðî-

áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü

òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n).

Íàïðèìåð,

439

+=+=

Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëü-

íîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ-

òî

3 +

ïèøóò

. ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì

âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà

öåëàÿ

÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà

Âñÿêóþ íåïðà-

âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî

÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îá-

ðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðè-

ìåð,

4 ==+=+=

10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðî-

áè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè

ñ÷èòà-

þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ-

ëÿþòñÿ äðîáè

(òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9),

(ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24).

Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðî-

áè

ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü

èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîé-

ñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíà-

÷èò,

ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è

òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâ-

íàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîé-

ñòâîì äðîáè.

íûå ÷èñëà, íàïðèìåð

×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ-

ëèòåëåì äðîáè, n  çíàìåíàòåëåì. Â ÷àñòíîñòè,

ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä

íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå

íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûê-

íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü



äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n.

Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëü-

íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü

íàçûâàåòñÿ ïðàâèëü-

íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íå-

ïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ

èëè ðàâåí åìó.

Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðî-

áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü

òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n).

Íàïðèìåð,

439

+=+=

Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëü-

íîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ-

òî

3 +

ïèøóò

. ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì

âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà

ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé,

íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòå-

ëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè.

Íàïðèìåð,

(÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû

ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ

äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è

çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å.

Â îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè

÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü  íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà

(ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü  âçà-

èìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà-

òèìîé: íàïðèìåð,

 íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ-

íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè  çàìåíà äàííîé äðîáè

ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ.

11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.

Ïóñòü äàíû äðîáè

. Îíè èìåþò ðàçíûå çíà-

ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîé-

ñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè

äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó-

÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òà-

êîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé

ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.

Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî

ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè

äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êî-

òîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìå-

íàòåëåé äàííûõ äðîáåé.

Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó

çíàìåíàòåëþ äðîáè

q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è

30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 =

= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü

ê çíàìåíàòå-

ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü

íà 5; çíà÷èò,

120

524

Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ-

òè äðîáü

ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è

çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà

430

411

120

Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó

çíàìåíàòåëþ:

120

;

120

×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíî-

æèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðî-

áè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü:

120

;

120

====

ÈÈ

Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îá-

ùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:

1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòå-

ëåé äðîáåé;

2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà

ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé,

íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòå-

ëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè.

Íàïðèìåð,

(÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû

ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ

äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è

çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å.

Â îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè

÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü  íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà

(ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü  âçà-

èìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà-

òèìîé: íàïðèìåð,

 íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ-

íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè  çàìåíà äàííîé äðîáè

ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ.

11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.

Ïóñòü äàíû äðîáè

. Îíè èìåþò ðàçíûå çíà-

ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîé-

ñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè

äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó-

÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òà-

êîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé

ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.

Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî

ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè

äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êî-

òîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìå-

íàòåëåé äàííûõ äðîáåé.

Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó

çíàìåíàòåëþ äðîáè

q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è

30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 =

= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü

ê çíàìåíàòå-

ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü

íà 5; çíà÷èò,

120

524

Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ-

òè äðîáü

ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è

çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà

430

411

120

Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó

çíàìåíàòåëþ:

120

;

120

×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíî-

æèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðî-

áè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü:

120

;

120

====

ÈÈ

Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îá-

ùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:

1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòå-

ëåé äðîáåé;

2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì,

âòîðîå  çíàìåíàòåëåì.

Íàïðèìåð,

117

=×

Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:

ò. å. äåëèìîå

óìíîæàþò íà äðîáü

, îáðàòíóþ äå-

ëèòåëþ

Íàïðèìåð,

102

=×=

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðà-

æåíèÿ

-+×

q 1)

124

=×

Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà-

ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ

óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì

, ò. å.

Çíà÷èò,

=×

3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ +

ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíà-

òåëü;

3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé

äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæè-

òåëü.

12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåí-

íûìè äðîáÿìè.

Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âû-

ïîëíÿþò òàê:

à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñ-

ëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé

äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å.

;

a +

á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà

ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òè-

òåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâè-

ëî à).

Íàïðèìåð,

120

4435

120

=+=+=+

ÈÈ

Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëå-

äóþùèì îáðàçîì:

à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî

;

a -

á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâî-

äÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿ-

þò ïðàâèëî à).

Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:

=×

ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà-

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì,

âòîðîå  çíàìåíàòåëåì.

Íàïðèìåð,

117

=×

Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:

ò. å. äåëèìîå

óìíîæàþò íà äðîáü

, îáðàòíóþ äå-

ëèòåëþ

Íàïðèìåð,

102

=×=

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðà-

æåíèÿ

-+×

q 1)

124

=×

Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà-

ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ

óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì

, ò. å.

Çíà÷èò,

=×

3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ +

ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíà-

òåëü;

3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé

äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæè-

òåëü.

12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåí-

íûìè äðîáÿìè.

Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âû-

ïîëíÿþò òàê:

à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñ-

ëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé

äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å.

;

a +

á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà

ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òè-

òåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâè-

ëî à).

Íàïðèìåð,

120

4435

120

=+=+=+

ÈÈ

Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëå-

äóþùèì îáðàçîì:

à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî

;

a -

á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâî-

äÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿ-

þò ïðàâèëî à).

Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:

=×

ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà-