Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
21
20
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
.
7
15
7
1
2;
5
7
5
2
1 ==
Çíà÷èò,
.3
75
57
7
15
5
7
7
1
2
5
2
1 =
×
×
=×=×
n
13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðî-
áè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü
êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10
n
. Íàïðèìåð,
.021,0
1000
21
;48,0
100
48
;3,0
10
3
===
Òàêèì æå îáðà-
çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðà-
âèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðå-
âðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà-
ïðèìåð,
.17,3
100
17
3
100
317
;3,2
10
3
2 ===
 ýòèõ ñëó÷à-
ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé
îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðî-
áè ñî çíàìåíàòåëåì 10
n
.
 âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10.
Íàïðèìåð, 125 äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó
äðîáü
125
196
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé:
.568,1
1000
1568
8125
8196
125
196
==
×
×
=
Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðî-
áè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíà-
ìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàò-
ñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîê-
ðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå
30
11
20
21
-+
ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü
îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷è-
ñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè
äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëü-
íûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3,
äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì
=
-+
=-+=-+
ÈÈÈ
60
226364
60
22
60
63
60
64
30
11
20
21
15
16
.
4
3
1
4
7
60
105
===
n
Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
3
2
3
7
1
2 +
á)
.
7
1
2
5
2
1 ×
q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìå-
øàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîë-
íèì ñëîæåíèå:
;
3
11
3
2
3
9
3
2
3
3
2
3;
7
15
7
1
7
14
7
1
2
7
1
2 =+=+==+=+=
.
21
122
21
77
21
45
3
11
7
15
3
11
7
15
=+=+=+
ÈÈ
Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü
21
122
â ñìå-
øàííîå ÷èñëî:
.
21
17
5
21
17
5
21
17
21
105
21
17105
21
122
=+=+=
+
=
á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ
÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì:
4
3
2
3
7
7 · 15
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
21
20
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
.
7
15
7
1
2;
5
7
5
2
1 ==
Çíà÷èò,
.3
75
57
7
15
5
7
7
1
2
5
2
1 =
×
×
=×=×
n
13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðî-
áè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü
êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10
n
. Íàïðèìåð,
.021,0
1000
21
;48,0
100
48
;3,0
10
3
===
Òàêèì æå îáðà-
çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðà-
âèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðå-
âðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà-
ïðèìåð,
.17,3
100
17
3
100
317
;3,2
10
3
2 ===
 ýòèõ ñëó÷à-
ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé
îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðî-
áè ñî çíàìåíàòåëåì 10
n
.
 âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10.
Íàïðèìåð, 125 äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó
äðîáü
125
196
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé:
.568,1
1000
1568
8125
8196
125
196
==
×
×
=
Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðî-
áè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíà-
ìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàò-
ñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîê-
ðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå
30
11
20
21
-+
ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü
îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷è-
ñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè
äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëü-
íûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3,
äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì
=
-+
=-+=-+
ÈÈÈ
60
226364
60
22
60
63
60
64
30
11
20
21
15
16
.
4
3
1
4
7
60
105
===
n
Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
3
2
3
7
1
2 +
á)
.
7
1
2
5
2
1 ×
q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìå-
øàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîë-
íèì ñëîæåíèå:
;
3
11
3
2
3
9
3
2
3
3
2
3;
7
15
7
1
7
14
7
1
2
7
1
2 =+=+==+=+=
.
21
122
21
77
21
45
3
11
7
15
3
11
7
15
=+=+=+
ÈÈ
Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü
21
122
â ñìå-
øàííîå ÷èñëî:
.
21
17
5
21
17
5
21
17
21
105
21
17105
21
122
=+=+=
+
=
á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ
÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì:
4
3
2
3
7
7 · 15
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
23
22
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
âòîðàÿ òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðà-
çóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè
öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà
+
12,700
3,442
16,142
Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ
äðîáåé.
Ïðè
óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî
ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ
íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðå-
çóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëü-
êî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóì-
ìàðíî.
Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 =
= 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà
öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì). Â
èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51.
Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð,
÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäî-
ñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð:
Ðàññìîòðèì
óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10,
100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733
íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿ-
òîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330.
Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33.
Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10
ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî.
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü
â âèäå äåñÿòè÷íîé.
Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì
+++=
++
+==
1000
30
1000
200
7
1000
430200
7
1000
234
7234,7
.
1000
4
100
3
10
2
7
1000
4
+++=+
Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê:
.
000100
40023
4
00010
2340
7
1000
234
7234,7 ===
Íî
,2340,7
00010
2340
7 =
à
.23400,7
000100
40023
7 =
Çíà÷èò,
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äå-
ñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëü-
êî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿ-
òè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêè-
ìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü ïîëó-
÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü.
Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷à-
ùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íà-
çûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷à-
ëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð;
â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â
÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.
14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íû-
ìè äðîáÿìè. Ïðè
ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî
çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå
ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ ïîä çà-
ïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëü-
íûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442.
Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à
3,43
0,0002
0,000686
´
2,12
0,13
636
212
0,2756
´
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
23
22
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
âòîðàÿ òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðà-
çóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè
öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà
+
12,700
3,442
16,142
Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ
äðîáåé.
Ïðè
óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî
ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ
íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðå-
çóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëü-
êî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóì-
ìàðíî.
Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 =
= 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà
öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì). Â
èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51.
Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð,
÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäî-
ñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð:
Ðàññìîòðèì
óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10,
100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733
íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿ-
òîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330.
Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33.
Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10
ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî.
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü
â âèäå äåñÿòè÷íîé.
Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì
+++=
++
+==
1000
30
1000
200
7
1000
430200
7
1000
234
7234,7
.
1000
4
100
3
10
2
7
1000
4
+++=+
Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê:
.
000100
40023
4
00010
2340
7
1000
234
7234,7 ===
Íî
,2340,7
00010
2340
7 =
à
.23400,7
000100
40023
7 =
Çíà÷èò,
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äå-
ñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëü-
êî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿ-
òè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêè-
ìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü ïîëó-
÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü.
Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷à-
ùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íà-
çûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷à-
ëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð;
â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â
÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.
14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íû-
ìè äðîáÿìè. Ïðè
ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî
çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå
ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ ïîä çà-
ïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëü-
íûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442.
Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à
3,43
0,0002
0,000686
´
2,12
0,13
636
212
0,2756
´
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
25
24
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñû-
âàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10
4
=
= 0,0027344.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî
ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... . Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê
ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðè-
ìåð,
.
9
1
31
9
280
910
10028
100
9
:
10
28
09,0:8,2 ==
×
×
==
15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåí-
íî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòî-
ðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%.
Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5
è ò. ä.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà
ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçà-
ëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëü-
êî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé?
q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´
´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55
äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ.
Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó?
q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ
ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî
,55
100
75,68
=× x
îòêóäà
80
75,68
55100
=
×
=x
(äåòàëåé). n
Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà
10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ
íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå
íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷å-
ñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî
âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî,
êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàç-
äåëèòü 22,1 íà 13; èìååì
Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â
îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017.
Ðàññìîòðèì òåïåðü
äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà
äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12.
Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿ-
òóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñ-
ëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå íà äâå).
Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà
100 îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî
ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:
×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10
n
, íàäî
â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî
22,1 13
13 1,7
91
91
0
257,6 112
224 2,3
336
336
0
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
25
24
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñû-
âàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10
4
=
= 0,0027344.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî
ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... . Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê
ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðè-
ìåð,
.
9
1
31
9
280
910
10028
100
9
:
10
28
09,0:8,2 ==
×
×
==
15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåí-
íî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòî-
ðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%.
Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5
è ò. ä.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà
ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçà-
ëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëü-
êî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé?
q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´
´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55
äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ.
Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó?
q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ
ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî
,55
100
75,68
=× x
îòêóäà
80
75,68
55100
=
×
=x
(äåòàëåé). n
Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà
10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ
íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå
íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷å-
ñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî
âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî,
êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàç-
äåëèòü 22,1 íà 13; èìååì
Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â
îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017.
Ðàññìîòðèì òåïåðü
äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà
äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12.
Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿ-
òóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñ-
ëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå íà äâå).
Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà
100 îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî
ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:
×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10
n
, íàäî
â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî
22,1 13
13 1,7
91
91
0
257,6 112
224 2,3
336
336
0
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
27
26
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Òàêèì îáðàçîì,
....214285714,0
14
3
=
Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïî-
ëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ:
2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... .
Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñ-
ëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ
äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê,
êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì
øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì
øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñ-
òàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñ-
òàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà
ðàíåå.
Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ
ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå
öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà:
Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð
(ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðî-
áè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷-
íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâî-
åé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñ-
òè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ
åãî â êðóãëûå ñêîáêè:
0,2142857142857142857... = 0,2(142857).
Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî
äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå
ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå
çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñ-
êîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... ÷èñòàÿ ïåðèî-
16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷-
íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ,
åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13):
2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò
òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ
áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 =
= 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêî-
íå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ.
Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè.
Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî
14
3
è áóäåì äåëèòü ÷èñ-
ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷-
íûå çíàêè:
3,00000000... 14
28 0,214285714...
20
14
60
56
40
28
120
112
80
70
100
98
20
14
60...
= 0,2142857142857142857....
3
14
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
27
26
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Òàêèì îáðàçîì,
....214285714,0
14
3
=
Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïî-
ëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ:
2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... .
Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñ-
ëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ
äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê,
êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì
øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì
øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñ-
òàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñ-
òàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà
ðàíåå.
Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ
ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå
öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà:
Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð
(ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðî-
áè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷-
íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâî-
åé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñ-
òè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ
åãî â êðóãëûå ñêîáêè:
0,2142857142857142857... = 0,2(142857).
Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî
äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå
ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå
çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñ-
êîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... ÷èñòàÿ ïåðèî-
16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷-
íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ,
åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13):
2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò
òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ
áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 =
= 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêî-
íå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ.
Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè.
Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî
14
3
è áóäåì äåëèòü ÷èñ-
ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷-
íûå çíàêè:
3,00000000... 14
28 0,214285714...
20
14
60
56
40
28
120
112
80
70
100
98
20
14
60...
= 0,2142857142857142857....
3
14
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
29
28
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Çíà÷èò,
,
11
28
10 =x
îòêóäà
.
55
14
1011
28
=
×
=x
n
18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l,
îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî
îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê
[0, 1] (ðèñ. 1).
äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) ñìå-
øàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü.
17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèî-
äè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñ-
êîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000
è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðî-
áè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà
âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´
´ 100 = 12,323232... = 12,(32).
Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñ-
ëî: à) 0,(13); á) 0,2(54).
q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíî-
æèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå
÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä
âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðå-
íåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñ-
òàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ =
= 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷-
òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ õ = 13,(13) 0,(13).
Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì
.
99
13
=x
á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìå-
øàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òî-
áû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòî-
ãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ =
= 2,(54).
Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðè-
îäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äå-
ëàëè ðàíåå. Èìååì
100y = 254,(54); 100y ó = 254,(54) 2,(54);
99y = 252;
.
11
28
99
252
==y
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàò-
íàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðî-
áè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü,
íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çà-
äàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïî-
ëó÷èì òî÷êó À îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíà-
ëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â
çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå
ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì
òî÷êó  îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2.
Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó
÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷-
êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæ-
íî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîð-
äèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü.
Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò
òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííî-
ìó. Ïîëó÷èì òî÷êó
A
¢
, ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îò-
íîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À
Ðèñ. 1
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
29
28
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Çíà÷èò,
,
11
28
10 =x
îòêóäà
.
55
14
1011
28
=
×
=x
n
18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l,
îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî
îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê
[0, 1] (ðèñ. 1).
äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) ñìå-
øàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü.
17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèî-
äè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñ-
êîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000
è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðî-
áè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà
âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´
´ 100 = 12,323232... = 12,(32).
Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñ-
ëî: à) 0,(13); á) 0,2(54).
q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíî-
æèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå
÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä
âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðå-
íåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñ-
òàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ =
= 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷-
òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ õ = 13,(13) 0,(13).
Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì
.
99
13
=x
á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìå-
øàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òî-
áû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòî-
ãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ =
= 2,(54).
Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðè-
îäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äå-
ëàëè ðàíåå. Èìååì
100y = 254,(54); 100y ó = 254,(54) 2,(54);
99y = 252;
.
11
28
99
252
==y
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàò-
íàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðî-
áè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü,
íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çà-
äàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïî-
ëó÷èì òî÷êó À îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíà-
ëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â
çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå
ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì
òî÷êó  îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2.
Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó
÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷-
êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæ-
íî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîð-
äèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü.
Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò
òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííî-
ìó. Ïîëó÷èì òî÷êó
A
¢
, ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îò-
íîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À
Ðèñ. 1